(整理)微分算子法
微分算子法中d的运算[整理版]
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微分算子法中D 的运算D ：微分的意思，如Dx 2=2x ， D 3x 2=0D 1:积分的意思，如D 1x=2x 2*******************************************************************************定理1：)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序例： x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+推论：)(1)(F 1k F e e D kxkx = （F(k)≠0）例：xe y y 2=+''x e y D 22)1(=+ x xx e e e D y 22222*51121)1(1=+=+=******************************************************************************定理2：)(sin sin )(F 22a F ax ax D -⋅=)(c o s c o s )(F 22a F ax ax D -⋅= 注意使用公式时的前后顺序推论：)(1sin sin )(F 122a F ax ax D -⋅= （F(-a 2) ≠0）例：xy y 3cos 24=+）（x y D 3c o s 2)1(4=+xx x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=⋅⋅=+-⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=遇到sinax,cosax 时，要凑出D 2来。
F(D)里有D 2，即可代换为-a 2，代换后继续算F(D)。
*******************************************************************************定理3： )()()()(F x v k D F e x v e D kxkx += 注意使用公式时的前后顺序推论：)()(1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx +=例：xe x y y 22y 44⋅=+'-''x e x y D D 222)44(⋅=+- 42222222222*1211)2)2((1)2(1x e x D e x D e x e D y x x x x ⋅=⋅⋅=⋅-+=⋅-=例：x e y y y =-'+''-'''y 33x e y D =-3)1( xe D y 3*)1(1-=此时不能用定理1，故3333*61111)1)1((1x e D e D e D e y x x x x⋅⋅=⋅=⋅=-+= ******************************************************************************例： xy y e 4=-）（x e D e D e eD e D e D D e D D D e D y x x x x x x x x ⋅==-+⋅=-⋅=+⋅⋅⋅-=⋅⋅+⋅-=⋅+⋅-⋅+=⋅-=411411114111411112111211111111111)1(12224*例：22+-=+''x x y y2)1(22+-=+x x y D )2()1(122*+-+=x x D y 用长除法：按幂次增加排列，至得出的D 的最高幂次与x 的最高幂次相同。
微分算子法
高阶常微分方程的微分算子法撰写摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n yD y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --=我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x xe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解3123x xy C C e C e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1(),,()n a x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++L()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-=解 写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解23123x x xy C e C e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++=解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0D D D D y -+-+=或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
微分方程的算子算法【精选】
(1) P(D)( f1( x) f2 ( x)) P(D) f1(x) P(D) f2 (x)
(2) [P1(D) p2 (D)] f ( x) P1(D) f ( x) p2 (D) f ( x)
(3) P(D) P1(D)P2 (D),则
P(D) f (x) P1(D)[P2 (D) f (x)] P2 (D)[P1(D) f (x)]
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D)的基本性质及运算法则
(1)
1 (
P(D)
f1( x)
f2 ( x))
1 P(D)
f1( x)
1 P(D)
f2 ( x)
(2) P(D) P1(D)P2 (D),则
1 f ( x) 1 [ 1 f ( x)] 1 [ 1 f ( x)]
, D2
d2 dx 2
,L
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1
P(D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
cos x
cos x P(2 )
(P(2 )
0)
12
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(4)
1 [exv( x)] ex 1 v( x)
P(D)
P( D)
(5) 设fk ( x) b0 b1x L bk xk , P(0) pn 0,则
第四节 微分算子法
3 xy 0，
2
u2 ( x, y, z , t ) 3 xyt B( x, y, z )t 代入方程u tt a u xx , 得到：
2
3
6Bt a 0 Bt
2
2
B( x, y, z ) 0 令 B ( x, y , z ) 0
2
故u ( x, y, z, t ) x 3xy 5 xyz a t 2 6 x 10 xy
2 2 2 2
A( x, y, z ) 0 令 A( x, y, z ) a 2 2 6 x 10 xy
二、波动方程Cauchy问题的解法
utt a 2uxx 0 ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R) 1 shat u ( x, t ) chat ( x) ( x) a
2
2
k 0
2
a t [ x
2 k k
2
k!
