高一数学必修2第二章测试题及答案解析(精品资料)
高一数学必修2第二章测试题及答案解析(同名10275)
第二章单元测试题、选择题1．若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是 ( )A .相交B .平行C .异面D .平行或异面2 .平行六面体ABCD -A i B i C i D i 中，既与AB 共面也与CC i 共面的棱 的条数为 ( ) A .3 B .4 C .5 D . 64.长方体ABCD — A i B i C i D i 中，异面直线AB,A i D i 所成的角等于()A. 30° B . 45° C . 60° D . 90° 5.对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面a,使得() A . a? a ， b? a B . a? a, b 〃a C.a 丄 a, b 丄 a D . a? a, b 丄 a6. 下面四个命题：① 若直线 a b 异面 b c 异面 则 a c 异面；② 若直线 a b 相交 b c 相交 则 a c 相交；③ 若a // b ，则a , b 与c 所成的角相等；④ 若a 丄b , b 丄c ,则a / c.其中真命题的个数为()A . 4B . 3C . 2D . i 7. 在正方体 ABCD —A i B i C i D i 中EF 分别是线段 A i B i B i C i 上的 不与端点重合的动点，如果 A i E = B i F ,有下面四个结论：① EF 丄 AA i ;® EF // AC ;③ EF 与 AC 异面；④ EF //平面 ABCD. 其中一定正确的有 ( )A. ①② B .②③ C .②④ D .①④B .8设a , b 为两条不重合的直线，a, B 为两个不重合的平面，下列命 题中为真命题的是( )A .若a , b 与a 所成的角相等，贝S a //bB .若 a / a, b / 伏 a// B,则 a / bB. 若 a? a, b? B a / b ,贝U a// [33. 已知平面a 和直线I ，则 A .平行 B .相交 a 内至少有一条直线与1(C .垂直D .异面D .若a丄a, b丄3 a丄3贝y a丄b9.已知平面a丄平面厲aQ B= l，点A€ a, A?l，直线AB II l，直线AC 丄l，直线m// a n//伏则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A . AB//m B. AC 丄m C. AB// B D. AC 丄B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上)14. 正方体ABCD —A i B i C i D i中，二面角G —AB-C的平面角等于15. ______________________________________________________ 设平面a//平面B, A, C€ a, B , D € B,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面a B之间，AS= 8 , BS= 6 , CS= 12 ,则SD= _______________16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD —C,有如下四个结论：①AC丄BD :②厶ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角;④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是_________ .三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10分）如下图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，△ ABC与厶A i B i C i 都求证：（1）平面AB i F i //平面C i BF;⑵平面AB i F i丄平面ACC i A i.18. (12分)如图所示，边长为2的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC = 2 2 M为BC的中点.(1)证明：AM丄PM;⑵求二面角P-AM —D的大小.详解答案1［答案］D2［答案］C［解析］AB与CC i为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CG相交的有：CD、C1D1与CC i平行且与AB相交的有：BB i、AA1，第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3［答案］C［解析］1°直线I与平面a斜交时，在平面a内不存在与I平行的直线，二A错；2°l? a时，在a内不存在直线与I异面，二D错；3°l // a时，在a内不存在直线与I相交.无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直.4［答案］D［解析］由于AD // A i D i，则/ BAD是异面直线AB, A i D i所成的角，很明显/ BAD = 90°5［答案］B［解析］对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a, b不相交，则a与b平行或异面，都存在a,使a? a, b // a, B正确；对于选项C, a丄a, b± a, 一定有a/ b, C错误；对于选项D , a? a, b丄a 一定有a丄b , D错误.6［答案］D［解析］异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a / c ,而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误.7［答案］D［解析］如图所示.由于AA i丄平面A i B i C i D i , EF?平面A i B i C i D i,则EF丄AA i,所以①正确；当E, F分别是线段A1B1, B1C1 的中点时，EF// A i C i, 又AC// A i C i，贝S EF II AC，所以③不正确；当E, F分别不是线段A i B i, B i C i的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A iB iC iD i I平面ABCD, EF?平面A i B i C i D i，所以EF //平面ABCD，所以④正确.8［答案］D［解析］选项A中，a, b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a, b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，a, B还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a丄a a丄则a // B或a? B,贝卩B内存在直线I I a,又b± B,则b±I，所以a丄b.9［答案］Ci3［答案］an片ABi4［答案］45°［解析］如图所示，正方体ABCD — A i B i C i D i 中，由于BC 丄AB , BC i 丄AB ,贝卩/C i BC 是二面角C i — AB — C 的平面角.又△ BCC i 是等 腰直角三角形，则/ C i BC = 45°i5［答案］9T all AC // BD ,则Ah SD ，A 6=SD ，解得 SD = 9i6［答案］①②④［解析］如图所示，①取BD 中点，E 连接AE , CE ,则BD 丄AE , BD 丄CE ,而 AE A CE = E ,「. BD 丄平面 AEC , AC?平面 AEC , 故 AC 丄BD ，故①正确.②设正方形的边长为a,则AE= CE=_2a.由①知/ AEC= 90°是直二面角A-BD —C的平面角，且/ AEC = 90° 二AC= a,•••△ ACD是等边三角形，故②正确.③由题意及①知，AE丄平面BCD，故/ ABE是AB与平面BCD 所成的角，而/ ABE=45°所以③不正确.④分别取BC, AC的中点为M, N,连接ME, NE, MN.1 1贝S MN // AB, 且MN = 2AB= qa,〃厂 1 1ME / CD，且ME = 2CDpa,•••/ EMN是异面直线AB, CD所成的角.在Rt A AEC 中，AE= CE=今a, AC= a,1 1••• NE = 2AC = 2a. MEN 是正三角形，二/ EMN = 60° 故④正确.17［证明］(1)在正三棱柱ABC—A1B1C1中，T F、F1分别是AC、A1C1的中点，•B1F1 // BF, AF1 // GF.又••• B1F1 n AF1 = F1, C1F n BF=F,•平面AB1F1 //平面GBF.(2)在三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA1 丄平面A1B1C1,「. BF 丄AA「又B1F1 丄A1C1, A1C1 n AA1 = A1,•B1F1X平面ACC1A1，而B1F1?平面ABF,「•平面AB i F i 丄平面ACC i A i .18［解析］(1)证明：如图所示，取 CD 的中点E ,连接PE , EM , EA ,•••△ PCD 为正三角形，••• PE 丄CD , PE = PDsin /PDE = 2sin60=^3.•••平面PCD 丄平面ABCD ,• P E 丄平面 ABCD ，而 AM?平面 ABCD ,「. PE 丄AM. T 四边形ABCD 是矩形，• △ ADE , △ECM , △ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM = 3, AM = 6, AE = 3,• EM 2 + AM 2 = AE 2. • AM 丄 EM.又 PEA EM = E ,「. AM 丄平面 PEM ,「. AM 丄PM.(2)解：由(1)可知EM 丄AM , PM 丄AM ,• / PME 是二面角P - AM — D 的平面角.•二面角P — AM — D 的大小为45°• tan/ PME PE = 3= EM = 3=• / PME = 45°。
高一数学必修第二章测试题及答案解析
