线线平行面面平行的判定与性质习题
(完整版)平行线及其判定与性质练习题
平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。
(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。
（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。
（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。
(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。
（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。
2.2 线面平行的判断和性质教师版
2.2 线面平行的判断和性质1．已知直线m l 、，平面αβ、，且,m l αβ⊥⊂，下列命题中正确命题的个数是 ①若//αβ，则 m l ⊥ ②若αβ⊥，则//m l ③若m l ⊥，则//αβ; ④若//m l ，则αβ⊥Ａ．1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】 试题分析：对于①由,m l αβ⊥⊂且//αβ，则β⊥m ，从而m l ⊥，所以正确；对于②由于,m l αβ⊥⊂且αβ⊥，则ββ⊂m or m ,,//,不能推出//m l ,所以不正确；对于③由于,m l αβ⊥⊂且m l ⊥，则不一正有//αβ，故不正确；对于④由于,m l αβ⊥⊂且//m l ，则α⊥l ，从而有αβ⊥，故正确；所以①④正确，故应选Ｂ． 考点：线面垂直和平行的关系．2．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若//,//,//;a b b c a c 则 ②若,,a b b c a c ⊥⊥⊥则； ③若//,//,a b γγ则a//b ； ④若,,//.a b a b γγ⊥⊥则其中真命题的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】 试题分析：①平行具有传递性，故正确；②垂直不具有传递性，a 与c 的方向任意，故错误；③平行于同一平面的直线位置也任意，故错误；④垂直与同一平面的两条直线平行，故正确.所以B 正确.考点：线面的位置关系.3．如图所示，正方体的棱长为a ，M 、N 分别为和AC 上的点，，则MN 与平面的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定【解析】又是平面的一个法向量， 且, ∴，又MN 面，∴MN ∥平面．选B ． 4．若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定【答案】D【解析】试题分析：如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此1l 、4l 的位置关系不确定，故选D.考点：本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题.5．在正三棱锥P ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中错误的结论个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】如图，设P 在面ABC 内射影为O ，则O 为正三角形ABC 的中心．①可证AC ⊥面PBO ，所以AC ⊥PB ；②AC ∥DE ，可得AC ∥平面PDE ;③AB 与DE 不垂直．选B ．6．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则A ．若m//α，n//α，则m//nB ．若m//α，m//β，则α//βC ．若m//n ，m α⊥，则n α⊥D ．若m//α，α⊥β，则m ⊥β【答案】C【解析】试题分析：因为两直线与同一平面平行，两直线位置关系不定，所以选项A 错误.当直线平行于两相交平面的交线时，该直线与两平面皆平行，所以选项B 错误.同样理由可得：选项D 错误.当 m α⊥，则m α⊥内任一直线l ，因为m//n ，所以n α⊥内任一直线l ，即n α⊥，因此选项C 正确.考点：线面关系判定7．正四面体ABCD 的棱长为1，其中线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，线段EF 在平面α上的射影11F E 长的范围是（ ）A.[0【答案】D 【解析】试题分析：如图，取AC 中点为G ，结合已知可得GF //AB ，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 旋转时，因为GF //平面α，GE与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值当CD 与平面α平行时，GE 在平面，11F E 取得最大值，所以射影11F E 长的取值范围是，故选D 考点：1线面平行；2线面垂直。
线面平行、面面平行的判定及性质练习
直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质练习一、选择题：1．下列命题中为真命题的是（）A．平行于同一条直线的两个平面平行B．垂直于同一条直线的两个平面平行C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行． 2．平面α∥平面β，直线aα，P∈β，则过点P的直线中（）A．不存在与α平行的直线 B．不一定存在与α平行的直线C．有且只有—条直线与a平行 D．有无数条与a平行的直线3．下列命题中，正确的是个数是( )①若两个不同平面不相交，那么它们平行。
