数学必修2第二章线面平行、面面平行的判定及性质测验
高中数学必修二2.2 直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
si r2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定●知识梳理1简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a ∥αa ∥b●知能训练一．选择题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n2．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（ ）A ．α内存在直线与l 异面B ．α内存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交3．如图，M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行．其中真命题是（ ）godfo rs A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．P 在对角线BD 1上，且BP ＝BD 1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面APC ；（2）C 1Q ∥面APC ；（3）A ，P ，M 三点共线；（4）面MNQ ∥面APC ．正确的序号为（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（4）C ．（2）（3）D ．（3）（4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（ ）A ．12条B ．18条C ．21条D ．24条6．直线a ∥平面α，P ∈α，那么过P 且平行于a 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的（ ）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（ ）A ．DD 1B ．A 1D 1C ．C 1D 1D ．A 1D9．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则 等于（ ）A ．1/2B ．1C ．2D ．3re o od fo rs10．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E ，F ，EF=，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值的中点，AA =AB=2．an d2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1符号表示：βa βb ∩ = β∥a b p α∥a α∥b α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3●知能训练一．选择题1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β；其中可以判定α∥β的是（ ）A．①B．②C．①③D．③2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（ ）A．平行B．相交C．异面D．以上都不对h i n（1）求证：平面PCD ∥平面MBE ；（2）求四棱锥M-BCDE 的体积．2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质知识梳理1简记为：线面平行则线线平行。
数学必修2第二章线面平行、面面平行的判定及性质练习测试
精心整理2.2 线面平行、面面平行的判断例题分析 :例 1. 如图， ABCD 是平行四边形， S 是平面 ABCD 外一点， M 为SC 的中点 .求证： SA ∥平面MDB.例 2. 正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于 AB ， M 、 N 在对角线 AC 、 FB 上，且 AM FN ，求证： MN // 平面 BCE F E例 3. 已知 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过 GN和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH ，求证： AP ∥GH 、例 4. 如图，在空间四边形 ABCD 中， P 、 Q 分别是△ ABC 和△ BCD 的重心 . 求证： PQ ∥平面 ACD.A B例 5. 如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD 1 的中点，设 Q 是 CC 1 上的点，问：当点 Q 在什么地点时，平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO? M稳固练习： D C1. 若 l // ， A ，则以下说法正确的选项是（）A. 过 A 在平面 内可作无数条直线与 l平行 B. 过 A 在平面内仅可作一条直线与 l 平行C.过 A 在平面 内可作两条直线与 l平行 D.与 A 的地点相关2. 若直线 a ∥ 直线 b ，且 a ∥ 平面 ，则 b 与 a 的地点关系是（）A 、必定平行 B 、不平行 C 、平行或订交 D 、平行或在平面内3. 如图在四周体中，若直线 EF 和GH订交，则它们的交点必定（） . A.在直线 DB 上 B. 在直线 AB 上C.在直线CB上 D.都不对 4. 一条直线若同时平行于两个订交平面，则这条直线与这两个平面的交线()A ．异面B ．订交C ．平行D ．不确立5. 已知平面 、β 和直线 m ，给出条件： ①m ∥ ； ②m ⊥ ； ③m? ； ④ ⊥β；⑤ ∥β . 为使m ∥β，应选择下边四个选项中的 ()A ．①④B． ①⑤C．②⑤D．③⑤6. 若直线 l 与平面α的一条平行线平行，则 l 和 的地点关系是 ()A. lB. l //C. l或l//D. l 和 订交7 若直线 a 在平面 内，直线 a,b 是异面直线，则直线A ．订交 B. 平行 C. 订交或平行 D.订交且垂直 8. 若直线 l 上有两点 P 、 Q 到平面 的距离相等，则直线A. 平行B. 订交C.平行或订交D.平行、订交或在平面b 和平面的地点关系是 l 与平面 的地点关系是内()()9. 以下命题正确的个数是 (???)(1) 若直线 l 上有无数个点不在α内，则 l ∥精心整理(2)若直线 l 与平面α平行， l 与平面内的随意向来线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若向来线 a 和平面内向来线 b 平行，则 a∥A.0 个???????B.1 个 ??????C.2 个 ???????D.3 个10.如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是平行四边形， M ， N 分别是AB ， PC 的中点．求证： MN // 平面 PAD ．11.如图 , S 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M , N分别是SA, BD上的点，且AM=BN,SM ND求证： MN // 平面 SBC12.如图 A 、 B 、C分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心 . 求证：面A B C∥面ABC.13.如图，空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、 BC 成60o的角，且 AD 面分别交 AB、 AC、CD、BD于E、F 、G、H ．A （１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２） E 在 AB 的哪处时截面 EGFH 的面积最大？最大面积是多少？ASPM D C BC 2 ，平行于AD与BC的截·N· B·CCB。
