西南交大大学物理AⅠ作业评讲N0.11

θ
v v
令 b = a + L sinθ ，AB 中的感应电动势为
B = μ 0 I /(2πr ) d l 与 d r 的关系为 d l = d r /sinθ
v v v
ε = ∫ (v × B ) ⋅ d l = ∫ v
L
μ0 I
2πr
cos θ d l
I
=
A
∫ 2 πr
μ 0 Iv
B
μ 0 Iv
v
v
O 与轮边缘 b 之间的感应电动势为___________________，电势
最高点是在______________处。
v d l O vR v ′ b v×B v B b
解：四根辐条的金属轮子所围区域磁通量在轮子转动过程中始终不变，故其电动势为零， 则 b’点 b 点电势相等，于是轮子中心 O 与轮边缘 b 之间的感应电动势即为轮子中心 O 与 轮边缘 b’之间的感应电动势，即辐条 O b’上的动生电动势，其值为
R
v a B
L b
θ
v B b⊗ i 感 mg
θ
F安
R mg sin θ mgR R= tg θ 感应电动势 ε i = iR = BL cos θ BL
因回路电流方向由 b 流向 a，由电源电动势定义知导线 ab 上 a 端电势高 感应电流的大小 i =
而
i=
εi
mg tg θ BL
回路感应电流方向由 b 流向 a 4．如图所示，电量 Q 均匀分布在一半径为 R、长为 L( L >> R ) 的绝缘长圆筒上。 一单匝矩形线圈的一个边与圆筒的轴线重合。 若筒以角速度 ω = ω 0 (1 − t 电流为 。
Q
t0
则线圈中的感应 ) 线性减速旋转，
ω
解：因圆筒内磁感应强度方向平行于单匝线圈平面，则
v r π dΦ Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫ B cos dS = 0 ，所以 ε i = =0 dt 2
I=
εi
R
=0
5．如图所示，一半径为 r 的很小的金属圆环，在初始时刻与一半径为 a ( a >> r )的大金 属圆环共面且同心。在大圆环中通以恒定的电流 I，方向如图，如 果小圆环以角速度 ω 绕其任一方向的直径转动，并设小圆环的电 则任一时刻 t 通过小圆环的磁通量 Φ = 阻为 R， 小圆环中的感应电流 i = 。 ；
I B
Φ ≈ B0 S cos ω t =
பைடு நூலகம்
μ0 I
⋅ π r 2 ⋅ cos ω t
A a =2cm， AB = 16cm，求： a (1) 在图示位置 AB 导线中的感应电动势。 (2) A 和 B 哪端电势高。 解：(1) AB 中的感应电动势为动生电动势，如图所示， d l 所在处的磁感强度为
选A
如图所示。 已知导线载有电流 I = 40 A， 与 AB 共面且相互垂直， 则此金属杆中的感应电动势i =________________，电势较高 端为__________。(ln2 = 0.69) 解：直导线 AB 中的感应电动势为动生电动势，如图有
I
v v v v v v × B dl B A
r × B × ω× × C × θ
O
解： ε =
ε
ε
ε
× ×
O
(A)
t
O
(B)
t
O
(C)
t O
(D)
t
由上式可知， ε 大小恒定，只是在 Φ 增加或减少时指向不同 二、填空题 1．金属杆 AB 以匀速 v =2 m/s 平行于长直载流导线运动，导线
dΦ dt
D
Φ=
B 2 Rθ 2
所以， ε =
B 2 dθ B 2 R = R ω dt 2 2
v v × B• α
a
lv d l
v
b
v v
v B
ε = ∫ (v × B) ⋅ d l = ∫ vB sin α cos 90 o d l = Blv sin α
v
l 0
v
v
选B
2．一矩形线框长为 a 宽为 b，置于均匀磁场中，线框绕 OO′ 轴以匀 。设 t = 0 时，线框平面处于纸面内，则 角速度 ω 旋转（如图所示） 任一时刻感应电动势的大小为： [ ] (A) 2abB cos ω t (B) (D)
M
C
v
O
θ
x
