数学必修二第二章测试题含标准答案
数学选修1-1第二章测试卷(含答案)
第二章测试卷 (本栏目对应学生用书P81)一、选择题(每小题5分，共60分) 1．抛物线y ＝－2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝12C ．y ＝18D ．y ＝－18【答案】C【解析】化成标准方程为x 2＝－12y ，所以准线方程为y ＝18.2．已知P ，Q 是椭圆9x 2＋16y 2＝1上的两个动点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点O 到弦PQ 的距离必等于( )A ．1B ．2C ．15D ．3 【答案】C【解析】选用特殊值法．选P ⎝⎛⎭⎫0，14，Q ⎝⎛⎭⎫13，0即可． 3．设抛物线y ＝ax 2(a >0)与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x 1，x 2，而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，则x 1，x 2，x 3关系是( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 3＝1x 1＋1x 2C ．x 1x 2＝x 2x 3＋x 1x 3D ．x 1x 3＝x 2x 3＋x 1x 2 【答案】C【解析】联立直线和抛物线的方程，得ax 2－kx －b ＝0，x 1x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ka ，由直线方程x 3＝－bk，结合得出答案． 4．若以x 2＝－4y 上任一点P 为圆心作与直线y ＝1相切的圆，那么这些圆必定过平面内的点( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(0，－1) D ．(－1，－1) 【答案】C【解析】由抛物线的定义可得．5．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )A ．52B ．2C ．3D ． 5【答案】A【解析】由于直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，故k ＝14，∴x 24－y 2＝1，由离心率e ＝1＋b 2a 2＝54＝52. 6．若抛物线y 2＝mx与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m 的值为( )A ．8B ．－8C ．±8D ．±4【答案】C【解析】由已知椭圆的焦点为(2,0)，(－2,0)，∴m 4＝2或m4＝－2.∴m ＝8或m ＝－8.7．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2有四个交点．其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率范围是( )A ．55<e <35B ．0<e <25C ．25<e <35D ．35<e <45【答案】A【解析】数形结合可知圆与椭圆有四个交点，则满足b <b2＋c <a ，结合b ＝a 2－c 2可求得离心率的范围是55<e <35. 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则此角的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤π6，π2B ．⎣⎡⎦⎤π3，π2C ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3D ．⎣⎡⎦⎤2π3，5π6【答案】C 【解析】b a＝e 2－1∈[1，3]，∴θ2∈⎣⎡⎦⎤π4，π3.∴θ∈⎣⎡⎦⎤π2，2π3.9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】C【解析】双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.10．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】B【解析】抛物线的焦点弦中最短的是通径，长为2p ＝4<5，所以这样的直线有两条．11．(2015年菏泽模拟)设双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为2且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A ．x 23－y 2＝1B ．x 24－y 212＝1C ．y 2－x 23＝1 D ．x 212－y 24＝1【答案】C【解析】抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，所以n >0>m ，n －m ＝4，2n＝2.所以n ＝1，m ＝－3.故选C ． 12．(2015年太原模拟)已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝⎛⎭⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．4B ．92C ．5D ．112【答案】B【解析】因为点P 在抛物线上，所以d 1＝|PF |－12(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝|PF |＋|P A |－12≥|AF |－12＝⎝⎛⎭⎫72－122＋42－12＝5－12＝92，当且仅当点P 是线段AF 与抛物线的交点时取等号，故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝________. 【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，由两点间距离公式，得⎝⎛⎭⎫p 2＋22＋32＝5，解得p ＝4.【答案】414．过(0,3)作直线l ，若l 和双曲线x 24－y 23＝1只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．【解析】直线与双曲线有一个公共点时有两种情况，一是相交，此时与渐近线平行，一是相切，要考虑全面．【答案】415．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 的倾斜角θ≥π4，l 交抛物线于A ，B 两点且A 在x 轴上方，则|F A |的取值范围是____________．【解析】直线过焦点，AF 的长可转化为点A 到准线的距离，所以A 点的横坐标越大，AF 的长越大，最小在O 点时，|OF |＝14.最大是AF 的倾斜角为π4时，设A (x 0，y 0)，过A 作x 轴的垂线，垂足为C ，在△ACF 中，|AC |＝y 0，|CF |＝x 0－14.因为|AC |＝|CF |，即y 0＝x 0－14，结合y 20＝x 0，得y 0＝2＋12，|AF |＝2y 0＝1＋22. 【答案】⎝⎛⎦⎤14，1＋2216．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．【解析】由题意知右焦点坐标为(1,0)， 斜率为2的直线方程为 2x －y －2＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，消去x ，得 3y 2＋2y －8＝0.解得y 1＝－2，y 2＝43.∴S △AOB ＝12×1×⎝⎛⎭⎫|－2|＋43＝53. 【答案】53三、解答题(共70分)17．(10分)指出方程(m －1)x 2＋(3－m )y 2＝(m －1)(3－m )所表示的曲线的形状． 【解析】当m ≠1，m ≠3时，把方程写成x 23－m ＋y 2m －1＝1.当1<m <3，m ≠2时，方程表示椭圆； 当m ＝2时，方程表示圆；当m <1或m >3时，方程表示双曲线； 当m ＝1时，方程表示x 轴； 当m ＝3时，方程表示y 轴．18．(12分)已知圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心为B 及点A (1,0)，点C 为圆上任意一点，求线段AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．【解析】如图，因为P 在AC 的垂直平分线上，所以|P A |＝|PC |，半径R ＝4＝|BC |＝|PC |＋|PB |，所以|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＝4>|AB |＝2.所以P 点轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，此椭圆中a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，方程为x 24＋y 23＝1.19．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x －1截得的弦长为15，求抛物线方程．【解析】设抛物线方程为y 2＝ax ，直线与抛物线的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝ax ，消去y 得4x 2－(4＋a )x ＋1＝0，x 1x 2＝14，x 1＋x 2＝4＋a 4，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 5 ×⎝⎛⎭⎫1＋a 42－1＝15， 解得a ＝－12或a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝－12x 或y 2＝4x .20．(12分)设双曲线方程与椭圆x 227＋y 236＝1有共同焦点且与椭圆相交，在第一象限的交点为A 且A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．【解析】由椭圆方程x 227＋y 236＝1得椭圆的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． ∵椭圆与双曲线的交点A 的纵坐标为4， ∴这个交点为A (15，4)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧42a2－(15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.21．(12分)若抛物线y ＝－x 2－2x ＋m 和直线y ＝2x 相交于不同的两点A ，B . (1)求m 的取值范围； (2)求|AB |；(3)求线段AB 的中点坐标． 【解析】联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x 2－2x ＋m ，消y 得x 2＋4x －m ＝0. (1)∵直线与抛物线有两个相异交点， ∴Δ>0，即42－4(－m )>0. ∴m >－4.(2)当m >－4时，方程x 2＋4x －m ＝0有两个相异实根，设为x 1，x 2，由根与系数的关系x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－m ，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25m ＋20.(3)设线段AB 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝－42＝－2，y ＝y 1＋y 22＝2x 1＋2x 22＝－4，∴线段AB 的中点坐标为(－2，－4)．22．(2014年新课标Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .【解析】(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .由MN 的斜率为34，可得b 2a 2c ＝34，即2b 2＝3aC ．将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4A ．①由|MN |＝5|F 1N |， 得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②，得9(a2－4a)4a2＋14a＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2 7.。
上海洪山中学必修二第二章《解析几何初步》检测题(含答案解析)
一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程是（ ） A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝02．已知圆22:(2)(2)10+++=C x y ,若直线:2l y kx =-与圆交于,P Q 两点,则弦长PQ 的最小值是( ) A ．5B ．4C ．25D ．263．若直线2x y -=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ） A ．0或4B ．1或3C ．2-或6D ．1-或34．已知M 、N 分别是圆()()22:161C x y ++-=和圆()()22:261D x y -+-=上的两个动点，点P 在直线:l y x =上，则PM PN +的最小值是（ ） A ．3172-B ．10C ．652-D ．125．方程(1)210a x y a --++=(a R ∈)所表示的直线（ ） A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(3,2)-D ．都是平行直线6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知ABC 的顶点(1,0),(0,2),B C AB AC -=，则ABC 的欧拉线方程为（ ）A ．2430x y --=B ．2430x y ++=C ．4230--=x yD ．2430x y +-=7．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥8．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A ．(3B ．2,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．3,23D ．(]2,49．已知E，F是四面体的棱AB，CD的中点，过EF的平面与棱AD，BC分别相交于G，H，则（）A．GH平分EF，BH AGHC GD=B．EF平分GH，BH GDHC AG=C．EF平分GH，BH AGHC GD=D．