微分方程的算子算法
微分方程的算子算法【精选】
(1) P(D)( f1( x) f2 ( x)) P(D) f1(x) P(D) f2 (x)
(2) [P1(D) p2 (D)] f ( x) P1(D) f ( x) p2 (D) f ( x)
(3) P(D) P1(D)P2 (D),则
P(D) f (x) P1(D)[P2 (D) f (x)] P2 (D)[P1(D) f (x)]
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D)的基本性质及运算法则
(1)
1 (
P(D)
f1( x)
f2 ( x))
1 P(D)
f1( x)
1 P(D)
f2 ( x)
(2) P(D) P1(D)P2 (D),则
1 f ( x) 1 [ 1 f ( x)] 1 [ 1 f ( x)]
, D2
d2 dx 2
,L
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1
P(D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
cos x
cos x P(2 )
(P(2 )
0)
12
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(4)
1 [exv( x)] ex 1 v( x)
P(D)
P( D)
(5) 设fk ( x) b0 b1x L bk xk , P(0) pn 0,则
微分算子法例题
微分算子法例题
微分算子法是微积分中的一种常用方法，用于求解微分方程和函数的导数。
以下是一个微分算子法的例题：
例题：使用微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0。
解答：
首先，我们定义微分算子 D 为导数运算，即 D(y) = y'，D^2(y) = y''。
将微分方程 y'' - y = 0 重写为 D^2(y) - y = 0。
现在我们假设 y 的形式为 y = e^(rx)，其中 r 是待定系数。
对 y 进行两次导数得到：
D^2(y) = D^2(e^(rx)) = r^2e^(rx)。
将 D^2(y) 和 y 代入初始微分方程，得到：
r^2e^(rx) - e^(rx) = 0。
将 e^(rx) 提取出来，得到：
e^(rx) * (r^2 - 1) = 0。
根据零乘法则，得到两个解：
e^(rx) = 0 或者 r^2 - 1 = 0。
可以发现，e^(rx) = 0 没有实数解，所以我们只关注第二个解：
r^2 - 1 = 0。
解这个二次方程，得到两个解：
r = 1 或者 r = -1。
根据假设的 y 的形式，我们可以得到两个特解：
y1 = e^x，y2 = e^(-x)。
由于微分方程是线性的，所以通解可以通过特解的线性组合得到：
y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，
其中 C1 和 C2 是任意常数。
这就是微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0 的过程和结果。
微分算子法求二阶常系数微分方程的特解ppt
y
e3x
D
32
x1
6 D
3
9
y
e3x
x1 D2
1 x2 x y e3x 2
D
y
e3x
1 6
x3
1 2
x2
例题6 求微分方程 y 4y xcos x的一个特解.
解：D2 4
y
x cos
x
y
xcos x D2 4
y
Re
xeix
D2
4
y
Re
eix
2i去换D分母为0 y ex x sin 2x 2D
y
e
x
x
1 2
1 2
cos
2
x
y 1 xex cos 2x 4
y 1 xex cos 2x 4
例题5 求微分方程 y 6y 9y x 1 e3x 的一个特解.
解：D2 6D 9
y
x
1 e3x
y
x 1 e3x
2x
1 x 11 28
例题3 求微分方程 y 4y sin2x 的一个特解.
