重庆理工大学大一高等数学C1练习册答案

高等数学习题解答

习题一

一.单项选择题

1、A

2、D ３、Ｃ 二.填空题

1、 2、(－9,1) 三.计算题

1、(１)解 函数要有意义,必须满足 即 定义域为 (２)解 函数要有意义,必须满足 解得或

3。(1)解 由 得 交换、ｙ得反函数为

(２)解 由 得 交换、y 得反函数为 ４。(1)解 只有ｔ=０时,能;t 取其它值时,因为 ,无定义 (２)解 不能,因为,此时无意义 5.解(１)12arccos 2

-====x w w v v u e

y u

(2) 令 则 x w e m m x v v u e

y w

u

2)

sin(3

2==+===

6、解 7。解 设

所以 解得 习题二

一。单项选择题

1、Ａ ２、Ｂ 3、Ｄ 二、填空题 1、〉1

2、单调增加 三.计算题

1、(1)解 因为 所以函数就是偶函数 (2)解 因为)()1ln(11ln

)1ln()(222

x f x x x

x x x x f -=-+-=-+=++=-

所以函数就是奇函数 (３)解

所以函数就是奇函数 2、解 因为

而得周期为,所以就是周期函数,周期为 3.解 由 得

表面积: )0(919221226224222

222≥++=++=+?+=r r v r r r r

v r r r r h r s πππππππ

四 证明

习题三

一.单项选择题

1、C

2、C

3、B ４、C 二。填空题

1、１

2、a ３、 4、２,0 ５、１ 三。判断正误

1、对; ２、对; 3、错 四.(1) 证明 令 只要,取

当时,恒有 所以

(2)证明 因为,对取定得,存在M 〉0,当x 〉M 时,有

故当x 〉M 时, 习题四

一、单项选择题

1、B

2、B

3、B

4、D 二。填空题

1、 2、0,6 3、 4、2,—2 三。判断正误

1、错; ２、错; ３、错; 四、计算题 1、原式＝

2、原式＝

3、原式=

4、原式＝

5、原式＝

6、、原式= ７、因为 所以

习题五

一、1.B, 2.A, ３。 B 二、1。 2.0 三、1、 (1) (２) (3) (４)0

0sin 1

lim lim sin 1()x x x x x x

+

+

→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2.

(1)2222222

2222

lim(1)lim[(1)]lim(1)1n n

n n n e e n n n

?+→∞→∞→∞=+=++==原式 (２)

(3)223

22

(3)

33

3

2

23

3lim(1)lim(1)2

2x x x x e x x -++-?--

-→∞

→∞??-

=-=??++???

?

原式＝ (４)(中间思维过程同前)

(５)222222lim ln(

)lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1n

n n n n n n n n n n n n

?→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式 四.

1.证明

:

2

......n

n π<

++

<

+

lim

1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立

2、证明:

只要证明原数列单调有界就可以达到目得

()

()22

11112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0

22

212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞

=-+=--++=--<∴=

习题六

一、１。Ｂ,2.B,3.Ｂ,4、B,５。B 二、1。,２。可去,3。1个 三、１。解: 2.解: 有 四、证明:

[][]31,(),(1)30,(2)250.,1,2,()0.x f x f f f ξξ--=-<=>=5设 f(x)=x 显然在区间1,2上连续且由零点定理知在区间上至少存在一点使原问题得证.

习题七

一、1.A,２.Ｃ

二、1.充分,必要,2。-2,３。必要 三、1. (1)解:

22222222221111111......1,(1)(1)(1)...(1)(1)3231111

lim(1)lim(1)0,:lim(1)(1)...(1)023n n

n n n n n n n n

n n

→∞→∞→∞<-<<-∴-<---<--=-=---=222111-221而由夹逼定理知2

(2)解:

2.解: 为第二类 ３。解: 有

四、1。证明:

0()1,()[0,1],f x f x ≤≤在上连续由介值定理知结论成立

2。证明:

()cos ,(),].()0,()0,22222

,f x x x f x f f ππ

ππππ

ππ

ξξξ=--=-<=>∈设在[-

上连续又2由零点定理知至少存在一点,使得f()=0,即使方程x=cosx 有根[-,]22

习题八

一、1、B,2.A,３、D 二、1.-2,

00000000(2)(2)()

(lim

42lim 4lim 2,

2()(0)()(0)

'(0)lim lim ()

()(0)()(0)()

'(0)'(0)lim lim 2'(0)2lim

'(0)2)

x x x x x x x x f x f x f x x x x

f x f f x f f x x

f x f f x f f x f f f x x x

f →→→→→→→→=-?=-?=--+==-+∴+=+?==-又奇函数故 2.1

00000

000000002000020(2)()2(0(2)()2lim

0,

(2)()(2)()

lim(

2)0lim 2(2)()

(2)lim 2

2(2)()

lim 1()12h h h h h f x h f x h

h f x h f x h h h

f x h f x f x h f x h h

f x h f x h

f x h f x f x h →→→-→-→--+→--+∴=----?+=?=-?

