直棱柱和圆锥的侧面展开图课件
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直棱柱和圆锥的侧面展开图1PPT课件
第10页/共15页
1、下列平面图形能折叠成正方体吗？
×
√
×
×
√
√
第11页/共15页
拓展提高：
3、如图，有一边长4米立方体形的房间，一只
蜘蛛在A处，一只苍蝇在C处.
⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
C 4cm
4cm
A 第12页/共15页
拓展提高：
G´
C ´´
G F
4cm
H
A
C B
G
C´
母线
轴
结
侧面
构
特 征
CB 底面
圆锥用表示它的轴的字母表示.
第4页/共15页
如图，将圆锥的侧面沿AB展开，得到一个什么图
形？圆锥的侧面展开图与△OAB又怎样的关系?
l
展开
l
圆 锥 的
侧
r
2πr
面
展
开
图
第5页/共15页
例 如图32-3-5所示为一个正方体．按棱画出它的一 种表面展开图．
图32-3-5
F
C B
D
H
D
E
D´ A
E
第13页/共15页
拓展提高：
如果换成长方体纸盒又会怎么样呢？
G´
C ´´
G F
C
B
C´
4cm H
A
D
4cm
D´
6cm
E
第14页/共15页
感谢您的观看！
第15页/共15页
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
第2页/共15页
这是一个对面颜色相同的立方体
1、下列平面图形能折叠成正方体吗？
×
√
×
×
√
√
第11页/共15页
拓展提高：
3、如图，有一边长4米立方体形的房间，一只
蜘蛛在A处，一只苍蝇在C处.
⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
C 4cm
4cm
A 第12页/共15页
拓展提高：
G´
C ´´
G F
4cm
H
A
C B
G
C´
母线
轴
结
侧面
构
特 征
CB 底面
圆锥用表示它的轴的字母表示.
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如图，将圆锥的侧面沿AB展开，得到一个什么图
形？圆锥的侧面展开图与△OAB又怎样的关系?
l
展开
l
圆 锥 的
侧
r
2πr
面
展
开
图
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例 如图32-3-5所示为一个正方体．按棱画出它的一 种表面展开图．
图32-3-5
F
C B
D
H
D
E
D´ A
E
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拓展提高：
如果换成长方体纸盒又会怎么样呢？
G´
C ´´
G F
C
B
C´
4cm H
A
D
4cm
D´
6cm
E
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感谢您的观看！
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(5)
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(8)
(9)
(10)
(11)
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这是一个对面颜色相同的立方体
高中数学必修2《简单几何体的侧面积》
积求法
作业： 1、P49面T10 2、预习：7.2节：体积 3、阅读报纸（见晚自习布置）
探索思考题：
正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 的各棱 长均为1，求一只蚂蚁从点 A1沿表面爬 到点D时的最短路程。
1
探索思考题：见讲与练P31面例题5
二、（1）直棱柱的侧面积
h
直棱柱的侧面展开图是矩形
s ch 直棱柱侧
（2）正棱锥的侧面积
正棱锥的侧面展开图是 一些全等的等腰三角形
s 1 ch'
正棱棱锥
2
h'
（3）正棱台的侧面积
正棱台的侧面展开 图是全等的等腰梯形
s 1 (c c')h'
正棱棱台
2
h'
例1 一个圆柱形锅炉，底面直径 d =1m, 高h =2.3m.求锅炉的表面积（保留2个有效
(2)圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧= rl
(3)圆台的侧面图是扇环
s (r r )l
圆台侧
1
2
问题1：如何推导圆台侧面积公式？
问题2：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积 公式进行类比，它们有什么联系和区别？
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的几何体，它们的侧面展开图是什 么？如何计算它们的侧面积？
练习：p45
1.已知正六棱柱的高为h,底面边长为 a，求表面积。
2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8， 10，求它的对角线的长。
3.正四棱台的上、下底面边长分别是3，6，其侧面积 等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？
4.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理， 每平方厘米的加工处理费为0.15元。已知圆锥底面直径与 母线长相等，都等于5 cm，问加工处理1000个这样的零 件，需加工处理费多少元？（精确到0.01元）
作业： 1、P49面T10 2、预习：7.2节：体积 3、阅读报纸（见晚自习布置）
探索思考题：
正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 的各棱 长均为1，求一只蚂蚁从点 A1沿表面爬 到点D时的最短路程。
