全微分运算法则
多元函数微分学解题技巧
1 cos( xy) x2 y2
1 2
(3)
lim
(1
x2 y
1 )1 xy
e
( x, y )(, )
x
题型二：证明重极限不存在
常用方法：
1)沿不同路径极限不同（如：沿过点( x0 , y0 )的直线）；
2) 沿某一路径极限不存在.
xy
练习 证明重极限不存在
lim
;
x0 x 2 y 2
y0
2. 连续
题型二 复合函数的偏导数与高阶偏导数
练习. (07数一) 设f ( x, y)可微，f (0,0) 0, z f ( x y , y x ),
则 z x
__y_x_y__1 _f_1___y.x ln
y
f 2
练习. 设f ( x, y)可微，f (0,0) 0, f x (0,0) m, f y (0,0) n，
xh( y)h( y) f22 h( y) f2
f11 2 xh( y) f12 xh( y) 2
f22 xh( y) f2
例16 设 f (u, v)具有二阶连续偏导数,且满足
2 f u2
2 f v 2
1,又
g(x, y)
f [xy, 1 (x 2 2
y 2 )],求
2g x 2
方法: （a）公式:
z Fx x Fz
（b）两边求偏导
z Fy y Fz
（c）利用微分形式不变性:
(2)
F(x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
确定u u( x, y),v v( x, y).
方法：两边求偏导；利用全微分形式不变性
题型一 求一阶偏导数与全微分
3.3 全微分
多元函数微分学及其应用
注意：一元函数中，可微与可导是等价的。但在二元函数 中，偏导数存在是可微的必要条件，而非充分条件，即
可微
可导。
z z 当偏导数存在时可得表达式 x y ，但它不一定 x y z z 是全微分 dz，必须加上“ z [ x y ] 是比 高阶 x y
第章
多元函数微分学及其应用 2
证明： （ 1）当 x 2 y 2 0 时，有 1 2x 1 f x ( x , y ) 2 x sin 2 2 cos 2 ， 2 2 2 x y x y x y
1 2y 1 f y ( x , y ) 2 y sin 2 2 cos 2 ， 2 2 2 x y x y x y
当 y 0 时， x ，
z f ( x x, y) f ( x, y) Ax o x ，
o x f ( x x , y ) f ( x , y ) lim lim( A ) A， x 0 x 0 x x
f x ( x, y ) A .
lim
011 ，
第五章
多元函数微分学及其应用
z [ f x ( x, y) ]x [ f y ( x, y) ]y
f x ( x, y)x f y ( x, y)y x y
x y x y 而0 2 2 2 2 x y x y
( x, y) (0,0)
即 f x ( x 1x, y y) f x ( x, y ) ，其中
( x , y ) (0,0)
lim
0，
同理 f y ( x, y 2 y) f y ( x, y) ，其中
微积分常用公式及运算法则(上册)
0,
π 2
1
lim nn = 1
n→∞
1
lim x x = 1
x→+∞
lim
x→∞
1
+
1 x x
=
e,
lim
x→∞
1
−
1 x x
=
1 , lim (1+
e x→0
1
x)x
=e
等价无穷小： 当x → 0时, x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ln(1+ x) ∼ ex −1; 1− cos x ∼ x2 ;(1+ x)a −1 ∼ ax(a ≠ 0);
2!
n!
sin x = x − 1 x3 + 1 x5 −⋯ 3! 5!