3 xy 5 xyz ]
2 2
at 2 2 2 x 3xy 5 xyz x 3xy 5 xyz 0 1!2 x 2 3 xy 2 5 xyz 2 a t 2 6 x 10 xy
at k [ ( x)] 1 at k [ ( x)] 2k 1! 2k ! a k 0 k 0
2k 2 k 1
( x)
t k 1
2k
A2k ( x) ( x)t
u1
t k 1
微分算子法实用整理总结
x
=
1
ex
பைடு நூலகம்
(D -1)(1+1)(12 +1)
=
1 D -1
•
1 2
•
1 2
ex
= 1 1 ex
D-1 4
= 1 ex
4
1 D +1-1
• 1=
1 4
xex
（性质一、二、
五）
例 8、
d2y dx 2
+y=x2-x+2
,
则(D2+1)y= x2-x+2
5
特解
y*=
D
1 2 +1
(x2-x+2)
=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x (性质四)
1
F(D) （xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）
= Q(D)（xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp）
注：Q(D)为商式，按 D 的升幂排列，且 D 的最高次幂为 p 。
(5)性质五（分解因式）:
1 F(D)
f
(x) = 1
F1(D) •F2 (D)
f (x) =
e d 2 y
例 9、 dx2 +2
dy dx
+2y=x2
-x
,则(D2+2D+2)y=x2e-x
特解
y*=
(D
1 +1)2
+1
x2e-x=e-x
(D
1 -1+1)2
+1
x2
微分算子法中D的运算
微分算子法中D 的运算D ：微分的意思，如Dx 2=2x , D 3x 2=0D 1：积分的意思，如D 1x=2x 2**＊*＊＊**＊＊*＊*＊*＊＊＊*＊*＊＊＊＊*＊**＊*＊＊＊**＊＊*＊＊******＊＊***＊＊*＊＊***＊*＊*＊*＊＊＊*＊＊＊******定理1：)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序例： x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+推论:)(1)(F 1k F e e D kx kx = （F(k ）≠0） 例：x e y y 2=+''x e y D 22)1(=+x x x e e e D y 22222*51121)1(1=+=+= ＊＊＊**＊*＊＊*＊＊＊**＊＊＊＊**＊*＊＊＊＊＊＊＊＊*＊***＊*＊*＊*****＊＊＊******＊**＊＊***＊＊＊＊＊＊*＊＊***＊*＊定理2：)(sin sin )(F 22a F ax ax D -⋅=)(cos cos )(F 22a F ax ax D -⋅= 注意使用公式时的前后顺序 推论：)(1sin sin )(F 122a F ax ax D -⋅= (F （—a 2) ≠0) 例：x y y 3cos 24=+）（x y D 3cos 2)1(4=+ x x x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=⋅⋅=+-⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=遇到sinax,cosax 时，要凑出D 2来。
F(D)里有D 2,即可代换为-a 2,代换后继续算F(D ）。
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算子法解微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。
1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。
设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。
（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。
这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。
给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。
不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。
“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。
高等数学中用微分算子法求常微分方程的特解的问题
高等数学中用微分算子法求常微分方程的特解的问题微分算子法是解决常微分方程特解的一种重要方法，近年来在数学科学领域内凭借其特有的优势，被越来越多地用于各类理论研究和实践应用。
首先，《高等数学》中微分算子法用于求解常微分方程的特解，比如作为幂微分方程的特解的计算，依靠它来进行方程的解算可以极大简化计算过程，可以提高处理效率。
其具体的基本步骤如下：
1. 将拟合函数的特解的基本思想转换为形如导数的数学模型；
2. 将该模型转换为微分方程，在此步骤中，可以采用不同的算子，例如偏微分算子h和k，将存在微分方程中的求解变量独立化；
3. 通过微积分的定义公式，结合已知参数及边界条件，将求解变量的表达式转化为实际的函数表达式，从而得到常微分方程特解。
微分算子法有很多特点，例如它有着高精度的数值解计算，反应灵敏，运算简单。
在该方法中，所需要解决的参数数目少，微分计算量小，求解效率高，容易于理解，易于运用，可以抽象出满足不同条件的不同微分算子，使用多元或多变量分析技术，从而改变方程维度，帮助数学研究者解决复杂的问题。
总而言之，微分算子法是一种求解常微分方程特解的有效方法，其在常微分方程的解决中扮演着重要角色。
因此，在解决复杂的常微分方程特解问题时，可以采用微分算子的计算方法，以降低运算复杂度，提高求解效率，增加研究的可视性，从而得到准确、有效的解。