1
探索思考题：见讲与练P31面例题5
二、（1）直棱柱的侧面积
h
直棱柱的侧面展开图是矩形
s ch 直棱柱侧
（2）正棱锥的侧面积
正棱锥的侧面展开图是 一些全等的等腰三角形
s 1 ch'
正棱棱锥
2
h'
（3）正棱台的侧面积
正棱台的侧面展开 图是全等的等腰梯形
s 1 (c c')h'
正棱棱台
2
h'
例1 一个圆柱形锅炉，底面直径 d =1m, 高h =2.3m.求锅炉的表面积（保留2个有效
(2)圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧= rl
(3)圆台的侧面图是扇环
s (r r )l
圆台侧
1
2
问题1：如何推导圆台侧面积公式？
问题2：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积 公式进行类比，它们有什么联系和区别？
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的几何体，它们的侧面展开图是什 么？如何计算它们的侧面积？
练习：p45
1.已知正六棱柱的高为h,底面边长为 a，求表面积。
2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8， 10，求它的对角线的长。
3.正四棱台的上、下底面边长分别是3，6，其侧面积 等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？
4.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理， 每平方厘米的加工处理费为0.15元。已知圆锥底面直径与 母线长相等，都等于5 cm，问加工处理1000个这样的零 件，需加工处理费多少元？（精确到0.01元）
人教B版高中数学必修二课件第一章1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
法二：延长正四棱台的侧棱交于点 P， 如图设 PB1＝x， 则x＋x 8＝48，得 x＝8. ∴PB1＝B1B＝8， ∴E1 为 PE 的中点 ∴PE1＝ 82－22＝2 15， PE＝2PE1＝4 15.
∴S ＝S －S 正棱台侧
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
[通一类] 4．(2012·枣庄高一检测)已知一个表面积为120cm2的正 方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的
底面上，求半球的表面积．
解：如图，为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为 a， 半球的半径为 R， 由 6a2＝120 得 a2＝20， 在 Rt△AOB 中，AB＝a，OB＝ 22a， 由勾股定理，得 R2＝a2＋( 22a)2＝32a2＝30. 所以半球的表面积为 S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)．
＝48 15(cm2)．
∴正四棱台的侧面积为 48 15 cm2.
[研一题] [例3] 正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b)．若侧棱所在 直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求 棱台的侧面积． [自主解答] 如图， 设O1，O分别为上、下底面的中心， 过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC 于F，连接C1F， 则C1F为正四棱台的斜高． 由题意知∠C1CO＝45°，
∴球的表面积 S＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2. [答案] B
[悟一法] 与球有关的组合体共有两种，一种是内切，一种是外接．解 题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，灵活利用球的 对称性， ①若半径为 R 的球的内接正方体的棱长为 a，则 2R＝ 3a. ②若半径为 R 的球的内接长方体的长、宽、高分别为 a， b，c，则 2R＝ a2＋b2＋c2.
数学 4直棱柱和圆锥的侧面展开图-课件
一个食品包装盒的侧面展开图如图所示，它的底面是边长为2的正六边形，这个包装盒是什么形状的几何体？试根据已知数据求出它的侧面积.
例1
解
根据图示可知该包装盒的侧面是矩形，又已知上、下底面是正六边形，因此这个几何体是正六棱柱（如图所示）.
由已知数据可知它的底面周长为2×6=12，因此它的侧面积为12×6=72.
课堂小结
下列各图是几何体的平面展开图，猜想下列展开图可折成什么立体图形，并指出围成的几何体的形状.
当堂训练
某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的 底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ）（A）三棱柱 （B）四棱柱 （C）三棱锥.
A
我们，还在路上……
You made my day!
观察下图中的立体图形把上述这样的立体图形称为直棱柱，其中“棱”是指两个面的公共边，它具有以下特征：（1） 有两个面互相平行，称它们为底面；（2）其余各个面均为矩形，称它们为侧面；（3）侧棱（指两个侧面的公共边）垂直于底面.
根据底面图形的边数，我们分别称图中的立体图形为直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱、直六棱柱.例如，长方体和正方体都是直四棱柱.底面是正多边形的棱柱叫作正棱柱.