②空间的两个相等的角所在的平面也平行。
③若一个平面内无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是( )A.平行 B．相交 C．相交或平行 D．以上答案都不对∈，那么过点P且平行于α的直线（）5.已知直线a∥平面α，PαA.只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是 ( )A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．以上答案都不对 7．下列结论中正确的是 ( )①α∥β，β∥γ，则α∥γ；②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；③平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行；④如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交。
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④8．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（）A．过A且平行于a和b的平面可能不存在B．过A有且只有一个平面平行于a和bC ．过A 至少有一个平面平行于a 和bD ．过A 有无数个平面平行于a 和b 9.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行； ③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等； ④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④10．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是 A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，b B ．过A 至少有一个平面平行于a ，b C ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 二、填空题：11．一条直线和一个平面平行，过此直线和这个平面平行的平面有________个。
(完整word版)线线平行面面平行判定与性质习题
线面、面面平行的判断与性质定理知识梳理线面平行判判定理________________________ 符号：性质定理 ________________________ 符号：面面平行判判定理________________________ 符号：性质定理 ________________________ 符号：联系线线平行线面平行面面平行1、在正方体ABCD A1B1C 1D 1中，E、F分别为BC、C1D1的中点。
求证： EF ∥平面BB1D1D。
2、在正方形ABCD A1 B1C1D1中，P、Q分别为 AD1、BD的中点。
证明： PQ ∥平面DCC1D1；3、正方体中ABCD A1 B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱 A1B1， A1D1， B1C1， C1 D1的中点。
求证：平面AMN ∥平面 EFDB 。
4、三棱柱ABC A1 B1C1中，D为线段 A1C1中点。
求证： BC1∥平面 AB1 D5、四棱锥 P-ABCD 中， E、 F 分别在 PA、 BD 上，且有PE：EA=BF：FD，证明：6.正方形 ABCD与正方形 ABEF所在平面订交于 AB，在 AE、BD上各有一点 P、Q，且 AP求证： PQ∥平面 BCE.7．以以下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1， BC1上分别有两点E， F，且求证： EF∥平面 ABCD.8、如图, E 、H分别是空间四边形A B C D的边A B、A D 的中点，平面α过E H分别交 BC 、CD 于 F、G.求证： EH∥ FG..9、求证：一条直线与两个订交平面都平行，那么这条直线与这两个订交平面的交线平行：如图 ,a∥ α,a∥β, α∩β，=b求证： a∥ b.。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
平行线的判定与性质(习题课)讲解学习
探究2、如图甲：已知AB∥DE,那么∠1+∠2+∠3等于多少度？试加以说明。 当已知条件不变，而图形变为如图乙时，结论改变了吗？图丙中的 ∠1+∠2+∠3+∠4是多少度呢？如果如丁图所示，∠1+∠2+∠3+…+∠n的和又为 多• 少度？你找到了什么规律吗？
1
2 3
1 2
3
1
2
3 4
1 2
3 4
n
求证： CD∥EF.
• 课堂练习6、 已知：如图∠1=∠2， ∠3=∠4，∠5=∠6，求证：EC∥FB
• 问题5、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠E=37°，求： ∠F。
A
B 问题探究 已知：AB∥CD，
1
E
2
C A
1
求证：∠A+ ∠ C+ ∠ AEC=
360°
F
证明：过E点作EF ∥ AB，则∠A+ ∠ 1= 180°
Z 形模式
next
应用模式
如图,若AB∥DF,∠2＝∠A,试确定DE与AC的位置关系,并说明理由.
A
E
F
2
B
D
C
引入
建模
应用
小结
next
应用模式
如图,图中包含哪些基本模式?
A E D
B F O C
引入
建模
应用
小结
next
应用模式
已知,如图AB∥EF∥CD,AC∥BD,BC平分∠ABC,则图中 与∠EOD相等的角有( )个.