v B
N
v v
D
解：(1) 取回路绕行的正向为 O→M→N→O，由右图可知穿过 三角形金属框 OMN 的磁通量为：
M
C
Φ = − B xy
1 2
其中 y = tg θ x ， x = vt
由法拉第电磁感应定律得框架内的感应电动势：
O
v η B θ
ξ
x dξ N
v v
D
(i = − d Φ /d t = −
1m 1m
ε = ∫ (v × B ) ⋅ d l = ∫ v
v
2 1
v
v
2 μ0 I μ I cos180 o d r = −v 0 ln r = −1.11 × 10 -5 V 1 2π r 2π
因 ε < 0 ，由电动势定义有电势较高端为 A 端 2．四根辐条的金属轮子在均匀磁场 B 中转动，转轴与 B 平行， 轮子和辐条都是导体，辐条长为 R，轮子转速为 n，则轮子中心
=
d 1 (− B tg θ x 2 ) dt 2
1 B tg θ 2 x d x /d t = B tg θ v 2 t 2 B = Kx cos ω t ，则 d Φ = B d S = Bη d ξ η = ξ tg θ 2 d Φ = Bξ tg θ d ξ = Kξ cos ω t tg θ d ξ
ω
a
or
I
解：半径 a >> r ，小圆环区域可视为均匀磁场，则通过小圆环的磁通量
2a ε 1 dΦ μ 0 Iω 小圆环中的感应电流 i = =− = ⋅ π r 2 ⋅ sin ω t R R dt 2 Ra
三、计算题 在它的旁边有一段直导线 AB （ AB = L ） ， 1． 一长直导线载有电流 I， 长直载流导线与直导线在同一平面内，夹角为θ。直导线 AB 以速度 v v v （ v 的方向垂直于载流导线）运动。已知：I =100A，v =5.0m/s，
cos θ
dr sin θ
θ
a r
v v v×B v dl B v v
A
L sin θ + a = ctgθ ln a 2π −4 = 2 .79 × 10 V (2) ε > 0 ，由电动势定义式知 B 端电势高
r
2． 如图所示， 一电荷线密度为 λ 的长直带电线 （与一正方形线圈共面并与其一对边平行） ， 以变速率 v = v(t ) 沿着其长度方向运动，正方形线圈中的总电阻为 R，求 t 时刻正方形线 圈中感应电流 i (t ) 的大小（不计线圈自身的自感） 。 解：长直带电线运动相当于 I = λv(t ) 的长直电流，在正方形线 圈内的磁通量为：
ε =
∫
b′
o
v v v (v × B ) ⋅ d l =
∫
R
0
2π nrB cos 180 o d r = −π BnR 2
ε = −πBnR 2 < 0 ，则由电动势定义知电势最高点在 O 处
3． 在竖直向上的均匀稳恒磁场中， 有两条与水平面成θ 角的平行导轨， 相距 L，导轨下端与电阻 R 相连，一段质量为 m 的裸导线 ab 在导轨 上保持匀速下滑。在忽略导轨与导线的电阻和其间摩擦的情况下，感 应电动势i =__________________；导线 ab 上_________端电势高； 感应电流的大小 i =_____________，方向________________。 解：质量为 m 的裸导线 ab 在导轨上保持匀速下滑，回路所围面 积磁通量减小，则据愣次定律知回路电流方向由 b 流向 a，由此 导线 ab 受力如右侧视图所示，据牛顿定律有沿导轨方向建立方 程 mg sin θ − BiL cos θ = 0
i >0，则i 方向与所设绕行正向一致，i <0，则i 方向与所设绕行正向相反
(i = − d Φ /d t = ω abB cos ω t
v
v
ωt
则由法拉第电磁感应定律得线框内的感应电动势大小：
B 90o − ωt v S
选D
I