下图是雕塑与斗笠的形象，它们的形状有什么特点？
在几何中，我们把上述这样的立体图形称为圆锥，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，它的底面是一个圆，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高，圆锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫作圆锥的母线，母线的长度均相等.
把圆锥沿它的一条母线剪开，它的侧面可以展开成平面图形，像这样的平面图形称为圆锥的侧面展开图，如图所示.
收集几个直棱柱模型，再把侧面沿一条侧棱剪开，它们的侧面能否展开成平面图形，是矩形吗？
将直棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开，可以展开成平面图形，像这样的平面图形称为直棱柱的侧面展开图.如下图所示是一个直四棱柱的侧面展开图.
例1
解
根据图示可知该包装盒的侧面是矩形，又已知上、下底面是正六边形，因此这个几何体是正六棱柱（如图所示）.
由已知数据可知它的底面周长为2×6=12，因此它的侧面积为12×6=72.
课堂小结
下列各图是几何体的平面展开图，猜想下列展开图可折成什么立体图形，并指出围成的几何体的形状.
当堂训练
某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的 底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ）（A）三棱柱 （B）四棱柱 （C）三棱锥.
A
我们，还在路上……
You made my day!
观察下图中的立体图形把上述这样的立体图形称为直棱柱，其中“棱”是指两个面的公共边，它具有以下特征：（1） 有两个面互相平行，称它们为底面；（2）其余各个面均为矩形，称它们为侧面；（3）侧棱（指两个侧面的公共边）垂直于底面.
根据底面图形的边数，我们分别称图中的立体图形为直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱、直六棱柱.例如，长方体和正方体都是直四棱柱.底面是正多边形的棱柱叫作正棱柱.
下图是雕塑与斗笠的形象，它们的形状有什么特点？
在几何中，我们把上述这样的立体图形称为圆锥，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，它的底面是一个圆，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高，圆锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫作圆锥的母线，母线的长度均相等.
把圆锥沿它的一条母线剪开，它的侧面可以展开成平面图形，像这样的平面图形称为圆锥的侧面展开图，如图所示.
收集几个直棱柱模型，再把侧面沿一条侧棱剪开，它们的侧面能否展开成平面图形，是矩形吗？
将直棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开，可以展开成平面图形，像这样的平面图形称为直棱柱的侧面展开图.如下图所示是一个直四棱柱的侧面展开图.
高一数学人教A版必修2：1-1-1棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件
第一章 1.1 1.1.1
第六页，编辑于星期日：二十二点 一分。
新课引入 中国人认为：没有规矩不成方圆，按照制定出来的规矩做 事，就可以获得整体的和谐统一．在中国传统文化中，“天圆 地方”的设计思想催生了“水立方”，它与圆形的“鸟 巢”——国家体育场相互呼应，相得益彰，可以说“水立方” 就是现代时尚和中国传统文化的智慧结晶，它的建成是我的中 华民族的骄傲，它给我们带来了美的享受和美的向往．“鸟巢” 和“水立方”也都是由一些简单几何体组成的，本节我们学习 棱柱、棱锥、棱台等这些简单几何体的结构特征．
些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
第一章 1.1 1.1.1
第九页，编辑于星期日：二十二点 一分。
概念
定义
一般地，我们把由若干个 平面多边形 围成的几何体叫
多面 做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面 ；
体 相邻两个面的 公共边 叫做多面体的棱；棱与棱的 公共点
叫做多面体的顶点
旋转 体
故(1)(2)(3)正确，(4)不正确．
第一章 1.1 1.1.1
第三十一页，编辑于星期日：二十二点 一分。
根据下列关于几何体的描述，说出几何体的名称： (1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六 边形，其他各面都是矩形； (2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是 有一个公共顶点的全等三角形； (3)由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其 余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
定义 之间的部分叫做棱台 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面 和 上底面
有关 ；其他各面叫做棱台的 侧面 ；相邻侧面的公共边 叫 概念 做棱台的侧棱；底面与 侧面 的公共顶点叫做棱台的
第六页，编辑于星期日：二十二点 一分。
新课引入 中国人认为：没有规矩不成方圆，按照制定出来的规矩做 事，就可以获得整体的和谐统一．在中国传统文化中，“天圆 地方”的设计思想催生了“水立方”，它与圆形的“鸟 巢”——国家体育场相互呼应，相得益彰，可以说“水立方” 就是现代时尚和中国传统文化的智慧结晶，它的建成是我的中 华民族的骄傲，它给我们带来了美的享受和美的向往．“鸟巢” 和“水立方”也都是由一些简单几何体组成的，本节我们学习 棱柱、棱锥、棱台等这些简单几何体的结构特征．
些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
第一章 1.1 1.1.1
第九页，编辑于星期日：二十二点 一分。
概念
定义
一般地，我们把由若干个 平面多边形 围成的几何体叫
多面 做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面 ；
体 相邻两个面的 公共边 叫做多面体的棱；棱与棱的 公共点
叫做多面体的顶点
旋转 体
故(1)(2)(3)正确，(4)不正确．
第一章 1.1 1.1.1
第三十一页，编辑于星期日：二十二点 一分。