GH平分EF，BH GDHC AG=10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．16B．13C．1 D．211．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，B C的中点，将ADE，EBF△，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A DEF'的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE为底面的三棱锥G-DEF的高h的最大值为（）A263B463C．463D．26312．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（）A ．8,14253V L ==+ B ．8,1425V L ==+C ．8,16253V L ==+D ．8,1625VL ==+二、填空题13．m R ∈，动直线1:10l x my +-=过定点A ，动直线2:230l mx y m --=过定点B ，若直线1l 与2l 相交于点P （异于点,A B ），则PAB ∆周长的最大值为_________14．已知圆22C 9x y +=：，过定点(2,2)P 的动直线l 与圆C 交于,M N 两点， 则PM PN ⋅=______________.15．光线从点()0,5P -出发，经直线210x y -+=反射后到达点()2,0Q ，则光线从P 反射到Q 的总行程为______.16．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．17．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.18．在平面直角坐标系xOy 中,A 的坐标为(2,0),B 是第一象限内的一点,以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点,且圆C 在点A ,B 处的切线相交于P ,若P 的坐标为(4,2),则直线PB 的方程为_____. 19．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 31，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________. 20．已知等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA =D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C ABD -的外接球的表面积为____．21．一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计一个各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形（如图所示），高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用最少为_________元．22．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．23．如图①，一个圆锥形容器的高为2a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水面的高恰为a （如图②），则图①中的水面高度为_________．24．如下图所示，三棱锥P ABC -外接球的半径为1，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合.若3PB P ABC -的体积为_____________.三、解答题25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1CB 与1AC 所成角的大小； （3）求二面角1B AC C --的平面角的余弦值.26．在三棱锥A BCD -中，BCD △为等腰直角三角形，点E ，G 分别是线段BD ，CD 的中点，点F 在线段AB 上，且2BF FA =.若1AD =，3AB =，2CB CD ==.（Ⅰ）求证：//AG 平面CEF ； （Ⅱ）求直线AD 与平面CEF 所成的角.27．如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝23VC=1．（1）证明： AB ⊥VC ； （2）求三棱锥V —ABC 的体积．28．如图，在三棱锥P ABC -中，⊥PA AB ，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当//PA 面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出圆心坐标，由切线的性质得出切线的斜率，从而得切线方程． 【详解】由题意圆的标准方程为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)M ，30312PM k ==--，∴切线斜率为k =1)y x =-，化简得20x +=．故选：D ． 【点睛】本题考查求圆的切线方程，由切线与过切点的半径相互垂直易得切线斜率，从而得切线方程，通常情况下要把方程化为一般式．2．D解析：D 【分析】由题意，求解圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2y kx =-过定点(0,2)A -，又由圆22:(2)(2)10+++=C x y 的圆心坐标(2,2)--，半径r =，则A 点到圆心的距离可得2d ==，由圆的弦长公式，可得l ===即弦长PQ 的最小值为 D. 【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，圆的标准方程的应用，其中解答中求得圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．A解析：A 【分析】利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解. 【详解】由圆()224x a y -+=可知，圆心(),0a ，半径为：2，若直线2x y -=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为则由垂径定理可知圆心到直线的距离：d =故d ==4a =或0a =.故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆相交时弦长的求解，考查点到线距离公式的应用，属于基础题.4．C解析：C 【分析】计算圆心()1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，计算1C D =.【详解】圆()()22:161C x y ++-=的圆心为()1,6-，圆()()22:261D x y -+-=的圆心为()2,6，()1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，1C D ==，故PM PN +的最小值是1122C D r r --=.故选：C. 【点睛】本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.5．A解析：A 【分析】将方程化为()()3(1)2y a x -=---，即可得出答案. 【详解】方程(1)210a x y a --++=可化为(1)223a x a y -+-=- 即()()3(1)2y a x -=--- 则恒过定点(2,3)- 故选：A 【点睛】本题主要考查了直线恒过定点问题，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据题意得出ABC 的欧拉线即为线段BC 的垂直平分线，然后求出线段BC 的垂直平分线的方程即可. 【详解】因为(1,0),(0,2)B C -，所以线段BC 的中点的坐标1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，线段BC 所在直线的斜率2BC k =，则线段BC 的垂直平分线的方程为11122y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即2430x y +-=，因为AB AC =，所以ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，所以ABC 的欧拉线方程为2430x y +-=.故选：D 【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.7．C解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 8．A解析：A 【分析】取BC 中点E ，连接DE ，AE ，若CB AD ⊥，则可证明出BC ⊥平面ADE ，则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ，AD 关于x 的表达式，然后在ADE中，利用三边关系求解即可. 【详解】由题意得BC x =，则21x AD CD BD +===，如图所示，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==， 翻折后，在图2中，若CB AD ⊥，则有：∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，且,AD DE 平面ADE ，∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==∴2114AE x =-21x AD +=在ADE 中，由三边关系得：22111124x x +>-，22111124x x +<-，③0x >；由①②③可得03x << 故选：A. 【点睛】本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE 与AE ，根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ，得到BC AE ⊥，从而通过几何条件求解.9．C解析：C 【分析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案. 【详解】过EF 的平面为平面ABF 时，G 在A 点， H 在B 点， 所以0BH AG HC GD==，EF 平分GH ， 即BH AG HC GD=，所以舍去ABD ，选C 故选：C10．B解析：B 【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC -，如图所以：所以该几何体的体积为111121323V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.11．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =，2241625DE DF AD AE ==+=+=2222EF BE BF =+在DFE △中，22210cos 222522DE EF DF DEFDE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos DEF DEF ∠=-∠=， DEF 的外接圆的半径为5522sin 310DF r DEF ===∠则球心到DEF 外心的距离为2223R r -=，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +的距离为263+. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.12．A解析：A 【分析】由三视图还原几何体，由棱锥的体积公式可得选项. 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，E 分别为11,BC BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PC PB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．二、填空题13．【详解】由条件得直线过定点直线过定点且又直线所以∴当且仅当时等号成立∴即周长的最大值为答案：解析：2+【详解】由条件得直线1l 过定点(1,0)A ，直线2l 过定点，且2AB ==． 又直线12l l ⊥，所以222||||4PA PB AB +==,∴PA PB +≤=||||PA PB =时等号成立，∴2PA PB AB ++≤+PAB ∆周长的最大值为2+．答案：2+14．【分析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论当直线斜率存在时联立直线和圆结合韦达定理即可求解【详解】当直线斜率不存在时直线方程为：将代入得可设点则；当直线斜率存在时设直线方程为：联立则综上所述 解析：1-【分析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论，当直线斜率存在时，联立直线和圆，结合韦达定理即可求解 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：2x =，将2x =代入22 9x y +=得y =点()(2,5,2,M N ，则()()5221PM PN ⋅=⨯=-；当直线斜率存在时，设直线方程为：()22y k x =-+，()()1122,,,M x y N x y联立()()()()2222221444190 229k x k k x y k y x x k ⎧⎪⇒++-+--=⎨=+=-+⎪⎩()212221224414191k k x x k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⇒⎨--⎪⋅=⎪+⎩，则()()11222,2,2,2PM x y PM x y =--=--， ()()()()()()()21212122222122PM PN x x y y k x x ⋅=--+--=+--()()()()()2222212122224194411241241111k k k k k x x x x k k k k ⎡⎤---+=+-++=+-⋅+⋅=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦综上所述，1PM PN ⋅=- 故答案为：1- 【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求解向量数量积的定值问题，解题过程中易遗漏斜率不存在的情况，考查了数形结合思想，数学运算的核心素养，属于中档题15．【分析】计算出点关于直线的对称点的坐标则光线的总行程为利用两点间的距离公式可得出结果【详解】设点关于直线的对称点为则解得即点因此光线从反射到的总行程为故答案为：【点睛】本题考查光线反射的问题一般要求【分析】计算出点P 关于直线210x y -+=的对称点P '的坐标，则光线的总行程为P Q '，利用两点间的距离公式可得出结果. 【详解】设点P 关于直线210x y -+=的对称点为(),P a b '，则5102512b a b a -⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，解得245135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点2413,55P ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭， 因此，光线从P 反射到Q的总行程为P Q '==【点睛】本题考查光线反射的问题，一般要求出点关于直线的对称点，考查计算能力，属于中等题.16．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到d =距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为2d =d ==6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。
