随机微积分中的随机微分方程
金融数学笔记
资产 t 时刻 证券 现金 证券 现金 Yt Xt YT (1+r)
(T-t)
负债 Xt Yt XT Xt (1+r)
(T-t)
权益 0
T 时刻 2.
Yt
(1+r)(T-t)(Xt – Yt)
投资组合的自融资 自融资指无需增加额外资本。对于一个投资组合 Et = ϕtSt + φtBt，两种证券
的份额 ϕt, φt 可随时间调整，但在离散时域自融资意味着 St-1∆ϕt + Bt-1∆φt = 0。 3. 衍生证券的定价 假定资产 St 在 T 时刻的衍生证券 X = f(ST)在 t 时刻的价格为 Vt。 若存在投资 组合 Et 使得 1) Et 是自融资的；2) ET = VT = X，则由套利定价原理 Vt = Et。 Et 可以通过其基础资产 St 和现金 Bt 的投资组合来构造。设 Et = ϕtSt + φtBt， 其中现金 Bt = (1+r)t（取初始单位 B0 = 1）为确定性过程，定义 Bt-1St 和 Bt-1Et 为 贴现过程（均转化为初始时刻现值） 。下面只需确定满足条件的(ϕt, φt)： 1) 取测度 Q，使得贴现过程 Bt-1St 为 Q 测度下的鞅（一般不同于 St 的原始测 度） ； 2) 由 Doob 鞅，取 Bt-1Et = EQ(BT-1X|St)，则 Bt-1Et 也为 Q 测度下的鞅； 3) 由鞅表示定理，存在可料过程 ϕt，使得∆Bt-1Et = ϕt∆Bt-1St； 4) 取 φt = Bt-1Et - ϕtBt-1St； 则(ϕt, φt)一定满足套利定价的两个条件。 证明：1) BT-1ET = EQ(BT-1X|ST) = BT-1X，即 ET = X（终时价值恒等） 。 2) ∆Bt-1Et = ϕt∆Bt-1St， 即∆(ϕt Bt-1St + φt) = ϕt∆Bt-1St。 按公式∆XtYt = Xt∆Yt + Yt∆Xt - ∆Xt∆Yt 展开可得 St-1∆ϕt + Bt-1∆φt = 0 （自融资） 。 由上述策略，可得衍生证券 X 在 t 时刻的无套利价格为 Vt = BtEQ(BT-1X|St)， 在初始时刻有 V0 = EQ(BT-1X|S0)， 这可以理解为 X 的贴现值在 Bt-1St 的鞅测度 （不 是 St 的原始测度）下的期望。如果在 t 时刻有 Vt ≠ Et，则存在套利机会，但注 意投资组合中(ϕt, φt)是需要通过自融资随时间调整的参数。 4. 远期合约 假定基础资产 St 为股票或贴现债券，由上述定价公式：
随机微分方程数值解法.
的数值算法。
N
h (T t0 ) / N ,tn t0 nh,
设 是正整数，
利用随机
Taylor展开式和Itó公式，可以得到：
y(tn1) y(tn) I0 f (y(tn)) I1g(y(tn)) I11L1g(y(tn)) I00L0 f (y(tn)) R, (11) 其中R 是余项，算子 L0和 L1 分别为
随机微分方程数值解法
2013年11月18日
随机微分方程数值解法
1.随机微分方程概述
1.1 布朗运动介绍 1.2 随机积分 1.3 两种形式的随机微分方程
2.随机微分方程数值方法介绍
2.1 随机Taylor展开 2.1 Euler方法 2.2 Milstein方法
3. 数值试验
3.1 精度数值试验 3.2 稳定性数值试验
是可以相互转换的。在标量情形下，对方程（6）令
f (t, y(t )) f (t, y(t )) 1 g (t, y(t ))g(t, y(t )), 2 y
在矢量情形下，令
f i (t, y(t ))
fi
(t,
y(t ))
1 2
m j 1
d k 1
gik y j
(t,
y(t ))g jk (t ,
2) 有些随机微分方程的解析解虽然可以求到，但是形式很复 杂，处理起来很不方便。
3) 在实际应用中，实用的方法是在计算机上进行数值求解，
即不直接求出 y(t ) 的解析解，而是在解所存在的区间上，求得一 系列点 xn(n 1, 2, ) 上的近似值。
2.随机微分方程数值方法介绍
目前随机微分方程的数值求解方法有Euler方法、Milstein方 法 、Runge-Kutta方法等。Runge-Kutta方法的复杂程度比Euler 方法和Milstein方法的程度要高。在实际应用中，一般情况下用 Euler方法和Milstein方法来对模型进行数值模拟。由于Itó型随机 微分方程与Stratonovich型随机微分方程是可以相互相互转化的， 以下介绍求解Itó型随机微分方程(6)的Euler方法和Milstein方法。
随机微分方程路径积分