根据下列关于几何体的描述，说出几何体的名称： (1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六 边形，其他各面都是矩形； (2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是 有一个公共顶点的全等三角形； (3)由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其 余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
定义 之间的部分叫做棱台 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面 和 上底面
有关 ；其他各面叫做棱台的 侧面 ；相邻侧面的公共边 叫 概念 做棱台的侧棱；底面与 侧面 的公共顶点叫做棱台的
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件高一数学课件
提示：这三种几何体侧面积之间的关系
12/13/2021
第十五页，共五十八页。
3．如何求简单多面体的侧面积？ 提示：(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩 形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与 斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量 与条件中已知几何元素间的桥梁． (2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相 等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的 个数；②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下 底面之间的关系．
B．100π
C．168π
4 4，母线长为 D．169π
解析：
12/13/2021
第三十五页，共五十八页。
先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长 l＝ h2＋r2－r12
＝ 4r12＋3r12＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S 侧＝π(r2＋ r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr12＋πr22＝100π＋4π＋64π ＝168π.
12/13/2021
第二十四页，共五十八页。
类型二 锥体的侧面积与表面积 【例 2】 正四棱锥底面边长为 4 cm，高和斜高的夹角为 30°，如图，求正四棱锥的侧面积．
12/13/2021
第二十五页，共五十八页。
【解】 正棱锥的高 PO、斜高 PE、底面边心距 OE 组成 Rt △POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°， ∴PE＝siOn3E0°＝4 cm. 因此 S 棱锥侧＝12ch′＝12×4×4×4＝32(cm2)．
12/13/2021
第十页，共五十八页。
知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 [填一填]
12/13/2021
第十五页，共五十八页。
3．如何求简单多面体的侧面积？ 提示：(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩 形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与 斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量 与条件中已知几何元素间的桥梁． (2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相 等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的 个数；②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下 底面之间的关系．
B．100π
C．168π
4 4，母线长为 D．169π
解析：
12/13/2021
第三十五页，共五十八页。
先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长 l＝ h2＋r2－r12
＝ 4r12＋3r12＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S 侧＝π(r2＋ r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr12＋πr22＝100π＋4π＋64π ＝168π.
12/13/2021
第二十四页，共五十八页。
类型二 锥体的侧面积与表面积 【例 2】 正四棱锥底面边长为 4 cm，高和斜高的夹角为 30°，如图，求正四棱锥的侧面积．
12/13/2021
第二十五页，共五十八页。
【解】 正棱锥的高 PO、斜高 PE、底面边心距 OE 组成 Rt △POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°， ∴PE＝siOn3E0°＝4 cm. 因此 S 棱锥侧＝12ch′＝12×4×4×4＝32(cm2)．
12/13/2021
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知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 [填一填]
1.1.6棱柱棱锥、棱台和球的表面积
PE＝ 2PE1＝ 4 15，
变式训练 2 已知正三棱台的底面边长分别是 30 cm 和 20 cm，其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．
解 如图所示，正三棱台 ABC—A1B1C1 中，O1、O 是上、下底面中心，D1、D 是 B1C1、BC 的中点，则 DD1 是斜高． 设 A1B1＝20，AB＝30， 10 则 OD＝5 3，O1D1＝ 3， 3 1 3 2 ∵S 侧＝S 底，∴2(60＋90)· DD1＝ 4 (20 ＋302)． 13 ∴DD1＝ 3. 3 在直角梯形 O1ODD1 中， O1O＝ D1D2－(OD－O1D1)2 13 2 10 2 ＝ 3 －5 3－ 3 ＝4 3 (cm)， 3 3 即棱台的高是 4 3 cm.
