高考数学(理)总复习高考达标检测(五十)几何概型命题3角度——长度(角度)、面积、体积

高考达标检测（五十）几何概型命题3角度——长度（角度）、面积、体积 一、选择题
1.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接
AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )
A.1
2 B.32
C.13
D.14
解析：选C 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π
3，A ′点在A 点左右都可取
得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝1
3
.
2．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2
＋y 2
≤1成立的概率为( ) A.π2 B.π4 C.
π3 D.π5
解析：选B 如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x 2
＋y 2
≤1成立的平面区域为以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆的1
4与x 轴正半轴，y 轴
正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P ＝π41＝π
4.故选
B.
3．(2017·湖南师大附中检测)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，b ，则事件
“⎩⎪⎨⎪⎧
3a －1＞03b －1＞0
”发生的概率为( )
A.49
B.1
9 C.23
D.13
解析：选A 由题意可知⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤a ≤1，
0≤b ≤1，该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方
形，其面积是1.⎩⎪⎨⎪⎧
3a －1＞0，3b －1＞0，
0≤a ≤1，
0≤b ≤1表示的区域为一个边长为23的正方形，面积是4
9
，所以
所求概率为4
9
.
4．(2017·辽宁五校联考)若实数k ∈[－3,3]，则k 的值使得过点A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2
＋kx －2y －54
k ＝0相切的概率等于( )
A.12
B.13
C.14
D.16
解析：选D 由点A 在圆外可得k ＜0，由题中方程表示圆可得k ＞－1或k ＜－4，所以－1＜k ＜0，故所求概率为1
6
，故选D.
5．(2016·长沙三模)如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a ()a ∈
，π
与x 轴围成，向矩形OABC
内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为3
16
，则a 的值为( )
A.7π12
B.2π3
C.3π4
D.5π6
解析：选B 由题意知，阴影部分的面积为⎠⎛0a
sin x d x ＝(－cos x ) ⎪
⎪⎪
a 0
＝－cos a ＋
cos 0＝1－cos a ，根据几何概型的概率计算公式知1－cos a a ·
8a
＝316，即cos a ＝－1
2，而a
∈(0，π)，故a ＝2π
3
，故选B.
6．(2017·伊春模拟)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1， 2 ]的概率是( )
A.12
B.34
C.38
D.58
解析：选 B 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－
π6，π2，所以x ＋π
4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，3π4，由sin x ＋cos x ＝2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1， 2 ]，得22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，故要求的概率为
π2－0π2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＝3
4.
7．(2017·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ―→＋PC ―→＋2PA ―→
＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
A.14
B.13
C.12
D.23
解析：选C 如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB ―→＋PC ―→
＋2PA ―→
＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝
S △PBC S △ABC ＝1
2
，故选C. 8．(2016·烟台模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 2
无零点的概率为( )
A.12
B.23
C.34
D.14
解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2
－4b 2
<0， 即(a ＋2b )(a －2b )<0.∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b >0， ∴a －2b <0. 作出⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤a ≤1，0≤b ≤1，
a －2
b ＜0
的可行域(如阴影部分所示)，
易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×1
21×1＝3
4.
二、填空题
9．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两
段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3
的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )＞128得x 2
－12x ＋32＜0,4＜x ＜8，因此所求的概率等于8－412＝13
.
答案：1
3
10．(2017·湖北七市联考)AB 是半径为1的圆的直径，M 为直径AB 上任意一点，过点
M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率是________．
解析：依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于
12
－⎝
⎛⎭⎪⎫322＝1
2
，因此相应的点M 应位于线段AB 上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于1
2
.
答案：1
2
11．(2017·重庆检测)在不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥0
所表示的平面区域内随机地取
一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为________．
解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥2
表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，
因为S △ABC ＝12×3×32＝9
4，S △AOD ＝12×1×1＝1
2，
所以点P 恰好落在第二象限的概率为S △AOD S △ABC ＝1
294
＝2
9
.
答案：29
12.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD ，矩形 的一边BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．
解析：设AD ＝x ，AB ＝y ，则由三角形相似可得x a ＝
a －y
a
，解得y ＝a －x ，所以矩形的面
积S ＝xy ＝x (a －x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a －x 22＝a 24
，当且仅当x ＝a －x ，即x ＝a 2时，S 取得最大值a 2
4，所
以该点取自矩形内的最大概率为
a 2
41
2
×a ×a ＝12
. 答案：1
2
三、解答题
13．设关于x 的一元二次方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．
解：设事件A 为“方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2
＋2ax ＋
b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，
根据条件画出构成的区域，可得所求的概率为 P (A )＝3×2－12×2
2
3×2＝2
3
.
14．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．
(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．
解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)．
由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．
故满足a ·b ＝－1的概率为336＝1
12
.
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，
y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形
＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－1
2
×2×4＝21，
故满足a ·b <0的概率为21
25.。