---=----?=?=-时，是的高阶无穷小'

三、1.(1)解:

220002

00()()[()()1][1]()lim lim lim

2lim lim (21)21x x x x x y f x x f x x x x x x x f x x x x

x x x x x x x x

?→?→?→?→?→?+?-+?-+?+--+===????+?-?==+?-=-?'

(２)解:

1321,0(0),24

y x y x x y =-===令切线平行于轴，斜率为，得代入原方程得。

13

故切点坐标为（，）

24

''

２。(1)解:

(2)解:

'000000000'0[()()][()()]()()

lim

()lim

2()2h h f x h f x f x f x h f x h f x f x h h f x A →→+-+----==+-==原式 ３。(１)解:

22

002(1)21(1)1lim 2,lim 2.x x x x x x +-?→?→+?-?+?-==??左右导数存在且相等，故在分段点x=1处可导。

(２)解: 0

01

sin

(0)(0)

lim

lim 0()k x x x f x f x x

x

+

?→?→?+?-?==??无穷小量乘有界函数，在分段点x=0处可导。

４。解:

0000lim ()(0),lim ()lim ()1,1(2)lim (0)lim lim (0)lim 1.

1x x x x x x x x f x f f x a f x a b x a e f b f x x

a b +

-++--→→→??→?→?→?→====+?--=====??==+-(1)要在x=0处连续，须即要在x=0处可导，须f (0)=f (0),即故时,f(x)在x=0处连续可导。

习题九 一、1.D,2.D,3。Ａ 二、１.,2、－2() 3.,

三、1.(1),(2)。,(3)。,(4)、 ２。(1),(2),(3),(４) (5),(6),(7) (8) 3、(１), (2), (3), (4)

222(cos )2cos 1,()21(sin )2sin 1f x x f x x f x x '''=-∴=-∴=-

四(1)

证明:

(２)证明:

()()()()()()()f x T f x f x T f x f x T x T f x T f x +=?+=?+?+=+=（），即原命题得证。''''''

?习题十

一、1.D 2。C

二、1. 2。０

三、计算题

1.求下列函数得高阶导数 (１),求 解:

(2)设求(提示:) 解:,

2.设与都三阶可导,,求, 解:

()()()()()()()()()()()()()()()(),f x f x f x x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x f x f x -=-?-?-=-?--=-?-=-=?-?-?-=-同理：原命题得证。

'''''''''='''

[][][]2

2

2()[()]()[()]

()()[()]()[()]()()[()]2()()[()]3()()[()]()[()]()()[()]

y x f x x f x y x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x f x x x f x ???????????????????????''''''''=+''''''''''''''''''''''=+++''''''''''''''=++

3、 (１) 解:

(２)解:

４、 (１)解:

(2)解:

5、 解:

6、求曲线在处得切线方程,法线方程 解:

切线方程: 法线方程: 习题十一

一、１。A C 2.A 3、B 二、１. 2. 3. 三、1、(１) (２) (3)

2、(1)

(2)

2、 ３、

4、

５、

７、(1)

(2)略

习题十二

一、1.D 2.Ａ 3.C４.B ５.D 6、Ａ

二、1.１２.1 0 3.0 4。 5.

三、1、原式=

2、(１)

(2)

3、(1)

(2)

4、

5、设处处可导有

既

且

既且

有

6、

四、∵∴

又∵∴

于就是∴

即:可寻

习题十三

一、1.A 2.Ｄ

二、1.3 2.

三、计算题:

１、(1)原式

(２)原式

(３)原式

(4)原式

(5)原式

(6)原式

(7)原式

(８)原式＝

2、原式=

四、证明题:

(1)证:区间编点为

两点连线斜率为 又∵

∴

于就是

即总就是位于区间得正中点 (2)

∴ 当 ∴ 即:

4、 ∴

∴ 即:

３、

则只有一实根 习题十四 一、1。C 2.C ３.B 4。B 二、１、 2.0 3. (０, 0) 三、计算题: 1、解:

令

在内递减, 在内递增。 2、解:121)1(0

23)1(2312

1

-=++==++=++=b a f b a f b

ax x f

∴

3、解:026)1(26)(2

)1(1111=-=-=-=+=b a f b ax x f b a f

∴时,点(1,—2)为曲线得拐点、 4、解:为水平渐近线 为垂直渐近线 四、证明题: １、证:当 ∴ 2、证:

∴在(0,2)内至少有使,为一个根 又∵ ∴ ∴只有一个负根

习题十五 导数得应用 总习题

一、计算题

1、计算下列极限 (１)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式＝,

因为,所以 原式＝ (５)原式=

(6)令,则,时,

原式=220

0001

111ln(1)