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂 料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖 子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。
解：（1）因为
1 S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R 2
+(2.5R)2+(3R)2
=21.85R2.
S球=4πR2. 因此，这个盖子的全面 积为S全=(21.85+4π)R2.
课时作业
一、选择题 1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为 2，体对 角线为 6，则这个棱柱的侧面积是 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 (
D )
2．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a，则 该三棱锥的表面积是 3＋ 3 2 3 2 A. 4 a B.4a ( A ) 6 2 C. 2 a 3 2 D. 3 a
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 c ' c h ' 2
变式训练 2 已知正三棱台的底面边长分别是 30 cm 和 20 cm，其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．
解 如图所示，正三棱台 ABC—A1B1C1 中，O1、O 是上、下底面中心，D1、D 是 B1C1、BC 的中点，则 DD1 是斜高． 设 A1B1＝20，AB＝30， 10 则 OD＝5 3，O1D1＝ 3， 3 1 3 2 ∵S 侧＝S 底，∴2(60＋90)· DD1＝ 4 (20 ＋302)． 13 ∴DD1＝ 3. 3 在直角梯形 O1ODD1 中， O1O＝ D1D2－(OD－O1D1)2 13 2 10 2 ＝ 3 －5 3－ 3 ＝4 3 (cm)， 3 3 即棱台的高是 4 3 cm.
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂 料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖 子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。
解：（1）因为
1 S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R 2
+(2.5R)2+(3R)2
=21.85R2.
S球=4πR2. 因此，这个盖子的全面 积为S全=(21.85+4π)R2.
课时作业
一、选择题 1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为 2，体对 角线为 6，则这个棱柱的侧面积是 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 (
D )
2．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a，则 该三棱锥的表面积是 3＋ 3 2 3 2 A. 4 a B.4a ( A ) 6 2 C. 2 a 3 2 D. 3 a
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 c ' c h ' 2
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的侧面积.
解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成 的一部分(其余部分省略),则侧面 ABB1A1 为等腰梯 形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1,则 CC1 为正六 棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30°,求该正四棱锥的侧面积和表面积.
思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长 和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, 所以 PE=sin���3������0��� °=4(cm).
思考 1 斜棱柱的侧面展开图是什么?它的侧面积如何求解?
提示:斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形, 它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积.
2.圆柱、圆锥的侧面积 几何体 侧面展开图 圆柱
圆锥
侧面积公式
S 圆柱侧=2πrl r 为底面半径 l 为侧面母线长
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课程目标
1.掌握棱柱、棱锥和棱台的表面积公式 的推导方法,进一步加强空间问题与平 面问题相互转化的思想,并熟练运用公 式求面积. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的侧面积的求 法——侧面展开图. 3.了解球的表面积公式,并会熟练运用公 式求球的表面积. 4.了解旋转体的构成,并会求旋转体的表 面积.
高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识7.1柱、锥、台的侧面展开与面积课件北师大版必修2
第十六页，共43页。
【自主解答】 设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′.
因为 S 侧＝2S 底， 所以12×3a×h′＝ 43a2×2，所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2， 所以 32＋ 63× 3h′2＝h′2， 所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
图 1-7-2
第二十四页，共43页。
【提示】 几何体的表面积为 S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－ 0.5π＋2π＝24＋1.5π.
第二十五页，共43页。
探究 2 一个几何体的三视图如图 1-7-3 所示，请求出该几何体的表面积．
图 1-7-3
第二十六页，共43页。
【提示】 该几何体的直观图如图所示．
【答案】 6＋2 3
第四十页，共43页。
5．如图 1-7-7 是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一 遍，已知每平方米用漆 0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)
图 1-7-7
第四十一页，共43页。
【解】 由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱 柱，并且圆锥的底面半径为 3 m，母线长为 5 m，正四棱柱的高为 4 m，底面为 边长为 3 m 的正方形，圆锥的表面积为 πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的 一个底面积为 9 m2，正四棱柱的侧面积为 4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为 24π －9＋48＝(24π＋39)(m2)，
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
【自主解答】 设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′.
