2 赋范线性空间与凸集
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应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解
i1 1 i i
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4
第二章 赋范线性空间2
对于 f ∈ X * , f ≠ 0 , Mαf = {x ∈ X | f (x) = α } , 则
1)
M
0 f
为
X
的一个闭子空间;
2) 取 x0 ∈ X 使 f (x0 ) ≠ 0 , 则
X
=
M
0 f
+ {λ x0
|λ ∈ R};
3)
若
f (x0 ) = α
,
则
M
α f
=
x0
+
M
0 f
.
M
α f
i =1
||2 ,
所以
||
f
||≥
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
∑ 这样就有 ||
f
||=
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
f → (α1,α2 ,
,αn) .
n
∑ 反过来, 任取一个 (α1,α2 , ,αn ) ∈ R n ,对于 x = αiei ∈ Rn ,定义 i =1
例3 设用 l∞ 作为离散信号空间，取 h = (hi ) ∈ l1 为一个滤波器的单位脉冲响应，
∞
∑ y = Hx ， yn = hi xn−i i = −∞
H : l∞ → l∞ 为一个有界（稳定）线性算子。事实上，
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ||
y
||∞
=
max n
|
i = −∞
hi xn−i
|≤
|
i = −∞
||xn+1-xn|| ≤ α n||x1-x0|| 。
1)
M
0 f
为
X
的一个闭子空间;
2) 取 x0 ∈ X 使 f (x0 ) ≠ 0 , 则
X
=
M
0 f
+ {λ x0
|λ ∈ R};
3)
若
f (x0 ) = α
,
则
M
α f
=
x0
+
M
0 f
.
M
α f
i =1
||2 ,
所以
||
f
||≥
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
∑ 这样就有 ||
f
||=
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
f → (α1,α2 ,
,αn) .
n
∑ 反过来, 任取一个 (α1,α2 , ,αn ) ∈ R n ,对于 x = αiei ∈ Rn ,定义 i =1
例3 设用 l∞ 作为离散信号空间，取 h = (hi ) ∈ l1 为一个滤波器的单位脉冲响应，
∞
∑ y = Hx ， yn = hi xn−i i = −∞
H : l∞ → l∞ 为一个有界（稳定）线性算子。事实上，
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ||
y
||∞
=
max n
|
i = −∞
hi xn−i
|≤
|
i = −∞
||xn+1-xn|| ≤ α n||x1-x0|| 。
如何理解线性赋范空间、希尔伯特空间, 巴拿赫空间,拓扑空间
设 (x, y) ∈ R ， 且 满 足 ：
（1） 对 称 性 ；
（2） 对 第 一 变 元 的 线 性 性 ；
（3） 正 定 性 ；
则称(x, y) 为内积 所以内积又是比范数更加具体的东西，因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是 内积是线性性的充分条件【A>B，B不能>A就称为A是B的充分条件；类似的，B>A,A不 能>B，则称A是B的必要条件】 举个栗子： 我们可以把内积定义为：(x, y) = ∑Ni=1xiyi 也可以定义为：(f, g) = ∫∞0 f(x)g(y)dx 所以：内积可导出范数 | | x | | 2 = (x, x); 在线性空间上定义内积；其空间称为内积空间； 内积可在空间中建立 欧几里得空间学，例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几 里得空间。 所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间 接下来，我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西
赋予范数或者距离的集合分别称为：赋范空间和度量空间 若在其上再加上线性结构称为：线性赋范空间和线性度量空间