柯西中值定理： 若f , g ∈C[a,b],并且f , g ∈ D(a,b),在(a,b)内 g(x) ≠ 0, 那么至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) g(b) − g(a) g′(ξ )
泰勒中值定理：
如果函数f (x)在含x0的某个开区间(a, b) 内具有(n +1)阶导数，即f ∈ Dn+1(a,b)，
u v
′
=
u′v − uv′ v2
设x = ϕ ( y)，它的反函数是y = f (x)，则有
f
′( x)
=
1 ϕ′( y)
链式求导法则：d y = d y id u dx du dx
对数求导法则：
求幂指函数y = [u(x)]v(x)的导数时，
可先取对数，得 ln y = v(x) ln u(x)，
微分运算法则
( lim 0 )
x0
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
很小时, 有近似公式
y dy
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y
dy
y
y f ( x)
当 y x 时，
y
y x dx
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
记
O
x0
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 在点 可导, 且
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
已知 “充分性” 在点 可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
微积分公式定理整理
微分积分公式整理一、导数1. 基本导数公式（1）()0='C （2）()1-='μμμx x（3）()x cos x sin =' （4）()x sin x cos -=' （5）()x sec x tan 2=' （6）()x csc x cot 2-=' （7）()x tan x sec x sec ⋅=' （8）()x cot x csc x csc ⋅-='（9）()x x e e =' （10）()a ln a a x x ='（11）()xx ln 1=' （12）()aln x x log a1=' （13）()211x x arcsin -=' （14）()211x x arccos --='（15）()211x x arctan +=' （16）()211x xcot arc +-='2. 导数的四则运算法则（1）()v u v u '±'=± （2）()v u v u uv '+'='（3）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3. 常用等价无穷小代换： 当x →0时，xx sin →xx tan →xx arcsin →xx arctan →2211xx cos →- a ln x a x →-1 x e x →-1()x x ln →+1()abxbx a →+-11()nx x n1111→-+()a ln x x log a →+1 4. 高阶导数公式（1）()()[]()()()()()n n n x v x u x v x u ±=± （2）()[]()()x cu x cu n n = （3）()[]()()()b ax u a b ax u n n n +=+（4）莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑5.基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!x x n n= （2）()()bax n n bax ea e ++⋅= （3）()()a ln a a n x n x=（4）()[]()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=+2x n b ax sin a b ax sin n n （5）()[]()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=+2x n b ax cos a b ax cos n n （6）()()()111++⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n nn b ax !n a b ax（7）()[]()()()()nn n n b ax !n a b ax ln +-⋅-=+-1116. 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
微分的运算法则推导
微分的运算法则有以下几条：1. 常数法则：对于常数c，有d(cx)/dx = c，即常数的导数为0。
2. 乘法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(uv)/dx = u'v + uv'，即两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
3. 除法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u/v)/dx = (u'v - uv')/v²，即一个函数除以另一个函数的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，再减去分子函数乘以分母函数的导数，最后除以分母函数的平方。
4. 加法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u + v)/dx = u' + v'，即两个函数的和的导数等于两个函数的导数的和。
5. 减法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u - v)/dx = u' - v'，即两个函数的差的导数等于第一个函数的导数减去第二个函数的导数。
6. 复合函数法则（链式法则）：对于复合函数y = f(g(x))，有dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)，即复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