(完整版)高中数学必修二2.2直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习
必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习本文档将介绍必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质，并提供相关练题。
一、线线平行的判定和性质1. 判定方法- 定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。
定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。
- 定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。
定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。
2. 性质- 平行线之间的距离相等。
- 平行线截取的两个平行线段成比例。
- 平行线相交的任意两对内错角相等，外错角相等。
- 平行线与一个横截线相交，所成的相应角、对应角均相等。
二、面面平行的判定1. 判定方法- 定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。
定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。
- 定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。
定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。
2. 性质- 平行面之间的距离相等。
三、线面垂直的判定1. 判定方法- 定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。
定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。
2. 性质- 垂直于同一平面的两条直线平行。
四、练题1. 若两线段的长度相等，能判断这两条线段平行吗？若能，请说明理由。
2. 若两平行线上的两点与另外一直线上的两点分别相连，那么这四条线段相交于一点还是两点？请说明理由。
3. 若两平面平行，能判断这两个平面之间的距离吗？请说明理由。
以上是必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质的介绍及练题。
通过理解和练这些内容，你将更好地掌握立体几何的基本概念和性质。
希望对你有帮助！。
高一数学人教版A版必修二：2 直线与平面平行的判定 牛老师
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
连接D1H，在△DD1H中，
∵DDOH＝23＝DDDG1，∴GO∥D1H， 又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF， ∴GO∥平面D1EF.
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解析答案
规律与方法
1.判断或证明线面平行的常用方法 (1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作). (2)判定定理法：(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). (3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内. 2.证明线线平行的常用方法 (1)利用三角形、梯形中位线的性质. (2)利用平行四边形的性质. (3)利用平行线分线段成比例定理.
外一点，E、FE.
证明 如图，取PC的中点M， 连接 ME、MF，则 FM∥CD 且 FM＝12CD. 又∵AE∥CD 且 AE＝12CD， ∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形. ∴AF∥ME，
又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
a⊄α b⊂α a∥b
⇒a∥α
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 直线与平面平行的判定定理
例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( D )
A.相交
B.b∥α
C.b⊂α
D.b∥α或b⊂α
解析 由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.
人教新课标版数学必修2第2章 学业分层测评13直线与平面平行的性质
学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确．【答案】 A2．如图2-3-24，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()图2-3-24A．平面ABCDB．平面PBCC．平面PADD．平面PBC【解析】由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD ⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.【答案】 C3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γA[A正确．B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交，D错，有可能α与β相交．故选A.]4．如图2-3-25，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为()图2-3-25A．60°B．30°C．45°D．15°【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，∴C对．【答案】 C5．如图2-3-26，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图2-3-26A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．【答案】 D二、填空题6．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，那么二面角P-BC-A的大小为__________．【解析】取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P-BC-A 的平面角，OP＝OA＝3，PA＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.【答案】90°7．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A-C1D1-C为45°，二面角A-BC-C1为90°.则这两个二面角既不相等又不互补．【答案】 错误三、解答题8．如图2-3-27，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，AC ∩BD ＝E ，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：平面PBD ⊥平面PAC .图2-3-27【证明】 ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BC AB ＝3，∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .9．如图2-3-28，在圆锥PO 中，AB 是⊙O 的直径，C 是上的点，D 为AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC .图2-3-28【证明】 如图，连接OC ，CB ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，所以AC ⊥PO .