湖北省十堰市丹江口市2018-2019学年八年级(下)期中数学试卷解析版

湖北省十堰市丹江口市2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷姓名座号题号一二三总分得分考后反思（我思我进步）：一、选择题；（本题有10个小题，每小题3分，共30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.）1．（3分）平行四边形ABCD中，已知∠B＝40°，则∠D等于（）A．140°B．40°C．80°D．50°2．（3分）点A（1，m）在函数y＝2x+1的图象上，则点A的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（3，1）3．（3分）如图所示，点C的表示的数为2，BC＝1，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．B．C．﹣D．﹣4．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥﹣2C．x＞﹣2D．x≠﹣25．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，∠A＝∠C D．∠A＝∠B，∠C＝∠D6．（3分）△ABC的三边满足（a﹣13）2+|b﹣12|+＝0，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．B．2C．2D．9．（3分）一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AB'＝9，∠EFB＝60°，则△B'EF的面积是（）A．B．9C．D．18二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）齿轮每分钟120转，如果n表示转数，t表示转动时间，那么用t（分）表示n （转）的关系式是，其中为变量，为常量．12．（3分）如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）13．（3分）三个正方形的面积如图所示，则字母B所代表的正方形的面积是．14．（3分）已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．16．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝10，∠A＝120°，若点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上任意一点，则PK+QK的最小值为．三、解答题：（本题有9个小题，共72分）17．（5分）在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，求高CD的长．18．（6分）如图，在靠墙（墙长为20m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为50m，设鸡场垂直于墙的一边长x（m），求鸡场的面积y（m2）与x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围．19．（7分）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．20．（7分）某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行20nmile，“海天”号每小时航行15nmile，它们离开港口两个小时后，“远航”号到达A处，“海天”号到达B处，A，B相距50nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？21．（7分）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？22．（9分）如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状．（2）当△ABC满足条件时，EF∥BC；当△ABC满足条件时，EF＝AD．23．（9分）（1）如图，D是△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点，G，H分别是AD，EF的中点，求证：GH⊥EF．（2）若（1）中的∠ABC＝90°，其它条件不变，求的值．24．（10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝4，BC＝9，AD ＝6．动点P从点B出发，沿边BC向点C以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在边AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）①设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②当t为何值时，S＝6？S能不能等于2？为什么？（2）①当t为何值时，PQ∥CD？②当t为何值时，点Q是在PD的垂直平分线上？25．（12分）（1）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，将正方形ABCD沿AE折叠，点B落在点G处，连接并延长EG，交CD于点F，求证：DF＝GF；（2）如图2，点E，F分别在BC，CD边上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；（3）如图3，点P，Q分别在AB，CD边上，点M，N分别在BC，AD边上，PQ交MN 于点O，已知AB＝6，PQ＝3，∠MOQ＝45°，求MN的长．参考答案与试题解析一、选择题；（本题有10个小题，每小题3分，共30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.）1．（3分）平行四边形ABCD中，已知∠B＝40°，则∠D等于（）A．140°B．40°C．80°D．50°【分析】直接根据平行四边形的对角相等可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝40°．故选：B．2．（3分）点A（1，m）在函数y＝2x+1的图象上，则点A的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（3，1）【分析】把（1，m）代入y＝2x+1中，可求m值，则点A坐标可知．【解答】解：把（1，m）代入y＝2x+1中，得m＝2×1+1＝3，所以点A的坐标是（1，3）．故选：C．3．（3分）如图所示，点C的表示的数为2，BC＝1，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】首先利用勾股定理得出BO的长，再利用A点的位置得出答案．