随机微分方程路径积分
随机微分方程的路径积分是计算随机微分方程解的概率分布的一种方法。
路径积分是基于路径空间中的积分概念，对所有可能的路径进行积分来获得解的概率。
具体而言，对于一个随机微分方程，假设我们有一个初始状态和一个终止状态，路径积分的目标是计算从初始状态到终止状态的所有可能路径的概率。
这些路径表示了系统在不同时间点的状态演变。
路径积分方法基于随机微分方程的伊藤引理，通过将时间段细分为很多小区间，将微分方程转化为一系列差分方程。
然后，使用离散化的路径和时间步长来近似计算路径的积分。
通过多次迭代和取极限，可以获得路径积分的极限结果，即解的概率分布。
路径积分方法常用于研究物理学、金融学、生物学等领域中涉及随机性的问题。
它提供了一种统一的数学框架，用于描述和分析包含不确定性的系统，并计算系统的概率分布。
需要注意的是，计算路径积分可以是一项复杂的任务，需要使用数值方法进行近似计算。
常用的一些数值技术包括蒙特卡罗方法、随机抽样和数值积分等。
总而言之，路径积分是用于计算随机微分方程解的概率分布的方法。
它是基于对路径空间中所有可能路径的积分，通过离散
化和近似计算路径的积分来获得解的概率分布。
路径积分方法在涉及随机性的领域中具有广泛应用，提供了一种统一的数学工具，用于描述和分析包含不确定性的系统。
第六章均方微积分
6 均方微积分均方极限均方连续均方微分均方积分均方随机微分方程6.1 均方极限随机变量序列极限定义1、依概率收敛若对于任意给定的正数ε>0，随机变量序列Xn满足则称序列Xn依概率收敛于X。
2、以概率1收敛若随机变量序列Xn满足则称序列Xn 以概率1收敛于X。
lim()1nnP X X→∞== lim(||)1nnP X Xε→∞−<=6.1 均方极限3、分布收敛设随机序列X n 的概率分布函数在x 的每一连续点收敛于随机变量X 的概率分布函数，则称随机序列X n 依分布收敛于X ，记为4、均方收敛设有随机序列X n 和随机变量X ，且，若则称随机序列X n 均方收敛于X ，X 是X n 的均方极限，记为2||n E X <+∞2||E X <+∞2lim ||0n n E X X →∞−=l.i.m n n X X →∞=lim ()()n X X n F x F x →∞=6.1 均方极限均方极限性质(1) 均方极限是唯一的,即若且则(2)若, 则(极限与数学期望可交换次序)l.i.m n n X X→∞=l.i.m n n X Y →∞={}1P X Y ==l.i.m n n X X →∞=lim ()(l.i.m )()n n n n E X E X E X →∞→∞==6.1 均方极限均方极限性质(3) 若, , 则(4)若, , 则对任意常数a,b 有(线性)l.i.m m m X X →∞=l.i.m n n Y Y →∞=l.i.m n n X X →∞=l.i.m()n n n aX bY aX bY →∞+=+lim ()()m n n m E X X E XY →∞→∞=2lim ()()m n n m E X X E X →∞→∞=l.i.m n n Y Y →∞=6.1 均方极限均方极限性质(5) 设{a n }为普通数列,若, 则(6)若均方收敛必依概率收, 即若,则lim 0n n a →∞=l.i.m()0n n a X →∞=l.i.m n n X X→∞=lim (||)1n n P X X ε→∞−<=lim (||)0n n P X X ε→∞−≥=6.1 均方极限随机过程均方极限设随机过程{X (t),t ∈T}是二阶矩过程, X 是二阶矩变量,t 0∈T, 若则称当t →t 0时, 随机过程X(t)均方收敛于X ，或称X 是X(t)的均方极限，记为2lim |()|0t t E X t X →−=0l.i.m ()t t X t X →=随机过程均方极限的性质与随机变量序列均方极限性质类似。
非线性微分方程的随机微积分方程
非线性微分方程的随机微积分方程随机微积分方程是概率微积分的一种分支，它解决的是随机过程中的微积分问题，这包括了随机过程的微分和积分等运算。
通常情况下，我们会将一些随机过程用随机微分方程的形式表达出来，这是非常有帮助的，因为可以用这种方法描述一些难以看清的随机现象。
在随机微积分方程中，非线性微分方程是一类非常重要的问题。
非线性微分方程的形式一般为：$$\frac{dX_t}{dt} = f(X_t) + g(X_t)\dot{W_t}$$其中，$X_t$是一个随机变量，表示我们所感兴趣的随机过程；$f(X_t)$是一个已知函数，描述$X_t$的演化规律，它不包含白噪声项；$g(X_t)\dot{W_t}$是一个随时间变化的白噪声项，其中$\dot{W_t}$表示白噪声的微分。