那么，我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么？ 答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念，从前面的定义中我们无法退出角度。所 以，我们才有了接下来的内容。
内积空间
赋范空间有向量的模长，即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角，为 了克服这一缺陷，我们引入：内积 定义：
赋线空范性间空度，间量拓，空扑度间空量，间空希如间尔何，伯不线特被性空他赋间们范，吓空到巴间？拿，赫 函数空间
一、问题的提出
在微积分中可以定义极限和连续，依赖于距离 那么，什么是距离呢？ 通俗的看法，大家都认为距离就是所谓的直线
但是，在这张图中，我们如何衡量两点之间的距离？ 因为地球仪上不能画直线，所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲 线作为距离 再来看一张图
（1） 对 称 性 ；
（2） 对 第 一 变 元 的 线 性 性 ；
（3） 正 定 性 ；
则称(x, y) 为内积 所以内积又是比范数更加具体的东西，因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是 内积是线性性的充分条件【A>B，B不能>A就称为A是B的充分条件；类似的，B>A,A不 能>B，则称A是B的必要条件】 举个栗子： 我们可以把内积定义为：(x, y) = ∑Ni=1xiyi 也可以定义为：(f, g) = ∫∞0 f(x)g(y)dx 所以：内积可导出范数 | | x | | 2 = (x, x); 在线性空间上定义内积；其空间称为内积空间； 内积可在空间中建立 欧几里得空间学，例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几 里得空间。 所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间 接下来，我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西
赋予范数或者距离的集合分别称为：赋范空间和度量空间 若在其上再加上线性结构称为：线性赋范空间和线性度量空间
那么，我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么？ 答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念，从前面的定义中我们无法退出角度。所 以，我们才有了接下来的内容。
内积空间
赋范空间有向量的模长，即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角，为 了克服这一缺陷，我们引入：内积 定义：
赋线空范性间空度，间量拓，空扑度间空量，间空希如间尔何，伯不线特被性空他赋间们范，吓空到巴间？拿，赫 函数空间
一、问题的提出
在微积分中可以定义极限和连续，依赖于距离 那么，什么是距离呢？ 通俗的看法，大家都认为距离就是所谓的直线
但是，在这张图中，我们如何衡量两点之间的距离？ 因为地球仪上不能画直线，所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲 线作为距离 再来看一张图
赋范线性空间点态凸性模的比较
＋
［］ ４ 定光桂，巴拿赫空间引论 ，科 学出版社 ，１９ ：Ｏ ～ １ １ ９９ｌ２ ２．
［］ ｉ ｏ ｅ ． ａ ｇ Ｄ ｎ — ａ ． ｉ Ｓｕ ｘ ｎ ｗ ｎ ． ５Ｘ ａｗ ｎＴ ｎ ，ｏ ｇ ｈ １Ｊ ， ｈ — ｉ． ａ ｇ Ｐ ｉｔ ｓ Ｎ ｎ ｑａ ｅ ｏ ｎｗｉｅ ｏ ｓ ｕ ｒ
等的。
）
主要 结果 ： 霉
定理 已知ｄｂ ＞ ，（， ｌ表示单位球面为椭球面Ｘ－ ＋ｃ‘ ： ， ｃ ０ ＰＩ Ｉ ， 卜） －＋ｂ １ ｉ ａ 的实三维赋范线性空间， ＝ ， ） ｓＰ ， （， 毒 ∈ （） 则当￡ ０ ， ＝ √ 时Ｄ ￡ ２ ）
＝
‰ ｚ
ｆ
巫平
ｌ。 ｝
定义２ （， ｊ Ｐ ） 是实赋范空间， 是包含原点的有界闭凸集， 是 ＥｃＰ
ｆ ｘ＝ － ， （，２ ∈ （） （） ｔ ￡ ｒ ｒ， ｓＰ ＝ ｌ１ ） ，
＝
Ｂ 边 曲 ， ｏ ￡ （） 定 （ Ｆ＝ ｐ ｘ；，∈ ， 界 面 Ｖ ∈ ０ ， 义Ｄ ，， ￣ ｛ －２Ｘ ２ 的 ｘ ， ， １ ） ｕ ｌ ［１ １Ｘ 存 ／ Ｖ 使 （）ｌｌ ≥ ￡ ｜ ｘ￡ 曲 点 在 ｅ 厂 － ｏ ￡ （）Ｉ ） Ｄ ，， 为 面 上 关 ＞ 一 ｘ Ｊ 称 （ ｏ）
Ｖ Ａ
【技新 坛 科刨论 】
赋范缋ｌ ｌ 生空 闻 点 雌 幞 日 七 ＿凸 太 Ｉ 鹭 ｇ＝ 较 Ｉ
姚 君 母丽华 蔡吉花 苑延华
哈尔滨 １０２ ） ５ ０ ７