第二章综合检测题一、选择题1.若直线a与b没有公共点,则a与b得位置关系就是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面得棱得条数为()A.3B.4C.5D.63.已知平面α与直线l,则α内至少有一条直线与l()A.平行B.相交C.垂直D.异面4.长方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成得角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°5.对两条不相交得空间直线a与b,必存在平面α,使得()A a⊂α,b⊂αB a⊂α,b∥αC a⊥α,b⊥αD a⊂α,b⊥α6.下面四个命题:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成得角相等;④若a⊥b,b⊥c,则a∥c、其中真命题得个数为()A.4B.3C.2D.17.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别就是线段A1B1,B1C1上得不与端点重合得动点,如果A1E＝B1F,有下面四个结论:①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD、其中一定正确得有()A.①②B.②③C.②④D.①④8.设a,b为两条不重合得直线,α,β为两个不重合得平面,下列命题中为真命题得就是()A.若a,b与α所成得角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b9.已知平面α⊥平面β,α∩β＝l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,n∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立得就是A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β10已知正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1得中点,那么直线AE与D1F所成角得余弦值为()A .－45B 、 、35C 、34D .－3511.已知三棱锥D －ABC 得三个侧面与底面全等,且AB ＝AC ＝3,BC ＝2,则以BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面得二面角得余弦值为( )A 、33B 、13 C.0 D.－1212.如图所示,点P 在正方形ABCD 所在平面外,P A ⊥平面ABCD ,P A ＝AB ,则PB 与AC 所成得角就是( )A.90°B.60°C.45°D.30°二、填空题13.下列图形可用符号表示为________.14.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,二面角C 1－AB －C 得平面角等于________.15.设平面α∥平面β,A ,C ∈α,B ,D ∈β,直线AB 与CD 交于点S ,且点S 位于平面α,β之间,AS ＝8,BS ＝6,CS ＝12,则SD ＝________、16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 就是等边三角形;③AB 与平面BCD 成60°得角;④AB 与CD 所成得角就是60°、其中正确结论得序号就是________.三、解答题17.如下图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ,F 、F 1分别就是AC ,A 1C 1得中点.求证:(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ;(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、18如图所示,在四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AB ＝4,BC ＝3,AD ＝5,∠DAB ＝∠ABC ＝90°,E 就是CD 得中点.(1)证明:CD ⊥平面P AE ;(2)若直线PB 与平面P AE 所成得角与PB 与平面ABCD 所成得角相等,求四棱锥P －ABCD 得体积.19如图所示,边长为2得等边△PCD 所在得平面垂直于矩形ABCD 所在得平面,BC ＝22,M 为BC 得中点.(1)证明:AM ⊥PM ;(2)求二面角P－AM－D得大小.20如图,棱柱ABC－A1B1C1得侧面BCC1B1就是菱形,B1C⊥A1B、(1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;(2)设D就是A1C1上得点,且A1B∥平面B1CD,求A1D DC1得值.21如图,△ABC中,AC＝BC＝22AB,ABED就是边长为1得正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别就是EC,BD得中点.(1)求证:GF∥底面ABC;(2)求证:AC⊥平面EBC;(3)求几何体ADEBC得体积V、22如下图所示,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,AA1＝4,点D就是AB得中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角得余弦值.详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行得直线,因此只有两类:第一类与AB平行与CC1相交得有:CD、C1D1与CC1平行且与AB相交得有:BB1、AA1,第二类与两者都相交得只有BC,故共有5条.3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行得直线,∴A错;2°l⊂α时,在α内不存在直线与l异面,∴D错;3°l∥α时,在α内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1,则∠BAD就是异面直线AB,A1D1所成得角,很明显∠BAD＝90°、5[答案] B[解析]对于选项A,当a与b就是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.7[答案] D[解析]如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF ⊥AA1,所以①正确;当E,F分别就是线段A1B1,B1C1得中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F分别不就是线段A1B1,B1C1得中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.8[答案] D[解析]选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A就是假命题;选项B 中,a,b还可能相交或异面,所以B就是假命题;选项C中,α,β还可能相交,所以C就是假命题;选项D中,由于a⊥α,α⊥β,则a∥β或a⊂β,则β内存在直线l∥a,又b⊥β,则b⊥l,所以a⊥b、9[答案] C[解析]如图所示:AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β、10[答案]35命题意图]本试题考查了正方体中异面直线得所成角得求解得运用.[解析]首先根据已知条件,连接DF,然后则角DFD1即为异面直线所成得角,设边长为2,则可以求解得到5＝DF ＝D 1F ,DD 1＝2,结合余弦定理得到结论.11[答案] C[解析] 取BC 中点E ,连AE 、DE ,可证BC ⊥AE ,BC ⊥DE ,∴∠AED 为二面角A －BC －D 得平面角又AE ＝ED ＝2,AD ＝2,∴∠AED ＝90°,故选C 、12[答案] B[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ,显见PB ∥SC ,△ACS 为正三角形,∴∠ACS ＝60°、13[答案] α∩β＝AB14[答案] 45°[解析] 如图所示,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,由于BC ⊥AB ,BC 1⊥AB ,则∠C 1BC 就是二面角C 1－AB －C 得平面角.又△BCC 1就是等腰直角三角形,则∠C 1BC ＝45°、15[答案] 9[解析] 如下图所示,连接AC ,BD ,则直线AB ,CD 确定一个平面ACBD 、∵α∥β,∴AC ∥BD ,则AS SB ＝CS SD ,∴86＝12SD ,解得SD ＝9、16[答案] ①②④[解析] 如图所示,①取BD 中点,E 连接AE ,CE ,则BD ⊥AE ,BD ⊥CE ,而AE ∩CE ＝E ,∴BD ⊥平面AEC ,AC ⊂平面AEC ,故AC ⊥BD ,故①正确.②设正方形得边长为a ,则AE ＝CE ＝22a 、由①知∠AEC ＝90°就是直二面角A －BD －C 得平面角,且∠AEC ＝90°,∴AC ＝a ,∴△ACD 就是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE ⊥平面BCD ,故∠ABE 就是AB 与平面BCD 所成得角,而∠ABE ＝45°,所以③不正确.④分别取BC ,AC 得中点为M ,N ,连接ME ,NE ,MN 、则MN ∥AB ,且MN ＝12AB ＝12a ,ME ∥CD ,且ME ＝12CD ＝12a ,∴∠EMN 就是异面直线AB ,CD 所成得角.在Rt △AEC 中,AE ＝CE ＝22a ,AC ＝a ,∴NE ＝12AC ＝12a 、∴△MEN 就是正三角形,∴∠EMN ＝60°,故④正确. 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∵F 、F 1分别就是AC 、A 1C 1得中点,∴B 1F 1∥BF ,AF 1∥C 1F 、又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1,C 1F ∩BF ＝F ,∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF 、(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∴B 1F 1⊥AA 1、 又B 1F 1⊥A 1C 1,A 1C 1∩AA 1＝A 1,∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1⊂平面AB 1F 1,∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、18[解析](1)如图所示,连接AC ,由AB ＝4,BC ＝3,∠ABC ＝90°,得AC ＝5、 又AD ＝5,E 就是CD 得中点,所以CD ⊥AE 、∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以P A ⊥CD 、而P A ,AE 就是平面P AE 内得两条相交直线,所以CD ⊥平面P AE 、(2)过点B 作BG ∥CD ,分别与AE ,AD 相交于F ,G ,连接PF 、由(1)CD ⊥平面P AE 知,BG ⊥平面P AE 、于就是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成得角,且BG ⊥AE 、由P A ⊥平面ABCD 知,∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成得角. AB ＝4,AG ＝2,BG ⊥AF ,由题意,知∠PBA ＝∠BPF ,因为sin ∠PBA ＝P A PB ,sin ∠BPF ＝BF PB ,所以P A ＝BF 、由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知,AD ∥BC ,又BG ∥CD ,所以四边形BCDG 就是平行四边形,故GD ＝BC ＝3、于就是AG ＝2、在Rt △BAG 中,AB ＝4,AG ＝2,BG ⊥AF ,所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25,BF ＝AB 2BG ＝1625＝855、于就是P A ＝BF ＝855、 又梯形ABCD 得面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16,所以四棱锥P －ABCD 得体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515、19[解析] (1)证明:如图所示,取CD 得中点E ,连接PE ,EM ,EA ,∵△PCD 为正三角形,∴PE ⊥CD ,PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝3、∵平面PCD ⊥平面ABCD ,∴PE ⊥平面ABCD ,而AM ⊂平面ABCD ,∴PE ⊥AM 、∵四边形ABCD 就是矩形,∴△ADE ,△ECM ,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得EM ＝3,AM ＝6,AE ＝3,∴EM 2＋AM 2＝AE 2、∴AM ⊥EM 、又PE ∩EM ＝E ,∴AM ⊥平面PEM ,∴AM ⊥PM 、(2)解:由(1)可知EM ⊥AM ,PM ⊥AM ,∴∠PME 就是二面角P －AM －D 得平面角.∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1,∴∠PME ＝45°、 ∴二面角P －AM －D 得大小为45°、20[解析](1)因为侧面BCC 1B 1就是菱形,所以B 1C ⊥BC 1,又已知B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1＝B ,所以B 1C ⊥平面A 1BC 1,又B 1C ⊂平面AB 1C所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 、(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,则DE 就是平面A 1BC 1与平面 B 1CD 得交线.因为A 1B ∥平面B 1CD ,A 1B ⊂平面A 1BC 1,平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ,所以A 1B ∥DE 、又E 就是BC 1得中点,所以D 为A 1C 1得中点.即A 1D DC 1＝1、21[解] (1)证明:连接AE ,如下图所示.∵ADEB 为正方形,∴AE ∩BD ＝F ,且F 就是AE 得中点,又G 就是EC 得中点,∴GF ∥AC ,又AC ⊂平面ABC ,GF ⊄平面ABC ,∴GF ∥平面ABC 、(2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB ⊥AB ,又∵平面ABED ⊥平面ABC ,平面ABED ∩平面ABC ＝AB ,EB ⊂平面ABED ,∴BE ⊥平面ABC ,∴BE ⊥AC 、又∵AC ＝BC ＝22AB ,∴CA 2＋CB 2＝AB 2,∴AC ⊥BC 、又∵BC ∩BE ＝B ,∴AC ⊥平面BCE 、(3)取AB 得中点H ,连GH ,∵BC ＝AC ＝22AB ＝22,∴CH ⊥AB ,且CH ＝12,又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ,∴V ＝13×1×12＝16、22[解析] (1)证明:在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,底面三边长AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5,∴AC ⊥BC 、又∵C 1C ⊥AC 、∴AC ⊥平面BCC 1B 1、 ∵BC 1⊂平面BCC 1B ,∴AC ⊥BC 1、(2)证明:设CB 1与C 1B 得交点为E ,连接DE ,又四边形BCC 1B 1为正方形.∵D 就是AB 得中点,E 就是BC 1得中点,∴DE ∥AC 1、 ∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1∥平面CDB 1、(3)解:∵DE ∥AC 1,∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成得角.在△CED 中,ED ＝12AC 1＝52,CD ＝12AB ＝52,CE ＝12CB 1＝22,∴cos ∠CED ＝252＝225、∴异面直线AC 1与B 1C 所成角得余弦值为225、。
高中数学必修2第二章单元测试题(含答案)
高一数学必修2第二章测试题【第七次周练】一、选择题（每小题4分，共48分）1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o角 D 、11AC与1B C 成60o 角5、若直线l 垂直平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l 垂直aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、以上三种 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1B 、2C 、3D 、47、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点P 不在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 9、如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中有下列几个结论①BM//ED ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成600角 ④DM ⊥BNB 1C 1A 1D 1BACD其中正确的结论的序号是（）A ，①②③B ，②④C ，③④D ，②③④ 10、给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.111、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是A 、23 B 、76 C 、45D 、5612、直线m,n 分别在两个互相垂直的平面α，β内，且α∩β= a ,m 和n 与 a 不垂直也不平行，那么m 和n 的位置关系是（）A ．可能垂直，但不一定平行，B ，可能平行，但一定不垂直C ，可能垂直，可能平行，D ，一定不垂直，也一定不平行。
高一数学必修第二章测试题及解析
第二章综合检测题时间 120 分钟，满分 150 分。
一、选择题 (本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的 )1．若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的地点关系是 ( )A ．订交B ．平行C ．异面 －111D ．平行或异面 共面的棱的条2 ．平行六面体 ABCD 1 中，既与 AB 共面也与 CC 1ABCD数为()A ．3B ．4C ．5D ．63．已知平面 α和直线 l ，则 α内起码有一条直线与 l( )A ．平行B ．订交C ．垂直D ．异面1 所成的角等于 ()4 ．长方体ABCD －1 1 11 中，异面直线 AB ，A 1D ABCDA ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．对两条不订交的空间直线 a 与 b ，必存在平面 α，使得 ()A ．a?α，b?αB ．a?α，b ∥αC ．a ⊥α，b ⊥αD ．a?α，b ⊥α6．下边四个命题：①若直线 a ，b 异面， b ，c 异面，则 a ，c 异面； ②若直线 a ，b 订交， b ，c 订交，则 a ，c 订交； ③若 a ∥b ，则 a ，b 与 c 所成的角相等； ④若 a ⊥b ，b ⊥c ，则 a ∥c. 此中真命题的个数为 ( )A ．4B ．3C ．2D ．11，B 1 1 上的不与7 ．在正方体－1 1 1 1 中，E ，F 分别是线段 A 1ABCD ABCDB C 端点重合的动点，假如 A 1E ＝B 1F ，有下边四个结论：① E F ⊥AA 1；② EF ∥AC ；③ EF 与 AC 异面；④ EF ∥平面 ABCD. 此中必定正确的有 () A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④8．设 a ，b 为两条不重合的直线， α，β为两个不重合的平面，以下命题中为真命题的是 ()A ．若 a ，b 与 α所成的角相等，则 a ∥bB ．若 a ∥α，b ∥β，α∥β，则 a ∥bC ．若 a?α，b?β，a ∥b ，则 α∥βD．若 a⊥α，b⊥β，α⊥β，则 a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点 A∈α，A?l，直线 AB∥l，直线 AC ⊥l，直线 m∥α，n∥β，则以下四种地点关系中，不必定建立的是() A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β10．(2012 ·纲领版数学 (文科 ))已知正方体 ABCD－A1B1C1D1中， E、F 分别为 BB1、CC1的中点，那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为 ()43A．－5 B. .533C.4D．－511．已知三棱锥 D－ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB＝AC＝3，BC＝2，则以 BC 为棱，以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余弦值为 () 311A. 3B.3C．0D．－212．以下图，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PA⊥平面 ABCD，PA＝AB，则 PB 与 AC 所成的角是 ()A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题 (本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填在题中的横线上 )13．以下图形可用符号表示为 ________．14．正方体ABCD－ A1B1C1D1中，二面角 C1－ AB－ C 的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位于平面α，β之间， AS＝8，BS＝6，CS＝12，则 SD＝________.16．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A－BD－C，有以下四个结论：①A C⊥BD；②△ ACD 是等边三角形；③A B 与平面 BCD 成 60°的角；④AB 与 CD 所成的角是 60°.此中正确结论的序号是 ________．三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17．(10 分)以以下图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，△ ABC 与△ A1B1C1都为正三角形且 AA1⊥面 ABC，F、F1分别是 AC，A1C1的中点．求证： (1)平面 AB1F1∥平面 C1BF；(2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.[ 剖析 ] 此题能够依据面面平行和面面垂直的判断定理和性质定理，找寻使结论建立的充足条件．