因为 S 侧＝2S 底， 所以12×3a×h′＝ 43a2×2，所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2， 所以 32＋ 63× 3h′2＝h′2， 所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
图 1-7-2
第二十四页，共43页。
【提示】 几何体的表面积为 S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－ 0.5π＋2π＝24＋1.5π.
第二十五页，共43页。
探究 2 一个几何体的三视图如图 1-7-3 所示，请求出该几何体的表面积．
图 1-7-3
第二十六页，共43页。
【提示】 该几何体的直观图如图所示．
【答案】 6＋2 3
第四十页，共43页。
5．如图 1-7-7 是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一 遍，已知每平方米用漆 0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)
图 1-7-7
第四十一页，共43页。
【解】 由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱 柱，并且圆锥的底面半径为 3 m，母线长为 5 m，正四棱柱的高为 4 m，底面为 边长为 3 m 的正方形，圆锥的表面积为 πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的 一个底面积为 9 m2，正四棱柱的侧面积为 4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为 24π －9＋48＝(24π＋39)(m2)，
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S=上时即为锥体的体积公式；②S上＝S下时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？D CBA解：展开后使其成一线段ACcm考点二求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。
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a_ -_ 2_,b__ -7_,c___ 1_
2 c 7 -1 b
a
直棱柱和圆锥的侧面展开图
16
2. “坚”在下，“就”在后，胜利在哪 里？
坚
持就是 胜 利
“胜”在上， “利”在前！
直棱柱和圆锥的侧面展开图
17
3. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最 短距离是多少？
5
棱柱的侧面展开图——矩形
直棱柱和圆锥的侧面展开图
6
下列的三幅平面图是三棱柱的表面展开图的有 （）
甲
乙
丙
直棱柱和圆锥的侧面展开图
7
规律
一
口诀
四
一 “一四一” “一三
型 二”，
“一”在同层可任意； “三个二”成阶梯， 一
三 “二个三”，“日”状 二 连； 型 异层必有“日”
整体没有“田” 三
个
二
C”（C）
C
4cm
B
4cm
C’（C）
A
直棱柱和圆锥的侧面展开图
13
如果换成长方体纸盒又会
怎么样呢？
E´
C ´´
E D
C
B
C´
4cm
H
A
6cm
G
4cm
G´ F
直棱柱和圆锥的侧面展开图
Байду номын сангаас
14
等你来挑战!
如果“你”在前面，那么谁在后面？
了！
太棒
你们
KEY: 棒
直棱柱和圆锥的侧面展开图
15
当堂训练
1. 如图是一个立方体纸盒的展开图，使展开图沿虚线 折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数,求:
32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图
直棱柱和圆锥的侧面展开图
1
观察下图中的立体图形，它 们的形状有什么共同特点？
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
直棱柱和圆锥的侧面展开图
2
课本106页观察与思考
直棱柱和圆锥的侧面展开图
3
展开
展开
直棱柱和圆锥的侧面展开图
4
五棱柱
展开
展开
六棱柱
直棱柱和圆锥的侧面展开图
型
直棱柱和圆锥的侧面展开图
8
课本107页做一做 课本108页A组
直棱柱和圆锥的侧面展开图
9
课本107页一起探究 课本109页B组
直棱柱和圆锥的侧面展开图
10
连一连：
如图，上面的图形分别是下面哪个立体图形展开 的形状？把它们用线连起来。
直棱柱和圆锥的侧面展开图
11
解 根据图示可知该包装盒的侧面是矩形，又已
底面是正三角形，那么这个立体图形是（ A） （A）三棱柱 （B）四棱柱 （C）三棱锥.
直棱柱和圆锥的侧面展开图
22
直棱柱和圆锥的侧面展开图
23
如图，PO是圆锥的高，PA是母线.
直棱柱和圆锥的侧面展开图
20
把圆锥沿它的一条母线剪开，它的侧面可以 展开成平面图形，像这样的平面图形称为圆锥的 侧面展开图，如图所示.
P
A
圆锥的侧面展开图是一个扇形.这个扇形的半径 是圆锥的母线长PA ，弧长是圆锥底面圆的周长.
直棱柱和圆锥的侧面展开图
21
练习
1. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的
知上、下底面是正六边形，因此这个几何体 是正六棱柱（如图所示）.
由已知数据可知它的底面周长为2×6=12， 因此它的侧面积为12×6=72.
