2021年 暑假小升初新七年级上册衔接班数学第8讲：有理数的乘法讲义(含答案)
专题08 有理数的乘法(解析版)-2024小升初数学暑假衔接讲义
专题08.有理数的乘法1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算；2.理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数；3.掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算；4.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便；5.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。
题型探究题型1、有理数乘法法则的辨析 (3)题型2、利用有理数乘法的符号辨别 (5)题型3、有理数的乘法运算 (7)题型4、有理数乘法运算律 (8)题型5、有理数乘法的实际应用 (13)题型6、有理数乘法的新定义问题 (16)题型7、倒数的概念与运用 (18)培优精练A组（能力提升） (21)B组（培优拓展） (27)【思考1】2024年6月15日将在德国举行第17届欧洲杯，法国球星姆巴佩为了备战欧洲杯，沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。
记姆巴佩在跑道上的某一位置为点O ，那么在点O 的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O 的哪个方向？相距多少米？提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。
【乘除号的历史】你知道吗，以符号“×”代表乘是谁创造的呢？对了，他就是英国数学家奥特雷德首创的。
奥特雷德对数学符号的发展产生很大的影响，他大量的运用符号代替冗杂的算数描述。
他是在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行。
在四种运算符号中，最复杂的就是除法的符号“÷”了，除法符号“÷”率先是英国的沃利斯最初使用的，后来在英国和全世界得到了推广。
1.有理数的乘法有理数乘法法则：（下列法则中a 、b 为正有理数，c 为任意有理数）两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。
任何数同0相乘，都得0。
即：()()a b +⨯+=ab ；()()a b -⨯-=ab ；()a b ⨯-=-ab ；；()a b -⨯=-ab ；；00c ⨯=。
小升初数学衔接暑假讲义
小升初数学衔接暑假讲义七年级数学上册第一章有理数1.1 正数和负数基础知识：1.正数是大于零的数，例如 3、2、0.8.有时在正数前面加正号“+”。
2.负数是在正数前面加负号“-”的数，例如 -1、-4、-0.6.3.零既不是正数也不是负数。
4.带有正号的数不一定是正数，带有负号的数不一定是负数。
例如在天气预报图中，零下5℃用“-5℃”来表示。
对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“-”（读作“负”）号来表示。
拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用“-5℃”来表示。
本节重点：能正确识别负数，用正负数表示具有相反意义的量是本节的难点。
教学中要特别强调零的特殊身份，明确零既不是正数，也不是负数。
知识题库：1.将下列各数按要求分类填写：5、0.56、-7、92、-、100、-0.、23.其中是正数的是（），是负数的是（）。
2.如果水位上升1.2米，记作“+1.2米”；那么水位下降0.8米，记作“-0.8米”。
3.甲、乙两人同时从A地出发，如果向南走48m，记作“+48m”；乙向北走32m，记为“-32m”。
这时甲乙两人相距80m。
4.某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在20℃~22℃范围内保存才合适。
5.下列说法不正确的是：A。
0小于所有正数；B。
0大于所有负数；C。
0既不是正数也不是负数；D。
0可以是正数也可以是负数。
6.“a”一定是负数吗？7.在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有的意义。
8.举出2对具有相反意义的量的例子。
9.某地一天中午12时的气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天时的气温是多少？10.某老师把某一小组五名同学的成绩简记为“+10，-5，+7，+8，-3”，又知道记为的成绩表示90分，正数表示超过90分。
初中数学有理数乘法(解析版)七年级数学上册同步精品讲义(人教版)
第4讲 1.4.1有理数乘法1.熟练掌握有理数乘法法则；2.理解并掌握互为倒数的概念；3.灵活运用运算律进行相关乘法运算.知识点有理数乘法1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；2.(1)若同号,则; (2)若异号,则;3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.(1)当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正。
4.几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。
5.有理数乘法的求解步骤:(1)先确定积的符号;(2)再确定积的绝对值;6.乘积是1的两个数互为倒数。