数学必修二第二章经典测试题(含标准答案)
必修二第二章综合检测题一、选择题1 .假设直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是〔〕A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2 .平行六面体ABCD —A i B i C i D i中,既与AB共面也与Cg共面的棱的条数为〔〕A. 3B. 4C. 5D. 63 .平面口和直线1,那么％内至少有一条直线与1〔〕A.平行B.相交C.垂直D.异面4 .长方体ABCD —A i B i C i D i中,异面直线AB, A i D i所成的角等于〔〕A. 30B. 45C. 60D. 905 .对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面 &使得〔〕A. a? % b? oB. a? % b II aC. aX a, bX oD. a? & bl. a6 .下面四个命题：其中真命题的个数为〔〕①假设直线a, b异面,b, c异面,那么a, c异面；②假设直线a, b相交,b, c相交,那么a, c相交；③假设a//b,那么a, b与c所成的角相等；④假设a±b, b±c,贝U a〃 c.A. 4B. 3C. 2D. i7 .在正方体ABCD —A i B i C i D i中,E, F分别是线段A i B i, B i C i 上的不与端点重合的动点,如果A i E=B i F,有下面四个结论：①EFLAAi；②EF//AC;③EF 与AC 异面；④ EF//平面ABCD.其中一定正确的有〔〕A.①②B.②③C.②④D.①④8 .设a, b为两条不重合的直线,％〔3为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是〔〕A.假设a, b与x所成的角相等,那么a // b9 .假设a// & b // & & 那么a // bC.假设a? & b? & a// b,贝U all BD.假设a,& b,& 3,& 贝U a,b10 平面n平面向％n B=1,点AS & A?1,直线AB//1, 直线AC±1,直线m// & n// &那么以下四种位置关系中,不一定成立的是〔〕A. AB//mB. ACXmC. AB// pD. AC± p11 .正方体ABCD —A i B i C i D i中,E、F分别为BB n CC i的中点,那么直线AE与D i F所成角的余弦值为〔〕•4- 3- 3rA・-5B -5C-4D-11 .三棱锥D —ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC = ,3, BC=2,那么以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为〔_ 〕A.坐B.3C. 0D. -212 .如下图,点P在正方形ABCD所在平面外,PA,平面ABCD, PA=AB,那么PB与AC所成的角是〔〕二、填空题三、i3.以下图形可用符号表示为 .14 .正方体ABCD —A i B i C i D i中,二面角Ci—AB—C的平面角等于.15 .设平面%//平面& A, C6 & B, D6 &直线AB与CD交于点S,且点S位于平面 & B之间,AS= 8, BS= 6, CS= i2,那么SD16 .将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论：① ACLBD;②4ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60 .其中正确结论的序号是.三、解做题(解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤)17 .如以下图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ ABC与AA i B i C i都为正三角形且AAJ面ABC, F、F1分别是AC, A1C1的中点.AiAH求证：(1)平面AB1F1 //平面GBF； (2)平面AB1F1,平面ACC1A118 .如下图,在四棱锥P —ABCD中,PA,平面ABCD, AB =19 BC=3, AD=5, /DAB=/ABC= 90 , E 是CD 的中点.(1)证实：CD,平面FAE;(2)假设直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P —ABCD的体积.19 .如下图,边长为2的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面,BC = 2也 M为BC的中点.P(1)证实：AMXPM;(2)求二面角P —AM —D的大小.20 .如图,棱柱ABC —A i B i C i的侧面BCC i B i是菱形,B5A i B.(1)证实:平面ABC平面A i BC i；⑵设D是A i C i上的点,且A i B//平面B i CD,求A i D DC i的值.21 .如图,z\ABC中,AC=BC = *AB, ABED是边长为1的正方形, 平面ABED,底面ABC,假设G, F分别是EC, BD的中点.BE(1)求证：GF//底面ABC;(2)求证：AC,平面EBC;(3)求几何体ADEBC的体积V.22 .如以下图所示,在直三棱柱ABC —A i B i C i中,AC=3, BC = 4, AB=5, AA i = 4,点D是AB的中点.B(1)求证:AC±BCi； (2)求证:AC"/平面CDB i；(3)求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值.必修二第二章综合检测题1D2CAB与CC i为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类：第一类与AB平行与CC i相交的有：CD、C1D1与CC i平行且与AB相交的有：BB i、AA i,第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3c当直线l与平面口斜交时,在平面口内不存在与l平行的直线, ・•.A错；当l? 0c时,在口内不存在直线与l异面,「.D错；当I// % 时,在％内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面口内都有无数条直线与l垂直.4D由于AD//Ai D i,那么/BAD是异面直线AB, AQ i所成的角, 很明显/ BAD = 90 .5B对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误；对于选项B, 假设a, b不相交,那么a与b平行或异面,都存在 &使a? % b// % B 正确；对于选项C, a± % b± & 一定有a//b, C错误；对于选项D, a? % b± & 一定有a±b, D 错误.6D异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错；根据等角定理,可知③正确；对于④,在平面内,a//c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.7D如下图.由于AA i,平面A i B i CQ i, EF?平面A i B i CQ i, 那么EFXAA i,所以①正确；当E, F分别是线段A i B i, BQ i的中点时, EF//A i C i,又AC//A i C i,那么EF//AC,所以③不正确；当E, F分别不是线段A i B i, B i C i的中点时,EF与AC异面,所以②不正确；由于平面A i B i C i D i //平面ABCD, EF?平面A i B i C i D i,所以EF//平面ABCD,所以④正确.8D选项A中,a, b还可能相交或异面,所以A是假命题；选项B 中,a, b 还可能相交或异面,所以B是假命题；选项C中,% (3还可能相交,所以C 是假命题；选项D中,由于a,% 0a &那么a// (3 或a? 3那么B内存在直线l 〃 a,又b,&那么b,l,所以a±b.9C如下图：mil l? AC±m; AB// l? AB// 8AB// l // m; AC±l,10、11C取BC 中点E,连AE、DE,可证BC±AE, BCXDE,/ AED为二面角A- BC—D的平面角又AE=ED = ^, AD = 2, . ./AED=90 ,应选 C.12B将其复原成正方体ABCD—PQRS,显见PB//SC, z\ACS为正三角形,「•/ ACS= 60 .13 片AB1445如下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,由于BCXAB, BCU AB,那么/C1BC是二面角C I —AB—C的平面角.又匕BCC I是等腰直角三角形,那么/ C I BC= 45 .15、9如以下图所示,连接AC, BD,那么直线AB, CD 确定一个平面ACBD.: all & •二 AC/1 BD, 那么磊喧,HD ,16①②④ 如下图,①取 BD 中点,E 连接AE, CE,那么BDXAE, BDX CE,而 AEACE=E,「.BD ,平面 AEC, AC?平面 AEC,故 ACXBD, 故①正确.②设正方形的边长为a,那么AE=CE=j_a.由①知/ AEC=90°是直二面角 A- BD-C 的平面角,且/ AEC = 90 , /. AC=a, ・•.△ACD 是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE ,平面BCD,故/ABE 是AB 与平面BCD 所成的角,而/ ABE=45°,所以③不正确.④分别取BC, AC 的中点为M, N,连接ME, NE, MN.1 1 一 一 1 一 1那么 MN//AB,且 MN = ]AB=2a, ME//CD,且 ME = 2CD=]a, ・••/EMN 是异面直线AB, CD 所成的角.2在 Rtz\AEC 中,AE=CE=/a, AC=a,一 1 一 1・•.NE = 2AC = 2a.：4MEN 是正二角形,EMN = 60 ,故④正确.17(1)在正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1中,•・ F 、F I 分别是 AC 、A 1C 1 的中点,「. B 1F 1//BF, AF 1//C 1F. 又•「B I F I AAF I = F I , C I FABF=F..・平面 AB I F I //平面 C I BF. (2)在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中,A/,平面 A 1B 1C 1, •. B I FJAA I . 又 B I F I ^A I C I , A I C I A AA I =A". B 1F 1,平面 ACC I A I ,而 B 1F 1? 平面 AB I F I ..・平面 AB I F I ,平面 ACC 1A 1.解得SD=9. AC(1)如下图,连接 AC,由 AB=4, BC=3, / ABC= 90°,得 AC =5. 又AD=5, E 是CD 的中点,所以CDXAE.. RA ,平面 ABCD, CD?平面 ABCD,所以 PAX CD.而PA, AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以 CD ,平面PAE. ⑵过点B 作BG//CD,分别与AE, AD 相交于F, G,连接PF.由(1)CD ,平面PAE 知,BG ,平面PAE.于是/ BPF 为直线PB 与 平面PAE 所成的角,且BGXAE.由PA ,平面 ABCD 知,/ PBA 为直线PB 与平面 ABCD 所成的 AB=4, AG = 2, BGXAF,由题意,知/ PBA= /BPF,PA BF 由于 sin/PBA=芯,sin/ BPF =左,所以 PA=BF. PB PB由/ DAB=/ABC=90°知,AD//BC,又 BG//CD,所以四边形BCDG 是平行四边形,故 GD=BC=3.于是AG=2.在 Rt^BAG 中,AB=4, AG=2, BGXAF,所以BG=^AB 2+AG 2=2册,BF = A J 1 =泰 8:5 5 .1又梯形ABCD 的面积为S=］X (5+3)X4= 16,所以四棱铤P- ABCD 的体积为1 - 一 1 一 V=~x SX PA=-x 16X 3 319［解读］(1)证实：如下图,取CD 的中点E,连接PE, EM, EA,•••△PCD 为正三角形,188,5 =Y~.于是PA= BF = 5 8.5128 5 5 = 15 p「•PE ,CD, PE=PDsin/PDE = 2sin60 =V 3.••・平面PCD ,平面ABCD,「•PE ,平面 ABCD,而 AM?平面 ABCD,「. PEXAM. •••四边形ABCD 是矩形,「.△ADE, AECM, A ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求 得 EM = 5, AM = V 6, AE=3/. EM 2 + AM 2 = AE 2..-. AMXEM.又 PEAEM = E,「.AM ,平面 PEM, /. AMXPM.(2)解：由(1)可知 EMXAM, PMXAM,・••/PME 是二面角P —AM —D 的平面角.