（ 黑龙江科技学院 数 力系 黑龙江
摘 度。
要 ： 通过对 实二维 和实三维赋 范线性 空间上单位球 面为椭 圆和椭球面上 的点态 凸性模作 比较 ，可 以看 出其值 是相 同的 ，进 一步加 强对空间 自身的认识程
［］ ４ 定光桂，巴拿赫空间引论 ，科 学出版社 ，１９ ：Ｏ ～ １ １ ９９ｌ２ ２．
［］ ｉ ｏ ｅ ． ａ ｇ Ｄ ｎ — ａ ． ｉ Ｓｕ ｘ ｎ ｗ ｎ ． ５Ｘ ａｗ ｎＴ ｎ ，ｏ ｇ ｈ １Ｊ ， ｈ — ｉ． ａ ｇ Ｐ ｉｔ ｓ Ｎ ｎ ｑａ ｅ ｏ ｎｗｉｅ ｏ ｓ ｕ ｒ
等的。
）
主要 结果 ： 霉
定理 已知ｄｂ ＞ ，（， ｌ表示单位球面为椭球面Ｘ－ ＋ｃ‘ ： ， ｃ ０ ＰＩ Ｉ ， 卜） －＋ｂ １ ｉ ａ 的实三维赋范线性空间， ＝ ， ） ｓＰ ， （， 毒 ∈ （） 则当￡ ０ ， ＝ √ 时Ｄ ￡ ２ ）
＝
‰ ｚ
ｆ
巫平
ｌ。 ｝
定义２ （， ｊ Ｐ ） 是实赋范空间， 是包含原点的有界闭凸集， 是 ＥｃＰ
ｆ ｘ＝ － ， （，２ ∈ （） （） ｔ ￡ ｒ ｒ， ｓＰ ＝ ｌ１ ） ，
＝
Ｂ 边 曲 ， ｏ ￡ （） 定 （ Ｆ＝ ｐ ｘ；，∈ ， 界 面 Ｖ ∈ ０ ， 义Ｄ ，， ￣ ｛ －２Ｘ ２ 的 ｘ ， ， １ ） ｕ ｌ ［１ １Ｘ 存 ／ Ｖ 使 （）ｌｌ ≥ ￡ ｜ ｘ￡ 曲 点 在 ｅ 厂 － ｏ ￡ （）Ｉ ） Ｄ ，， 为 面 上 关 ＞ 一 ｘ Ｊ 称 （ ｏ）
Ｖ Ａ
【技新 坛 科刨论 】
赋范缋ｌ ｌ 生空 闻 点 雌 幞 日 七 ＿凸 太 Ｉ 鹭 ｇ＝ 较 Ｉ
姚 君 母丽华 蔡吉花 苑延华
哈尔滨 １０２ ） ５ ０ ７
（ 黑龙江科技学院 数 力系 黑龙江
摘 度。
要 ： 通过对 实二维 和实三维赋 范线性 空间上单位球 面为椭 圆和椭球面上 的点态 凸性模作 比较 ，可 以看 出其值 是相 同的 ，进 一步加 强对空间 自身的认识程
泛函分析期末复习提要.doc
泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间（一）教学内容1.距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2.距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。
3.完备距离空间：Cauc/巧列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。
4.压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5.拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射, 同胚、分离公理。
6.紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。
7.距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela定理。
重点掌握距离空间的基本概念、距离空间中的点集、完备距离空间、压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点完备距离空间、压缩映射原理。
（-）教学基本要求1・理解距离空间、距离空间中的点集等基木概念。
2•了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基木概念及其运算性质。
二、赋范线性空间（一）教学内容1.赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2.空间L p（p>\）：Holder不等式与Minkowski不等式、空间r（E）（p>i）.空间r（E）o3•赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4.有穷维赋范空间。
重点赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski不等式、空间（£）（/?> 1） >空间匕（E）、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
难点Holder不等式与Minkowski不等式、赋范空间的完备化、空间r（E）（p>i）.空间r（E）o(-)教学基本要求1•理解赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的子空间、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
D2 赋范线性空间
f (Bδ (x0)) ⊂ Bε ( f (x0)) .