解：D2 4
y
sin 2 x
y
sin 2 x D2 4
i2i去换D
y
sin 2 x D2 4
分母为0
y x sin2x 2D
y x 1 sin2x 2D
sin2x积分 y
x
1 2
1 2
cos
4
ex sin
F D
x
位移定理
ex
sin x
FD
D 去换 D
5
ex pn x F D
位移定理
ex
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法
微分算子法，也称为Heaviside除法，是一种用微分算子来实
现多项式除法的方法。
它基于这样的观察：两个多项式相除的结果可以表示为一个常数乘以指数函数的线性组合。
具体步骤如下：
1. 将被除式和除式表示为微分算子的形式。
例如，对于被除式p(x)和除式q(x)，将它们表示为P(D)和Q(D)，其中D是微分
算子。
2. 将除式Q(D)的次数提取出来。
将Q(D)表示为Q(D) = D^m + a_(m-1)D^(m-1) + ... + a_1D + a_0，并求出m的值。
3. 计算常数乘以指数函数的线性组合。
根据多项式除法的原理，p(x)/q(x)可以表示为：
p(x)/q(x) = C_0 + C_1e^x + C_2e^(2x) + ... + C_me^(mx)
其中，C_0, C_1, ..., C_m是待求的常数。
4. 求解线性组合中的常数。
将p(x)/q(x)代入原方程，并依次对
x求导m次，得到一系列的待定方程。
利用这些方程，可以求解出C_0, C_1, ..., C_m的值。
5. 得到多项式除法的结果。
将求解出的C_0, C_1, ..., C_m带入线性组合中，即可得到p(x)/q(x)的表达式。
需要注意的是，微分算子法多项式除法适用于特定情况，即解决形如常系数线性常微分方程的问题。
在应用这种方法时，要保证被除式和除式都具有相同的形式，即都可以表示为微分算子的形式。
张宇讲的微分算子法
张宇讲的微分算子法一、引言微分算子法（Operator method）是高等数学中的一种常用求解微分方程的方法。
它由中国著名数学家张宇在其讲授的高等数学课程中提出并详细讲解。
本文将对张宇讲的微分算子法进行全面详细、完整且深入的介绍和解析。
二、微分算子法概述微分算子法是一种将微分方程转化为代数方程求解的方法。
通过引入一个特殊的算子，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。
三、微分算子在微分算子法中，我们首先需要引入一个特殊的算子——微分算子（Differential Operator）。
对于一个函数f(x)，其对应的微分算子为D，表示为D[f(x)]。
常见的微分算子包括一阶导数算子D、二阶导数算子D²等。
对于一阶导数算子D，其定义为：D[f(x)] = f'(x)其中f’(x)表示f(x)对x的一阶导数。
四、微分方程与代数方程转换通过引入微分算子，我们可以将一个n阶线性常系数齐次微分方程转化为一个n次代数方程。
具体的转换方法如下：1.将微分方程中的函数用微分算子表示，例如对于f(x)，用D表示。
2.将微分方程中的导数用微分算子表示，例如对于f’(x)，用D[f(x)]表示。
3.将微分方程中的常数项移至等号右侧。
4.应用微分算子的性质和运算规则，将微分方程转化为代数方程。
5.求解代数方程，得到原微分方程的解。
五、示例下面通过一个具体的例子来演示如何使用微分算子法求解微分方程。
例题：求解二阶线性常系数齐次微分方程：y'' - 3y' + 2y = 0解答：1.首先引入微分算子D，将函数y(x)表示为D[y]。
2.将导数用微分算子表示，将常数项移至等号右侧，得到：(D² - 3D + 2)y = 03.将方程中的D²、D和常数项2应用到函数y上，得到：(D² - 3D + 2)[y] = 04.根据代数方程的性质和运算规则，我们可以将上述代数方程拆分为两个代数方程：(D - 1)(D - 2)[y] = 05.求解上述代数方程，得到两个根：D = 1和D = 2。
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。
前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。
多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。
因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+， 则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。
微分方程的算子算法
微分方程的算子算法算子算法的基本思想是将微分方程中的微分算子用一种离散化的方式表示出来，然后将微分方程转化为一个线性代数方程组，通过求解方程组得到微分方程的近似解。
下面将详细介绍算子算法的具体步骤和关键技术。
1.离散化：首先将微分方程中的连续变量离散化，将其表示为一组有限个离散点的集合。
通常采用等间距离散方法，即将求解区间分为若干个等距的小区间，然后在每个区间内选择一个离散点作为离散点。
2.近似：通过逼近方法将微分算子离散化。
主要有两种常用的逼近方法：有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将微分算子用差分算子代替，即用离散点的函数值来逼近函数在该点处的导数。
有限元方法是将微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过在每个小区间内选择一个基函数，然后通过调节基函数的系数，使得近似解在离散点处的值与微分方程的解尽可能接近。
3.矩阵表示：将离散化后的微分方程转化为一个线性代数方程组。