18．(本小题满分 12 分)以下图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠ DAB＝∠ ABC＝90°，E 是 CD 的中点．(1)证明： CD⊥平面 PAE；(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P－ABCD 的体积．19．(12 分)以下图，边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， BC＝2 2，M 为 BC 的中点．(1)证明： AM⊥PM；(2)求二面角 P－AM－D 的大小．20．(本小题满分 12 分)(2010 辽·宁文， 19)如图，棱柱 ABC－A1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形， B1C⊥A1B.(1)证明：平面 AB1C⊥平面(2)设 D 是 A1C1上的点，且A1BC1；A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值．221．(12分)如图，△ABC中， AC＝BC＝2AB，ABED是边长为 1 的正方形，平面 ABED⊥底面 ABC，若 G，F 分别是 EC，BD 的中点．(1)求证： GF∥底面 ABC；(2)求证： AC⊥平面 EBC；(3)求几何体 ADEBC 的体积 V.[ 剖析 ] (1)转变为证明 GF 平行于平面 ABC 内的直线 AC；(2)转变为证明AC 垂直于平面 EBC 内的两条订交直线BC 和 BE；(3)几何体 ADEBC 是四棱锥C－ABED.22．(12 分)以以下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点 D 是 AB 的中点．(1)求证： AC⊥BC1；(2)求证：1∥平面 CDB1；AC与 B1所成角的余弦值．(3)求异面直线1AC C详解答案1[答案]D2[答案]C[ 分析 ] AB 与 CC1为异面直线，故棱中不存在同时与二者平行的直线，所以只有两类：第一类与 AB 平行与 CC1订交的有： CD、C1D1与 CC1平行且与 AB 订交的有： BB1、AA1，第二类与二者都订交的只有BC，故共有 5 条．3[答案]C[ 分析 ] 1°直线 l 与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l?α时，在α内不存在直线与l 异面，∴D 错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l 订交．不论哪一种情况在平面α内都有无数条直线与l 垂直．4[答案]D[ 分析 ]因为AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很显然∠BAD＝90°.5[答案]B[ 分析 ] 关于选项 A ，当 a 与 b 是异面直线时， A 错误；关于选项 B，若 a， b 不订交，则 a 与 b 平行或异面，都存在α，使 a?α，b∥α，B 正确；关于选项 C，a⊥α，b⊥α，必定有 a∥b，C 错误；关于选项D，a?α，b⊥α，必定有 a⊥b，D 错误．6[答案]D[ 分析 ]异面、订交关系在空间中不可以传达，故①②错；依据等角定理，可知③正确；关于④，在平面内，a∥c，而在空间中， a 与 c 能够平行，能够相交，也能够异面，故④错误．7[答案]D[ 分析 ]以下图．因为AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面 A1B1C1D1，则 EF⊥AA1，所以①正确；当 E，F 分别是线段 A1B1，B1C1的中点时， EF∥A1C1，又 AC ∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F 分别不是线段A1B1，B1C1的中点时， EF 与 AC 异面，所以②不正确；因为平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD，EF?平面A1B1C1D1，所以 EF∥平面 ABCD，所以④正确．8[答案]D[ 分析 ] 选项 A 中， a，b 还可能订交或异面，所以 A 是假命题；选项 B 中，a，b 还可能订交或异面，所以B 是假命题；选项C 中，α，β还可能订交，所以C 是假命题；选项 D 中，因为 a⊥α，α⊥β，则 a∥β或 a?β，则β内存在直线l ∥a，又 b⊥β，则 b⊥l，所以 a⊥b.9[答案]C[ 分析 ]以下图：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β.310[答案 ]命题企图]本试题考察了正方体中异面直线的所成角的求5解的运用．[ 分析 ] 第一依据已知条件，连结 DF，而后则角 DFD 1即为异面直线所成的角，设边长为 2，则能够求解获得5＝DF＝D1F，DD 1＝2，联合余弦定理获得结论．11[答案 ]C[分析]取 BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角 A－BC－D 的平面角又 AE＝ED＝ 2，AD＝2，∴∠AED＝ 90°，应选C. 12[答案 ] B[ 分析 ] 将其复原成正方体 ABCD－PQRS，显见 PB∥SC，△ACS 为正三角形，∴∠ACS＝60°.13[答案 ]α∩β＝AB14[答案 ]45°[ 分析 ]以下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为 BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC 是二面角 C1－AB－C 的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC ＝45°.15[答案 ] 9[ 分析 ]以以下图所示，连结AC，BD，则直线 AB，CD 确立一个平面 ACBD.∵α∥β，∴AC∥BD，AS CS812则＝，∴ ＝，解得SD＝9.SB SD6SD16[答案 ]①②④[ 分析 ]以下图，①取BD 中点， E 连结 AE，CE，则 BD⊥AE，BD⊥CE，而 AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面 AEC，故 AC⊥BD，故①正确．2②设正方形的边长为a，则 AE＝CE＝2 a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C 的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC ＝a，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知， AE⊥平面BCD，故∠ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．④分别取 BC，AC 的中点为 M，N，连结 ME，NE，MN.11则 MN ∥AB，且 MN＝2AB＝2a，11ME∥CD，且 ME＝2CD＝2a，∴∠EMN 是异面直线 AB，CD 所成的角．2在 Rt△AEC 中， AE＝CE＝2 a，AC＝a，11∴NE＝2AC＝2a.∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．17[证明 ](1)在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，∵F、F1分别是 AC、A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面 C1BF.(2)在三棱柱 ABC－A1B1C1中， AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又 B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而 B1F1?平面 AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18[分析 ](1)以下图，连结AC，由 AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得 AC＝5.又 AD＝5，E 是 CD 的中点，所以 CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面 ABCD，所以 PA⊥CD.而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条订交直线，所以CD⊥平面PAE.(2)过点 B 作 BG∥CD，分别与 AE，AD 订交于 F，G，连结 PF.由(1)CD⊥平面PAE 知， BG⊥平面PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且 BG⊥AE.由 PA⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角．AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，PA BF因为 sin ∠PBA ＝PB ，sin ∠BPF ＝PB ，所以 PA ＝BF.由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知， AD ∥BC ，又 BG ∥CD ，所以四边形 BCDG 是平行四边形，故 GD ＝BC ＝3.于是 AG ＝2.在 Rt △BAG 中， AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以2BG ＝AB 2＋AG 2＝2 5，BF ＝ABBG ＝2165＝855.于是 PA ＝BF ＝855.1又梯形 ABCD 的面积为 S ＝2×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥 P －ABCD 的体积为1185 128 5V ＝3×S ×PA ＝3×16× 5＝15.19[分析 ] (1)证明：以下图，取 CD 的中点 E ，连结 PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PDsin ∠PDE ＝2sin60 ＝° 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而 AM?平面 ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM ＝ 3，AM ＝ 6，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM.又 PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM.(2)解：由 (1)可知 EM ⊥AM ，PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角 P －AM －D 的平面角．PE 3∴tan ∠PME ＝EM ＝ 3＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为 45°. 20[分析 ](1)因为侧面 BCC 1B 1 是菱形，所以 B 1C ⊥BC 1，又已知 B 1C ⊥A 1B ，且 A 1B ∩BC 1＝B ，所以 B 1C ⊥平面A 1BC 1，又 B 1C?