「•二面角P —AM —D 的大小为45(1)由于侧面BCC I B I 是菱形,所以B I CXBC I , 又 B 1CXA 1B,且 A 1BABC 1=B, 所以B I C ,平面A I BC I ,又B I C?平面AB I C 所以平面ABC 平面A 1BC 1 .⑵设BC I 交B I C 于点E,连接DE,那么DE 是平面A I BC I 与平面 B I CD 的交线.由于A I B//平面B I CD,A I B?平面A I BC I ,平面A I BC I A 平面B I CD = DE,所以 A I B// DE.又E 是BC I 的中点,所以D 为A I C I 的中点.即A I D DC I = 1. 21［解］(1)证实:连接AE,如以下图所示..「ADEB 为正方形「• AEABD=F,且F 是AE 的中点,又G 是EC 的中点GF//AC,又AC?平面ABC,GF?平面ABC, ・•. GF // 平面 ABC.(2)证实：ADEB 为正方形,EBXAB,又••・平面 ABED ,平面 ABC,平面 ABED 〞面 ABC=AB, EB ?平面20・•・tan/ PME 1 ・•./ PME =45 .ABED,「•BE,平面ABC, /. BEXAC.一 2 o o o又AC=BC = -2AB, CA2+CB2=AB2, /. ACXBC.又.• BCnBE=B,「.AC,平面BCE.2 2(3)取AB 的中点H,连GH, .・ BC=AC= 5-AB=:,1.,.CHXAB,且CH = 2,又平面ABED,平面ABC・•.GH,平面ABCD, /. V= Jxix*1.3 2 622［解读］(1)证实：在直三棱柱ABC—A i B i C i中,底面三边长AC=3, BC = 4, AB= 5, /. ACXBC.Xv C i C±AC./.AC±¥ffi BCC i B iv BC1?平面BCC i B, /. AC±BC i.(2)证实：设CB i与C i B的交点为E,连接DE,又四边形BCC i B i 为正方形.・•.D是AB的中点,E是BC i的中点,DE//AC i.. DE?平面CDB n AC?平面CDB i,「•AC"平面CDB i.(3)解：「DE//AC i,・・•/ CED为AC i与B i C所成的角.,——i 5在4CED 中,ED = 2AC i = 2,CD=|A B= 5, CE=；CBi = 2近2 2_J• • cos/CED=二=二.5 52••・异面直线AC i与B i C所成角的余弦值为警.。
高中数学选择性必修二 高二上学期数学期末测试卷(A卷 夯实基础)同步单元AB卷(含答案)
班级 姓名 学号 分数高二上学期数学期末测试卷（A 卷·夯实基础）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．过两点()()5,,3,1A y B -的直线的倾斜角是135°，则y 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【答案】D 【详解】因为斜率tan1351k ︒==-，所以1153y k +==--，得3y =-. 故选：D.2．40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A50y ++= B．40x += C．50x += D．0x +=【答案】C 【详解】40y --=，令0x =，解得4y =-， 设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ， 则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则11102b =--=，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D ，BD k ==直线BD：)15y x -=-，即50x =。
故选：C3．已知异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==，则,a b 夹角的大小是（ ） A ．56πB ．34π C ．3π D ．6π【答案】C 【详解】异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==∴21132371cos ,1424m n m n m n⨯+⨯-+⨯-⋅-====-， 异面直线,a b 所成角为范围为02πθ<≤，,a b ∴夹角的大小是3π故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为（ ） A ．15 B ．16C ．49D ．64【答案】A 【详解】878644915a S S =-=-= 故选：A5．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【详解】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.6．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ． 【答案】C 【详解】由题意可知1CC ⊥平面ABC ，且90BCA ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,0,2N 、()1,1,2M ，()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，30cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅<>===⨯⋅故BM 与NA 30故选：C.7．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，N (2，2)，则MF MN +的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．4【答案】A 【详解】因为抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F (1，0)，准线为1x =-， 根据抛物线定义可知MF =1M x +，所以当MN 垂直抛物线准线时，MF MN +最小， 最小值为：13N x +=. 故选：A .8．已知椭圆C ：2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为34，点P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2=π2，且F 1PF 2内切圆的半径为1，则C 的方程为（ ） A ．22167x y +=1B ．223214x y +=1C ．24x +y 2=1D ．22447x y +=1【答案】A 【详解】易知F 1PF 2中，内切圆半径r =1212-2PF PF F F +=a -c =1，又离心率为34c a =，解得a =4，c =3，所以椭圆C 的方程为22167x y +=1. 故选：A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，316a =，512a =，则（ ） A ．2d =- B ．124a =C ．2628a a +=D ．n S 取得最大值时，11n =【答案】AC 【详解】解法一：由题可得11216,412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩故选项A 正确，选项B 错误；易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，则26181028a a +=+=，选项C 正确.因为1020a =>，110a =，1220a =-<，所以当10n =或11时，n S 取得最大值（技巧：由0d <得数列{}n a 递减，进而判断n S 最大时的临界项） 选项D 错误. 故选：AC解法二：对于A ：易知53212164d a a =-=-=-，所以2d =-，选项A 正确；对于B ：()132162220a a d =-=-⨯-=，选项B 错误； 对于C ：263528a a a a +=+=，选项C 正确；对于D ：易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，1020a =>，110a =，1220a =-<（技巧：由0d <得数列递减，进而判断n S 最大时的临界项）所以当10n =或11时，n S 取得最大值，所以选项D 错误. 故选：AC10．已知直线:440l kx y k -+-=与圆22:4440M x y x y +--+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆M 一定相交B ．若0k =，则直线l 与圆M 相切C ．当1k =时，直线l 被圆M 截得的弦最长D ．圆心M 到直线l的距离的最大值为【答案】BCD【详解】22:4440M x y x y +--+=，即()()22224x y -+-=，是以()2,2为圆心，以2为半径的圆，A.因为直线:440l kx y k -+-=，直线l 过()4,4，2244444440+-⨯-⨯+>，则()4,4在圆外，所以直线l 与圆M 不一定相交，故A 错误；B.若0k =，则直线:4l y =，直线l 与圆M 相切，故B 正确；C.当1k =时，直线l 的方程为0x y -=，过圆M 的圆心，即直线l 是直径所在直线，故C 正确；D.由圆的性质可知当直线l 与过点()4,4的直径垂直时，圆心M 到直线l 的距离的最大，此时=故D 正确，故选：BCD.11．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 到x 轴的距离为4 B ．12523PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形 D ．1260F PF ∠=︒【答案】AC 【详解】由双曲线的方程可得4a =，3b =，则5c =，由12PF F △的面积为20，得112102022P P c y y ⨯⨯=⨯⨯=，解得4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 选项正确； 将4P y =代入双曲线方程可得203P x =，根据双曲线的对称性可设20,43P ⎛⎫⎪⎝⎭，则2133PF =，由双曲线的定义知1228PF PF a -==，则11337833PF =+=， 则12133750333PF PF +=+=，故B 选项错误； 在12PF F △中，12371321033PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则12PF F △为钝角三角形，故C 选项正确；()2222121212121212122100cos 22PF PF PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF -+-+-∠==13376410021891331133713372233-+⨯⨯⨯==-≠⨯⨯⨯， 则1260F PF ∠=︒错误， 故选：AC.12．已知函数()2ln f x x x =，下列说法正确的是（ ）A ．当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <B ．函数()f x的减区间为(，增区间为)+∞C ．函数()f x 的值域1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1f x x ≥-恒成立 【答案】ACD 【详解】对于选项A ，当01x <<时，ln 0x <；当1x >时，ln 0x >，故选项A 正确； 对于选项B ，2ln 2ln 1fxx x x x x ，令()0f x '>可得2ln 10x ，有x >知函数()f x 的减区间为⎛⎝，增区间为⎫+∞⎪⎭，故选项B 错误；对于选项C ，由上可知()min 11e 2e f x f ===-，x →+∞时，()f x →+∞，故选项C 正确；对于选项D ，()22111ln 10ln 0f x x x x x x x x ≥-⇔-+≥⇔-+≥，令()211ln g x x x x=-+，有()()()22333121212x x x x x g x x x x x '-++--===+，令()0g x '>可得1x >，故函数()g x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1，可得()()min 10g x g ==，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．与直线3250x y -+=的斜率相等，且过点()4,3-的直线方程为_________ 【答案】392y x =+【详解】直线3250x y -+=的斜率为32，故所求直线方程为()3342-=+y x ，即392y x =+.故答案为：392y x =+. 14．数列{}n a 中，11a =，()*12,2nn n a a n N a +=∈+，则5a =___________ 【答案】13【详解】 122nn n a a a +=+，11a =， 则1212223a a a ==+，2322122a a a ==+，3432225a a a ==+，4542123a a a ==+. 故答案为：13.15．若函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行，则实数k =___________. 【答案】2 【详解】∵()ln f x x x =+， ∴1()1f x x '=+，1(1)121f '=+=，又函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行， ∴2k =. 故答案为：2.16．设5(4P -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，1(2,0)F -是C 的左焦点，Q 是C右支上的动点，则C 的离心率为______，1PQF △面积的取值范围是_______． 【答案】2)+∞ 【详解】双曲线C 的右焦点为2(2,0)F，则13||2PF =，27||2PF ，因点P 在双曲线C 上，则由双曲线定义得2122a PF PF =-=，即1a =，又2c =， 所以双曲线C 的离心率为2ce a==；因直线PF 1的斜率1PF k =ba=1PF 与双曲线C 在第一、三象限的渐近线平行，则这条渐近线与直线1PF 0y -+的距离d ==上的点Q 到直线PF 1距离h d >=，于是得11113222PQF SPF h =⋅⋅>⨯所以1PQF △面积的取值范围是)+∞.故答案为：2；)+∞ 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．