例2.9 设(X, d )为度量空间 , 固定 y0 ∈ X , 则d(� , y0): X→ 是连续泛函 .
2.1. 3 度量空间的映射
定理2.5 设(X, d ), (Y, ρ)是度量空间 , f : X →Y, 则 下列命题等价 : (1) f 连续; (2) 开集的原像是开集 ; (3) 闭集的原像是闭集 ; (4) ∀{xn}⊂ X, 若d(xn, x)→0, 则 ρ( f (xn), f (x))→0, 即若 lim xn = x , 则 lim f ( xn ) = f ( x) . n →∞
2.1.2 度量空间的收敛性和点集
定义2.5 设 ( X, d )为度量空间, A ⊂ X . 设 x ∈ A, 若∃ ε > 0, s.t. Bε (x) ⊂ A, 则称 x 是 A 的内点. ． 若 A 的每个点都是内点, 则称 A 是开集 开集． ． 闭集． (2) 若 AC为开集, 则称 A 为闭集 定理2.2 度量空间 X 中开集和闭集具有如下性质 : (1) 任意个开集之并是开集; (2) 有限个开集之交是开集; (3) 任意个闭集之交是闭集; (4) 有限个闭集之并是闭集．
2.1. 3 度量空间的映射
定义2.10 设( X, d )为度量空间 , T : X →X, 若存在
α ∈[0, 1), 使得 ∀ x, y ∈ X , d(Tx, Ty) ≤ α d(x, y), 则
压缩映射 . 称 T 是 X 上的一个 上的一个压缩映射 压缩映射是连续映射 . 定义2.11 设( X, d )为度量空间 , T : X →X , 如果有
lim xn = x, 或 xn → x (n→ ∞ ), 或 xn → x .
第二章-赋范线性空间
*（5）逆算子定理 ：E、E1 都是 Banach 空间，T:E E1
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
凸集分离定理
凸集分离定理⽬录1. 凸集分离定理：欧式空间情形凸集的⽐较好的性质之⼀就是所谓的凸集分离定理，它告诉我们，可以选取⼀个超平⾯来分离两个不相交的凸集合！我们以后也会看到这个定理在凸优化问题中的应⽤，例如Slater条件。
凸集分离定理（欧⽒空间情形)：设集合S1,S2是R n(n≥1)中的两个不相交的⾮空凸集，则存在⼀个超平⾯分离S1,S2,既存在v∈R n,v≠0以及b∈R 使得：v⋅x+b≥0,对任意x∈S1,且：v⋅x+b≤0,对任意x∈S2.证明:由S1,S2为不相交凸集容易验证集合：S1−S2≜{x−y∣x∈S1,y∈S2} 为不包含 0 的凸集，于是我们只需要证明，存在v∈R n,v≠0 使得对任意的x∈S1−S2, 有：v⋅x≥0, 因为这时对任意的x∈S1, y∈S2, 则x−y∈S1−S2,v⋅(x−y)=v⋅x−v⋅y≥0, 于是我们令b≜−sup y∈S2{v⋅y}, 此时v, b正好满⾜上述不等式(1),(2)。
因此不妨先证明⼀下以下的引理:引理1：设S是R n的⼀个闭凸⼦集, 0为不属于集合S内部的点，则存在v∈R n, v≠0, s.t. v⋅y≥0, 对任意y∈S.注意到，如果以上引理1成⽴，则这时候S≜¯S1−S2是闭凸集，并且由于0∉S1−S2, 由凸集的性质容易知道 0不属于S的内部,于是由以上引理1可以找到相应的v∈R n使原命题成⽴，于是我们只需要证明以上引理.引理1的证明：⾸先我们证明 0∉S的情形。
这时由于S是闭集，存在x∗∈S使得：(1)‖. 我们断定这时候x^{\ast}\cdot y\geq 0, 对任意y\in S.否则存在y_{0}\in S, 使得x^{\ast}\cdot y_{0}<0, 这时候我们令：$$t=\frac{y_{0}\cdot(y_{0}-x^{\ast})} {\Vert y_{0}-x{\ast}\Vert{2}}$$, 由y_{0}\cdot x^{\ast}<0容易知t\in (0,1).我们令：z\triangleq tx^{\ast}+(1-t)y_{0},则z\in S并且：z\perp (x^{\ast}-z),于是：\Vert z\Vert^{2}=\Vert x^{\ast}\Vert^{2}-\Vert x^{\ast}-z\Vert^{2}<\Vert x^{\ast}\Vert^{2},这与(1)相⽭盾，于是情形0\notin S得证。
