微分算子法
微分算子法中d的运算[整理版]
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微分算子法中D 的运算D ：微分的意思，如Dx 2=2x ， D 3x 2=0D 1:积分的意思，如D 1x=2x 2*******************************************************************************定理1：)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序例： x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+推论：)(1)(F 1k F e e D kxkx = （F(k)≠0）例：xe y y 2=+''x e y D 22)1(=+ x xx e e e D y 22222*51121)1(1=+=+=******************************************************************************定理2：)(sin sin )(F 22a F ax ax D -⋅=)(c o s c o s )(F 22a F ax ax D -⋅= 注意使用公式时的前后顺序推论：)(1sin sin )(F 122a F ax ax D -⋅= （F(-a 2) ≠0）例：xy y 3cos 24=+）（x y D 3c o s 2)1(4=+xx x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=⋅⋅=+-⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=遇到sinax,cosax 时，要凑出D 2来。
F(D)里有D 2，即可代换为-a 2，代换后继续算F(D)。
*******************************************************************************定理3： )()()()(F x v k D F e x v e D kxkx += 注意使用公式时的前后顺序推论：)()(1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx +=例：xe x y y 22y 44⋅=+'-''x e x y D D 222)44(⋅=+- 42222222222*1211)2)2((1)2(1x e x D e x D e x e D y x x x x ⋅=⋅⋅=⋅-+=⋅-=例：x e y y y =-'+''-'''y 33x e y D =-3)1( xe D y 3*)1(1-=此时不能用定理1，故3333*61111)1)1((1x e D e D e D e y x x x x⋅⋅=⋅=⋅=-+= ******************************************************************************例： xy y e 4=-）（x e D e D e eD e D e D D e D D D e D y x x x x x x x x ⋅==-+⋅=-⋅=+⋅⋅⋅-=⋅⋅+⋅-=⋅+⋅-⋅+=⋅-=411411114111411112111211111111111)1(12224*例：22+-=+''x x y y2)1(22+-=+x x y D )2()1(122*+-+=x x D y 用长除法：按幂次增加排列，至得出的D 的最高幂次与x 的最高幂次相同。
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法是一种特殊的数值解法，用于求解高阶常系数非齐次线性微分方程。
它利用算子方法（operator method）来求解这类方程，即将微分方程转化为
一个算子方程，然后再使用数值方法求解算子方程。
首先，将高阶常系数非齐次线性微分方程转化为算子方程，即：
$\mathcal{L}y=f$
其中，$\mathcal{L}$是一个算子，$y$是待求解的函数，$f$是
方程的右端项。
接下来，使用数值方法求解算子方程。
常用的方法有有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）等。
有限差分法是将算子方程转化为一组线性方程组，然后使用数值解法（如Gauss-Seidel法）求解。
有限元法是将空间上的算子方程转化为一组有限元方程，然后使用数值解法（如Galerkin法）求解。
最后，根据求解的结果，得到算子方程的解，即高阶常系数非齐次线性微分方程的解。
微分算子——精选推荐
一、概念精髓1、概念精髓：积分变微分对大多数人来说，积分难于上青天，微分三下五除二。
微分算子法正是将积分的难转化为微分的易。
这也正是引入微分算子法的最大最好的理由依据2、概念正误分辨说明D是微分，1/D 是积分。
在其前的都是因式，其后的都是待微分或积分的分辨x(1/D)e x=(1/D)xe x=e x(1/D)x ? 错，因为顺序不一样，待积分的项也不一样，分别为e x，xe x，xsinxD(e x) =e x D(sinx) ? 错，因为待微分的项分别为e x,sinx总之，在有微分算子的式子中不要以为就像普通的因式相乘一样可以前后交换因式。
但是，它以算子为分界，只分前后两部分，如xe x sinx(1/D)x3cos4x前面的因式中xe x sinx是可交换的相乘，后面的待微积分的x3cos4x也可交换(是因式)。
二、方法单纯项这是基础，要牢记若f(x)含常数系数，直接保留不变。
这适合所有算子公式。
1、f(x)=e kx (纯幂函数)直接代入系数如y”+2y’+3y=4e5x→ y*=(1/D2+2D+3)4e5x=(1/(25+10+3))4e5x=4/38e5x=2/19e5x2、f(x)=v(x)=a0x m+a1x m-1+…a m-1x+a m (纯多项式)用长除法如y”+2y’+3y=4x2+5x+6 → y*=(1/D2+2D+3)4x2+5x+6长除法就是仅对1/(D2+2D+3)的除法用小学的除法计算式来算。
限于文本方式无法直观示出。
本例中先以1除以3得商1/3，要减的乘积为1+2/3D+1/3D2，余数为-2/3D-1/3D2。
再除以3得商-2/9D，要减的乘积为-2/3D-4/9D2-2/9D3，余数为1/9D2。
此时3次方项不必再写出，因为此多项式的最高次为2。
再除以3得商1/27D2，至此计算结束，即1/(D2+2D+3)= 1/3-2/9D+1/27D2。
∴y*=(1/3-2/9D+1/27D2)4x2+5x+6 (上面是积分，现已变为微分)=(4/3x2+5/3x+6/3)+(-2/9*8x-2/9*5)+(1/27*8)=4/3x2-1/9x+32/27这算是一个较复杂的例子，但若用待定系数法应该会更复杂。
陈文登考研高数中的微分算子法的推导
陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导撰写1.定义 引进记号因此，n 阶常系数线性非齐次方程令111()n n n n F D D a D a D a --=++++，则： 方程 *1()()()()F D y f x y f x F D ⇒=⇒= 注意：D 表示求导，1D 表示积分，如2111,cos sin 2x x x x D D==，不用带常数。
2.1()F D 性质 性质1 11,()0()()kx kx e e F k F D F k =≠，若k 为()F k 的m 重根，则： 性质22211sin sin ()()ax ax F D F a =- 若2()0F a -=，不妨设2()a -为2()0F a -=的m 重根，则性质3 11()()()()kx kx e f x e f x F D F D k =+ 性质41111111()()()()p p p p p p p p x b x b x b Q D x b x b x b F D ----++++=++++ 其中()Q x 为1除以()F D ，按升幂排列1()n n n a a D D -+++所得商式，其最高次数为p 。
3.推导：关于性质1、2、3的推导详看我在豆丁上传的微分算子法下面主要看性质4性质4 我们用例题来说明它到底是什么意思例 求26535x y y y e x '''-+=-+解 显然12()()()y x y x y x =+其中1211()(3)(3)65(1)(5)x x y x e e D D D D =-=--+-- 今有 1111131313()(3)(3)1151154144x x x x x y x e e e e xe D D D D D =-=-===----- 最后得 注：2()y x 用上面蓝色的解法当然是很好的一种方法。
但有更一般的解法，即是性质4 令 2201221()(5)65g x x a x a x a D D ==++-+(注意x 的最高次幂要相同) 则 2222012(65)(())(65)()5D D g x D D a x a x a x -+=-+++= 根据同幂系数相等的原则有方程组010210151205620a a a a a a =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩解得： 1011251205a a a -=⇒= 即：2222012211262()()(5)65525y x g x x a x a x a x x D D ===++=++-+ 以后所有高次的多项式都可以应用此法进行求解了。
算子法解微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。
1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。
设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。
（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。
这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。
给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。
不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。
“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。
前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。
多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。
因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+， 则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。
高等数学中用微分算子法求常微分方程的特解的问题
高等数学中用微分算子法求常微分方程的特解的问题微分算子法是解决常微分方程特解的一种重要方法，近年来在数学科学领域内凭借其特有的优势，被越来越多地用于各类理论研究和实践应用。
首先，《高等数学》中微分算子法用于求解常微分方程的特解，比如作为幂微分方程的特解的计算，依靠它来进行方程的解算可以极大简化计算过程，可以提高处理效率。
其具体的基本步骤如下：
1. 将拟合函数的特解的基本思想转换为形如导数的数学模型；
2. 将该模型转换为微分方程，在此步骤中，可以采用不同的算子，例如偏微分算子h和k，将存在微分方程中的求解变量独立化；
3. 通过微积分的定义公式，结合已知参数及边界条件，将求解变量的表达式转化为实际的函数表达式，从而得到常微分方程特解。
微分算子法有很多特点，例如它有着高精度的数值解计算，反应灵敏，运算简单。
在该方法中，所需要解决的参数数目少，微分计算量小，求解效率高，容易于理解，易于运用，可以抽象出满足不同条件的不同微分算子，使用多元或多变量分析技术，从而改变方程维度，帮助数学研究者解决复杂的问题。
总而言之，微分算子法是一种求解常微分方程特解的有效方法，其在常微分方程的解决中扮演着重要角色。
因此，在解决复杂的常微分方程特解问题时，可以采用微分算子的计算方法，以降低运算复杂度，提高求解效率，增加研究的可视性，从而得到准确、有效的解。
微分算子法求微分方程的特解2022
二阶常系数微分方程的微分算子法求特解二阶常系数非齐次微分方程求特解，在一般的本科教材中均采用设特解再用待定系数法求出待定的系数，计算量往往偏大，考生若掌握了微分算子法，则可以起到事半功倍的效果。
具体做法如下：引入微分算子222222d d d d d d ,,,,,,d d d d d d ====== nn n n n n y y y D Dy D D y D D y x x x x x x因此，n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()−−′++++= n n n n y a y a y a y f x()111()−−⇒++++= n n n n D a D a D a y f x令111()n n n n F D D a D a D a −−=++…++称为算子多项式，则 方程*1()()()()⇒=⇒=F D y f x y f x F D【评注】D 表示求导，1D 表示积分.如()21111,cos 2sin 222==x x x x D D ，不要常数.类型1 ()=e kx f x1.若()0F k ≠，则()()11e e ∗==kx kx y F D F k , 2.若()=0F k ，k 为()0F k =的m 重根，则 ()()()()11e e ∗==m kx m kx m m y x x F D F k ,【例1】求223e x y y y ′′′+−=的一个特解【解析】()2222221111e e e e 2322235x x x x y F D D D ∗====+−+×−【例2】求323e x y y y −′′′+−=的一个特解【解析】由与()3=0F −，3−为()0F k =的单根， ()()()3333311111e e e e e 222324∗−−−−−=====−′+×−+x x x x x y x x x x F D F D D ,【例3】求2+e xy y y ′′′−=的一个特解【解析】由于()1=0F ，1为()0F k =的二重根， ()()2221111e e =e e 22∗===′′x x x x y x x x F D F D .