已知圆()22:20C x y mx y m R ++-=∈，其圆心在直线0x y +=上.（1）求m 的值；（2）若过点()1,1的直线l 与C 相切，求l 的方程. 【答案】 （1）2m =（2）20x y +-=或0x y -= 【详解】 （1）圆C 的标准方程为：222(1)124m m x y ⎛⎫++-=+⎪⎝⎭， 所以，圆心为,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线0x y +=上，得2m =. 所以，圆C 的方程为：22(1)(1) 2.x y ++-=（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()11y k x -=-， 即10,kx y k --+=由于直线l 和圆C解得：1k =±所以，直线方程为：20x y +-=或0x y -=.18．如图，在三棱锥P -ABC 中，△ABC 是以AC 为底的等腰直角三角形，PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC .（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求直线PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析. （2【详解】 （1）证明：连接BO，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =，又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥，OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ,（2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+，所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为则平面PAC 的法向量为() 1,0,0m =， 设平面MPA 的法向量(,,),n x y z =则(0,2,PA =--20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM x y λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即=13λ= 或 3λ=( 舍)，设平面MPA的法向量(23,n =，(0,2,PC =-，设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>==+19．已知椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点1F 、2F ，点P 在椭圆上，12PF PF ⊥，____________①椭圆过点()，②椭圆的短轴长为10，③（①②③中选择一个） （1）求椭圆的标准方程； （2）求12PF F △的面积． 【答案】（1）条件选择见解析，椭圆方程为2215025x y += （2）1225PF F S=【详解】 （1）解：设椭圆方程()222222210,x y a b c a b a b+=>>=-.因为椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点，则225c =.选①：由已知可得a =225b =，椭圆方程为2215025x y +=； 选②：由已知可得5b =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=；选③得c a =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=. （2）解：由椭圆定义知122PF PF a +==， 又12PF PF ⊥，222124100PF PF c ∴+==②，由①可得2212121221002200PF PF PF PF PF PF ++⋅=+⋅=，解得1250PF PF ⋅=， 因此，12121252PF F SPF PF =⋅=. 20．设函数()322f x x x x =--++．（1）求()f x 在2x =-处的切线方程；（2）求()f x 的极大值点与极小值点；（3）求()f x 在区间[]5,0-上的最大值与最小值．【答案】（1）7100x y ++=；（2）极小值点为1x =-，极大值点为13x =； （3）()min 1f x =，()max 97f x =.【详解】（1）由题意得：()2321f x x x '=--+，则()212417f '-=-++=-，又()284224f -=--+=，()f x ∴在2x =-处的切线方程为()472y x -=-+，即7100x y ++=； （2）令()23210f x x x '=--+=，解得：1x =-或13x =， 则()(),,x f x f x '变化情况如下表：()f x ∴的极小值点为1x =-，极大值点为3x =； （3）由（2）知：()f x 在[)5,1--上单调递减，在(]1,0-上单调递增； 又()5125255297f -=--+=，()02f =，()111121f -=--+=， ()()min 11f x f ∴=-=，()()max 597f x f =-=.21．已知椭圆C 的离心率e =()1A ，)2A （1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点()1,0N ．【答案】（1）2212x y +=； （2）证明见解析.【详解】（1）椭圆长轴端点在x 轴上，∴可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：222a b c c e a a ⎧=+⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩，解得：11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=； （2） 由2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222124220k x kbx b +++-=，曲线C 与直线l 只有一个公共点，()228120k b ∴=+-=，即2221b k =+，设(),P P P x y ，则()22422212P kb kb k x b b k =-=-=-+， 222221p P k b k y kx b b b b b-∴=+=-+==，21,k P b b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 由2y kx b x =+⎧⎨=⎩得：22x y k b =⎧⎨=+⎩，即()2,2Q k b +； ()1,0N ，211,k NP bb ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,2NQ k b =+， 2210k k b NP NQ b b+∴⋅=--+=，即NP NQ ⊥， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点()1,0N .22．已知函数()ln xe f x ax a x x=-+． （1）若a e =，求()f x 的极值点；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值点为1，无极大值点（2）(,]e -∞【详解】（1）解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞，222(1)(1)(1)()()x x x x xe e e x e e x x e ex f x e x x x x x -----'=-+=-=， 令(),(0,)x g x e ex x =-∈+∞，则()x g x e e '=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，()f x ∴的极小值点为1，无极大值点；（2）由()0f x ≥得ln (ln )x x e a x x --≥，令ln ,(0,)t x x x =-∈+∞，则t e at ≥，111x t x x-'=-=， 当01x <<时，0t '<，当1x >时，0t '>，所以函数ln ,(0,)t x x x =-∈+∞在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以当1x =时，min 1t =，[1+t ∴∈∞，），te a t∴≤， 令(),[1,)te m t t t =∈+∞，则2(1)()0t e t m t t -'=≥， 所以函数()t e m t t=在[1,)t ∈+∞上递增，所以min ()(1)m t m e ==， 所以a e ≤，所以a 的取值范围为(,]e -∞.。
高中数学选择性必修二 北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)
故答案为：①③④
16.把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数 在 和 分别单调递减，故②错误；
③因为 ，则当 时， ，故 时的瞬时速度是10 m/s，故③正确；
④ ， ，由 解得 ，由 解得 ，
所以当 时， 的图象更“陡峭”，当 时， 的图象更“陡峭”，故④错误.
故选：A.
8.如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）
点 在抛物线上，
所以 ，
则 ，又 ，
所以直线 方程为 ，
联立抛物线方程 得到 ，
解得 或 ，
因为点 在 轴下方，所以 ,
由焦半径公式得： ，
故选：D.
7.下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数 在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 则 时的瞬时速度是10 m/s；
（II）选①：当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，恰好与圆相切，满足题意；
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ；
选②，可得 在圆上，即 为切点，
则切点与圆心连线斜率为 ，则切线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
10.如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则 （）
2020人教B版高中数学必修二第二章平面解析几何初步综合测试B含解析
【成才之路】2015-2016学年高中数学第二章平面解析几何初步综合测试B 新人教B版必修2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x＋(m＋1)y＋3＝0与直线mx＋2y－1＝0平行，则m的值为( )A．1 B．－2C．2或－1 D．－2或1[答案] D[解析]由题意，得1×2－m(m＋1)＝0，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或1.经检验知当m＝－2或1，满足题意．2．(2015·辽宁沈阳二中高一期末测试)在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为( ) A．－2 B．2C．6 D．2或6[答案] D[解析]由题意得10－42＋－1－12＋6－92＝x－42＋4－12＋3－92，解得x＝2或6.3．(2015·甘肃天水市泰安县二中月考)直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为( )A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0[答案] A[解析]用－x替换方程x－y＋1＝0的x，得－x－y＋1＝0，即x＋y－1＝0，故选A．4．如果方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，则A、B、C满足( )A．B·C＝0 B．A≠0C．B·C＝0且A≠0 D．A≠0且B＝C＝0[答案] D[解析]直线是y轴，则斜率不存在且过点(0,0)．斜率不存在，得B＝0.A、B不同时为0，得A≠0，又过点(0,0)，得C＝0.5．直线(m＋2)x＋my＋1＝0与直线(m－1)x＋(m－4)y＋2＝0互相垂直，则m的值为( )A ．12B ．－2C ．－12或2D ．－2或12[答案] C[解析] 由题意，得(m ＋2)(m －1)＋m (m －4)＝0， 解得m ＝－12或2.6．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 [答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式． 圆心C (0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离d ＝11＋k2≤1< 2.所以直线与圆相交，故选C ．7．(2015·云南曲靖市陆良县二中高一期末测试)若圆的一条直径的两端点分别是(－1,3)和(5，－5)，则此圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋2y －20＝0 B ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＋2y ＋20＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0 [答案] D[解析] 圆心坐标为(2，－1)，半径为2＋12＋－1－32＝5，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25，即x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0.8．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k ＝4或k ＝－1 B ．k >4或k <－1 C ．－1<k <4 D ．以上都不对[答案] B[解析] 方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0，可化为(x ＋k )2＋(y ＋2)2＝k 2－3k －4，由题意，得k 2－3k －4>0，∴k >4或k <－1.9．