注：(倒数同正同负)7.时，的倒数是)8.注意:用字母表示乘数时,“”号可以写成“·”或省略, 如可以写成或.9.有理数乘法的运算律(1)乘法的交换律：；(2)乘法的结合律：)；(3)乘法的分配律：;10.根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘,可以任意交换因数的位置,也可先把其中的几个数相乘11.根据分配律可以推出：一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.一、选择题1.2021的倒数是（）A. 2021B. －2021C.D.【答案】C【解析】【解答】A：倒数是本身的数是1和-1，选项错误.B：－2021是2021的相反数，选项错误.C：，选项正确.D：，选项错误.故答案为：C【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可.2.计算：（-2）×3的结果是（）A. -6B. -1C. 1D. 6 【答案】A【解析】【解答】解：（-2）×3=-2×3=-6．故答案为：A．【分析】根据有理数乘法法则，异号相乘，取负号，并把绝对值相乘。
3.下列运算有错误的是（）A. 5﹣（﹣2）=7B. ﹣9×（﹣3）=27C. ﹣5+（+3）=8D. ﹣4×（﹣5）=20 【答案】C【解析】【解答】解：，选项A不符合题意；，选项B不符合题意；，选项C符合题意；，选项D不符合题意。
1.4.1有理数的乘法(小升初暑假衔接)教案
课堂上的小组讨论和实验操作环节，我认为是相当成功的。学生们积极参与，通过合作探究实际问题，不仅加深了对有理数乘法的理解，还提高了他们的团队合作能力。我注意到，在这样的活动中，学生们的学习积极性被充分调动，他们在讨论中提出的问题和见解也让我感到惊喜。
1.4.1有理数的乘法（小升初暑假衔接)教案
一、教学内容
本节教学内容选自《数学》初中一年级上册，章节为1.4.1有理数的乘法。主要包括以下内容：
1.有理数乘法的定义与性质；
2.有理数乘法的计算方法与步骤；
3.乘法分配律在有理数乘法中的应用；
4.有理数乘法与整数乘法的联系与区别；
5.举例说明有理数乘法在实际问题中应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数乘法的定义和性质、计算方法这两个重点。对于难点部分，如负数乘法、分数乘法等，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与有理数乘法相关的实际问题，如购物时如何计算折扣。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示有理数乘法的基本原理，如使用图形面积来解释乘法。
本节课旨在帮助学生掌握有理数乘法的基本概念和计算方法，提高他们在小升初暑假期间数学知识的过渡与衔接，为初中学段数学学习打下坚实基础。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生运用数学语言进行有效表达和交流的能力，通过有理数乘法的学习，使学生能够准确、清晰地描述乘法定义和性质；
【专题讲义】北师大版七年级数学上册第8讲有理数的乘法及混合运算专题精讲(解析版)
【专题讲义】北师大版七年级数学上册第8讲有理数的乘法及混合运算专题精讲〔解析版〕参考答案一、知识梳理〔一〕有理数的乘方1、一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作：读作：a 的n 次方〔或a 的n 次幂〕其中a 代表相乘的因数,n 代表相乘因数的个数，即：...n an a a a a a =⨯⨯⨯个〔n 个a 〕 2、有理数乘方运算方法：⎩⎨⎧进行运算）利用乘法的运算法则（将乘方转化为乘法）根据乘方的定义，先（方法一21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧确定幂的绝对值的任何正整数次幂都是负数的偶次幂是正数负数的奇次幂是负数，数正数的任何次幂都是正确定幂的符号方法二)2(00)1(〔二〕有理数的混合运算混合运算法那么：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
体系搭建注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原那么。
〔三〕科学记数法〔1〕一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
注意以下几点:1、科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。
其中一个因数为a 〔110a ≤<〕，另一个因数为10n ，n 的值等于整数局部的位数减1；2、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。
小于1的正数也可以用科学记数法表示。
例如：50.0000110-=；考点一：乘方的意义例1、3x 表示〔 〕A.x 3 B ．x x x ++ C.x x x ⋅⋅ D ．3+x【解析】C 考点二：计算例1、〔1〕 3211⎪⎭⎫⎝⎛ 〔2〕()33131-⨯--〔3〕()34255414-÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷ 〔4〕()()()33220132-⨯+-÷---【解析】 1、8272、23、－594、－1 典例分析考点三：定义新运算例1、现规定一种新的运算“※〞：a ※ab b =，如3※2=32=8，那么3※等于〔 〕A ．B ． 8C ．D ．【解析】A考点四：偶次幂的非负性例1、假设()0212=-+-b a ，那么()2012b a -的值是〔〕A ．﹣1B ． 1C ． 0D ． 2012【解析】B例2、()()053222=-+++-c b a ，求22c b a +-值．