由于随机微积分方程中存在白噪声分量，因此具有难以预测的随机性质，所以它的求解是非常复杂的。
解决非线性微分方程的方法有很多种，其中最常见的方法是数值模拟和随机微积分方法。
在数值模拟中，我们模拟随机过程的演化，计算过程中涉及到白噪声，因此需要使用随机微积分方法进行计算。
而随机微积分方法中，最为重要的是伊藤引理和斯特劳维尔公式。
伊藤引理是随机微积分中的核心定理，与经典微积分中的牛顿-莱布尼茨公式具有相似性。
它的基本形式如下：$$df(X_t) = \frac{\partial f(X_t)}{\partial t}dt + \frac{\partialf(X_t)}{\partial X_t}dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2f(X_t)}{\partial X_t^2}d\langle X_t \rangle$$其中，$dX_t$表示微小的随机变化，它与白噪声有关；$\frac{\partial f(X_t)}{\partial t}dt$是$f(X_t)$关于时间的偏导数；$\frac{\partial f(X_t)}{\partial X_t}dX_t$是$f(X_t)$关于随机变量的偏导数与$dX_t$的乘积；$\frac{1}{2}\frac{\partial^2f(X_t)}{\partial X_t^2}d\langle X_t \rangle$是一个二次型，用于处理$dX_t$的方差。
期权定价理论的发展和倒向随机微分方程
期权定价理论的发展和倒向随机微分方程期权定价理论的发展可以追溯到20世纪60年代，最初由美国经济学家布莱克（Fischer Black）和斯科尔斯（Myron Scholes）提出。
他们的贡献是建立了著名的布莱克-斯科尔斯期权定价模型，该模型基于假设市场具有完全竞争和无套利机会的特征，利用随机微分方程建立了股票价格与期权价格之间的动态关系。
该模型提供了解决欧式期权的解析解，为期权市场的发展和创新提供了坚实的理论基础。
在布莱克-斯科尔斯模型之后，学者们对期权定价理论进行了进一步研究和拓展。
其中一个重要的发展是考虑了市场存在风险溢价的情况。
美国经济学家罗伯特·曼舒尔斯坦（Robert Merton）提出了使用完美对冲策略来消除风险溢价的方法，该方法被称为风险中性评估。
风险中性评估假设投资者对风险是中性的，以中性的利率对期权进行定价。
这一方法在现实市场中的应用较广泛，它提供了一种在实际投资中可以套利无风险的策略。
另一个重要的发展是对期权定价模型的拓展和推广。
布莱克-斯科尔斯模型最初是针对欧式期权的，但随着市场的需要，学者们开始研究其他类型的期权。
比如，美国经济学家考克斯（John Cox）、罗斯（Stephen Ross）和鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）发展了考克斯-罗斯模型，该模型可以解决美式期权的定价问题。
此外，还有学者研究了带有障碍和提前执行权的期权定价模型，为金融市场的创新提供了支持。
倒向随机微分方程的推导主要基于伊藤引理，该引理是随机微积分的基本定理之一、通过对股票价格进行动态建模，可以得到股票价格的演化方程，从而可以推导出期权价格的解析解。
在推导倒向随机微分方程时，需要考虑市场中的随机性和不确定性因素，如风险溢价和波动率等。
总结起来，期权定价理论的发展和倒向随机微分方程的应用为金融市场参与者提供了强大的工具和理论基础。
不断的研究和拓展使得期权定价模型逐渐趋于完善，并为期权交易和投资决策提供了更加准确和可靠的定价方法。
随机过程(十五)随机微积分
随机微积分主要内容：●建立不确定性模型●随机积分定义和性质●Itô引理●Itô引理的应用一、建立不确定性模型 1、离散时间设离散时间指标集T 是由正整数组成的集合{0,1,2,3,…},用()x t 表示时间t 的实状态变量，一个动态的确定性系统可以用下列差分方程来描述(1)(,()),(0)x t f t x t t Tx x +=∈=（1）例：三部门宏观经济模型：011t t t t t t Y C I G C a a Y -=++=+将I t 和G t 固定,t t I G ，则可以得到一个差分方程011()t t t t Y a I G a Y -=+++ (2)下面引入不确定性因素，假定(1)x t +是随机变量，且表示为(1)(,())(,()),x t f t x t v t x t t T +=+∈ （3）其中f 是随机变量(1)x t +关于()x t 的条件期望，v 是一个均值为0，方差有限（记为2(,)t x σ）的随机变量。