图形
同a 位 角b
1 2 c
内 错
a3
角b
2
c
必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习
必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习本文档将介绍必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质，并提供相关练题。
一、线线平行的判定和性质1. 判定方法- 定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。
定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。
- 定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。
定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。
2. 性质- 平行线之间的距离相等。
- 平行线截取的两个平行线段成比例。
- 平行线相交的任意两对内错角相等，外错角相等。
- 平行线与一个横截线相交，所成的相应角、对应角均相等。
二、面面平行的判定1. 判定方法- 定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。
定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。
- 定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。
定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。
2. 性质- 平行面之间的距离相等。
三、线面垂直的判定1. 判定方法- 定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。
定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。
2. 性质- 垂直于同一平面的两条直线平行。
四、练题1. 若两线段的长度相等，能判断这两条线段平行吗？若能，请说明理由。
2. 若两平行线上的两点与另外一直线上的两点分别相连，那么这四条线段相交于一点还是两点？请说明理由。
3. 若两平面平行，能判断这两个平面之间的距离吗？请说明理由。
以上是必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质的介绍及练题。
通过理解和练这些内容，你将更好地掌握立体几何的基本概念和性质。
希望对你有帮助！。
2022高三总复习数学 直线、平面平行的判定与性质(含解析)
直线、平面平行的判定与性质A 级——基础达标1．(2021·宁夏大学高三模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂α，则“α∥β ”是“m ∥β且n ∥β ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂α，则“α∥β ”得“m ∥β且n ∥β ”，根据面面平行的判定定理得“m ∥β且n ∥β ”不能得到“α∥β ”，所以“α∥β ”是“m ∥β且n ∥β ”的充分不必要条件．故选A ．2．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CF FB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .3．下列四个正方体中，A ，B ，C 为所在棱的中点，则能得出平面ABC ∥平面DEF 的是( )解析：选B 在B 中，如图，连接MN ，PN ，∵A ，B ，C 为正方体所在棱的中点，∴AB ∥MN ，AC ∥PN ，∵MN ∥DE ，PN ∥EF ，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25解析：选D∵平面α∥平面ABC，∴AB∥平面α.又∵平面α∩平面PAB＝A′B′，∴A′B′∥A B．∵PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴A′B′∶AB＝2∶5，∴S△A′B′C′S△ABC＝⎝⎛⎭⎫A′B′AB2＝425，故选D.5．(多选)(2021·山东济南质检)下列四个命题中正确的是()A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行B．过直线外一点有无数个平面与这条直线平行C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行D．过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行解析：选BC A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故A错误；B．过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，过这条直线有无数个平面与已知直线平行，故B正确；C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故C 正确；D．过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条直线平行，故D错误．故选B、C．6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D1解析：选AC连接AD1、A1C1(图略)，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故A项正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故B项错误；因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故C项正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG 与平面BC1D1相交，故D项错误．故选A、C．7.(2021·浙江省镇海中学高三模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC．又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.答案： 28．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形9．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③10．在正四面体S -ABC 中，M ，E ，F 分别是SA ，AB ，AC 的中点，当点P 在线段EF 上运动时，直线MP 与平面SBC 的位置关系是________．解析：连接ME ，MF (图略)，因为M ，E ，F 分别是SA ，AB ，AC 的中点，所以ME ∥SB ，MF ∥SC ，而ME ∩MF ＝M ，SB ∩SC ＝S ，ME ，MF ⊂平面MEF ，SB ，SC ⊂平面SBC ，所以平面MEF ∥平面SBC ，又点P 在线段EF 上，即MP 在平面MEF 内，所以由面面平行的性质定理可得MP ∥平面SBC ，故直线MP 与平面SBC 的位置关系是平行．答案：平行11.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ；(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，因为OG綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ，EG ⊄平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ，所以四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12.如图所示，四棱锥A -BCDE 中，BE ∥CD ，BE ⊥平面ABC ，CD＝32BE ，点F 在线段AD 上． (1)若AF ＝2FD ，求证：EF ∥平面ABC ；(2)若△ABC 为等边三角形，CD ＝AC ＝3，求四棱锥A -BCDE 的体积．解：(1)证明：取线段AC 上靠近C 的三等分点G ，连接BG ，GF .因为AG AC ＝AF AD ＝23， 则GF ＝23CD ＝BE . 而GF ∥CD ，BE ∥CD ，故GF ∥BE .故四边形BGFE 为平行四边形，故EF ∥BG .因为EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC ．(2)因为BE ⊥平面ABC ，BE ⊂平面BCDE ，所以平面ABC ⊥平面BCDE .所以四棱锥A -BCDE 的高即为△ABC 中BC 边上的高．易求得BC 边上的高为32×3＝332. 