【解析】33考点五：有理数的混合运算例1、计算：〔1〕()()()3428102-⨯---÷+- 〔2〕()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-⨯+-91632492【解析】〔1〕-20；〔2〕23 考点六：科学计数法例1、自贡市统计局2016年初发布了2015年我市经济形势：2015年全市地区生产总值〔GDP 〕实现1143.11亿元．数据1143.11亿元用科学记数法表示〔保存三个有效数字〕〔 〕×103元 ×1010元×1011×1012元〔1〕这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成 个细胞； 〔2〕这样的一个细胞经过3小时后可分裂成 个细胞；〔3〕这样的一个细胞经过n 〔n 为正整数〕小时后可分裂成 个细胞． 【解析】〔1〕16；〔2〕64；〔3〕n 22例2、观察以下算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜测210的末位数字是〔 〕A ． 2B ． 4C ． 8D ． 6【解析】B例3、王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如下图的面积为1的圆形纸片，假设在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n 为整数时，=++++n 21...814121_____________．【解析】n 211-P(Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、数学上一般把()a n a a a a a 个.....⋅⋅⋅记为〔 〕A ．naB ．a n +C ．naD ．a n【解析】C2、计算：()=⨯--⨯-223232〔 〕【解析】A3、以下式子中正确的选项是〔 〕A.()()324222-<-<- B.()()243222-<-<-C.()()234222-<-<- D.()()432232-<-<-【解析】C实战演练8、如图，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成〔 〕A ． 17段B ． 32段C ． 33段D ． 34段 【解析】C9、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2002个数应是〔 〕A ．20022 B.122002- C ．20012 D ．以上答案不对【解析】C10、假设()0232=++-n m ，那么n m 2+的值为〔 〕 A ．﹣4 B ．﹣1 C ．0 D ．4【解析】B11、一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入38台，调出42台，调入27台，调出33台，调出40台，那么这个仓库现有电脑________台。
初中数学人教版七年级上册《1.4.1有理数的乘法》教学课件
11
11
11
解： −47.65
×
2
6 11
+
37.15
×
2
6 11
+
10.5
×
−7
5 11
= −47.65 + 37.15
× 2 6 + 10.5 ×
11
−7 5
11
= −10.5
× 2 6 + 10.5 ×
11
−7 5
11
= −10.5 × 2 6 + 7 5
11
11
= −10.5 × 10
=−105.
根据分配律可以推出：
一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再
把积相加.
a(b＋c＋d )＝ab＋ac＋ad
例 运算：
1
-3
5 6
-
9 5
-
1 4
解：
1 -3
5 6
-
9 5
-
1 4
=-3 5 9 1 654
=- 9； 8
2
-5
6
-
4 5
1 4
.
2
-5
6
−
7 12
=
−36
×
−
4 9
+
−36
×
5 6
+
−36
×
−
7 12
= 16 − 30 + 21
=7.
运算：（- 3） 5 （- 2）（- 8 ）.
6
5
解： （- 3） 5 （- 2）（- 8 ）
6
5
-3 5 2 8 65
北师大版七年级(上)数学第8讲：有理数的乘法(教师版)——王琪
有理数的乘法一、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何一个数与0相乘，积仍为0。
二、有理数乘法运算律交换律:a×b=b×a结合律:a×(b×c)=(a×b)×c分配律：a×(b+c)=a×b+a×c注意：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个数时，积为负数并把其绝对值相乘；当负因数有偶数个数时，积为正数,并把其绝对值相乘。
1．计算（﹣3）×|﹣2|的结果等于（）A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣5解：原式=（﹣3）×2=﹣6。
故选C。
2．计算﹣3×2的结果等于（）A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．1解：﹣3×2=﹣6。
故选C。
3．计算﹣3×（﹣2）的结果等于（）A．B．6 C．﹣6 D．﹣解：﹣3×（﹣2）=3×2=6．故选：B。
4．计算（﹣4）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣12 B．﹣7 C．7 D．12解：原式=4×3=12。
故选：D。
5．已知□×（﹣）=﹣1，则□等于（）A．B．2016 C．2017 D．2018解：∵2017×（﹣）=﹣1，∴□等于﹣1÷（﹣）=2017，故选：C。
6．计算﹣1×2的结果是（）A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣2解：﹣1×2=﹣（1×2）=﹣2．故选D。
7．以下各数中，填入□中能使（﹣）×□=﹣2成立的是（）A．﹣1 B．2 C．4 D．﹣4解：一个因数=积÷另一个因数口=﹣2÷（﹣）=﹣2×（﹣2）=4．故选：C。