【解答】解：∵点C的表示的数为2，BC＝1，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，∴BO＝＝，则A表示﹣．故选：D．4．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥﹣2C．x＞﹣2D．x≠﹣2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可求解．【解答】解：根据题意得：x+2＞0，解得，x＞﹣2故选：C．5．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，∠A＝∠C D．∠A＝∠B，∠C＝∠D【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．【解答】解：如图所示，根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定为平行四边形，C选项中，由于AB∥CD，∠A＝∠C，所以∠B＝∠D，所以只有C能判定．故选：C．6．（3分）△ABC的三边满足（a﹣13）2+|b﹣12|+＝0，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】根据偶次方、绝对值、算术平方根的非负性求出a、b、c，根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：∵（a﹣13）2+|b﹣12|+＝0，∴a﹣13＝0，b﹣12＝0，2c﹣10＝0，解得，a＝13，b＝12，c＝5，c2+b2＝52+122＝169，a2＝169，则c2+b2＝a2，∴△ABC为直角三角形，故选：A．7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【分析】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO，可得DO＝2OE，可求∠EDO＝30°，可得∠EOD＝60°，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AE＝CE，∴AC＝4AE，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，∴EA＝EO∴DO＝2AE＝2EO∴∠EDO＝30°，∴∠EOD＝60°∵OD＝OC∴∠OCD＝∠BDC＝30°故选：C．8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．B．2C．2D．【分析】先由勾股定理求出BD，再求出AE＝ED，设EF＝x，可得出方程，解方程即可．【解答】解：设EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD＝AB＝2，EF＝BF＝x，∴BE＝x，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE+ED＝x+2＝2，解得：x＝2﹣，即EF＝2﹣；故选：B．9．（3分）一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】分别求出甲乙两人到达C地的时间，再结合已知条件即可解决问题．【解答】解；由题意，甲走了1小时到了B地，在B地休息了半个小时，2小时正好走到C地，乙走了小时到了C地，在C地休息了小时．由此可知正确的图象是A．故选：A．10．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AB'＝9，∠EFB＝60°，则△B'EF的面积是（）A．B．9C．D．18【分析】由折叠的性质可得BF＝B′F，∠BFE＝∠B′FE＝60°，AE＝A′E，∠A′B′F＝∠B＝90°，∠A′＝∠A＝90°．AB＝A'B'，可证△B′EF为等边三角形，可得∠EB′F＝60°，∠A'B'E＝30°，可求AE，B'E的长，由勾股定理可求AB的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠A＝90°，AD∥BC．由翻折的性质可知：BF＝B′F，∠BFE＝∠B′FE＝60°，AE＝A′E，∠A′B′F＝∠B＝90°，∠A′＝∠A＝90°．AB＝A'B'，∵∠EFB＝60°，AD∥BC，∴∠B′EF＝∠EFB＝∠B′FE＝60°，∴△B′EF为等边三角形，∴∠EB′F＝60°，∴∠A'B'E＝30°，且∠A'＝90°∴B'E＝2A'E＝2AE，∴AB'＝AE+B'E＝9∴A'E＝AE＝3，B'E＝6∴A'B'＝＝＝3∴△B'EF的面积＝×B'E×AB＝9故选：B．二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）齿轮每分钟120转，如果n表示转数，t表示转动时间，那么用t（分）表示n （转）的关系式是n＝120t，其中t和n为变量，120为常量．【分析】根据题意可得：转数＝每分钟120转×时间；在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量．【解答】解：∵齿轮每分钟120转，n表示转数，t表示转动时间，∴用t（分）表示n（转）的关系式是n＝120t，其中t和n为变量，120为常量，故答案为：n＝120t，t和n，120．12．（3分）如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件OA＝OC，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）【分析】可以添加条件OA＝OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．【解答】解：OA＝OC，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA＝OC．13．（3分）三个正方形的面积如图所示，则字母B所代表的正方形的面积是144．【分析】在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．【解答】解：如图，根据勾股定理我们可以得出：a2+b2＝c2a2＝25，c2＝169b2＝169﹣25＝144因此B的面积是144．故答案为：144．14．（3分）已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是5．【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝10，所以，斜边上的中线长＝×10＝5．故答案为：5．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为3或6．