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N
x 1e1 2e 2 N e N
1 x1 , 2 x2 ,, N xN
18
N
N 是具有许多可能的基的 N 维空间
任意 K N 个线性无关的 N 维向量的跨度形成
的 K 维子空间。
19
2.1.2 开集、闭集和紧集
开球(open ball)
0 0
例 2.11 (单位球面)单位球 B1 (0) 的边界是
S1 0 x X d x, 0 1 ，称为单位球面(unit sphere)。
2 2 中单位球面是 S1 (0) {x 2 : x12 x2 1} ，它是集 2 合 B1 (0) {x 2 : x12 x2 1} 的边界。
例 2.10 开球是开集
图 2.4 开球是开集
N 中的开集和闭集具有如下事实：
任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。 任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
24
边界点(boundary point)
x 0 是 S X 的边界点 x0 X 的每个邻域既包含
总供给(aggregate suppley) y y y
1 K
均衡要求总需求等于总供给，即 x y
意味着: xn xn yn yn 或者: x n y n
1 M 1 K
7
范数(norm) 实值函数 : X 称为范数 x, y X ， ， 满足：
15
例 2.6 的子空间 原点 {0} 所有经过原点的直线 所有经过原点的平面
3
3 本身
例 2.7 次数小于 N 的多项式 设 Pn 表示所有次数小于 N 的多项式，由于加法和标量乘法 不会提高多项式的次数，因此，集合 Pn 是所有多项式的集合 P 的子空间。
16
非空集合 S X ，跨度：
X 向上无界，则取 inf ，而 inf X
当 inf X X ，称 X 取得(或达到)上确界。
30
2.1.4 序列收敛和完备性
m N 中的序列(sequence) {x m } m 1 或 {x }
m
lim x m x 或 x m x 0 ， M ， m M
集合 X 加上其度量 d 称为度量空间(metric space)， 表示为 (X , d ) 。
9
例 2.3 范数的一些例子
上的绝对值
欧几里德（Euclidean）或 l2 范数
x 2 xT x
1/ 2
2 x12 xn
1/2
Cauchy-Schwarz 不等式： x, y ， x y x
Eff (Y ) Í ¶Y
Eff (Y ) 通常是 b(Y ) 的真子集
28
2.1.5 上确界和下确界
X ， a 是 X 的上界(upper bound) x X ， x a X 的上界的集合
(此时称 X 无上界)
整个 (仅当 X = 时) 闭的无界区间 [b , ) 上确界(supremumin) sup X
第 2 章 赋范线性空间与凸集
2.1 赋范线性空间 2.2 凸集 2.3 一些重要例子 2.4 保持凸性的运算 2.5 分离超平面和支撑超平面
1
2.1 赋范线性空间
2.1.1 赋范线性空间 2.1.2 开集和闭集 2.1.3 上确界和下确界 2.1.4 序列收敛和完备性 2.1.5 紧性 2.1.6 Banach 空间
S 中的点也包含 S c 中的点
边界(boundary) ( S ) 是所有边界点的集合
图 2.5 2 中的内点和边界点
25
闭包(closure) S int S S
S S S 开
S S S 闭。
26
例 2.10 (闭球) 闭球 Cr ( x ) {x X : ( x, x ) r} 是闭集。
x , y , z X ， , ，满足：
1. x + y = y + x (交换律) 2. 3. 4. 5.