平面 AB 1C所以平面 AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设 BC1交 B1C 于点 E，连结 DE，则 DE 是平面 A1BC1与平面B1CD 的交线．因为 A1B∥平面 B1CD，A1B?平面 A1BC1，平面 A1BC1∩平面 B1CD＝DE，所以 A1B∥DE.又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点．即 A1D DC1＝1.21[解] (1)证明：连结 AE，以以下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE∩BD＝F，且 F 是 AE 的中点，又 G是 EC的中点，∴GF∥AC，又 AC?平面 ABC，GF?平面 ABC，∴GF∥平面 ABC.(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面 ABED∩平面 ABC＝AB，EB?平面 ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.2又∵AC＝BC＝2 AB，∴CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝ B，∴AC⊥平面BCE.22(3)取 AB 的中点 H，连 GH，∵BC＝AC＝2 AB＝2，1∴CH⊥AB，且 CH＝2，又平面 ABED⊥平面ABC1 1 1∴GH⊥平面ABCD，∴V＝3×1×2＝6.22[分析 ] (1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长 AC＝3，BC ＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1?平面 BCC1B，∴AC⊥BC1.(2)证明：设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DE，又四边形 BCC1B1为正方形．∵D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点，∴DE∥AC1. ∵DE?平面 CDB1， AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面 CDB1.(3)解：∵DE∥AC1，∴∠CED 为 AC1与 B1C 所成的角．15在△CED 中， ED＝2AC1＝2，151CD＝2AB＝2，CE＝2CB1＝2 2，2 2 2∴cos∠CED＝5＝5 .2∴异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为2 2 5.系列资料。
高中数学必修2第二章测试(含答案).docx
第二章测试（时间：120分钟总分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.其中正确的命题是（）A.①②B.②④C.①③D.②③答案:B2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交解析：由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案:B3.一直线/与其外三点A, B, C可确定的平面个数是（）A.1个B. 3个C. 1个或3个D. 1个或3个或4个解析：当A、B、C共线且与/平行或相交时，确定一个平面；当A、B、C共线且与/ 异面时，可确定3个平面；当A、B. C三点不共线时，可确定4个平面.答案：D4.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中止确的是（）A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点答案：D5.如图，在AABC中，ZBAC=90°,丄面ABC, AB=AC, D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A. 5B. 8C. 10D. 6解析：这些直角三角形是：△B4B, △B4D, AMC, MAC, ABAD, ACAD,△PBD, △PCD.共8 个.答案:B6.下列命题正确的有（）①若厶ABC在平面a外，它的三条边所在直线分别交a于P、Q、R,则P、0、R三点、共线.②若三条平行线a、b. c都与直线/相交，则这四条直线共面.③三条直线两两相交，则这三条直线共面.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：易知①与②正确，③不正确.答案:C7.若平面a丄平面沟a^p=l,且点Pea, PH,则下列命题中的假命题是（）A.过点P且垂直于a的直线平行于0B.过点P且垂直于/的直线在a内C.过点P且垂直于0的直线在a内D.过点P且垂直于/的平面垂直于0答案：B& 如右图，在棱长为2的正方体ABCD-ArBiCiDr中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DDi、DiCi的中点，则直线OM（）A.与AC、MN均垂直相交B.与AC垂直，与MN不垂直C.与A/N垂直，与AC不垂直D.与AC、MN均不垂直解析：易证 AC 丄面 BB X D\D, OMU 面 BBQQ, :.AC±OM.计算得 OM 2 + MN 1 = ON 1=5, OMLMN.答案：A 9. （2010-江西高考）如图，M 是正方体ABCD-AiBrCiDi 的棱DDi 的中点，给出下列四 个命题：D.①②③ 解析：将过点M 的平面CDDiCi 绕直线DDi 旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB, BiCi 都相交，故③错误，排除A, B, D.答案：C10.已知平面a 外不共线的三点A 、B 、C 到a 的距离相等，则正确的结论是（）A. 平面ABC 必平行于aB. 平面ABC 必不垂直于aC. 平面ABC 必与a 相交D. 存在/\ABC 的一条中位线平行于a 或在a 内解析：排除A 、B 、C,故选D.答案:D11. （2009-广东高考）给定下列四个命题：① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; ② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直;③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行；④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直.其中，为真命题的是（）A.①和②B.②和③ ①过M 点有且只有一条直线与直线AB,Bi 。
高一数学必修2第二章测试题及答案解析(同名8164)
第二章综合检测题、选择题1 .若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A .相交B .平行C.异面D .平行或异面2 .平行六面体ABCD —A i B i C i D i中，既与AB共面也与CC i共面的棱的条数为( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知平面a和直线I，则a内至少有一条直线与1( )A .平行B .相交C.垂直D .异面4. 长方体ABCD —A i B i C i D i中，异面直线AB,A i D i所成的角等于()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a,使得() Aa? a, b? a Ba? a, b II a Ca X a, b X a Da? a b X a6. 下面四个命题：①若直线a b 异面b c 异面则a c 异面；②若直线a b 相交b c 相交则a c 相交；③若a I b 则a b 与c 所成的角相等；④若a X b b X c 则a I c.其中真命题的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. i7. 在正方体ABCD —A i B i C i D i中，E , F分别是线段A i B i , B i C i上的不与端点重合的动点，如果A i E= B i F ,有下面四个结论：①EF X AA i；②EF II AC;③EF与AC异面；④EF I平面ABCD. 其中一定正确的有( )A .①②B.②③C.②④ D .①④8. 设a , b为两条不重合的直线，a, B为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A.若a , b与a所成的角相等，则a// bB .若a I a, b I 伏a// B,贝y a I bC. 若a? a, b? B a I b,贝U a I [3D. 若a Xa, b X 3 aXB 贝U a X b9. 已知平面a丄平面3 aQ 3= I，点A € a, A?l ,直线AB I I ,直线AC X I 直线m I a n I3 则下列四种位置关系中不一定成立的是A. AB I m B. AC X m C. AB I3 D. AC X 310已知正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB i 、CC 1的中点, 那么直线AE 与D i F 所成角的余弦值为（ ）4 3 3 3A .— 4 B. .5 C ・3 D . — 311.已知三棱锥D — ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB = AC =「3, BC = 2,则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为 （_）A.fB.| C . 0D .— 1 12 .如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA 丄平面ABCD , FA =AB ,则PB 与AC 所成的角是（ ） A . 90° B . 60二、填空题13.14. 正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，二面角 G — AB — C 的平面角等于 15. 设平面a//平面伏A , C € a, B , D €3直线AB 与CD 交于点 S ,且点S 位于平面a 3之间，AS = 8, BS= 6, CS= 12,则SD= ________ 16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A — BD — C ,有如下 四个结论：① AC 丄BD ;② 厶ACD 是等边三角形；③ AB 与平面BCD 成60°的角；④ AB 与CD 所成的角是60°C .其中正确结论的序号是 __________ .三、解答题17. 如下图，在三棱柱ABC —A1B1C1中，△ ABC与厶A i B i C i都为正三求证：（1）平面AB i F i //平面C i BF;⑵平面AB i F i丄平面ACGA i.18如图所示，在四棱锥F-ABCD中，FA丄平面ABCD, AB= 4, BC E是CD的中点.(1) 证明：CD丄平面PAE;⑵若直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等, 求四棱锥F- ABCD的体积.19如图所示，边长为2的等边△ FCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC= 2 ■'，2, M为BC的中点.