类型2 ()=cos f x ax 或()=sin f x ax1.若2()0F a −≠，则()()2211sin sin y ax ax F D F a ∗==− 或()()2211cos cos y ax ax F D F a ∗==−2.若2()=0F a −，则()()2211sin sin y ax x ax F D F D ∗==′ 或()()2211cos cos ∗==′y ax x ax F D F D【评注】()()212211111sin sin cos n n n ax ax ax D D a a a + ==− −− ()()212211111cos cos sin n n n ax ax ax D D a a a +==−− 由此()()11sin cos ax ax F D F D ，可求，例如 221111sin sin sin 2112121x x x D D D D ==+−−+−− ()()21111sin =1sin cos sin 2144D x D x x x D +=−+=−+−【例4】求+4+5sin 2y y y x ′′′=的一个特解【解析】()22111sin 2sin 2sin 245245y x x x F D D D D ∗===++−++ ()21411sin 2sin 28cos 2sin 24116165D x x x x D D −===−−+−【例5】求+4cos 2y y x ′′=的一个特解【解析】()220F −=()21111cos 2cos 2cos 2sin 24222x y x x x x x F D D D ∗====+类型三 ()()=m f x P x 即自由项为x 的m 次多项式 ()()()()1m m y P x Q D P x F D ∗==，其中()Q D 为1除以()F D 按升幂()1n n n aa D D −+++ （即从低次往高次排列）所得商式，其最高次为m 次，超过m 次的求导后全为零，故略去.【例6】求232231y y y x x ′′′−+=−+的一个特解【解析】()()21231y x x F D ∗=−+()22137231248D D x x =++−+ ()()2137231+434248x x x −+−+×23724x x =++ ()()()2221123123132∗=−+=−+−+y x x x x F D D D ()2211231312122−+ −− x x D D()222231311123122222 =+−+−+−+D D D D x x ()222319112312242=+−++−+ D D D x x ()223711231242=+++−+ D D x x ，下同【例7】求233y y x ′′′−=−的一个特解【解析】1）()()()()22113=33y x x F D D D ∗=−−− ()222111111225=3=39273927D D x x x D D −−−−−+−321125=+9927x x x −−2）()()()()()222111113=33333∗ =−−=−− −− y x x x F D D D D D ()()()22223111111133133939393313=−−−−=−++−−−−D D x x x x x D D 2332122111251253393933927981 =−−++−−=−+−+x x x x x x x【评注】数字1除以23D D −是没法直接除的，因为分母没有最低次常数项.类型四 ()()=e kx f x u x ,其中()u x 为x 的多项式或()sin cos ax ax 【移位定理】()()()()11e =e kx kx v x v x F D F D k +【例8】求+32e sin 2x y y y x −′′′−=的一个特解【解析】()()()211e sin 2=e sin 21312x x y x x F D D D ∗−−=−+−− 2211+8=e sin 2e sin 2e sin 24864x x x D x x x D D D D −−−==+−−−()()11e 2cos 28sin 2e cos 24sin 26834x x x x x x −− =−+=−+【例9】求+3+2ex y y y x −′′′=的一个特解【解析】()()()211e =e 1+312∗−−=−−+x x y x x F D D D ()21111=e e e 11−−−==−++xx x x x D x D D D D D ()211e 1e 2−− −=− xx x x x D类型五 ()()=sin m f x P x ax 或()cos m P x ax【评注】此种情况考试考到的概率几乎为零. （可以不看）. 为不加重考生负担，仅讨论()=m P x x ，且()20F a −≠否则，要用到欧拉公式，且计算量不比待定系数法简单！ 记()()sin cos u x ax ax =，则()()()()()()11F D x u x x u x F D F D F D ′⋅=−【例10】求+cos 2y y x x ′′=的一个特解【解析】()211cos 2cos 21y x x x x F D D ∗==+2222112cos 2cos 21131D D x x x xD D D=−=−− +++1214cos 2+cos 2cos 2sin 233339Dx x x x x x=−⋅=−+−。
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高阶常微分方程的微分算子法
摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999
高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐
次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()
n n y
D y =，将方程写成
32230D y D y Dy --=
或3
2
(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程
32230D D D --=
得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x
x
e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x
x
y C C e
C e -=++
注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是
1111()()()()()
n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1(),,()n a x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成