(2015·广州二中高一期末测试)直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值[答案] A[解析] 解法一：∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x 2＋y 2－2y ＝0的内部， ∴直线与圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2－2y ＝0，得(1＋k 2)x 2－1＝0，Δ＝4(1＋k 2)>0，故直线与圆相交．10．已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0与x 轴，y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 的值是( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6[答案] B[解析] 由题意，知两直线垂直， ∴1·k ＋3·(－1)＝0，∴k ＝3.11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 设圆心坐标为(x ，y )，由题意知x >0，y ＝1. 由点到直线的距离公式，得|4x －3|42＋32＝1， ∴4x －3＝±5，∵x >0，∴x ＝2.故所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11[答案] A[解析] 直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位后为2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即2x －y ＋2＋λ＝0，又直线2x －y ＋2＋λ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则|－2－2＋2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或7.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·广州二中高一期末测试)已知a <0，直线l 1：2x ＋ay ＝2，l 2：a 2x ＋2y ＝1，若l 1⊥l 2，则a ＝________.[答案] －1[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a 2＋2a ＝0， ∴a ＝－1或a ＝0.∵a <0，∴a ＝－1.14．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________． [答案] x －y ＋1＝0[解析] 由x 2＋2x ＋y 2＝0得圆心C (－1,0)， 所求直线与x ＋y ＝0垂直，∴所求直线的斜率为1， ∴所求直线的方程为x －y ＋1＝0.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于____________．[答案]254[解析] ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y －5＝0，令x ＝0，得y ＝52，令y ＝0，得x ＝5， ∴S △＝12×52×5＝254.16．一束光线从点A (－2,2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －4)2＋(y －6)2＝1上的最短路程是______．[答案] 9[解析] A 关于x 轴对称点A 1(－2，－2)，⊙C 的圆心C (4,6)，|A 1C |＝10， ∴最短路程为|A 1C |－1＝9.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2015·湖南益阳市高一期末测试)已知两直线l 1：(3＋m )x ＋9y ＝m －1，l 2：2x ＋(1＋2m )y ＝6.(1)m 为何值时，l 1与l 2垂直； (2)m 为何值时，l 1与l 2平行．[解析] (1)由题意得2(3＋m )＋9(1＋2m )＝0， 解得m ＝1516.(2)由题意得(3＋m )(1＋2m )－18＝0， 解得m ＝－5或32.当m ＝－5时，l 1与l 2重合；当m ＝32时，l 1与l 2平行．18．(本题满分12分)已知直线l 1：x ＋2y －3＝0与l 2：2x －y －1＝0的交点是P ，直线l 过点P 及点A (4,3)．(1)求l 的方程；(2)求过点P 且与l 垂直的直线l ′的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝02x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴P (1,1)，∴l 的方程为：y －13－1＝x －14－1，即l ：2x －3y ＋1＝0.(2)∵所求直线l ′与l 垂直， ∴斜率为－32.又∵l ′过点(1,1)，∴所求直线l ′的方程为y －1＝－32(x －1)，即3x ＋2y －5＝0.19．(本题满分12分)(2015·云南曲靖市陆良县二中高一期末测试)△ABC 中，点A (1,1)、B (4,2)、C (－4,6)．(1)求BC 边上的中线所在直线的方程； (2)求BC 边上的高及△ABC 的面积．[解析] (1)BC 边的中点D 的坐标为(0,4)，∴中线AD 的斜率k ＝4－10－1＝－3，故中线AD 的方程为y －4＝－3(x －0)， 即3x ＋y －4＝0.(2)BC 边所在直线的斜率为k BC ＝6－2－4－4＝－12，BC 边所在直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.点A 到BC 边的距离d ＝|1＋2－8|12＋22＝5， ∴BC 边上的高为5， |BC |＝－4－42＋6－22＝4 5.∴S △ABC ＝12×45×5＝10.20．(本题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，点C 在x 轴上．(1)求Rt △ABC 外接圆的方程；(2)求过点(－4,0)且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程．[解析] (1)由题意可知点C 在x 轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)，又AB ⊥BC ，则k AB ·k BC ＝－1，即－222·22a＝－1，解得a ＝4. 则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9.(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为y ＝kx ＋4，即 kx －y ＋4k ＝0. 当圆与直线相切时，有d ＝|5k |k 2＋1＝3，解得k ＝±34，故所求直线方程为y ＝34(x －4)或y ＝－34(x －4)，即3x －4y －12＝0或3x ＋4y －12＝0.21．(本题满分12分)一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程．[解析] 两平行直线之间的距离为|－5＋3|1＋9＝210，∴圆的半径为110，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝110，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0|a ＋3b －5|10＝110|a ＋3b －3|10＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－75b ＝95.故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －952＝110.22．(本题满分14分)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是多少？[解析] 解法一：将圆的一般方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，r ＝1，如图所示，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |·|AC |，|PA |越来越大，从而S 四边形PACB ＝|PA |·|AC |也越来越大．当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个特殊的位置，即CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，S 四边形PACB 取得最小值．此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，∴|PA |＝|PC |2－|AC |2＝32－12＝22，故(S 四边形PACB )最小值＝2·12·|PA |·|AC |＝2 2.解法二：设点P 的坐标为(x ，y )， 则|PC |＝x －12＋y －12，由勾股定理及|AC |＝1， 得|PA |＝|PC |2－|AC |2＝x －12＋y －12－1，故S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2·12·|PA |·|AC |＝|PA |＝x －12＋y －12－1.欲求S 四边形PACB的最小值，只需求|PA |的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )的距离的平方的最小值，也就是点C (1,1)，到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的平方，这个最小值d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×1＋4×1＋8|32＋422＝9. 故(S 四边形PACB )最小值＝9－1＝2 2.。
高中数学 人教版 必修二 直线与圆的方程综合复习题(含答案)
直线与圆的方程综合复习〔含答案〕一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是〔 C 〕 A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B 〔m,4〕的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为〔 C 〕 A 0 B 2 C -8 D 103.假设直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于〔 D 〕A -1或2 B23C 2D -1 4.假设点A 〔2，-3〕是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 〔a 1，b 1〕和〔a 2，b 2〕所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m= 12〞是“直线〔m+2〕x+3my+1=0与直线〔m-2〕x+(m+2y)-3=0相互垂直〞的〔 B 〕A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B 〔-5,6〕，则直线L 的方程为〔B 〕 A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).假设直线2l 经过点〔0,5〕且1l 2l ，则直线2l 的方程为〔 B 〕A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为〔 A 〕A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是〔A 〕A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是〔 C 〕A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为〔D 〕， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于〔 B 〕A B 4 C 8 D 914.假设直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为〔 B 〕A 1B -1C 3D -315.假设直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba 11+的最小值是〔 C 〕 A.41B.2C.4D.2116.假设直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 〔 A 〕A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,0 17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点〔4,1〕，则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于〔 C 〕A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 〔 C 〕 A.2B.5C.3D.3519.假设直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211b a +≤1 D.2211b a +≥120.已知A 〔-3，8〕和B 〔2，2〕，在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为〔 B 〕A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x +2(2)y =4相交于M 、N 两点，假设︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是〔 A 〕A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞〕 C [-33,33] D [-23,0] 22.〔X 理科2〕已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为〔 C 〕A ．0B ．1C ．2D ．3 23.〔X 理科9〕假设曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以了解，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。
2021年高中数学 第二章 统计综合测试题(含解析)新人教B版必修3