(1)证明：AM丄FM;⑵求二面角F-AM- D的大小.20如图，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC i B i 是菱形，B i C 丄A i B.(1)证明：平面AB i C 丄平面A i BC i ；⑵设D 是A i C i 上的点，且A i B //平面B i CD ,求A i D 2i 如图，△ ABC 中，AC = BC = ^AB , ABED 是边长为i 的正方形, 平面ABED 丄底面ABC , 若 G , F 分别是EC , BD 的中点.(i)求证：GF //底面ABC ;⑵求证：AC 丄平面EBC ;⑶求几何体ADEBC 的体积V.DC i 的值.22女口下图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC= 3, BC = 4, AB = 5, AA i = 4,点D是AB的中点.(1)求证：⑵求证：AC i //平面CDB i；⑶求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值.详解答案1［答案］D2［答案］C［解析］AB与CC i为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线, 因此只有两类：第一类与AB平行与CC i相交的有：CD、C1D1与CC i平行且与AB相交的有：BB i、AA i,第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3［答案］C［解析］1°直线I与平面a斜交时，在平面a内不存在与I平行的直线，•••A 错；2°l? a时，在a内不存在直线与I异面，「・D错；3°l //a时，在a内不存在直线与I相交.无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直.4［答案］D［解析］由于AD //A i D i,贝U/BAD是异面直线AB, A i D i所成的角，很明显Z BAD= 90 °5［答案］B［解析］对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B, 若a, b不相交，则a与b平行或异面，都存在a,使a? a, b//a, B 正确；对于选项C, a丄a, b丄a, —定有a//b , C错误；对于选项D , a? a, b± a, —定有a丄b , D错误.6［答案］D［解析］异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a//c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误.7［答案］D［解析］如图所示.由于AA i丄平面A i B i C i D i, EF?平面A i B i C i D i, 则EF丄AA i，所以①正确；当E, F分别是线段A i B i, B i C i的中点时，EF//A i C i，又AC//A i C i,贝S EF//AC，所以③不正确；当E, F分别不是线段A i B i, B i C i的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A i B i C i D i //平面ABCD, EF?平面A i B i C i D i,所以EF //平面ABCD, 所以④正确.5 ------ c8［答案］D［解析］选项A中，a, b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B 中，a, b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，a B 还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a丄a a丄伏则a / B或a? B,贝卩B内存在直线I //a,又b丄B,则b±l，所以a丄b.9［答案］C［解析］如图所示：AB//I //m ; AC 丄 l , m//l?AC 丄 m ; AB//I? AB //B310［答案］3命题意图］本试题考查了正方体中异面直线的所成角 的求解的运用.［解析］首先根据已知条件，连接DF ，然后则角DFD i 即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到'5= DF = D i F , DD i = 2,结合余弦定理得到结论.11［答案］C［解析］ 取BC 中点E ,连AE 、DE ,可证BC 丄AE , BC 丄DE ,「.zAED 为二面角 A -BC -D 的平面角又 AE = ED = 2, AD = 2,「・zAED = 90 ° 故选C.12［答案］B［解析］将其还原成正方体 ABCD -PQRS,显见PB//SC,mCS 为正 13［答案］14［答案］45°三角形,/i［解析］如图所示，正方体ABCD —A1B1C1D1中，由于BC丄AB, BG 丄AB,贝卩Z C1BC是二面角C1 —AB—C的平面角.又△ BCC1是等腰直角三角形，则/C i BC = 45°T all B,「.AC //BD ,AS CS 8 12则SB = SD ，A 6= SD ，解得 SD = 9.16［答案］①②④［解析］如图所示，①取BD 中点，E 连接AE , CE ,贝y BD 丄AE , BD 丄CE , 而 AE A CE = E ,「.BD 丄平面 AEC , AC?平面 AEC , 故 AC 丄 BD ，故①正确.② 设正方形的边长为a ,则AE = CE = a.: ” 1 /7^115［答案］9由①知Z AEC= 90是直二面角A—BD —C的平面角，且/ AEC =90 ° .••AC= a,•••/ACD是等边三角形，故②正确.③由题意及①知，AE丄平面BCD，故/ABE是AB与平面BCD所成的角，而Z ABE= 45 °所以③不正确.④分别取BC, AC的中点为M, N,连接ME, NE, MN.1 1贝卩MN //AB,且MN = 2AB = qa,1 1ME//CD，且ME = 2CD = 2a,•••zEMN是异面直线AB, CD所成的角.亠亠x/2在Rt A AEC 中，AE= CE = -^a, AC= a,「•NE = 2AC = 2a. •△MEN 是正三角形，「./EMN = 60° 故④正确. 17［证明］(1)在正三棱柱ABC—A1B1C1中，TF、F1分别是AC、A1C1的中点，•••B1F1 //BF, AF1 //C1F.又TB1F1 Q AF1= F1, C〔F n BF= F,•平面AB1F1 //平面GBF.(2) 在三棱柱ABC —A1B1C1 中，AA1 丄平面A1B1C1,「.B1F1 丄AA1. 又B1F1 丄A1C1, A1C1 n AA1 = A1,「•B1F1 丄平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1,•平面AB1F1丄平面ACC1A1.18［解析］(1)如图所示，连接 AC ,由 AB = 4, BC = 3,/ABC = 90° 得 AC = 5. 又AD = 5, E 是CD 的中点，所以CD 丄AE.••PA 丄平面ABCD , CD?平面ABCD ，所以PA 丄CD.而FA , AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以 CD 丄平面PAE. ⑵过点B 作BG //CD ，分别与AE , AD 相交于F , G ,连接PF.由(1)CD 丄平面PAE 知，BG 丄平面PAE.于是Z BPF 为直线PB 与平面 PAE 所成的角，且BG 丄AE.由PA 丄平面ABCD 知，/PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角. AB = 4, AG = 2, BG 丄AF ,由题意，知/PBA=ZBPF ,因为 sinZPBA = PB , sin/BPF = |B , 由 ZDAB =Z ABC = 90 知，AD //BC ,又BG//CD ，所以四边形 BCDG是平行四边形，故GD = BC = 3.于是AG = 2.在 Rt^BAG 中，AB = 4, AG = 2, BG 丄AF ，所以BG=p B 2+ AG 2 = 2质,BF = AB|=務=皆.于是 PA = BF =皆.1又梯形ABCD 的面积为S =十(5 + 3) X 4= 16,所以四棱锥P -ABCD 的体积为1 c i 1 _ 8 5128 ‘5 V =^x S x PA =T X 16X = . 3 3 5 15所以PA = BF.19［解析］(1)证明：如图所示，取CD的中点E,连接PE, EM , EA,H •••△CD 为正三角形，「PE 丄 CD , PE = PDsinZPDE = 2sin60 =°3.••平面PCD 丄平面ABCD ,「PE 丄平面 ABCD ,而AM?平面ABCD ,「・PE 丄AM. •四边形ABCD 是矩形，「•/ADE , △ECM , A ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM =.''3，AM = ：6, AE = 3,•••EM 2 + AM 2= AE 2「AM 丄EM.又 PE A EM = E ,「AM 丄平面 PEM ,「・AM 丄 PM.(2)解：由(1)可知EM 丄AM , PM 丄AM ,「•zPME 是二面角P -AM — D 的平面角.「•二面角P — AM — D 的大小为45 :20［解析］「•ta n/PME = EM ,「./PME = 45 :(1) 因为侧面BCC i B i 是菱形，所以B i C 丄BC i , 又已知 B i C 丄A i B ,且 A i B A BC i = B ,所以B i C 丄平面A i BC i ，又B i C?平面AB i C 所以平面AB i C 丄平面A i BC i .(2) 设BC i 交B i C 于点E ,连接DE ，则DE 是平面A i BC i 与平面 B i CD 的交线.因为A i B//平面B i CD,A i B?平面A i BC i ,平面A i BC i A 平面B i CD =DE ，所以 A i B//DE.又E 是BC i 的中点，所以D 为A i C i 的中点.即 A i D DC i = i.2i ［解］(i)证明：连接AE ,如下图所示.VADEB 为正方形，•••AE A BD = F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点，•••GF //AC ,又 AC?平面 ABC , GF?平面 ABC ,•••GF //平面 ABC.(2)证明：V ADEB 为正方形，• EB 丄AB ,又V 平面ABED 丄平面ABC ，平面ABED A 平面ABC = AB , EB? 平面ABED ,•BE 丄平面 ABC ,「.BE 丄AC.又 */AC = BC ="^AB,•••CA2+ CB2= AB2,•••AC丄BC.又V BC A BE= B,「.AC丄平面BCE.J2 x［2⑶取AB 的中点H，连GH , VBC= AC = pAB = p,1•CH丄AB,且CH =㊁，又平面ABED丄平面ABC1 1 1•GH 丄平面ABCD，:S 1X£=.3 2 622［解析］(1)证明：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面三边长AC =3, BC= 4, AB= 5,「・AC丄BC.又TGC丄AC.「AC丄平面BCC1B1.••BG?平面BCGB,「.AC丄BG.⑵证明：设CB1与GB的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1 为正方形.VD是AB的中点，E是BC1的中点，二DE //AG.VDE?平面CDB1, AG?平面CDB1,•••AC //平面CDB1.(3) 解：TDE //AG ,• zCED为AC1与B1C所成的角.在△CED 中，ED =推1 = 2，1 5 1 厂CD = 2AB= 2，CE = 2CB1 = 2 2,2二异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为牛22。