111lim[ln(1)]lim lim lim 22(1)2

t t t t t t t t t t t

t t →→→→-

-++-

+====+

2、解:由题意,

而……(1) 又

代入(1)式,得:

所以,即函数在x=0连续。

3、解:,令,

４、解:221

1

1

1

'()[

()]'[()]'2()22n

n

n

n

i

i

i

i

i i i i f x x a x a x a nx a =====-=-=-=-∑∑∑∑

令,得;又

所以,当时,取得极小值。 二、证明题: 1、证:由已知,

在连续,在可导,由拉格朗日中值定理, ,使得,……(１) 因为,有

同理,对在应用拉格朗日中值定理,再结合已知, ,使得 (2)

对在应用拉格朗日中值定理, ,使得,

由(1),(2)式可见 2、证:设,有,

令,得唯一解:;又

所以就是唯一得极小值点,因而就是得最小值点。

所以,都有,

因此,等号仅在时成立。

３、证:设,任取得两个零点,不妨设

由已知,在可导,在连续,且 由罗尔中值定理,,使: 即

由此即证得在得任意两个零点间,必有得零点4、证:设,

则在连续,在可导,且,

,则

由罗尔中值定理,,使:

而

即方程在内至少有一根

5、证:设,则,

因为时,,所以,即单调增加,

有,又有单调增加,

得,即

习题十六不定积分得概念与性质

一、单项选择题:

1、A

2、D ３、B 4、C 5、C

二、填空题:

１、,(C为任意常数)

２、C 3、函数在区间连续

4、积分,(注:)

三、计算题:

(１)原式= (2)原式=

(3)原式=

(4)原式=

(5)原式=

(6)原式=

(7)原式＝2

1212321235

42

(2)(2)

35

dx x x x dx x x x C -

=-+=-++

?

(8)原式=

习题十七 不定积分得换元积分法

一、单项选择题:

1、D

2、C

3、Ｃ

4、Ｄ 二、填空题:

1、 2、 3、 三、计算题 1、(1)原式= (２)原式= (3)原式＝ (4)原式= (5)原式= (6)原式= (7)原式= (8)原式＝ (9)原式= (10)原式= (11)原式= (12)原式＝ (13)原式＝

(1４)原式＝11cos(24)cos(24)(24)sin(24)22

x x

x x

x e de e d e e C +=++=++?

? (15)原式=

(1６)原式= 2、

(1)解:令,则 原式＝

2cos 11(1)(1sec )tan 1cos 1cos 222

t t t

dt dx dx t C t t =-=-=-+++??? 因为,,

原式=

(2)解:令,则, 原式=

因为,, 原式=

(３)解:原式=

(4)解:原式=

而,所以 原式＝

(5)解:令,则, 原式=

(6)解:令,则,

原式=

1(1)ln |1|ln(111t dt dt t t C C t t =-=-++=++++??

?习题十八 不定积分分部积分法

1、 2、 3、,

二、计算题:

1、求下列不定积分: (1)原式= (2)原式=

(3)原式＝ 其中

所以原式= (４)设 则

cosln sin ln sin ln cosln sin ln cosln x x x x xd x x x x x xdx =+-=+-??

即,解得: (5)原式= ,则:

cos 22(sin 2sin 2)cos 22sin 24cos 2x x x x x x e x e x e d x e x e x e xdx =+-=+-??

即,,解得: 代入原式= (６)令,则, 原式= (7)原式=

(8)原式=

(9)原式=

111sin 2cos 2(cos 2cos 2)244

x xdx xd x x x xdx =-=--=???

(10)令,则:

cos (cos cos )cos sin x x x x x I xde e x e d x e x e xdx -----=-=--=--=???

cos sin cos sin sin x x x x x e x xde e x e x e d x -----=-+=-+-??

即,解得: (11)令,则:

2sec sec sec tan sec tan tan sec I x xdx xd x x x xd x ===-=??? 23sec tan sec tan sec tan sec sec x x x xdx x x xdx xdx =-=-+???

即,解得:

(1２)原式= 2、解:

所以

习题十九不定积分总习题

一、选择题:

1、若,则有( A、B、C)

A. B.

C、Ｄ.

2。下列等式正确得就是( A )

A. B.

C. D.?3.若得导函数就是,则有一个原函数为( Ｄ)

A. Ｂ.Ｃ。D。

＊4.若连续,就是得一个原函数,则( A )

A.当就是奇函数时必为偶函数

B、当就是偶函数时必为奇函数

C.当就是周期函数时必为周期函数

D.当就是单调函数时必为单调函数

二、填空题:

1.设就是得一个原函数,则、

2.设,则

３、设连续,

4*。,且:,则

三.计算题:

1.求下列不定积分:

(1) (２)

解: 解:

(３) (4)

解: 解:

(5)(6)

解: 解:原式

?