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC＝10，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝6，可计算出CB′＝4，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB′为正方形．【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E＝∠B＝90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，∴CB′＝10﹣6＝4，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴BE＝3；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝6．综上所述，BE的长为3或6．故答案为：3或6．16．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝10，∠A＝120°，若点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上任意一点，则PK+QK的最小值为5．【分析】作点P关于直线BD的对称点P′，在菱形ABCD中，由BD平分∠ABC，得到点P′落在边AB上，过点P′作P′Q⊥CD于Q，则P′Q的长度就是PK+QK的最小值，过点A作AE⊥CD于E，则四边形P′QEA是矩形，得到AE＝P′Q，求出AE即可解决问题．【解答】作点P关于直线BD的对称点P′，在菱形ABCD中，∵BD平分∠ABC，∴点P′落在边AB上，过点P′作P′Q⊥CD于Q，则P′Q的长度就是PK+QK的最小值，过点A作AE⊥CD于E，则四边形P′QEA是矩形，∴AE＝P′Q，∵∠BAD＝120°，∴∠ADC＝60°，∵AD＝10，∴AE＝AD sin60°＝10×＝5，∴PK+QK＝5．三、解答题：（本题有9个小题，共72分）17．（5分）在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，求高CD的长．【分析】先由勾股定理求出BC，再根据三角形面积的计算方法即可求出斜边上的高CD 的长．【解答】解：∵在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8．∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝4.8．18．（6分）如图，在靠墙（墙长为20m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为50m，设鸡场垂直于墙的一边长x（m），求鸡场的面积y（m2）与x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围．【分析】直接利用矩形的长乘以宽得出其y与x之间的函数关系即可．【解答】解：由题意可得：y＝x（50﹣2x），∵墙长为20m，∴50﹣2x≤20，解得：x≥15，故自变量的取值范围是：15≤x＜25．19．（7分）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．【分析】首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA＝OC，OB＝OD，又由AE＝CF，可得OE＝OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．【解答】证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形．20．（7分）某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行20nmile，“海天”号每小时航行15nmile，它们离开港口两个小时后，“远航”号到达A处，“海天”号到达B处，A，B相距50nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？【分析】由题意得：P A＝2×20＝40（nmile），PB＝2×15＝30（nmile），AB＝50nmile，得出P A2+PB2＝AB2，由勾股定理的逆定理得出△P AB是直角三角形，∠APB＝90°，即可得出结论．【解答】解：如图所示：由题意得：P A＝2×20＝40（nmile），PB＝2×15＝30（nmile），AB＝50nmile，∵402+302＝502，∴P A2+PB2＝AB2，∴△P AB是直角三角形，∴∠APB＝90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴“海天”号沿西北方向或东南方向航行．21．（7分）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE 和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．【解答】解：设AE＝xkm，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处．22．（9分）如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状．（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF＝AD．【分析】（1）根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF 是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；（2）由菱形的性质、等腰三角形的性质以及正方形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠ADF＝∠F AD，∴F A＝FD，∴四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF ＝AD．理由如下：由（1）得：四边形AEDF是菱形，∴AD⊥EF，∵AB＝AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，∴EF∥BC；当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，∴EF＝AD；故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．23．（9分）（1）如图，D是△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点，G，H分别是AD，EF的中点，求证：GH⊥EF．（2）若（1）中的∠ABC＝90°，其它条件不变，求的值．【分析】（1）连接EG，FG，依据三角形中位线定理即可得出GE＝GF，再根据等腰三角形的性质，即可得到GH⊥EF；（2）依据三角形中位线定理，即可得到∠EGF＝∠GEB＝90°，再根据△GEF是等腰直角三角形，即可得到的值为．