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高阶常微分方程的微分算子法撰写摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n yD y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --=我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x xe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解3123x xy C C e C e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-=解 写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解23123x x xy C e C e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++=解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1s i n ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
6.求解下列方程(1)(4)24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+=解 (1)12x xy C e C e -=+34(cos 2sin 2)xe C x C x -++(2)12(cossin )22xx x y e C C =+ 7.求解下列cauchy 问题(1)330;y y y y ''''''-+-=(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+====解 (1) (1)xy e x =+(2) xy x e -=+8.求解非齐次方程21(0)y y y x x x'''++=≠ 解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程20y y y x'''++=的两个线性无关的特解。
现设用观察法得到两个特解 12sin cos ,x xy y x x== 令12sin cos ()()()x xy x C x C x x x=+ 考虑方程组1212sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x xx x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩最后解得1()sin C x x =，2()cos C x x = 故原方程的通解为 12sin cos 1()x x y x C C x x x=++ 注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。
因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。
这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法9.求解256y y y x '''++= 解 写成 2(2)(3)D D y x ++=故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为23112()x xy x C e C e --=+今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*()y x 满足*2(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*()y x*21()(2)(3)y x x D D =++222222222222222222222211()23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111(()())224111(()())33911122()()223391561x D D x x D D x x D DD D x D D x D D x D D xx x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=- ３９ ３９ 198108x +通解为*123212()()()1519618108xxy x y x y x C eC ex x --=+=++-+ 注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算D 同时当作数与运算来处理，上法中1(2)(3)D D ++视为(2)(3)D D ++的逆运算，经分层部分分式后，又将D 作为数，将11D+展开或读作除数，最后，又将2,,D D 恢复其运算功能。
至此，积分微分方程问题已变为求导问题。
上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。
10.给定一个微分算子111n n n n n L D a D a D a --=++++(,1,2,,i a i n =为常数则对任一有n 次导数的函数()g x ，得到唯一的函数()f x(())()n L g x f x = 今定义逆运算1(())()nf xg x L = g 恰为微分方程(())()n L g x f x =的一个特解。