直棱柱和圆锥的侧面展开图
12
探索:
如图，有一边长4米立方体形的房间，一只蜘蛛在A处，一只 苍蝇在B处。⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？
B C
20
15 A 10
直棱柱和圆锥的侧面展开图
18
小结
正方体
长方体
三棱柱
直棱柱和圆锥的侧面展开图
19
在几何中，我们把上述这样的立体图形称为 圆锥，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形， 它的底面是一个圆，连接顶点与底面圆心的线段 叫作圆锥的高，圆锥顶点与底面圆上任意一点的 连线段都叫作圆锥的母线，母线的长度均相等.
2 c 7 -1 b
a
直棱柱和圆锥的侧面展开图
16
2. “坚”在下，“就”在后，胜利在哪 里？
坚
持就是 胜 利
“胜”在上， “利”在前！
直棱柱和圆锥的侧面展开图
17
3. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最 短距离是多少？
5
棱柱的侧面展开图——矩形
直棱柱和圆锥的侧面展开图
6
下列的三幅平面图是三棱柱的表面展开图的有 （）
甲
乙
丙
直棱柱和圆锥的侧面展开图
7
规律
一
口诀
四
一 “一四一” “一三
型 二”，
“一”在同层可任意； “三个二”成阶梯， 一
三 “二个三”，“日”状 二 连； 型 异层必有“日”
整体没有“田” 三
个
二
C”（C）
C
4cm
B
4cm
C’（C）
A
直棱柱和圆锥的侧面展开图
13
如果换成长方体纸盒又会
怎么样呢？
E´
C ´´
E D
C
B
C´
4cm
H
A
6cm
G
4cm
G´ F
直棱柱和圆锥的侧面展开图
Байду номын сангаас
14
等你来挑战!
如果“你”在前面，那么谁在后面？
了！
太棒
你们
KEY: 棒
直棱柱和圆锥的侧面展开图
15
当堂训练
1. 如图是一个立方体纸盒的展开图，使展开图沿虚线 折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数,求:
32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图
直棱柱和圆锥的侧面展开图
1
观察下图中的立体图形，它 们的形状有什么共同特点？
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
直棱柱和圆锥的侧面展开图
2
课本106页观察与思考
直棱柱和圆锥的侧面展开图
3
展开
展开
直棱柱和圆锥的侧面展开图
4
五棱柱
展开
展开
六棱柱
直棱柱和圆锥的侧面展开图
型
直棱柱和圆锥的侧面展开图
8
课本107页做一做 课本108页A组
直棱柱和圆锥的侧面展开图
9
课本107页一起探究 课本109页B组
直棱柱和圆锥的侧面展开图
10
连一连：
如图，上面的图形分别是下面哪个立体图形展开 的形状？把它们用线连起来。
直棱柱和圆锥的侧面展开图
11
解 根据图示可知该包装盒的侧面是矩形，又已
底面是正三角形，那么这个立体图形是（ A） （A）三棱柱 （B）四棱柱 （C）三棱锥.
直棱柱和圆锥的侧面展开图
22
直棱柱和圆锥的侧面展开图
23
如图，PO是圆锥的高，PA是母线.
直棱柱和圆锥的侧面展开图
20
把圆锥沿它的一条母线剪开，它的侧面可以 展开成平面图形，像这样的平面图形称为圆锥的 侧面展开图，如图所示.
P
A
圆锥的侧面展开图是一个扇形.这个扇形的半径 是圆锥的母线长PA ，弧长是圆锥底面圆的周长.
直棱柱和圆锥的侧面展开图
21
练习
1. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的
知上、下底面是正六边形，因此这个几何体 是正六棱柱（如图所示）.
由已知数据可知它的底面周长为2×6=12， 因此它的侧面积为12×6=72.
直棱柱和圆锥的侧面展开图
12
探索:
如图，有一边长4米立方体形的房间，一只蜘蛛在A处，一只 苍蝇在B处。⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？
B C
20
15 A 10
直棱柱和圆锥的侧面展开图
18
小结
正方体
长方体
三棱柱
直棱柱和圆锥的侧面展开图
19
在几何中，我们把上述这样的立体图形称为 圆锥，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形， 它的底面是一个圆，连接顶点与底面圆心的线段 叫作圆锥的高，圆锥顶点与底面圆上任意一点的 连线段都叫作圆锥的母线，母线的长度均相等.