人教版高中数学必修2第二章单元测试(二)- Word版含答案
必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下列推理错误的是（）A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD －A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（）A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n 等于（）A．8B．9C．10D．115．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．BD C．A1D D．A1D16．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC ＝60°，那么这个二面角大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O 的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．以下结论中，错误的是（ ）A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH ⊥平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°12．已知矩形ABCD ，AB ＝1，2BC =，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α．其中正确命题的序号是________．14．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)15．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于PAB △的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．16．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，长方体1111ABCD A B C D-中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？18．(12分)如图，三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥B1C；（2）求证：AC1∥平面CDB1．19．(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面P AC．（2）是否存在点E使得二面角A DE P--为直二面角？并说明理由．20．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱111ABC A B C-的高．21．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．（1）求证：P A∥面BDE；（2）求证：平面P AC⊥平面BDE；（3）若二面角E BD C--为30°，求四棱锥P ABCD-的体积．22．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E ABC-的体积．2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．故选C．2．【答案】D【解析】由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°．故选D．3．【答案】D【解析】由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．故选D．4．【答案】A【解析】如图，取CD的中点H，连接EH，HF．在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EFH平行，其余4个平面与EFH相交，即n＝4．又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8．故选A．5．【答案】B【解析】易证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．故选B．6．【答案】A 【解析】连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′D＝DC＝a，2B C AC a'==，所以∠B′DC＝90°．故选A．7．【答案】B【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离．故①②③都正确．8．【答案】C【解析】由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故C正确．故选C．9．【答案】D【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．故B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α．∴AB⊄β，l⊂β．∴AB∥β．故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．故选D．10．【答案】B【解析】如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO．13333sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=．1113394ABC A B C ABC V S OP OP -∴=⨯=⨯=，3OP ∴=．又32313OA =⨯⨯=，∴tan 3OP OAP OA ∠==，又02OAP π<∠<，∴3OAP π∠=．故选B ．11．【答案】D【解析】因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH ． 又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A ．所以BD ⊥平面AA 1H ．又A 1H ⊂平面AA 1H ．所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，故A 正确． 因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD ．因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角． 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．故选D ． 12．【答案】B【解析】A 错误．理由如下：过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直，则可得BD ⊥平面ACE ，于是BD ⊥CE ，而由矩形ABCD 边长的关系可知BD 与CE 并不垂直．所以直线AC 与直线BD 不垂直．B 正确．理由：翻折到点A 在平面BCD 内的射影恰好在直线BC 上时，平面ABC ⊥平面BCD ，此时由CD ⊥BC 可证CD ⊥平面ABC ，于是有AB ⊥CD ．故B 正确． C 错误．理由如下：若直线AD 与直线BC 垂直，则由BC ⊥CD 可知BC ⊥平面ACD ，于是BC ⊥AC ，但是AB <BC ，在△ABC 中∠ACB 不可能是直角．故直线AD 与直线BC 不垂直．由以上分析显然D 错误．故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．【答案】④【解析】①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面或者垂直；③a 可能与α内的直线异面或垂直．14．【答案】B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件． 15．【答案】①③【解析】由条件可得AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而P A ∥PB ， 这是不可能的，故②错；1·2PCD S CD PD =△，1·2PAB S AB PA =△，由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ， 故AE 与BF 共面，④错． 16．【答案】a >6【解析】由题意知：P A ⊥DE ，又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ，∴DE ⊥面P AE ，∴DE ⊥AE ．易证△ABE ∽△ECD ．设BE ＝x ，则AB BE CE CD =，即33xa x =-．∴290x ax +=-， 由0∆>，解得a >6．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】平行，见解析．【解析】直线MN ∥平面A 1BC 1．证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1．∴MN ∉平面A 1BC 1． 如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1．∵11112N D O C ∥，1112M D B C ∥，∴1NO MB ∥．∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1．又∵BO 1⊂平面A 1BC 1，∴MN ∥平面A 1BC 1． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）∵C 1C ⊥平面ABC ，∴C 1C ⊥AC ．∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又BC ∩C 1C ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥B 1C ． （2）连接BC 1交B 1C 于O 点，连接OD ．如图，∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1．又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1．∴AC 1∥平面CDB 1． 19．【答案】（1）见解析；（2）存在，见解析．