因为OD ，PO 是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.[能力提升]10．如图2-3-29所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是()图2-3-29A．AD⊥平面BCDB．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.【答案】 D11．在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为9 25.(1)求证：平面ABD⊥平面CBD；(2)若M是AB的中点，求三棱锥A-MCD的体积．图2-3-30【解】 (1)证明：在菱形ABCD 中，记AC ，BD 的交点为O ，AD ＝5，OA ＝4，∴OD ＝3，翻折后变成三棱锥A -BCD ，在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC＝25＋25－2×5×5×925＝32，在△AOC 中，OA 2＋OC 2＝32＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ，又AO ⊥BD ，OC ∩BD ＝O ，∴AO ⊥平面BCD ，又AO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面CBD .(2)∵M 是AB 的中点，所以A ，B 到平面MCD 的距离相等，∴V A －MCD ＝V B －MCD ＝12V A －BCD ＝16S △BCD ·AO ＝8.。
高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面平行的判定全面版
直线与平面、平面与平面平行的判断【知识梳理】1．直线与平面平行的判断表示图形文字定理直线与平面平行平面外一条直线与此平面内向来线平行，则该的判断定理直线与此平面平行2．平面与平面平行的判断表示图形文字地点一个平面内的两条平面与平面平行订交直线与另一个平面的判断定理平行，则这两个平面平行符号a?αb? α ? a∥ αa∥ b符号a? βb? βa∩b＝ P? α∥ βa∥αb∥ α【常考题型】题型一、直线与平面平行的判断【例 1】已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内， P，Q 分别是对角线 AE， BD 上的点，且 AP＝ DQ (如图 ) ．求证： PQ∥平面 CBE.[ 证明 ]作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连结MN，如图，PM EP QN BQ则 PM∥QN，AB＝EA，CD＝BD.∵EA＝ BD，AP ＝DQ ，∴EP＝ BQ.又 AB＝ CD ，∴PM 綊 QN，∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ∥MN .又 PQ?平面 CBE， MN? 平面 CBE，∴PQ∥平面CBE.【类题通法】利用直线和平面平行的判断定理证明线面平行的重点是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公义等．【对点训练】1.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， E，F 分别是 PB ，PC 的中点．证明： EF∥平面 PAD.证明：在△PBC 中， E， F 分别是 PB， PC 的中点，∴EF∥BC.又 BC ∥AD ，∴EF ∥AD .∵AD ? 平面 PAD， EF?平面 PAD，∴EF∥平面PAD .题型二、面面平行的判断【例 2】如图，在正方体ABCD — A1B1C1D1中， M、 E、F、N 分别是 A1B1、 B1C1、 C1D1、 D 1A1的中点．求证： (1) E、 F 、B、 D 四点共面；(2) 平面 MAN ∥平面 EFDB .[证明 ] (1)连结 B1D1，∵E、 F 分别是边B1 C1、 C1D1的中点，∴EF∥B1D 1.而 BD∥B1D 1，∴BD∥EF.∴E、 F 、 B、 D 四点共面．(2) 易知 MN ∥B1D1， B1D 1∥BD，∴MN ∥BD .又 MN?平面 EFDB ， BD? 平面 EFDB .∴MN ∥平面EFDB .连结 MF .∵M、 F 分别是 A1B1、 C1D1的中点，∴MF ∥A1D 1，MF ＝ A1D1.∴MF ∥AD ， MF ＝AD .∴四边形 ADFM 是平行四边形，∴ AM ∥DF .又 AM?平面 BDFE ， DF ? 平面 BDFE ，∴AM ∥平面BDFE .又∵AM∩MN ＝M，∴平面 MAN ∥平面EFDB .【类题通法】两个平面平行的判断定理是确立面面平行的重要方法．解答问题时必定要追求好判断定理所需要的条件，特别是订交的条件，即与已知平面平行的两条直线一定订交，才能确立面面平行．【对点训练】2.如图，已知四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M， N， Q 分别在 PA， BD ，PD 上，且 PM ∶MA＝ BN∶ ND ＝PQ∶ QD.求证：平面 MNQ ∥平面PBC.证明：∵PM ∶MA＝ BN∶ND ＝PQ∶QD ，∴MQ ∥AD ， NQ∥BP.∵BP? 平面 PBC， NQ?平面 PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面 ABCD 为平行四边形，∴BC∥AD ，∴MQ ∥BC.∵BC? 平面 PBC， MQ?平面 PBC ，∴MQ ∥平面PBC.又 MQ ∩ NQ＝Q，依据平面与平面平行的判断定理，得平面MNQ ∥平面PBC.题型三、线线平行与面面平行的综合问题【例 3 】如图，在四棱锥O－ ABCD 中，底面ABCD 是边长为 1 的菱形， M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点．证明：直线MN ∥平面 OCD .[证明 ]如图，取OB中点E，连结ME，NE，则ME∥AB .又∵AB∥CD ，∴ME ∥CD .又∵ME?平面 OCD ， CD? 平面 OCD ，∴ME ∥平面OCD .又∵NE∥OC，且 NE?平面 OCD ， OC? 平面 OCD ，∴NE∥平面OCD .又∵ME∩ NE＝ E，且 ME ，NE? 平面 MNE，∴平面 MNE ∥平面OCD .∵MN ? 平面 MNE ，∴MN∥平面OCD .【类题通法】解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常有的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是互相联系、互相转变的．判断判断(2) 线线平行――→ 线面平行――→ 面面平行所以平行关系的综合问题的解决一定灵巧运用三种平行关系的判断定理．【对点训练】3.如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D 1中， S 是 B1D1的中点， E， F ，G 分别是 BC， DC ，SC 的中点．求证： (1) 直线 EG∥平面 BDD 1B1；(2) 平面 EFG ∥平面 BDD 1B1.证明： (1) 如图，连结 SB，∵E， G 分别是 BC， SC 的中点，∴EG∥SB.又∵SB? 平面 BDD 1B1， EG?平面 BDD 1B1.∴直线 EG∥平面BDD 1B1.(2) 连结 SD，∵F， G 分别是 DC， SC 的中点，∴FG ∥SD.又∵SD? 平面 BDD 1B1，FG ?平面 BDD 1B1，∴FG ∥平面BDD 1B1.又 EG∥平面BDD 1B1，且 EG? 平面 EFG ，FG ? 平面 EFG ，EG∩ FG ＝ G，∴平面 EFG ∥平面BDD 1 B1 .【练习反应】1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的地点关系是 ()A ．必定平行B ．必定订交C．平行或订交D．以上判断都不对分析：选 C可借助于长方体判断两平面对应平行或订交．2．能保证直线 a 与平面α平行的条件是 ()A ． b? α， a∥ bB ．