（1） 我们假定随机变量v 在给定()x t 下的条件分布与()()x s s t <相对独立，于是方程（3）就是一个随机差分方程，且在独立性假设下，我们得到过程{(),}x t t T ∈是一个Markov 过程。
（2） 进一步的，假定v 在给定()x t 下的条件分布是正态分布，令()/(,)t u v t t x σ=，则（3）式可变为(1)(,())(,()),t x t f t x t t x t u t T σ+=+∈（4）这就是通常意义下的随机差分方程。
练习：请将随机性引入三部门宏观经济模型2、连续时间 确定性微分方程(,()),,(0,)(0,)(0)dxf t x t t T or dtx x =∈==∞=T T T 其中（5） 例：新古典增长模型0(())(),(0)dksf k t nk t k k dt=-=（6）不确定性模型。
分数阶随机微分方程
分数阶随机微分方程
分数阶随机微分方程是指一类随机微分方程，其中包含了分数阶微分项和随机项。
分数阶微积分学是一种介于整数阶微积分学和积分学之间的新兴数学分支，它将一个整数阶的微分方程推广到了一个非整数阶的微分方程。
相比于整数阶随机微分方程，分数阶随机微分方程更为复杂，因为它包含了分数阶微分项。
分数阶微分方程的研究已经在控制理论、金融数学、生物医学、物理学和化学等领域得到了广泛应用。
在金融数学领域中，分数阶随机微分方程可以用来描述股票价格、利率和汇率等金融产品的价格变化。
分数阶随机微分方程的解析解往往难以求得，因此研究者们通常会采用数值方法来求解。
其中最常用的方法是欧拉-马尔可夫方法和随机Runge-Kutta方法。
此外，也有一些常用的数值稳定性分析方法，如Lyapunov指数法、分形维数法和最大Laplace变换法等。
总之，分数阶随机微分方程是一个非常复杂和具有挑战性的数学领域，但它在实际应用中具有广泛的应用前景。
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随机微积分中的随机微分方程随机微分方程是一类与概率相关的微分方程，其解是一个随机
过程。
随机微分方程在金融、工程、物理等领域中有着非常广泛
的应用。
本文将介绍随机微积分中的随机微分方程及其解法。
一、随机微分方程的定义和特点
随机微分方程是一类微分方程，其系数和/或初值条件是随机过程。
这些方程的解不是一个具体的函数，而是一个符合某种特定
概率分布的随机过程。
这种特性使得随机微分方程通常难以求解。
随机微分方程的主要特点是不确定性和随机性。
在一定时间间
隔内，解的取值不是唯一的，而是服从某种概率分布。
此外，解
也具有连续性和马尔可夫性，即受到之前的状态和随机事件的影响，但这些事件只与当前的状态有关，与之前的状态无关。
二、随机微分方程的应用
在金融领域，随机微分方程常常用来模拟股票和期权的价格变化，并进行风险评估和投资决策。
在工程领域，随机微分方程可
以用来模拟飞机或汽车的运动状态，或者用来优化控制系统的设计。
在物理领域，随机微分方程可以用来描述大分子的运动，或者用来模拟地震等自然灾害的发生。
三、随机微分方程的解法
对于一般的随机微分方程，没有通用的解法。
但是，有一些特殊的随机微分方程可以通过一些方法求解，例如：随机常微分方程、线性随机微分方程和随机偏微分方程。
对于随机常微分方程，可以通过对随机积分进行运算得出解的期望和方差。
对于线性随机微分方程，可以通过拉普拉斯变换和傅里叶变换等方法求出解的概率密度函数。
而对于随机偏微分方程，目前主要使用数值方法来求解。
四、随机微分方程的应用举例
1. 随机微分方程在金融领域中的应用
随机微分方程可以用来预测股票和期权的价格变化，并进行投资决策。
例如，Black-Scholes模型通过对股票价格的变化进行建模，来预测股票期权的价格变化。
2. 随机微分方程在工程领域中的应用
随机微分方程可以用来模拟飞机或汽车的运动状态，或者用来优化控制系统的设计。
例如，飞行器的姿态控制系统可以通过求解随机微分方程，来实现飞行稳定性的优化。
3. 随机微分方程在物理领域中的应用
随机微分方程可以用来描述大分子的运动，或者用来模拟地震等自然灾害的发生。
例如，生物领域中的布朗运动，就可以用随机微分方程来描述。
五、总结
随机微分方程是一类非常重要的微分方程，具有广泛的应用领域。
随机微分方程的解法目前还存在许多限制和挑战，但是通过
找到一些特殊的随机微分方程，可以用有限的方法来求解。
随着科学技术的不断发展，随机微分方程的应用将越来越广泛。