证明下列事实：(1)给定f 后，g 不唯一(2)对任一常数,a b 及连续函数(),()h x g x ，有下式成立111(()())(())(())n n nah x bg x a h x b g x L L L +=+ (3)设有另一微分算子11mm m LD a D-=++m a +，则1111(())(())m m n ng x g x L L L L = (4)有下式成立1111(())(())()()kn k g x g x L D D ρρλλ=-- 证明 (1)设1()g x 是方程()0n L y =的特解，则有 1(()())(())()n n L g x g x L g x f x +== 故11(())()()nf xg x g x L =+ (2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出+()kx kx f x e =()kx kxe f x e =为偶次多项式，F 1sin kx )())(1()n n kxD D e F k ρρ---= )()kxe g x ρ ()ρ)2)()D k -还有另一性质，我们述而不论：1))n m m a D b b -++++++++0=时，此时宜用12.求下面方程的特解2226x d yy e dx-= 解 2222211()(6)62121x x x y x e e e D ===-- 13.求方程2442xy y y e '''-+=的一个特解解 221()244x y x e D D =-+ 22222212(2)121(22)121xx x e D e D e D=-=+-= 设211()g x D=，则2()1D g x =，即可知 21()2g x x =故最后可得 22()xy x x e = 也可以直接安照文登考研书的解法即222222221()24412(2)122xxx x y x eD D e D x e x e=-+=-== 14.解xy y e ''-=解 2111()1(1)(1)x x y x e e D D D ==--+ 1111112122x x x e e xe D D ===-得通解为 121()2xx x y x xe C e C e -=++ 15.求下面方程特解2552y y x x '''-=-+解 221()(52)5y x x x D D =-+- 2222222311(52)5111()(52)51511()[1()](52)555111()[52(102)551(10)]2511()[5]5113x x D D x x DD D Dx x D x x x D x D x x D =-+-=--+-=-++-+=--++-++-=--== 16.求26535x y y y e x '''-+=-+ 解 显然12()()()y x y x y x =+其中121()(3)65x y x e D D =--+1(3)(1)(5)x e D D ---221()(5)(1)(5)y x x D D =--今有11111()(3)(3)15115x xy x e e D D D =-=-----3131314144x x x e e xe D D ===- 22111()()(5)415y x x D D =-+--222221111()(5)415111(1(1))(5)455256212255x D D D DD D x x x =---=++--+=++ 最后得236212()4255x y x xe x x =+++ 17.求6cos 23sin 2y y x x ''+=+的特解 解 12()()()y x y x y x =+2222116cos 23sin 211116cos 23sin 2(2)1(2)12cos 2sin 2x x D D x x i i x x=+++=+++=-- 18.求下面方程的特解13s i n 2y y y x '''++=- 解21()(13sin 2)1y x x D D =-++22224224221[()1]()11(13)sin 211[1](13)sin 211(13)(1)sin 2(2)(2)1(1)sin 23sin 22cos 2D D D D xD D D D xD D D D xi i D D x x x=--+--+⨯-++=-+-++=--+++=--+=+ 19.求下面方程的特解44c o s 2y y y x '''++=解 2()[(2)]y x D =-+2211cos (2)(2)x D D -++2221(2)cos 2(4)D x D =-- 222cos 1(2)sin 2((2)4)8x D x i =-=- 20.求2sin y y x ''+=的特解解 因2()10i +=，上法无效，今取1sin []2ix ixx e e i -=-(*) 则特解 211()([])1ix ixy x e e D i -=-+ 2222111([])11111[11]()1()111111[11]22111[]2212[]2ix ix ix ix ix ix ix ix ix e e i D D e e i D i D i e e i D i D D i D e x e x i D i D ilm e x D i----=-++=-++-+=-+-=-+-=+ l m z 表示复数zi 虚部，今1112212ixix ex e x D D i i i=++ 111[1]()222211cos sin (cos sin )422ix ix D e x e x i i i i x x x i x x x =-=-=--+故1()cos sin 2y x x x x =--21.求下面方程的特解cos xy y e x x ''-= 解 今有 (1)(1)1c o s ()2xi x i x ex x x e x e +-=+(1)Re()i xxe+=(Re z 表示复数z 的实部)故可写成 (1)21()Re()1i x y x e x D +=- 而(1)(1)22111(1)1i xi x e x e x D D i ++=-++-(1)i xe +=)(1(1)11412(cos sin )[()(2)[]21152]55i xx i x e x e x e x i x x i i i x ++==-+-++=---故1422()[()c o s ()s i n ]525525xx y x e x x x =-+++22.求解方程33(5)x y y y y e x -''''''+++=-解 3311()(5)(5)(1)x x y x e x e x D D --=-=-+ 设31()(5)g x x D=-，则3()5D g x x =-故知435()246x g x x =- 最后得通解32123()(20)24xxxxx y x C e C xe C x e e x ----=+++- 注 这一批例题充分反映出算子方法的特点，简捷，灵巧，清楚。