b? α， c∥ α， a∥b， a∥ cC．b? α， A、B∈ a，C、 D∈ b，且 AC∥ BDD． a?α， b? α， a∥b分析：选 D由线面平行的判断定理可知， D 正确．3．正方体ABCD － A1B1C1D1中， E 为 DD 1的中点，则 BD1与过 A，C，E 三点的平面的位置关系是 ________．分析：如右图所示，连结BD 交 AC 于点 O.在正方体中简单获得点O为 BD 的中点．又由于 E 为 DD 1的中点，所以OE∥BD 1.又∵OE? 平面 ACE，BD 1?平面 ACE，∴BD 1∥平面ACE.答案：平行4．以下命题真命题序号为________①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条订交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．分析：①错，应为一平面内两订交直线与另一平面平行；②当两平面订交时，一面内也有无数条直线均与另一平面平行，②也不对；③中随意直线都与另一平面平行，也有两订交直线与另一平面平行，故③为真；④为两平面平行的判断定理，故④也为真．答案：③④5.如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面订交．EF ∥ AC，AB ＝2，EF ＝ 1.求证： AF ∥平面 BDE.证明：设 AC， BD 交于点 G，由于 EF∥AC，且 EF＝ 1，易得 AG＝12AC＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF∥EG.由于 AF?平面 BDE ，EG? 平面 BDE，所以 AF ∥平面BDE .你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
【精品】高中数学 必修2_直线、平面平行的判定 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)_基础
直线、平面平行的判定【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理；2.掌握两平面平行的判定定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题． 【要点梳理】【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 知识讲解1】 要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒. 要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件： ①直线a 在平面α外，即a α⊄； ②直线b 在平面α内，即b α⊂； ③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． （2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 图形语言：符号语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =I ，且//a β、//b β，则//αβ. 要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．【解析】 欲证明AC ∥平面EFG ，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC 平行于平面EFG 内的一条直线，如右图可知，只需证明AC ∥EF ．证明：如右图，连接AC ，BD ，EF ，GF ，EG ． 在△ABC 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴AC ∥EF ， 又AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 于是AC ∥平面EFG ． 同理可证BD ∥平面EFG ．【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．OO 1CDC 11A 1B 1例2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．证明：作PM ∥AB 交BE 于点M ，QN ∥AB 交BC 于点N ，则PM ∥QN ． ∴PM EP AB EA =，QN BQDC BD=． ∵AP=DQ ，∴EP=BQ ． 又∵AB=CD ，EA=BD ， ∴PM //QN ．∴四边形PMNQ 是平行四边形． ∴PQ ∥MN ．综上，PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， 又∵PQ ∥MN ，∴PQ ∥平面CBE ．【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键． 举一反三：【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 例1】【变式1】在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．证明：如图，取面ABCD 的中心O ，连1OC ．11//O C OC Q ，且11O C OC = ∴四边形11AOC O 是平行四边形11//AO OC ∴，又11OC BDC ⊂Q 平面 ∴1//AO 面1BC D【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.【解析】证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行.证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG ．∵F 为PD 中点，∴GF ∥CD 且GF=12CD ．∵AB ∥CD ，AB=CD ，E 为AB 中点，∴GF ∥AE ，GF=AE ，四边形AEGF 为平行四边形． ∴EG ∥AF ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ．【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．【变式3】 如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥E —ABC 的体积V ．【解析】（1）在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC ． 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD ．又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．（2）连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ，如下图， 则EG ⊥平面ABCD ，且12EG PA =． 在△PAB 中，AP=AB ，∠PAB=90°，BP=2， ∴2AP AB ==，22EG =． ∴1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴112123323E ABC ABC V S EG -∆=⋅=⨯⨯=． 类型二、平面与平面平行的判定例3．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．证明：∵AB //A 1B 1，C 1D 1//A 1B 1，∴AB //C 1D 1， ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，∴AD 1∥BC 1． 又AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1． 同理，BD ∥平面AB 1D 1，又BD ∩BC 1=B ，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．例4．