面面平行的判定与性质
两个平面平行的判定和性质
α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形
线面平行面面平行的性质与判定定理
提问
一、直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
精面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线//面
面//面
由a //, 通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
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二、两个平面平行具有如下的一些性质：
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交， 那么它也和另一个平面相交
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等
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证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aα，bβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理：
//=a,=ba//b
想一想：这个定理的作用是什么?
答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
小结：一、直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直
线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和
交线平行。
a// ,
a
a ,
a // b
b
= b
注意：
1、定理三个条件缺一不可。
面面平行定理和判定定理
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本店铺将会继续努力、改进、创新，给大家提供更加优质符合大家需求的文档。
感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。
具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。
面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。
面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。
首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。
根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。
但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。
因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。
同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。
这样，面面平行定理得证。
二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。
这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。
判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。
线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。
面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。
两平面平行的判定方法
两平面平行的判定方法平面几何中，两平面平行是重要的概念，因为它涉及到许多实际问题，例如建筑、地图制作和制造业。
在本文中，我们将讨论10种不同的方法来判断两个平面是否平行，并提供详细说明。
1. 平行线性质法确定两个平面是否平行的最简单方法之一是检查它们所包含的直线。
如果两个平面包含两组平行直线，则这两个平面平行。
这被称为平行线性质。
平面上的平行线永远不会相交，而它们的距离始终相等。
2. 夹角相等法两个平面平行的另一种方法是它们的夹角相等。
当两个平面之间的夹角相等时，它们被认为是平行的。
这里需要注意的是，夹角是指两个平面的法线之间的角度。
3. 垂线判定法如果一条直线是第一个平面上的一条直线，并且以该直线垂直于第二个平面，则第一个平面和第二个平面是平行的。
垂线判定法基于这个原理。
这可通过将两个平面移到同一位置并在它们之间引入垂线来证明。
4. 辅助平面法辅助平面法是一种使用第三平面来判断两个平面平行的方法。
如果两个平面与第三个平面平行，则它们彼此平行。
该方法特别适用于设计要求多个平面平行的情况，例如构建多层建筑物。
5. 截线判定法如果一条直线是第一个平面和第二个平面上的两条直线的截线，则这两个平面平行。
截线判定法基于这个概念。
如果相交的两条线都是平面上的同一直线的截线，则这两个平面平行。
6. 倾斜角相等法倾斜角相等法是一种快速确定两个平面是否平行的方法。
如果两个平面的倾斜角相等，则这两个平面是平行的。
这种方法只能用于倾斜角相等的情况。
7. 向量法向量法是另一种判断两个平面是否平行的方法。
如果两个平面的法线向量相同，则它们是平行的。
将两个平面的向量相减，如果它们的值为零，则它们平行。
8. 距离法距离法是判断两个平面平行的一个简单方法，它基于平面之间的平行线性质。
如果两个平面的法线距离相等，则这两个平面平行。
用法线测量两个平面之间的距离，以确定它们是否平行。
9. 投影法投影法可以通过平面上点的投影来确定两个平面是否平行。
面面平行的判定与性质
符号语言：
a⊂β b⊂β a ∩ b = P ⇒ β / /α a / /α b / /α
判定定理:一个平面内两条相交直线分别 判定定理 一个平面内两条相交直线分别 一个平面内两条相交直线 平行于另一个平面 那么这两个平面平行. 另一个平面， 平行于另一个平面，那么这两个平面平行
αβ 判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另 判定定理 一个平面内两条相交直线分别平行于另
a
作业
• 必做 教材 必做:教材 教材45~46页 习题 页 习题1~5 • 选做:教材 页 10 选做 教材46页 教材
4.已知两条直线和三个平 4.已知两条直线和三个平 A 行平面都相交， 行平面都相交，求证所截 α 得的线段对应成比例． 得的线段对应成比例． 已知: α ∥ β ∥γ , 直线a 和 b 分别交 已知 B
γ
β
α
平行
二层楼房示意图
二、两平面平行： 两平面平行：
1、定义：如果两个平面没有公共点，那 定义：如果两个平面没有公共点， 没有公共点 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面. 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
（ ）、平面α平行于平面β，记作：α // β . 1
(2)、 画法： (2)、 画法：
判定定理剖析： 判定定理剖析：
1〉两条 条件要点：β内有2〉相交 直线 3〉分别和α平行 结论：β // α
β
P
b a
α
证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 一个平面内找出 找出两条相交直线分别平行于另一 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面. 个平面.
a
α
b
立体几何平行垂直的判定定理与性质定理总结
1线面平行的判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
2线面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
3面面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
4面面平行的性质定理：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
. 5线面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
6线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
7面面垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
8面面垂直的性质定理：
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.。
面面平行的判定和性质
图形语言
符号语言
l∥a a⊂α
l⊄α
⇒l∥α
___l∥__a___ ___l⊂__β___
_α_∩__β_＝__b_
⇒l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
一个平面内的两条相交直线 与 判定 另一个平面平行，则这两个平 定理 面平行(简记为“线面平行⇒面
面平行”)
如果两个平行平面同时和第三 性质 个平面相交 ，那么它们的交__线__ 定理
练1
在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变 为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示，连接A1C，AC1，交于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD， ∵D为BC的中点，∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1， 又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1， 又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， 因此平面A1BD1∥平面AC1D.
课堂总结： 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
两平面平行的判定和性质
a'
β
b'
a
A
α
b
例4：已知P在△ABC所在的平面外，点A’、B’、C’分别是△PAB、 △PBC、△PAC的重心。求证：平面A’B’C’∥平面ABC.
P
思考：能否求出 △ A’B’C’与△ ABC 的面积之比？
C′
A′ A D B F
B′
C
E
小结：
1 两个平面的位置关系：相交
平行（及定义）
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？ α
a b
β
（１）
（２）
如果一个平面与两个平行平面相交，会 有什么结果出现？
三、两平面平行的性质
定理：如果两个平行平面同时与第三个平面 相交，那么它们的交线平行。
思考：两平面平行的性质定理与线面平行 例３：求证夹在两平行平面间的两条平行 的性质定理有什么不同？ 线段相等。 已知： a∥β AB和DC为夹在a、 D A β间的平行线段。 求证： AB＝DC 证明：
B
C
证明： 连接AD、BC ∵AB//DC
A
D ∴ AB和DC确定平面AC
B
C
又因直线AD、BC分别是平面 AC与平面a、β的交线， ∴AD//BC，四边形ABCD是平行 四边形
∴AB＝DC
例5：平行于同一个平面的两个平面平行。
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α ∥β
α A B
构造两个相交的平面M和N平面， 分别与α 、β 、γ 平面相交与a、c、 β e和b、d、f
思路1：在平面PAD内 找MN平行线。 思路2：过MN构造平面PAD 的平行平面。 B H
A M
N