【解答】解：（1）如图所示，连接EG，FG，∵E是BD的中点，G是AD的中点，∴EG是△ABD的中位线，∴EG＝AB，同理可得，GF是△ACD的中位线，∴GF＝CD，又∵CD＝AB，∴GE＝GF，又∵H是EF的中点，∴GH⊥EF；（2）如图所示，当∠ABC＝90°时，∵EG是△ABD的中位线，∴EG∥AB，∴∠GEB+∠ABE＝180°，∴∠GEB＝90°，∵GF是△ACD的中位线，∴GF∥BC，∴∠EGF＝∠GEB＝90°，又∵GE＝GF，∴△GEF是等腰直角三角形，又∵H是EF的中点，∴GH＝EF，即的值为．24．（10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝4，BC＝9，AD ＝6．动点P从点B出发，沿边BC向点C以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在边AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）①设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②当t为何值时，S＝6？S能不能等于2？为什么？（2）①当t为何值时，PQ∥CD？②当t为何值时，点Q是在PD的垂直平分线上？【分析】（1）①由题意得出AQ＝t，DQ＝6﹣t，△DPQ的面积S＝DQ•AB，即可得出S与t之间的函数关系式；②把S＝6或2代入S与t之间的函数关系式，即可得出t的值；（2）①若PQ∥CD，可证四边形PCDQ是平行四边形，可得DQ＝PC，得出方程，解方程即可；②作PE⊥AD于E，则四边形ABPE是矩形，得出AE＝PB＝2t，AB＝PE＝4，由点Q是在PD的垂直平分线上，可得QD＝PQ＝6﹣t，由勾股定理可列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）①根据题意得：AQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴△DPQ的面积S＝×（6﹣t）×4＝12﹣2t，即S与t之间的函数关系式为：S＝12﹣2t（0≤t≤）；②当S＝6时，12﹣2t＝6，解得：t＝3，∴t＝3时，△DPQ的面积是6；当S＝2时，12﹣2t＝2，解得：t＝5，∴S不能等于2，（2）①∵PB＝2t，∴PC＝9﹣2t，若PQ∥CD，且AD∥BC，∴四边形PCDQ是平行四边形，∴DQ＝PC，∴6﹣t＝9﹣2t，解得：t＝3，∴当t＝3时，PQ∥CD；②作PE⊥AD于E，如图所示：则四边形ABPE是矩形，∴AE＝PB＝2t，AB＝PE＝4，∵AQ＝t，∴QE＝t，∵点Q是在PD的垂直平分线上，∴QD＝PQ＝6﹣t，∵PQ2＝QE2+PE2，∴（6﹣t）2＝t2+16∴t＝，当t为时，点Q是在PD的垂直平分线上．25．（12分）（1）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，将正方形ABCD沿AE折叠，点B落在点G处，连接并延长EG，交CD于点F，求证：DF＝GF；（2）如图2，点E，F分别在BC，CD边上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；（3）如图3，点P，Q分别在AB，CD边上，点M，N分别在BC，AD边上，PQ交MN 于点O，已知AB＝6，PQ＝3，∠MOQ＝45°，求MN的长．【分析】（1）连接AF，由正方形的性质得出∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，由折叠的性质得：∠AGE＝∠ABC＝90°，AG＝AB，得出∠AGF＝90°＝∠D，AD＝AG，证明Rt△ADF≌Rt△AGF，即可得出结论；（2）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，则∠ABG＝90°＝∠D，证明△ABG≌△ADF，得出AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△AEF≌△AEG，得出EF＝EG，即可得出结论；（3）作AE∥MN交BC于E，作AF∥PQ交CD于F，则∠FKM＝∠MOQ＝45°，∠EAF ＝∠FKM＝45°，四边形AEMN和四边形APQF是平行四边形，得出AE＝MN，AF＝PQ ＝3，由勾股定理得出DF＝＝＝3，得出CF＝CD﹣DF＝3，由（2）得：EF＝BE+DF，设BE＝x，则EF＝x+3，CE＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得出方程：32+（6﹣x）2＝（3+x）2，解得：x＝2，得出EF＝5，作FH作AE 于H，得出△AHF是等腰直角三角形，得出AH＝FH＝AF＝，由勾股定理求出EH＝＝，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接AF，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，由折叠的性质得：∠AGE＝∠ABC＝90°，AG＝AB，∴∠AGF＝90°＝∠D，AD＝AG，在Rt△ADF和Rt△AGF中，，∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF；（2）证明：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，如图2所示：则∠ABG＝90°＝∠D，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∴∠BAG+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，即∠GAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠EAG＝45°＝∠EAF，在△AEF和△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BE+BG，BG＝DF，∴EF＝BE+DF；（3）解：作AE∥MN交BC于E，作AF∥PQ交CD于F，如图3所示：则∠FKM＝∠MOQ＝45°，∠EAF＝∠FKM＝45°，四边形AEMN和四边形APQF是平行四边形，∴AE＝MN，AF＝PQ＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，BC＝CD＝AD＝AB＝6，∴DF＝＝＝3，∴CF＝CD﹣DF＝3，由（2）得：EF＝BE+DF，设BE＝x，则EF＝x+3，CE＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：32+（6﹣x）2＝（3+x）2，解得：x＝2，∴EF＝5，作FH作AE于H，∵∠EAF＝45°，∴△AHF是等腰直角三角形，∴AH＝FH＝AF＝×3＝，∴EH＝＝＝，∴MN＝AE＝AH+EH＝+＝2．。