【解析】（1）证明∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC ．又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ． 又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ．（2）∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ． 又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ． ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ．这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A DE P --为直二面角．20．【答案】（1）见解析；（2）21． 【解析】（1）证明 连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1．又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，故B 1C ⊥平面ABO ． 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB ．（2）解 在平面BB 1C 1C 内作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD ． 在平面AOD 内作OH ⊥AD ，垂足为H ．由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC ． 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC ．因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得34OD =．由于AC ⊥AB 1，所以11122OA B C ==．由OH ·AD ＝OD ·OA ，且2274AD OD OA =+=，得2114OH =．又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217， 故三棱柱111ABC A B C -的高为217． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3618P ABCD V a -=． 【解析】（1）证明 连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A ． ∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ，∴P A ∥面BDE ． （2）证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC ． 又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE ．（3）解 取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点， ∴EF 为POC △的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD ，∴EF ⊥BD ． ∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥面EFO ，∴OE ⊥BD ． ∴∠EOF 为二面角E BD C --的平面角，∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF 中，11224OF OC AC a ===，∴6·tan 30EF OF a =︒=，∴62OP EF a ==．∴231663P ABCD V a a a -=⨯⨯=． 22．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3V =． 【解析】（1）证明在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB ． 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1． （2）证明 取AB 的中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且12FG AC =． 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE ．（3）解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以223AB AC BC =-= 所以三棱锥E －ABC 的体积11113·312332ABC V S AA ==⨯⨯=△．。
高一数学必修2第二章测试题及答案解析
第二章综合检测题一、选择题1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A a⊂α，b⊂αB a⊂α，b∥αC a⊥α，b⊥αD a⊂α，b⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为()A．4B．3C．2D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β10已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A ．－45 B. .35 C .34 D ．－3511．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( )A.33B.13 C ．0 D ．－1212．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 二、填空题13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________. 16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题17．如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面P AE；(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．20如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值．21如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.22如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5[答案] B[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B 正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案] D[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8[答案] D[解析]选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.9[答案] C[解析]如图所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.10[答案]35命题意图]本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．[解析]首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到5＝DF＝D1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论．11[答案] C[解析]取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED 为二面角A－BC－D的平面角又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.12[答案] B[解析]将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.13[答案]α∩β＝AB14[答案]45°[解析]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C 1BC ＝45°.15[答案] 9[解析] 如下图所示，连接AC ，BD ，则直线AB ，CD 确定一个平面ACBD . ∵α∥β，∴AC ∥BD ， 则AS SB ＝CS SD ，∴86＝12SD ，解得SD ＝9. 16[答案] ①②④[解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN .则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确．17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1，∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.18[解析](1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5. 又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF .由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855. 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM .(2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°. ∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20[解析](1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD ＝DE，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.21[解](1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，又G是EC的中点，∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝22AB，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22，∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1.∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.(3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52，CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.。