8．若a+b＜0，ab＜0，则（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值D．a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值解：∵ab＜0，∴a、b异号，又∵a+b＜0，∴负数的绝对值大于正数的绝对值．故选D。
小升初衔接数学讲义(共13讲)
小升初衔接数学讲义(共13讲)小升初衔接专题讲义第一讲数系扩张--有理数（一）一、问题引入与归纳1.正负数、数轴、相反数、有理数等概念。
2.有理数的两种分类。
3.有理数的本质定义，能写成 m/n （n≠0，m、n 互质）。
4.性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（除数不能为零）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5.绝对值的意义与性质：① |a| = a（a≥0）或 |a| = -a（a<0）。
②非负性。
③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为零，则它们都为零。
二、典型例题解析：例1：若ab ≠ 0，则 (a+b)/|ab| 的值等于多少？例2：如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的（D）。
A。
相反数 B。
倒数 C。
绝对值 D。
平方例3：已知两数 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 2，求 x^2-(a+b+cd)x+(a+b)2006+(-cd)2007 的值。
例4：如果在数轴上表示 a、b 两个实数点的位置，如下图所示，那么 |a-b|+|a+b| 化简的结果等于（）A。
2a B。
-2a C。
0 D。
2b例5：已知 (a-3)^2+|b-2|=9，求 ab 的值是（）A。
2 B。
3 C。
9 D。
6例6：有 3 个有理数 a、b、c，两两不等，那么 a-b/b-c，c-a/a-b 中有几个负数？例7：设三个互不相等的有理数，既可表示为 1，a+b，a 的形式式，又可表示为 b/a，b 的形式，求 a^2006+b^2007.例8：三个有理数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且 X = (abc/|ab|+|bc|+|ac|)+ab+bc+ac，则 ax^3+bx^2+cx+1 的值是多少？例9：若 a、b、c 为整数，且 |a-b|^2007+|c-a|^2007=1，试求 |c-a|+|a-b|+|b-c| 的值。
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第八讲有理数的乘法
探究：
3×(－1) =－3， 3×(－2) =－6，
3×(－3) =－9， (－1)×3=－3，
(－2)×3=－6， (－3)×3=－9，
思考：利用前面的结论完成下面各式，你能发现什么规律？
(－3)×3=－9 (－3)×2=－6
(－3)×1=－3 (－3)×0=0
利用前面的结论完成下面各式，你能发现什么规律？
(－3)×(－1)=3 (－3)×(－2)=6
(－3)×(－3)=9
1、有理数的乘法法则
(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘；
(2)任何数与0相乘，结果都得0；
(3)几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．即先确定符号，再把各因数的绝对值相乘，所得的积就是积的绝对值加上符号；
(4)几个数相乘，如果其中有因数是0，则积等于0．
计算：
(1)
12
()
37
-⨯-； (2)
11
4(1)
32
⨯-；
(3)
541
() 1.5(1)
12154
-⨯⨯⨯-； (4)(－2009)×(－2010)×0×(－2011)．
2、倒数
乘积为1的两个数互为倒数．
ab=1⇔a、b互为倒数
1
b
a
⇔=．注意：0没有倒数，而且任何一个非零数的倒数也不可能为0．
求下列各数的倒数：
(1)
3
5
-； (2)
5
1
7
-； (3)1.4
3、有理数的乘法的运算律
(1)乘法交换律：ab=ba．(2)乘法结合律：abc=(ab)c=a(bc)．(3)乘法分配律：a(b＋c)=ab＋ac．
例1、计算：
(1)
111
(1)(48)
346
---⨯-； (2)
1
1.25(0.3)8(3)
3
-⨯-⨯⨯-；
(3)
11131
377(7)
64646
⨯-⨯+⨯- (4)
13
|1|(60.09)(10)
34
-⨯--⨯-．
例2、计算：
(1)
1
258
32
-⨯； (2)
15
99(8)
16
⨯-．
例3、如图，a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）
A．abc>0 B． a（b－c）>0
C.（a＋b）c>0 D．（a－c）b>0
例4、有6张写着不同数字的卡片：，如果从中任意抽取3张．
（1）使这3张卡片上的数字的积最小，应该如何抽?积又是多少?
（2）使这3张卡片上的数字的积最大，应该如何抽?积又是多少?
1、下列说法中，正确的是（）
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
2、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是1，求(a＋b)cd－2014m的值．
3、计算：
（1）
1175
()
12918
--×36－6×1.43＋3.93×6.
（2）
16112311
(32)()(24)
253223412
-⨯-+--⨯-．
4、规定运算⊕，a⊕b＝ab＋1，求：（1）（－2）⊕3；（2）[（－1）⊕2]⊕（－3）．。