1
1()(()())n n n L y D a x D
a x y -≡+++L
()f x =
可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-=
解 写成 32
(6116)0D D D y -+-=
从特征方程
3
2
06116D D D =-+-
(1)(2)(3)D D D =---
解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解
23123x x x
y C e C e C e =++
3.求解 39130y y y y ''''''-++=
解 写成 32
(3913)0D D D y -++= 或 2
(1)(413)0D D D y +-+=
特征方程 2
(1)(413)0D D D +-+=有根
1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x
e x ，
2sin 3x e x 从而通解是
22123cos3sin 3x x x
y C e C e x C e x -=++
4.求(4)
45440y
y y y y ''''''-+-+=之通解.
解 写成
432
(4544)0D D D D y -+-+= 或 22
(2)(1)0D D y -+=
特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是
22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解
21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++
5.求1
(cos )y y x -''+=的通解
解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程
0y y ''+=的通解，写成2
(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+
设原方程有特解形为
*12()cos ()sin y C x x C x x =+
其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组
121
12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )
C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩
或
121
12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )
C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩
(方程组右端为原方程非齐次项1
(cos )x -)，解得
1sin ()cos x
C x x
'=-，2()1C x '=
或 1()ln cos C x x =，2()C x x =
最后得通解为
1*()()()y x y x y x =+
12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x
=+++
注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，
对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
6.求解下列方程
(1)(4)
24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+=
解 (1)12x x
y C e C e -=+
34(cos 2sin 2)x
e C x C x -++
(2)12(cos
sin )22
x
x x y e C C =+ 7.求解下列cauchy 问题
(1)330;y y y y ''''''-+-=
(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===
(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+====
解 (1) (1)x
y e x =+
(2) x
y x e -=+
8.求解非齐次方程
21
(0)y y y x x x
'''+
+=≠ 解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程2
0y y y x
'''+
+=的两个线性无关的特解。
现设用观察法得到两个特解 12sin cos ,x x
y y x x
== 令
12sin cos ()()
()x x
y x C x C x x x
=+ 考虑方程组
121
2sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x x
x x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩
最后解得
1()sin C x x =，2()cos C x x = 故原方程的通解为 1
2sin cos 1
()x x y x C C x x x
=++ 注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的
是线性方程，因此我们就从它开始。
因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于
求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。
这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法
9.求解
2
56y y y x '''++= 解 写成 2
(2)(3)D D y x ++=
故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为
23112()x x
y x C e C e --=+
今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*
()y x 满足
*2
(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*
()y x
*21
()(2)(3)y x x D D =
++
2
22
22222
2
2222
22222222211()23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111
(()())224111(()())
339
11122()()223391561x D D x x D D x x D D
D D x D D x D D x D D x
x x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=-L L ３９ ３９ 198108x +
通解为。