(7) (8)

解:原式解:原式

2、设,求、

解:

又,故,即

３＊.设且有二阶连续导数,求

解:

?第一章函数自测题

一、填空题:

1。2、3。

二、解答题

1。解因为,所以。而,故有。

得图形略

2、解(1) 。

(2)

(3)

3、证,我们有。因为在内单调增加,所以有

,

又因为为定义在上得奇函数,上式可改写为即

所以,在内单调增加、

4. 解(1) ; (2) 。

５、解由题意可列出函数关系如下:

6。解设批量为件,每年需要进货次,由于均匀销售,库存量由件均匀地减少到0件,平均库存量为件。

一年得库存费为(元),

订货费为(元)、

综上,我们有

。

７. 解设租金定为每天每套元,由题意,每天可以租出套客房,此时,每天得收入为

、

当元时,收入最大,最大收入为16000元,此时空出20套客房。

8. 解设月利润函数为,由题意可列出函数关系如下:

。

9。解由题意可列出函数关系如下:

10。解(1)需求函数得图形为:

(２)

(３) 销售额得图形如下,经济意义就是:当时销售额最大。

11、解(1) 由题意可列出函数关系如下:

(2)利润函数为

(３)(元)。

第二章极限与连续自测题一、填空题:

１。填表

2. ３。4、5。6。7、一,可去8、一,可去;二,无穷;一,可去。9。一,跳跃10。二,振荡

二、解答题

1。证明对于任意给定得,因为,所以总存在,使得当时,总有。对数列,当时,总有

所以,。

反过来未必成立,例如:。

2。解(１)左极限,右极限

(2) 极限不存在,因为。

(３)

3.解(１) 当时,为无穷小量,而就是有界函数,所以

、

(2)。

(3) 。

(4) 。

(５) 。

(６) 分子、分母同除以,可得。

(7) ,根据无穷小量与无穷大量得关系可得,、

(8)分子、分母同除以,可得

、

(９) 利用等比数列得求与公式,可得、

(10) 注意到,所以

。

(１１) 先通分化简,、

(12) 分子、分母同除以,得。

(１3) 当,,所以、

(1４) 当,,所以

。

(15)当时,,所以。

(16) 。

(１7)当,,所以。

(18) 当,,所以

。

(19) 当,,故。 (20) 当,,故。

(2１) 因为(无穷小乘有界函数),所以。 (22) 令,

lim

lim

lim

1x t t →-∞

→+∞

===-。

(23) 、 (24) 、 (２5) (2６) 。

４. 证明 (1) 因为,所以有

。

由于,故。

(２) 注意到下列不等式:

, 、

利用两边夹准则,我们有。

(3) 容易得到关系式,用数学归纳法可证。

,所以数列就是单调增加得有界数列,由单调有界数列必有极限可得,存在,设为。所以我们有

即 ,解得,因此 5. 解 当时,,由题意知,时,

就是等价无穷小,所以可得时,,因此有 。

6、 解 ,所以。 7。 解 (1) 。

(2) 为函数得间断点,且为第一类间断点、事实上,

、

8、 解 ,要使在处连续,只需在处既右连续又左连续。因为在就是右连续得,只须在左连续即可、

01

lim ()lim lim (0)2x x x f x f --

-

→→→=====, 由此解得,。

三、证明题

1、证明对任意给定得,要使,只要、故取,当时,有成立,所以。

２、证明考虑辅助函数,,在区间上满足介值定理得条件,所以至少存在一点,使得,即方程

在区间内至少有一实根。

３。证明考虑辅助函数,显然在区间上连续,且

,由介值定理得,至少存在一点,使得,即。

4。证明考虑辅助函数,显然在区间上连续,且

,由介值定理得,至少存在一点,使得。即方程至少有一个小于1得正根。

5、证明设,在区间上连续,由闭区间上连续函数得最大值最小值定理可得,在区间上有最大值与最小值,又由介值定理得,对任意得,都有

所以有故又由介值定理得,至少存在一点,使得。

6、证明假设在区间上得值变号,即存在,不妨设,使得异号,在区间上连续,且,由零点定理得,至少存在一点,使得。这与已知条件相矛盾。故在区间上得值不变号。

7、证明考虑辅助函数,在区间上连续,且

,由零点定理得,至少存在一点,使得,即、

第三章导数、微分、边际与弹性自测题

一、填空题

1。Ａ2。充分３、 4.

5。６. 7、8。,

,,,,

,,,

,。9. 0。１10601,0、11

10。, 11、460,4。6,２。3,2、3

12、增加,0、82

二、解答题

１。解(1) 。(2) 。(3)、

(4)。(5) 。

(６) ,所以有. (7)

(8) .(9).(10)

(11) 。(１２) . (1３)

(14)。(１5)(１6)