2021年高中数学 第二章 统计综合测试题（含解析）新人教B 版必修3一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行( ) A ．测定一批炮弹的射程B ．测定海洋某一水域的某种微生物的含量C ．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D ．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况 [答案] D[解析] 抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，选项A 、B 、C 都是从总体中抽取部分个体进行检验，选项D 是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．故选D.2．高一·一班李明同学进行一项研究，他想得到全班同学的臂长数据，他应选择的最恰当的数据收集方法是( )A ．做试验B ．查阅资料C ．设计调查问卷D ．一一询问[答案] A[解析] 全班人数不是很多，所以做试验最恰当．3．设有一个回归方程为y ^＝2－2.5x ，变量x 增加一个单位时，变量y ( ) A ．平均增加1.5个单位 B ．平均增加2个单位 C ．平均减少2.5个单位D ．平均减少2个单位 [答案] C[解析] 因为随变量x 增大，y 减小，x 、y 是负相关的，且b ^＝－2.5，故选C. 4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为( )元( )A ．45B ．3909C.4009D ．46[答案] C [解析] 40＋10×0.160.36＝4009. 5．一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，按下述三种方法抽取：①将160人从1至160编上号，然后用白纸做成1～160号的签160个放入箱内拌匀，然后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出；②将160人从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8人，即1～8号，9～16号，…，153～160号．先从第1组中用抽签方法抽出k 号(1≤k ≤8)，其余组的(k ＋8n )号(n ＝1、2、…、19)亦被抽出，如此抽取20人；③按20160＝18的比例，从业务人员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤人员中抽取3人，都用随机数表法从各类人员中抽取所需的人数，他们合在一起恰好抽到20人．上述三种抽样方法，按简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是( ) A ．①、②、③ B ．②、①、③ C ．①、③、② D ．③、①、②[答案] C[解析] ①是简单随机抽样；②是系统抽样；③是分层抽样，故选C.6．样本中共有五个个体，其值分别为a 、0、1、2、3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65 B ．65C. 2 D ．2[答案] D [解析] ∵a ＋0＋1＋2＋35＝1，∴a ＝－1，故S 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.7．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )8 9 79 3 1 6 4 0 2A ．91.5和91.5 C ．91和91.5 D ．92和92[答案] A[解析] 将这组数据从小到大排列，得87、89、90、91、92、93、94、96. 故平均数x －＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91．5，中位数为91＋922＝91.5，故选A.8．对变量x 、y 有观测数据理据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u 、v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 [答案] C[解析] 本题主要考查了变量的相关知识，考查学生分析问题和解决问题的能力．由散点图可以判断变量x与y负相关，u与v正相关．9.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2431，则第2组的频率和频数分别是( )A．0.4,12 B．0.6,16C．0.4,16 D．0.6,12[答案] A[解析]因为各小长方形的高的比从左到右依次为2431，所以第2组的频率为0.4，频数为30×0.4＝12.10．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高y(单位：cm)对年龄x(单位：岁)的回归直线方程y＝73.93＋7.19x，用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右[答案] D[解析]用回归直线方程预测的不是准确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．11．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定[答案] A[解析]本小题主要考查学生的知识迁移能力和统计的有关知识．x －甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x －乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，故选A.12．某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根所这几年的经验知道，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg ，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg ，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg ，试估计鱼塘中鱼的总质量约为( )A ．192 280 kgB ．202 280 kgC ．182 280 kgD ．172 280 kg[答案] A[解析] 平均每条鱼的质量为x －＝40×2.5＋25×2.2＋35×2.840＋25＋35＝2.53(kg)，所以估计这时鱼塘中鱼的总质量约为80 000×95%×2.53＝192 280(kg)．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．) 13．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．[答案] 12 [解析] ∵2898＝27，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为98－56＝42， ∴应抽取女运动员人数为42×27＝12(人)．分层抽样中抓住“抽样比”是解决问题的关键．14．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数．则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．[答案] 24 23[解析] x －甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，x －乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.15．(xx·山东临沂高一期末测试)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45,55)、[55,65)、[65,75)、[75,85)、[85,95)，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．[答案]13[解析]由频率分布直方图知[55,75)之间的频率为(0.040＋0.025)×10＝0.65，故[55,75)之间的人数为0.65×20＝13.16．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1、2、3、4、5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲组67787乙组67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝______.[答案]2 5[解析]x甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，x乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7.∴s2甲＝6－72＋7－72＋7－72＋8－72＋7－725＝25，s2乙＝7－62＋7－72＋7－62＋7－72＋7－925＝65，则两组数据的方差中较小的一个为s2甲＝25 .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；(2)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回，再拿一件，连续玩了5件；(3)从200个灯泡中逐个抽取20个进行质量检查． [解析] (1)不是简单随机抽样，因为这不是等可能抽样． (2)不是简单随机抽样，因为它是有放回的抽样．(3)是简单随机抽样，因为它满足简单随机抽样的几个特点．18．(本题满分12分)已知某班4个小组的人数分别为10、10、x 、8，这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．[解析] 该组数据的平均数为14(28＋x )，中位数一定是其中两个数的平均数，因为x不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序为x,8,10,10，其中位数为12(10＋8)＝9.若14(x＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.(2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x ＋10)，若14(x ＋28)＝12(x ＋10)，则x ＝8，而8不在8<x ≤10的范围内， ∴舍去．(3)当x >10时，原数据为8,10,10，x ， 其中位数为12(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，∴此时中位数为10. 综上所述，这组数据的中位数为9或10.19．(本题满分12分)一箱方便面共有50包，从中用随机抽样方法抽取了10包称量其重量(单位：g)结果为：60.5 61 60 60 61.5 59.5 59.5 58 60 60(1)指出总体、个体、样本、样本容量； (2)指出样本数据的众数、中位数、平均数； (3)求样本数据的方差．[解析] (1)总体是这50包方便面所有的包重，个体是这一箱方便面中每一包的包重，样本是抽取的10包的包重，样本容量为10.(2)这组样本数据的众数是60，中位数为60，样本平均数x －＝110×(60.5＋61＋60＋60＋61.5＋59.5＋59.5＋58＋60＋60)＝60.(3)样本数据的方差为s 2＝110[(60.5－60)2＋(61－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(61.5－60)2＋(59.5－60)2＋(59.5－60)2＋(58－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2]＝0.8.20．(本题满分12分)(xx·安徽黄山高一期末测试)某班的全体学生共有50人，参加数学测试(百分制)成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]．依此表可以估计这一次测试成绩的中位数为70分．(1)求表中a、b的值；(2)请估计该班本次数学测试的平均分．[解析](1)由中位数为70可得，0．005×20＋0.01×20＋a×10＝0.5，解得a＝0.02.又20(0.005＋0.01＋0.02＋b)＝1，解得b＝0.015.(2)该班本次数学测试的平均分的估计值为30×0.1＋50×0.2＋70×0.4＋90×0.3＝68分．21．(本题满分12分)有一容量为50的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[12.5,15.5)，3；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5,24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，5；[30.5,33.5)，4.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图估计，数据落在[15.5,24.5)内的可能性约是多少？[解析](1)频率分布表为：分组频数频数频率[12.5,15.530.06)[15.5,18.580.16)[18.5,21.590.18)[21.5,24.5110.22)[24.5,27.5)100.20[27.5,30.5)50.10[30.5,33.5)40.08合计50 1.00(2)频率分布直方图如图所示：(3)数据落在[15.5,24.5)内的可能性为：8＋9＋1150＝0.56.22.(本题满分14分)(x x·河南新乡市高一期末测试)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求线性回归方程y＝b x＋a；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 3.5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)．(参考公式与数据：6i＝1x i y i＝4 066，∑i＝16x2i＝434.2，∑i＝16x i＝51，∑i＝16y i＝480.b^＝∑i＝16x i y i－n x y∑i＝16x2i－n x2，a^＝y－b^x)[解析](1)x＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝516＝8.5，y＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝4806＝80.b ^＝∑i ＝16x i y i －n x y∑i ＝16x 2i －n x 2＝4 066－6×8.5×80434.2－6×8.52＝－20， a ^＝y －b ^x ＝80－(－20)×8.5＝250.∴线性回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂的利润为y ，依题意得y ＝(－20x ＋250)(x －3.5)＝－20(x －8)2＋405，∴当x ＝8时，y 取最大值405.即该产品的单价应定为8元时，工厂获得最大利润．i25332 62F4 拴! 7 23630 5C4E 屎26225 6671 晱32922 809A 肚360488CD0 賐22375 5767 坧(NF。