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ． 证明：连接MF ，∵M 、F 分别是A 1B 1、C 1D 1的中点，且四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴MF //A 1D 1．又A 1D 1//AD ，∴MF //AD ，∴四边形AMFD 是平行四边形，∴AM ∥DF ．∵DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ， ∴AM ∥平面EFDB ． 同理，AN ∥平面EFDB ．又AM 、AN ⊂平面AMN ，且AM ∩AN=A ， ∴平面AMN ∥平面EFDB ．【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．举一反三：【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113例1】【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .证明：连32,PG PG ，并延长分别交AB ，AC 于M ，Q ，连MQ .因为32,G G 为重心，所以M ，Q 分别为所在边的中点. 又直线PM ∩PQ =P ，所以直线PM ，PQ 确定平面PMQ , 在△PMQ 中，因为32,G G 为重心，所以323221PG PG G M G Q==，所以23//G G MQ . 因为23G G ⊄面ABC ，MQ ⊂面ABC ，23//G G MQ ，所以23//G G 面ABC 同理13//G G 面ABC ，因为13G G ⊂面123G G G ，23G G ⊂面123G G G ，13233G G G G G =I ，23//G G 面ABC ，13//G G 面ABC ，所以面123//G G G 面ABC .【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．证明：由棱柱的性质知，B 1C 1//BC ，又D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以C 1E //DB ，则四边形C 1DBE 为平行四边形，因此EB ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面ADC 1，EB ⊄平面ADC 1，所以EB ∥平面ADC 1．连接DE ，同理，EB 1//BD ，所以四边形EDBB 1为平行四边形，则ED //B 1B ． 因为B 1B //A 1A （棱柱的性质），所以ED //A 1A ，则四边形EDAA 1为平行四边形，所以A 1E ∥AD ，又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1，所以A 1E ∥平面ADC 1．由A 1E ∥平面ADC 1，EB ∥平面ADC 1，A 1E ⊂平面A 1EB ，EB ⊂平面A 1EB ，且A 1E ∩EB=E ，所以平面A 1EB ∥平面ADC 1．【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D -中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．【解析】与平面AMN 平行的平面有以下三种情况：下面以上图（1）为例进行证明：证明：∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM，又BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．∵MN是'''MN B D，∆的中位线，∴//''A B D∵四边形''BD B D，∴MN∥BD，BDD B是平行四边形，∴//''又BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE．又AM、MN⊂平面AMN，且MN∩AM=M，由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE．【巩固练习】1．下列说法中正确的是（ ）A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2．已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中，a α⊂，,b c α⊂，则平面α、β的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．重合3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。
高中数学必修二同步练习题库：直线、平面平行的判定和性质(填空题：较难)
直线、平面平行的判定和性质（填空题：较难）1、如图所示，是三角形所在平面外一点，平面∥平面，分别交线段于′，若，则 __________．2、如图所示，在正方体中，、、、分别为棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及内部运动，则满足__________时，有平面．3、在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的重心，分别为侧棱的中点，有下列结论：①平面；②平面平面；③；④直线与直线所成角的大小为.其中正确结论的序号是__________.（写出所有正确结论的序号）4、如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则在翻折过程中：①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使；④存在某个位置，使平面.其中正确的命题是_________.5、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ<时，S为四边形；②当CQ＝时，S为等腰梯形；③当<CQ<1时，S为六边形；④当CQ＝1时，S的面积为.6、在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是_______7、设为互不重合的平面，W#W$W%.K**S*&5^U是互不重合的直线，给出下列四个命题：①②③④若；其中正确命题的序号为▲ .参考答案1、9：492、3、①②③4、①②④5、①②④6、7、④【解析】1、因为平面∥平面，所以，则，所以,所以，则,所以 ,又所以，所以有。
点睛：本题通过面面平行证明线面平行到线线平行的转化，利用三角形面积比等于边长的平方之比来求解，属于中档题。
2、∵，,∴面平面．∵点在四边形上及其内部运动，要使平面，则，故答案为．3、如图，连接，易得，所以平面，结论①正确；同理，所以平面平面，结论②正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以，又，所以，结论③正确.由于分别为侧棱的中点，所以，又四边形为正方形，所以，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为，知三角形为等边三角形，所以，故④错误，故答案为①②③ .【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角、线面平行的判定、面面平行的判定，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.4、解：取CD中点F，连接MF,BF，则MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正确.由，由余弦定理可得，所以为定值，所以①正确；B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，故②正确.假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，满足，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.综上，正确的命题是①②④点睛：有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．5、截面S与DD1的交点为M，由平面与平面平行的性质定理知AM∥PQ，若0<CQ< ，则M在线段DD1上(不包括端点)如图S为四边形，命题①正确；当CQ＝时，M点与D1重合，四边形APQD1为等腰梯形，命题②正确．③中，当<CQ<1时，连接AM交A1D1于N，则截面S为五边形APQRN，命题③错误．当CQ＝1时，截面S为菱形，其对角线长分别为，，则S的面积··＝，故命题④正确6、试题分析：过作，为垂足依题意可得平面又因为平面所以可得假设由可得所以四面体的体积==当且仅当成立故填考点：1 线面平行的性质 2 线面垂直 3 三棱锥的体积公式7、略。