通过将微分方程中的导数替换为近似值，得到一个线性代数方程组，其中未知数为离散点的函数值，系数矩阵和常数向量由离散化和逼近所确定。
4. 求解：通过求解线性代数方程组得到微分方程的近似解。
通常采用数值线性代数方法求解，如Gauss消元法、LU分解法、迭代法等。
求解得到的是离散点的函数值，可以通过插值方法将离散点的函数值插值到整个求解区间，得到微分方程的近似解。
算子算法的优点是可以适用于各种类型的微分方程，可以求解高阶的微分方程，并且有较好的数值稳定性和收敛性。
但是算子算法也存在一些问题，如离散化带来的误差问题、边界条件的处理问题等，需要根据具体问题进行合理的选取和处理。
总之，算子算法是一种重要的求解微分方程的数值计算方法。
通过将微分方程离散化和逼近，转化为一个线性代数方程组，然后通过求解方程组得到微分方程的近似解。
算子算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用前景。
五阶线性微分方程的算子解法
ｒ ｄ ｃ ｅ ｒ ｅ ｉ ｏ ｔｉ ｅ ｙｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｔ ａ ｅ ｄ ｆ ｒｎ ｉｌｅ ｕ ｔ ｎ ｓ ｒ ｎ ｌｔ ｄ ｉｔ ｌ ｅ ｅ ｕ ｅ ｄ ｇ ｅ ｓ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｔ ｏ ｈ ｔ ｈ ｉ ｅ ｅ ｔ ｑ ａｉ ｓｉ ｔａ ｓａｅ ｎ ｏａｇ — ｈ ｔ ａ ｏ
可 降 阶 的 充要 条 件 ， 给 出 了求 解对 应 方 程 通 解 的 方法 ． 并 关键 词 ： 系数 ； 变 线性 微 分 方 程 ； 子 解 法 ； 征 方 程 算 特
中 图分 类 号 ： １５ １ ０ ７ ． 文献标识码： Ａ 文 章编 号 ：６２— ９６ ２ １ ）６— ７０— ３ １７ ０ ４ （００ ０ ０ １ ０
Ｙ＝ （ ） ） ， ） （ ，（ ≠０
则
， ＝。 ＋ Ｚ ， Ｙ
法 的研究还 没有结果 ． 本文研 究了五阶 变 系数 线性 微 分方 程 的算子解法 及其在方 程求解 中 的应 用 ， 得 到 了五阶线 性微分方 程可降 阶 的充要 条件 ， 到 了 得
它在 不 同条 件下 的降 阶方程 ， 并给 出了求解对 应方
Ｖ１６ 。 ｏ２ ． ． Ｎ６
Ｄ ｃ２ １ ｅ．０ ０
五 阶线性 微分 方程 的算 子解 法
孙 法 国 ， 丽 娜 任
（ 安 工程大 学 理 学 院 ， 安 ７ ０４ ） 西 西 １０ ８
摘
要 ： 过 算 子 代 换 引入 了特 征 方 程 的概 念 ， 微 分 方 程 化 为代 数 方 程 ， 到 了五 阶 线 性 微 分 方 程 通 将 得
第２卷 第６ ６ 期
２１ ０ ０年 １ ２月
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨａ ｂｎ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｆＣｏ ｏ ｒ ａ ｒ ｉ ｉｅ ｓ ｙｏ ｍｍ ｅ ｃ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓＥｄｔ ｎ） ｏ ｔ ｒ ｅ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅ ｉ ｏ Ｓ ｉ
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10．算子
(4) 1 P (D ) [e
x
P (D )
的运算公式
x
v ( x )] e
1 P ( D )
k
v(x)
(5)
设 f k ( x ) b 0 b1 x L b k x , P ( 0 ) p n 0 , 则 1 P (D ) f k ( x ) Q k ( D ) f k ( x ), 其 中 Q k ( D )是 P ( D )
常系数线性微分方程的算子解法
5．n阶导数的基本性质、运算法则及求导公式
(1) D [ f 1 ( x ) f 2 ( x ) ] D
n n
f1 ( x ) D
n
f2( x)
(2)
D
n
f (x) D
nk
[D
k
f ( x )]
n
(3)
D [ u ( x )v ( x )]
(2)
P ( D ) P1 ( D ) P 2 ( D ), 则 1 P (D ) f (x) 1 [ 1 f ( x )] 1 [ 1 f ( x )]
P1 ( D ) P 2 ( D )
P 2 ( D ) P1 ( D )
11
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子
(1) 1 P (D ) e
x 16 s in 2 x )
18
2
e [(
x
x 8
2
s in 2 x
x
cos 2 x ) i(
cos 2 x
x 16
s in 2 x ) ]
y1 * e (
x 8
2
cos 2 x
例1 求 (D D ) y x 1的 特 解 。 1 1 1 2 2 y* （ x 1） = [ ( x 1) ] 2 D D 1 D D
2 2
解
1 D 1 D 1 3
[ (1 D D ) ( x
2 2
2
1) ]
(x
3
2 x 3)
2
x
x
y
dx
dx
2
n 1
(2)
n 1
D
,D
,L , D
n 1
n
DD
d
n n
dx
n
dx
L p n 1 D p n
P (D ) D
p1 D
方程的算子表示
P (D) y f (x) P (D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法 2．解的结构 线性算子