3．如图所示，一矩形线圈，放在一无限长载流直导线附近， v ⊗ v 开始时线圈与导线在同一平面内，矩形的长边与导线平行。 v v ω ω 若矩形线圈以图(1)，(2)，(3)，(4)所示的四种方式运动，则 v 以速度 v 向 (1) (2) (3) 纸面平移 在开始瞬间，以哪种方式运动的矩形线圈中的感应电流最 (4) 大？ [ ] (A) 以图(1)所示方式运动 (B) 以图(2)所示方式运动 (C) 以图(3)所示方式运动 (D) 以图(4)所示方式运动 解：因图(3)方式运动时，磁通量变化率最大，感应电动势最大，而回路电阻不变，故以 图(3)所示方式运动时矩形线圈中的感应电流最大 选C 4．如图所示，闭合电路由带铁芯的螺线管，电源，滑线变阻器组 成。问在下列哪一种情况下可使线圈中产生的感应电动势与原电流 Ｉ的方向相反。 [ ] (A) 滑线变阻器的触点 A 向左滑动 (B) 滑线变阻器的触点 A 向右滑动
本习题版权归西南交大理学院物理系所有
《大学物理 AI》作业
No.11 电磁感应
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、选择题
v v 1．如图，长度为 l 的直导线 ab 在均匀磁场 B 中以速度 v 移动，
直导线 ab 中的电动势为 [ ] (A) Blv (B) Blv sinα (C) Blv cosα (D) 0 解：直导线 ab 中的感应电动势为动生电动势，如图有
x
i >0，则i 方向与所设绕行正向 O→M→N→O 一致，即在导体 MN 内i 方向由 M 向 N
(2) 对于非均匀时变磁场
三角形金属框 OMN 的磁通量：
Φ = ∫ d Φ = ∫ Kξ 2 cos ω t tg θ d ξ = Kx 3 cos ω t tg θ
0
1 3
dΦ 1 框架内的感应电动势：i = − = Kω x 3 sin ω t tg θ − Kx 2v cos ω t tg θ dt 3 1 = Kv 3 tg θ ( ω t 3 sin ω t − t 2 cos ω t ) 3
| i (t ) |=
感应电流的大小为
εi
R
=
μ0λ a dv(t ) ln 2 2πR dt
v
3．如图所示，有一弯成θ 角的金属架 COD 放在磁场中，磁感强度 B 的方向垂直于金属
架 COD 所在平面。一导体杆 MN 垂直于 OD 边，并在 v v 金属架上以恒定速度 v 向右滑动，v 与 MN 垂直。设 t x = 0。 求下列两情形， 框架内的感应电动势i。 =0 时， (1) 磁场分布均匀，且 B 不随时间改变。 (2) 非均匀的时变磁场 B = Kx cos ω t 。
O b
a
r B
ω abB
ω abB cos ω t
ω
O′
1 ω abB cos ω t 2 (E) ω abB sin ωt
(C)
解：因矩形线框绕 OO′ 轴在均匀磁场中以匀角速度 ω 旋转，则由图示有任一时刻穿过线 v 框的磁通量为
Φ = ∫ B ⋅ d S = Bab cos(90 o − ω t ) = Bab sin(ω t ) ，
I
v(t )
x dx
r r a Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫
0
2π ( a + x )
μ0 I
adx =
μ 0 Ia ln 2 2π
a a
a
λ
由法拉第电磁感应定律有：t 时刻正方形线圈中感应动势大小为
εi =
μ a μ λa dv(t ) dΦ dI = 0 ln 2 ⋅ = 0 dt 2π dt 2π dt
I
B
(
A
(C) 螺线管上接点 B 向左移动(忽略长螺线管的电阻) (D) 把铁芯从螺线管中抽出 解：原电流Ｉ在线圈中产生的磁场方向左，要使线圈中产生的感应电动势与原电流Ｉ的 方向相反，则感应电流Ｉ在线圈中产生的磁场方向应向右，只有滑线变阻器的触点 A 向 左滑动时，因原电流Ｉ增加，线圈中的磁通量增加，感应电流Ｉ在线圈中产生的磁场阻 止增加，故感应电流Ｉ在线圈中产生的磁场方向向右 选A 5．如图，矩形区域为均匀稳恒磁场，半圆形闭合导线回路在纸面内绕轴 O 作逆时针方向 匀角速度转动，O 点是圆心且恰好落在磁场的边缘上，半圆形闭合导线完全在磁场外时 开始计时。图(A)---(D)的 ε − t 函数图像中哪一条属于半圆形导线回路中产生的感应电动 势？[ ] ε