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第二章综合检测题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－ABCD中，既与AB共面也与CC共面11111的棱的条数为()A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－ABCD中，异面直线AB，AD所成的角等111111于()A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()∥α，b．a?αα，b?αBA．a?C．a⊥α，b⊥αD．a?α，b ⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；∥b，则a，b与③若ac所成的角相等；∥c. ，则⊥ca④若a⊥b，b其中真命题的个数为()A．4B．3C．2D．17．在正方体ABCD－ABCD中，E，F分别是线段AB，BC11111111上的不与端点重合的动点，如果AE＝BF，有下面四个结论：11∥∥平面ABCD. 与AC异面；④⊥AA；②EFEFAC；③EF①EF1其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()∥ba b与α所成的角相等，则aA．若，∥∥∥∥b βb，，则β，αaB．若aα∥∥βb，则αβαC．若a?，b?，aD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b1 / 14∥，l，直线ABll，点A∈α，A?β9．已知平面α⊥平面，α∩β＝∥∥，则下列四种位置关系中，不一定成立α，n直线AC⊥l，直线mβ)的是(∥m．ACAB⊥m BA．∥β．AC⊥βDC．AB、D中，E已知正方体ABCD－ABC10．(2012·大纲版数学(文科))1111所成角的余弦值为DF与BB、CC的中点，那么直线AEF分别为111)(34 B. .A．－5533 ．－. DC54＝ACABC的三个侧面与底面全等，且AB＝11．已知三棱锥D－为面的二面角的余与面BCABC为棱，以面BCD3，BC＝2，则以)弦值为(311A. B.C．0D．－23312．如图所示，点P 在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是()60°．B90°A．30°D．．C45°分．把答案填255本大题共5小题，每小题分，共(二、填空题)在题中的横线上________13．下列图形可用符号表示为．2 / 1414．正方体ABCD－ABCD中，二面角C－AB－C的平面角等11111于________．∥平面β，A，C∈α，B设平面．α，D∈β，直线AB与CD交15于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－ABC中，△ABC与△ABC111111都为正三角形且AA⊥面ABC，F、F分别是AC，AC的中点．1111∥；平面CBFF求证：(1)平面AB111.A⊥平面AB(2)平面FACC1111本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定][分析3 / 14理，寻找使结论成立的充分条件．⊥PAP－ABCD中，18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥是E＝90°，ABC，AD＝5，∠DAB ＝∠3ABCD平面，AB＝4，BC＝的中点．CDPAE；(1)证明：CD⊥平面所成的角与平面ABCDPB与平面PAE所成的角和PB(2)若直线的体积．ABCD相等，求四棱锥P－所在的平面垂直于PCD分)2的等边△如图所示，边长为19．(12 BC的中点．2，M为矩形ABCD所在的平面，BC＝2；AM证明：⊥PM(1) 的大小．－D－(2)求二面角PAMCBABC－A棱柱)(2010·(20．本小题满分12分辽宁文，19)如图，111.B⊥C是菱形，BBCC的侧面BA11114 / 14⊥平面CABC；(1)证明：平面AB111∥DC的值．平面BCD，求A且设(2)D是AC上的点，ABD1111112是边长为ABEDABAC＝BC，＝分21．(12)如图，△ABC中，2的中，BD，GF分别是EC1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若点．∥ABCGF；底面(1)求证：；AC⊥平面EBC(2)求证：.V ADEBC的体积(3)求几何体转(2)内的直线ABCAC；转化为证明分析[](1)GF平行于平面几何(3)BE内的两条相交直线BC和；EBCAC 化为证明垂直于平面.－是四棱锥体ADEBCCABED5 / 1422．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－ABC中，AC＝3，111BC ＝4，AB＝5，AA＝4，点D是AB的中点．1；⊥BC(1)求证：AC1∥CDB求证：AC；平面(2)11 C所成角的余弦值．求异面直线AC与B(3)11详解答案D ]1[答案C]2[答案故棱中不存在同时与两者平行的为异面直线，AB与CC[解析]1直线，因此只有两类：D、CAB平行与CC相交的有：CD第一类与111 AA，AB相交的有：BB、平行且与与CC111 5条．第二类与两者都相交的只有BC，故共有C 3[答案]平行的内不存在与l在平面与平面α斜交时，αl][解析1°直线A错；直线，∴D错；lα?时，在α内不存在直线与异面，∴l2°∥lαl3°α时，在内不存在直线与相交．6 / 14无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案]D∥AD，则∠BAD是异面直线AB，AD所成的[解析]由于AD1111角，很明显∠BAD＝90°.5[答案]B[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b∥∥b，C错误；对⊥α，一定有aB正确；对于选项C，a⊥α，bα，于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案]D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等∥c，而在空间中，a角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案]D[解析]如图所示．由于AA⊥平面ABCD，EF?平面11111ABCD，则EF⊥AA，所以①正确；当E，F分别是线段AB，BC111111111∥∥∥AC，所以③不正确；当，则，又ACEFA的中点时，EFCAC1111E，F分别不是线段AB，BC的中点时，EF与AC异面，所以②不1111∥平面ABCD，EF?平面CBDABCD，所以正确；由于平面A11111111∥平面ABCDEF，所以④正确．D8[答案]是假命题；Ab还可能相交或异面，所以选项A中，a，[解析]，中，αB是假命题；选项Ca选项B中，，b还可能相交或异面，所以a，则α⊥βD是假命题；选项中，由于a⊥α，β还可能相交，所以C∥∥.⊥bab⊥β，则⊥l，所以blββaβ或?，则内存在直线a，又C9[答案] 解析[]如图所示：7 / 14∥∥∥∥∥.l?ABml，βl?AC⊥m；ABlABm；AC⊥3本试题考查了正方体中异面直线的所命题意图]]10[答案 5 成角的求解的运用．DF，然后则角DFD即为[解析]首先根据已知条件，连接1异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到，结合余弦定理得到结论．DD＝25＝DF＝DF，11C]11[答案，∴⊥DEBC，可证⊥AE，BCBC[解析]取中点E，连AE、DE D的平面角A－BC－∠AED为二面角C. ，故选90°，∴∠AED＝ED2＝，AD＝2＝又AEB12[答案]∥ACS，显见PB△SC，将其还原成正方体[解析]ABCD－PQRS.60°为正三角形，∴∠ACS＝AB∩αβ＝答案13[] 答案14[]45°8 / 14[解析]如图所示，正方体ABCD－ABCD中，由于BC⊥AB，1111BC ⊥AB，则∠CBC是二面角C－AB－C的平面角．又△BCC是等1111腰直角三角形，则∠CBC＝45°.19]15[答案，AC，BD解析[]如下图所示，连接. ACBD，CD确定一个平面则直线AB∥∥，αBDβ，∴AC∵128ASCS9. SD＝＝，∴＝，解得则SDSD6SB ①②④答案]16[，⊥AE，AECE，则BD中点，][解析如图所示，①取BDE 连接ACAEC平面，故?，⊥平面，∴＝∩，而⊥BDCEAECEEBDAECAC BD⊥，故①正确．9 / 142. ＝，则aAE＝CEa②设正方形的边长为2＝且∠AEC－BD－C的平面角，由①知∠AEC＝90°是直二面角A a，90°，∴AC＝ACD 是等边三角形，故②正确．∴△BCDAB与平面BCD，故∠ABE是③由题意及①知，AE⊥平面45°，所以③不正确．所成的角，而∠ABE＝N，AC的中点为M，④分别取BC，.MN，连接ME，NE11∥，＝AB＝则MNaAB，且MN2211∥，＝CD＝MEaCD，且ME22 所成的角．AB，CD∴∠EMN是异面直线2 a，，ACAE＝CE＝＝aRt在△AEC中，211，故④正60°是正三角形，∴∠EMN＝AC＝a.∴△MEN∴NE＝22 确．中，ABC(1)在正三棱柱ABC－17[证明]111的中点，AC、F分别是AC、∵F111∥∥.CFBF，AF∴BF1111 F，∩BF＝CBF∩AF＝F，F又∵11111∥.BFFC平面∴平面AB111. AAF⊥ABC，∴B⊥平面A(2)在三棱柱ABC －BC中，AA1111111111，AA＝A∩C又BF⊥A，AC11111111，平面?ABFFA ⊥平面∴BFACC，而B11111111. A⊥平面AB∴平面FACC1111 ]18[解析10 / 14AC90°，得AB＝4，BC＝3，∠ABC＝(1)如图所示，连接AC，由5.＝.AE5AD＝，E是CD的中点，所以CD⊥又.CD，CD?平面ABCD，所以PA⊥∵PA⊥平面ABCD. PAE是平面AE 内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE而PA，∥. AD相交于F，G，连接PF(2)过点B作BGAECD，分别与，与为直线PBAE.于是∠BPF知，由(1)CD⊥平面PAEBG⊥平面P.⊥AEPAE所成的角，且BG平面ABCD所成的角．为直线PB与平面由PA⊥平面ABCD知，∠PBA ，PBA＝∠BPFAB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠BFPA. ＝BFBPF∠PBA＝，sin∠＝，所以PAsin 因为PBPB∥∥，所以四边形ABC＝90°知，BC，又BGADCD由∠DAB＝∠2.AG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是＝BCDG ＝2，AF，所以BG ⊥AB在Rt△BAG中，＝4，AG25168AB22＝于是.PA＋AG＝＝BF25，＝BF＝＝BG＝AB5BG5258.51－P＝16，所以四棱锥＋的面积为S＝×(53)×4ABCD又梯形 2 ABCD的体积为58512811＝.×16×＝×＝V×SPA1533519[解析](1)证明：如图所示，取CD 的中点E，连接PE，EM，EA，11 / 14为正三角形，∵△PCD3. ＝＝2sin60°sinPE⊥CD，PE＝PD∠PDE ∴PCD⊥平面ABCD，∵平面. AMPE⊥⊥平面PEABCD，而AM?平面ABCD，∴∴是矩形，∵四边形ABCD由勾股定理可求得ABM 均为直角三角形，∴△ADE，△ECM，△＝3，，AM6＝，EMAE＝3222.⊥EM＝AE.EM∴∴＋AMAM. PM，∴⊥平面PEMAM⊥∩又PEEM ＝E，∴AM ，PM⊥AM可知(2)解：由(1)EM⊥AM，D的平面角．－∴∠PME是二面角P－AM3PE.45°，∴∠PME＝1tan∴∠PME＝＝＝EM3. 45°D－AM－的大小为P∴二面角解析20[]12 / 14，⊥BCB是菱形，所以BC(1)因为侧面BCC1111 B，B∩BC＝A又已知BC⊥AB，且1111 ABCBC?平面所以BC⊥平面ABC，又11111 . ABC所以平面ABC⊥平面111 BC与平面DE是平面ABC于点E，连接DE，则(2)设BC交1111 CD的交线．B1∥CDBBC∩平面平面ABC，平面因为ABA平面BCD，AB?11111111∥.BDEDE＝，所以A1的中点．AC是BC的中点，所以D为又E1111. ＝DC即AD11 AE，如下图所示．](1)证明：连接解21[为正方形，∵ADEB 的中点，F是AEBD∴AE∩＝F，且的中点，G是EC又∥平面ABC，?平面ABC，GFGF∴?AC，又AC∥.平面GF∴ABC AB，证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥(2)EB，平面ABC＝AB⊥平面又∵平面ABEDABC，平面ABED∩，?平面ABED. BE⊥AC∴BE⊥平面ABC，∴2 AB＝又∵AC＝BC，2222＝AB∴CACB＋，.⊥BCAC∴.⊥平面，∴＝∩又∵BCBEBACBCE13 / 1422 ，，∵，连GHBC＝AC＝＝AB(3)取AB的中点H221 ABCABED ⊥平面∴CH⊥AB，且CH＝，又平面2111. ×＝⊥平面ABCD，∴V＝×1GH∴632AC底面三边长中，在直三棱柱ABC－ABC22[解析](1)证明：111.BCAB＝5，∴AC⊥＝3，BC＝4，. B.∴AC⊥平面BCC又∵CC⊥AC111. B，∴AC⊥BC∵BC?平面BCC111B，连接DE，又四边形BCC证明：设(2)CB与CB的交点为E1111为正方形．∥. DEACD是AB的中点，E是BC的中点，∴∵11 CDB，?平面CDB，AC?平面∵DE111∥. ∴ACCDB平面11∥(3)解：∵DE，AC1 AC与BC所成的角．∴∠CED 为1151 ，AC＝ED在△CED中，＝122115 2，＝，CE＝CB2＝＝CDAB1222222＝＝∠CED.∴cos55222∴异面直线AC与BC所成角的余弦值为.11514 / 14。