故四棱锥A -BCDE 的体积V ＝13×12×(2＋3)×3×332＝1534. B 级——综合应用13．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 则以上说法中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C连接PM(图略)，因为M，P分别为AB，CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以四边形PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P，故①正确．显然A1M与B1Q为异面直线，故②错误．由①知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，所以A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，故③④正确．则正确说法的个数为3，故选C．14．(多选)(2021·高密市高三模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个选项，其中正确的为() A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个B．若PD＝3，则点P的轨迹是一段圆弧C．若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2D．若PD∥平面ACB1，且PD＝3，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为9π4解析：选ABD如图，∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，∴B1D1＝22，又侧棱AA1＝1，∴DB1＝(22)2＋12＝3，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故A正确；∵PD＝3∈(1,3)，DD1＝1，则PD1＝2，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值为(2)2＋12＝3，故C错误；由C知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为1222＋22＋12＝32，面积为9π4，故D正确．故选A、B、D.15．(2021·烟台模拟)如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．(1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD；(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由．解：(1)证明：在平面图形中，连接MN(图略)，设MN与AB交于点G.当点F，A，D不共线时，如图，MG∥AF，NG∥AD.又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，∴平面GNM∥平面ADF.又MN⊂平面GNM，∴MN∥平面ADF.故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.(2)这个结论不正确．要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点．理由如下：当点F，A，D共线时，如题图，∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥D B．又AM＝DN，∴四边形ADNM是平行四边形，∴MN∥AD，∴MN∥FD.当点F，A，D不共线时，由(1)知平面MNG∥平面FDA，则要使MN∥FD 总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可．若要使FD与MN共面，连接FM(图略)，只要FM与DN相交即可．∵FM⊂平面ABEF，DN⊂平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，此时只有M，N分别为AE，DB的中点才满足．由FM∩DN＝B，可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面．∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FDA，∴MN∥FD.C级——迁移创新16.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析：选C过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵MQ AQ ＝DD1AD＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故选C．。
高中数学必修二2.2-直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
线面面面平行的判定(习题)
学点二 面面平行的判定 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证： 平面A1MN∥平面BDFE.
【评析】常用两个平面平行的判定定理 证明两平面平行，实质是通过线线平行 转化为线面平行，先观察平面内已有的 直线是否平行，若不存在，再利用条件 有针对性地作辅助线找出平行直线.
言表示为 判定定理 ,
aβ,b. β,a∩b=P,
用a图∥形α表,b∥示α为 β∥α
学点一 线面平行的证明
已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线 段，E，F，G分别是AB,BC,CD的中点.求证: 平面EFG和AC平行,也和BD平行.
C
A
F
E
G
B D
如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,试判断BD1与平面AEC的位置关系,并证明.
线面、面面平行的判定
（习题课）
1.平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线与
此平面 平行.这个定理叫做
直线与平面平行的 判定定.理
符号语言表示为.用图形表示为
.
a α,b α,且a∥b a∥α
2.一这相两交个直平线
面平行.这个定理叫做平面与
平面平行的 .符号语
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ing a 性质定理________________________符号：
th 面面平行判定定理________________________符号：
r some 联系
to only one thing 8、
ufferin 如图,E、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、AD 的中点，平面 α 过 EH 分别交 BC、CD 于 F、G. S 求证：EH∥FG. r something and 9、求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行. fo 已知：如图,a∥α,a∥β,α∩β=b， to only one thing at a time and All things in their being are good 求证：a∥b.
性质定理________________________符号： 线线平行
od fo 线面平行
面面平行
go 1、在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BC、 C1D1 的中点。
are 求证：EF∥平面 BB1D1D 。
s in their being 2、在正方形 ABCD A1B1C1D1中，P、Q 分别为 AD1、BD 的中点。 thing 证明：PQ∥平面 DCC1D1；
4、已知三棱柱 ABC A1B1C1 中，D 为线段 A1C1 中点。 求证： BC1 ∥平面 AB1D
5、四棱锥 P-ABCD 中，E、F 分别在 PA、BD 上， 且有 PE：EA=BF：FD，证明：EF//平面 PBC。
6.正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE、BD 上各有一点 P、Q，且 AP=DQ. 求证：PQ∥平面 BCE.
a time and All 3、正方体中 ABCD A1B1C1D1 中，M，N，E，F 分别是棱 Aห้องสมุดไป่ตู้B1， A1D1， B1C1 ，C1D1的中点。 at 求证：平面 AMN∥平面 EFDB。
7．如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对角线 AB1，BC1 上分别有两点 E，F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.