高一数学_直线_平面平行的判定及性质典例整理含答案】
直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α;②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b .其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα⊂⊄ B.b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC = 7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α⊂b D .α//b 或α⊂b9. 下列命题正确的个数是（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 （4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥αA .0个 B.1个 C.2个 D.3个10. b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α是A.b 与α内的一条直线不相交B.b 与α内的两条直线不相交C.b 与α内的无数条直线不相交 D .b 与α内的所有直线不相交 11. 已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂α D .b ∥α或b 与α相交 三角形中位线 平面平行的性质12. 如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高， D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.解 SG ∥平面DEF ，证明如下： 方法一 连接CG 交DE 于点H ， 如图所示.∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB .在△ACG 中，D 是AC 的中点， 且DH ∥AG . ∴H 为CG 的中点. ∴FH 是△SCG 的中位线， ∴FH ∥SG .又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ， ∴SG ∥平面DEF .方法二 ∵EF 为△SBC 的中位线，∴EF ∥SB.∵EF ⊄平面SAB ，SB ⊂平面SAB ， ∴EF ∥平面SAB .同理可证，DF ∥平面SAB ，EF ∩DF =F ，∴平面SAB ∥平面DEF ，又SG ⊂平面SAB ，∴SG ∥平面DEF . 平行四边形的性质，平行线的传递性13. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证： （1）BF ∥HD 1； （2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1.又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE 21DC ， 又D 1G21DC ，∴OE D 1G ， ∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴GE ∥D 1O .又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1， DB ∩BF =B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H . 平行四边形的性质14. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1.证明 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ，∵N 为A 1B 1中点， ∴NF ∥B 1C 1，且NF =21B 1C 1， 又由棱柱性质知B 1C 1 BC ， 又M 是BC 的中点，∴NF MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形.AA 1C 1.∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面平行线分线段成比例15. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F . 求证：EF ∥平面ABCD .方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD . 面面平行的判定16. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？ 解 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO .又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ， D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 直线与平面平行的性质定理17. 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH .（2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD . ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC =AB ， ∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH .(2)解 设EF =x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形， ∴4x CB CF =.则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x .从而FG =6-x 23.∴四边形EFGH 的周长l =2(x +6-x 23)=12-x .又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）. 两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例18. 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB =CF ∶FD . （1）求证：EF ∥β;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC =4，BD =6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长. （1）证明 方法① 当AB ，CD 在同一平面内时， 由α∥β，平面α∩平面ABDC =AC ， 平面β∩平面ABDC =BD ，∴AC ∥BD ， ∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴EF ∥BD ， 又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.方法② 当AB 与CD 异面时， 设平面ACD ∩β=DH ，且DH =AC . ∵α∥β，α∩平面ACDH =AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH =CF ∶FD ， 又∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ， 又EG ∩GF =G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.