P ( D ) ( y 1 y 2 ) P ( D ) y 1 P ( D ) y 2
*
4
常系数线性微分方程的算子解法 3．类比对象的确定 特殊情况
y f ( x ), 其 通 解 y
f ( x )dx C , y* Nhomakorabea1 P (D )
f ( x )d x
类似于原函数的概念，定义算子：
1 P (D ) 若 函 数 F ( x ) 使 得 P ( D ) F ( x ) f ( x )， 则
n
n x
e
x
(2) (3 )
(4)
D s in x s in ( x D
n
n 2 n
), ),
D
2m
s in x ( 1)
m
s in x
m
cos x cos( x
D
2m
c o s x ( 1)
cos x
D x
n
2 n ( 1) L ( n 1) x
f ( x ) 表 示 这 样 函 数 ： 用 P ( D ) 作 用 它 的 结 果 是 f ( x )， 即 1 P (D )
n
f (x) F (x)
1 D
f (x)
f ( x )d x ,
1 D
f (x)
L
1
f ( x )( d x )
f ( x )类 比
n
将 D 与 P ( D )类 比 ， 将
2 2
P ( D )[ e
x
v ( x )] e
x
P ( D )v ( x )
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D ) 的基本性质及运算法则
(1) 1 P (D) ( f 1 ( x ) f 2 ( x )) 1 P (D ) f1 ( x ) 1 P (D ) f2( x)
x
P (D )
的运算公式
e
x
P ( )
( P ( ) 0 )
(2)
1 P (D )
2
s in x
s in x P ( )
2
( P ( ) 0)
2
(3 )
1 P (D )
2
cos x
cos x P ( )
2
( P ( ) 0)
2
12
常系数线性微分方程的算子解法
3x
15
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题 类型2 解法
f (x) e
x
fk ( x)
y*
2
1 P (D )
[e
x
f k ( x )] e
x
x
1 P ( D )
fk ( x)
例 2 求 (D
2 D 1) y x e 的 特 解 。
解
y* (D
1
类比法 常系数线性微分方程的算子解法
常系数线性微分方程的算子解法
1．n阶常系数线性微分方程
非齐次方程
d
n n
y
n
dx
p1 p1 d dx
d
n 1
y
dx d
n 1
L pn y f ( x ) L pn y 0 d
2 2
(1)
齐次方程
微分算子
d
y
n
n 1
(b )
当 P ( 0 ) 0时 , y* 1 P (D )
设 P ( D ) D P ( D ), 其 中 P ( 0 ) 0 , 则 1 D
r
fk ( x)
[
1 P (D)
f k ( x )]
1 D
r
[ Q k ( D ) f k ( x )]
14
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题
y 定理1 方程（1）的通解为：
y(x) y * (x)
，其中y ( x )
是（2）的通解，y * ( x )是（1）的特解。 定理2
设 y j ( x ) 是 P ( D ) y f j ( x )的 特 解 , j 1, 2 , L , m , 则
*
m m
y *(x)
j
y j * ( x )是 P ( D ) y
k
k 0
p n k [ C k ( D u ( x ))( D
m m m 0
k m
v ( x ))]
P ( D x ) f ( a x b ) [ P ( a D u ) f ( u )]u ax b
8
常系数线性微分方程的算子解法
7．n阶导数的求导公式
(1) D e
f ( x )d x与
P (D )
5
常系数线性微分方程的算子解法 4．思维方法 导数 的性 质及 求导 法则
P (D)
求 导 公 式 运 算 公 式
原函 数的 性质 及积 分法
1 P (D )
积 分 公 式 运 算 公 式
计 算 原 函 数
计 算 特 解
6
的性 质及 运算 法则
的性 质及 运算 法则
j
f j ( x )的 特 解 。
定理3
y 1 ( x ) iy 2 ( x ) 是 P ( D ) y f 1 ( x ) if 2 ( x )的 特 解 的 充 分 必 要
* *
条 件 是 ： y j ( x ) 是 P ( D ) y f j ( x )的 特 解 , j 1, 2 .
y* (D
1
2
2 D 5)
e
(1 2 i ) x
x
17
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题
e
(1 2 i ) x 2
1 (D 1 2i) 2( D 1 2i) 5
x
e
(1 2 i ) x
(
x 8
2
i
x 16 x 16
) x 8
n
m 0
Cn [D
n
m
m
u ( x )][ D
nm
v ( x )]
u ax b
(4)
D x f (ax b )
n
a [ D u f ( u )] u a x b
7
n
常系数线性微分方程的算子解法
6．算子 P ( D ) 的基本性质及运算法则
(1) (2) P ( D ) ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ) P ( D ) f 1 ( x ) P ( D ) f 2 ( x ) [ P1 ( D ) p 2 ( D )] f ( x ) P1 ( D ) f ( x ) p 2 ( D ) f ( x )