7. 幂函数法则：对于函数y = x^n，其中n是常数，有dy/dx = nx^(n-1)，即幂函数的导数等于指数乘以自变量的指数减1次方。
8. 指数函数法则：对于函数y = a^x，其中a是常数且a>0且不等于1，有dy/dx = ln(a) * a^x，即指数函数的导数等于该函数的自然对数乘以原函数。
9. 对数函数法则：对于函数y = log_a(x)，其中a是常数且a>0且不等于1，有dy/dx = 1/(x*ln(a))，即对数函数的导数等于1除以自变量的自然对数和底数的乘积。
15.3.2 微分运算法则
(cu ) cu ( c为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
三、微分的基本公式和运算法则
1.基本初等函数的微分公式
(2) d ( x 2 1) 2x dx
(3) d (2 x ) 2x ln 2 dx
(4) d (e x ) e x dx
2、 微分的四则运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
例题1 求下列函数的微分：
导数公式:
(c) 0
微分公式:
d (c ) 0
1
( x ) x
x
d (x ) x
x
1
dx
(a ) a ln a
x
d (a ) a ln adx d (e ) e dx
x
x
( e ) e
x
x
x
1 (log a x) x ln a 1 (ln x) x
(3x 5)e x dx
x2 (3) y x 1
( x 1)d ( x 2 ) x 2 d ( x 1) 解：dy= ( x 1)2 2 x( x 1)dx x 2 dx ( x 1)2 ( x 2 2 x)dx ( x 1)2
练 习
求下列函数的微分：
2
(1) y x cos x
解：
x 1 (2) y 2x 1
解：
dy cos xd ( x ) x d (cos x)
微分导数公式及运算法则
微分导数公式及运算法则微分导数是在微分学中定义的概念，它反映了函数的变化率，通常记作f'（x）。
下面我们就来说说微分导数的公式及运算法则。
一、微分导数公式1、定义：对于函数y=f(x)，把其中x变化量xx趋近于零时，函数变化量xx随之变化的极限比例称为函数x关于x的微分比例或微分系数，记作∂x/∂x，即为函数x关于x的导数。
2、求导的基本公式：（1） y = f(x)，其导数是y′=f′(x)；（2）y = f(x)+C（C为常数），其导数是y′=f′(x)；（3）y = f(x)+Cx，其导数是y′=f′(x)+C；（4）y = ax，其导数是y′=a（a为常数）；（5）y = x^n（n为常数），其导数是y′=nx^(n-1)；（6）y = e^x，其导数是y′=e^x。
二、微分导数运算法则1、微分法则：如果函数为 y = f(x)*g(x)，则其导数为y′=f′(x)*g(x)+f(x)*g′(x)。
2、积分法则：如果函数为 y = f(x)*g(x)，则其积分为xx=f(x)* x g(x)+x f(x)*g(x)+C（C为常数）。
3、链式法则：即偏导数法则，如果函数为 y = f(x,g(x))，则其导数为y′=∂y/∂x=∂y/∂x*d x/d x。
4、复合函数法则：即链式法则的推广，如果函数为 y = f(g(h(x)))，则其导数为y′=∂y/∂x=∂y/∂x*∂x/∂h*dh/dx。
5、指数和对数函数法则：（1）ln x(x)=∫(1/f(x)) dx，其导数是 ln x(x)=1/f(x)*f′(x)；（2）e^f(x)=exp(f(x))，其导数是e^f(x)=e^f(x)*f′(x)。
6、复数函数法则：即复数平面几何中的微分公式。
如果函数为x=x(x+xx)，其中x为虚部，x和x为实部，则三大定律应用于复数函数时，其导数为x′=∂x/∂x+x∂x/∂x。
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全微分运算法则
全微分运算法则是微积分中的一个重要概念。
它能够帮助我们更好地理解微分的性质，从而更加高效地进行微积分运算。
下面，我们将介绍全微分运算法则的基本概念和运算规则。
1. 全微分的定义
全微分是一个函数的微分在自变量全部改变一个微小量时，函数增量的变化量。
如果一个函数f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数，则称f(x,y)在(x0,y0)处是可全微的。
全微分：</br>
δf=f(x+δx,y+δy)-f(x,y)=∂f/∂x δx + ∂f/∂y δy
2. 全微分运算的性质
(1) 全微分是一个线性算子，即对于任意实数α，β，有：
δ(αf+βg) = α δf + β δg
(2) 全微分满足“可加性”，即：
δ(f+g) = δf + δg
(3) 全微分是一个“0级”量，即δ^2f=δ(δf)=0
3. 求全微分的运算法则
(1) 对于一个函数f(x,y,z)而言，它的全微分可以表示为：
δf = (∂f/∂x) δx + (∂f/∂y) δy + (∂f/∂z)δz
(2) 对于一元函数f(x)，它的全微分可以表示为：
δf = f′(x) δx
(3) 对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的全微分可以表示为：δf = (∂f/∂x1) δx1 + (∂f/∂x2) δx2 + ... + (∂f/∂xn) δxn
4. 应用举例
(1) 求函数f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy在点(1,1)处的全微分。
解：根据定义，全微分为：
δf=∂f/∂x δx + ∂f/∂y δy
而f(x,y)=x^3+y^3-3xy，所以有：
∂f/∂x=3x^2-3y，∂f/∂y=3y^2-3x
将点(1,1)代入得：
∂f/∂x=0，∂f/∂y=0
于是，全微分为：
δf=0
(2) 求函数f(x,y) = sin x cos y在点(π/2, π)处的全微分。
解：根据定义，全微分为：
δf=∂f/∂x δx + ∂f/∂y δy
而f(x,y) = sin x cos y，所以有：
∂f/∂x=cos x cos y；∂f/∂y=-sin x sin y
将点(π/2, π)代入得：
∂f/∂x=0，∂f/∂y=-1
于是，全微分为：
δf=-sin x sin y δy
以上就是全微分运算法则的相关介绍，希望对您有所帮助！。