湖北工业大学 概率论与数理统计

《概率论与数理统计》课程复习指南

概率论与数理统计课程主要考查学生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。为方便广大考生全面复习概率统计课程，合理、有效地安排复习计划，现对于概率统计课程的期末考试、补考及清考相关事宜解读如下：

一、复习资料及命题参考书目

1、教材：《概率论与数理统计教程》（李子强主编，科学出版社，2008年）第一至七章；

2、《概率统计应用与提高》（李逢高方瑛主编，科学出版社，2005年）第一至七章；

3、《概率论与数理统计习题集》（费锡仙主编，国防科技大学出版社，2011年）第一至七章的练习、自测题、思考题。

二、试卷常见题型

选择题（5小题），填空题（5小题），计算题，综合题，证明题。

三、考试、阅卷及评分简介

1、闭卷统考，卷面满分100分，考试时间120分钟；

2、在统一评分标准下流水作业、集体阅卷;

3、学生总评成绩=卷面成绩×70%+平时成绩×30%

四、常见考点

1、确定事件间的关系，进行事件的运算；

2、利用事件的关系进行概率计算；

3、利用概率的性质证明概率等式或计算概率；

4、有关古典概型、几何概型的概率计算；

5、利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；

6、有关事件独立性的证明和计算概率；

7、有关独重复试验及伯努利概率型的计算；

8、利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率；

9、由给定的试验求随机变量的分布；

10、利用常见的概率分布(例如(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等)计算概率；

11、求随机变量函数的分布

12、确定二维随机变量的分布；

13、利用二维均匀分布和正态分布计算概率；

14、求二维随机变量的边缘分布、条件分布；

15、判断随机变量的独立性和计算概率；

16、求两个独立随机变量函数的分布；

17、利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差；

18、求随机变量函数的数学期望；

19、求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性；

20、求随机变量的矩和协方差矩阵；

21、利用切比雪夫不等式推证概率不等式；

22、利用中心极限定理进行概率的近似计算；

23、利用t分布、2 分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质；

24、推证某些统计量(特别是正态总体统计量)的分布；

25、计算统计量的概率；

26、求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量；

27、判断估计量的无偏性、有效性和一致性；

28、求单个或两个正态总体参数的置信区间；

五、附录

附套试卷一套。

编制人：费锡仙

审核人：李逢高

湖北工业大学数学课部

2009-2010概率论与数理统计试卷

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、设A 与B 为两个互不相容事件,则下列各式中错误的是（ ） ()0A P AB =、 ()()()B P A B P A P B ?=+、 ()()()C P AB P A P B =、 ()()D P B A P B -=、

2、设随机变量X 的概率密度为2

1()0

1

c x f x x x ?>?

=??≤?，则常数c 等于（ ）

1A -、

1

2B -、 12

C 、 1

D 、 3、设,X Y 分别服从参数为1λ2,λ的泊松分布,且X 与Y 相互独立 , 则X Y +服从（ ）

1()A P λ、 2()B P λ、 12()C P λλ+、 12()D P λλ-、

4、设随机变量~(0,1),~(0,1)X N Y N ，且X 与Y 相互独立， 则2

2

~X Y +（ ）

(0,2)A N 、 2(2)B χ、 (2)C t 、 (1,1)D F 、

5、 设123,,,X X X 是来自总体X 的一组样本,则以下关于总体均值的四个无偏估计,最有效的是（ ）

123111333A X X X ++、 123111

263B X X X ++、

123111

244

C X X X ++、 12322

D X X X +-、

二、填空题（共15分，每小题3分）

6、设A 与B 为随机事件，且()0.8,()0.4,(|)0.25P A P B P B A ===，则(|)P A B =

7、设随机变量X 的分布率为

2()(),(1,2,3)3

i

P X i c i ===则c = 8、设二维随机变量(,)X Y 的分布率如下：

=

9、设()10,()0.06E X D X ==,用切比雪夫不等式,则{|10|0.4}P X -≥≤ 10、设随机变量X 服从100,0.8n p ==的二项分布,由中心极限定理可知

{7486}P X <<

= (结果用标准正态分布的分布函数表

示)

三、计算题（共58分）

11、（10分）某工厂有三部制螺钉的机器#

##1

,2,3，它们的产品分别占全部产品

的25%,35%,40%，且产品的废品率分别为5%,4%,2% 今任取一个产品并发现是废品，问它是由#

##1

,2,3机器生产的概率各是多少？

12、（12分）设随机变量X 的分布函数为：

11

()arctan ()2F x x x π

=

+-∞<<+∞

求（1）X 的概率密度函数()f x ； （2）求{1P x -<≤

；

（3）求常数c ,使得1{}4

P X c >=

13、（12分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为：

0(,)0

y e x y

f x y -?<<=?

?其它

（1）求 (,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘概率密度函数； （2）判断X 和Y 的独立性；

（3）计算{1

}P X Y +≤

14、（12分）盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X 。

15、（12分）设...123,,,n X X X X 是总体X 的样本，已知总体的概率密度

(1)

,1()0

,x x f x θθ-+?>=?

?其它（其中参数1θ>），求：

（1）θ的矩估计；

（2）θ的极大似然估计。 四、解答题（共12分） 16.设总体2

~(,)X

N μσ，...

123,,,n X X X X 为简单的随机样本，X -

为样本均值，2

S 为样本方差。

（1）问2

X U n μσ-??-

?= ???服从什么分布？ （2）问2

X V n S μ-??-

?= ???

服从什么分布? 参考答案

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、C 2.、D 3、C 4、B 5、A 二、填空题（共15分，每小题3分） 6、0.5 7、

2738 8、13 9、3

8

10、2(1.5)1Φ- 三、计算题（共58分）

11、（10分）解：设123,,A A A 分别表示“所取的产品是由#

##1

,2,3机器生产的”；

B 表示“任取一件该产品为次品”

由题意得：11()0.25,()0.05P A P B A ==

2233()0.35,()0.04;()0.4,()0.02P A P B A P A P B A ====

由贝叶斯公式得： 125()69P A B =，228()69P A B =，316

()69

P A B =

12、（12分）解：（1） 21

()()(1)f x x x π=

-∞<<+∞+ （2

）7{112

P x -<≤=

（3）1c =

13、（12分）解：（1） 0()0

x

X e x f x -?<<+∞

=?

?其他

0()0

y Y ye y f y -?<<+∞

=?

?其他

（2）,X Y 不是相互独立的

（3）

2

{1

}(1P X Y +≤=- 14

()7E X =，()49

D X =

15、（12分）解：（1）一阶样本矩1A X =，

一阶总体矩1

EX θθ=

-，所以θ的矩估计为1

X

X θ-

∧

-

=

-。

（2）设1,,n x x 是相应于样本1,,n X X 的一组样本观测值

似然函数为(1)1

21()

,11,2,,)(,,,)0

n n i n x x x x i n L x x θθθ-+?>=?=??? （其他

故θ的极大似然估计量121

ln()

ln n n i

i n n

x x x x θ∧===∑

四、解答题

16、解：（1）2

22~(1)X X U n μμχσσ--

???? ?--

?

== ? ? ??? ?

??

（2）2

~(1,1)X V n F n S μ-??-

?=- ???

。