三角形中位线（2）解 如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ， 且ME =21BD =3，MF =21AC =2， ∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF =60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得，EF =EMF MF ME MF ME ∠∙∙-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF =7或EF =19.16分19. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP =DQ . 求证：PQ ∥平面BCE.证明 方法一 如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE =BD . 又∵AP =DQ ，∴PE =QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴AEPE AB PM =，BD BQ DC QN =，DC QN AB PM =，∴PM QN ， ∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN . 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法二 如图所示，连接AQ ，并延长交BC 于K ，连接EK ，∵AE =BD ，AP =DQ ， ∴PE =BQ ， ∴PE AP =BQDQ① 又∵AD ∥BK ，∴BQ DQ =QKAQ②由①②得PE AP =QKAQ，∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法三 如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ， 连接QM .∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ， 即PM ∥平面BCE ， ∴PE AP =MBAM①又∵AP =DQ ，∴PE =BQ ，∴PE AP =BQDQ②由①②得MB AM =BQDQ，∴MQ ∥AD ， ∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE . 又∵PM ∩MQ =M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ， PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .20. 如图所示，正四棱锥P —ABCD 的各棱长均为13，M ，N 分别为PA ，BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ； （2）求线段MN 的长.（1）证明 连接AN 并延长交BC 于Q ， 连接PQ ，如图所示.∵AD ∥BQ ，∴△AND ∽△QNB ，∴NQ AN =NB DN =BQ AD =58，又∵MA PM =ND BN =85， ∴MP AM =NQ AN =58，∴MN ∥PQ ， 又∵PQ ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN ∥平面PBC .（2）解 在等边△PBC 中，∠PBC =60°，在△PBQ 中由余弦定理知 PQ 2=PB 2+BQ 2-2PB ·BQ cos ∠PBQ =132+2865⎪⎭⎫⎝⎛-2×13×865×21=642818，∴PQ =891，∵MN ∥PQ ，MN ∶PQ =8∶13，∴MN =891×138=7.。
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2.2 线面平行、面面平行的判定
例题解读:
例1.如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB.
例2.正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线
求证：//MN 平面BCE
例3.已知ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH、
例4. 如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心.求证：PQ ∥平面ACD.
例5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?
巩固练习：
1.若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ）
A.过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行
B.过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行
C.过A 在平面α内可作两条直线与l 平行
D.与A 的位置有关 2.若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ）
A 、一定平行
B 、不平行
C 、平行或相交
D 、平行或在平面内
3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线DB 上B.在直线AB 上 C.在直线CB 上 D.都不对
4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线(
A ．异面
B ．相交
C ．平行
D ．不确定
5.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的( ) A ．①④ B．①⑤C．②⑤ D．③⑤
6.若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 () A.α⊂l B.α//l C.αα//l l 或⊂ D.相交和αl
7若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直 8.若直线l 上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.相交C.平行或相交 D.平行、相交或在平面α内 9.下列命题正确的个数是( )
(1)若直线l 上有无数个点不在α内，则l ∥α
(2)若直线l 与平面α平行，l 与平面α内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a 和平面α内一直线b 平行，则a ∥α
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
10. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N
是AB ，PC 的中点．求证：MN //平面PAD ．
11.如图,S 是平行四边形
ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =ND
BN
, 求证：//MN 平面SBC
12. 如图A '、B '、C '分别是△PBC 、△PCA 、 △PAB 的重心.求证：面A B C '''∥ABC 面.
13.如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成o
60的角，且2B C AD ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H ． （１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；
（２）E 在AB 的何处时截面EGFH。