(x + y ) + z = x + (y + z ) (结合律)
(x y ) x y
( ) x ax x
( ) x ( x ) (结合律)
1. 非负性(positivity)： x 0 2. 严格非负性(strict positivity)： x 0 x 0 3. 齐次性(homogeneity)： x | | x 4. 三角不等式(triangle inequality)： x y x y
范数用来衡量向量的大小，符号 表明范数是实 数集 上绝对值的推广。
27
例 2.13 效率生产
生产计划 y Y 是有效率的(efficient) 不存在可行计划
y Y ， y ′ y , y ′ ≠ y
Eff (Y ) -有效率的生产计划的集合
Eff y y|y ′ y, y ′ ≠ y y ′ ∉ Y
Y 的每个内点都是非效率的
x N , lim x
p
p
max xn n 1
N
11
例 2.4 生产计划 y y1 ,, yN 的“大小 ” 的测量
y 1 yn
n 1
N
y2 y
y
n 1 n
N
2 n
max yn
12
赋范线性空间(normed linear space) 定义在范数之上的线性空间 X
8
度量(metric) d ( x , y ) x y 符合距离函数的要求 即对 x , y , z X ，满足：
1. 非负性(positivity)： d ( x, y ) 0 2. 严格非负性(strict positivity)： d ( x, y ) 0 x y 3. 对称性(symmetry)： d ( x, y ) d (y , x) 4. 三角不等式(triangle inequality)： d ( x, z ) d ( x , y ) d ( y , z )
|| xm x || 。 Nhomakorabeax 称为 {xm } 的极限点(limit point)或极限(limit)
31
序列 {xm } 收敛 极限惟一
3
6． 0 X ， x + 0 = x 7．对 x X ， y X ， x +y = 0 8． 1x x 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(closed)。 线性空间的元素称为向量(vector)。
4
例 2.1 一些线性空间
N 维实向量空间或 N 维欧氏空间：所有 N 维实向量的集
21
S 是 x 0 的邻域 S X 包含 x 0 的开球， x 0 称为 S 的
内点(interior point)
内部(interior) int S S 中所有内点的集合
S 是开的(open) S int S S 是闭的(closed) S c 是开的。
22
合
N
所有实数序列的集合 x1 , x2 ,..., xn , ， xn 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 a N t N 的集合。
5
消费集(例 1.1)和生产可能性集(例 1.2)本身不是线 性空间。
但它们都是线性空间 N 的子集，并且都从其母空 间中继续了许多线性特征。
f 在 x S 处的函数值为 f ( x )
13
例 2.5 (空间 l )一生的消费路径选择问题 一种商品， xt 表示 t 期时对该商品的消费量 设消费者是长生不老的 消费者计划 x ( x1 , x2 ,...) 消费集 X ( x1 , x2 ,..., xt ,...) xt ，它是一个线性空间 每期消费受资源限制： | xt | K 。 结合范数 x max xn ，它成为赋范线性空间 l 。
本书涉及的三类赋范线性空间
N 维实向量空间 N M N 阶实矩阵空间 M N
S M 上的有界、连续的实值函数空间 C ( S )
f , g C S , f g ，
x S 处的函数值为 f ( x ) g ( x )
2
2.1.1 赋范线性空间
线性空间(linear space)/向量空间(vector space) 指定义加法和标量乘法的非空集合 X 加法(addition) x, y X ， x y X 标量乘法 x X ， ， x X
17
例 2.8 的标准基 单位向量的集合
N
e1 (1, 0, 0,..., 0) e 2 (0,1, 0,..., 0) e3 (0, 0,1,..., 0) e n (0, 0, 0,...,1)
称为 的标准基。 每一向量 x x1 , x2 , , xN 都有唯一表达式：
N span S n x n n , x n X n1
设 B 是子空间 Y 的子集，如果 B 中没有真子集具有跨 度这一性质，则称 B 是子空间 Y 的基(base)。 基的元素是线性无关的 除 {0} 外，子空间 Y 通常有很多不同的基。 若 Y 有一个由有限个元素组成的基，则所有基都 有相同数目的非零元素，这一数目称为子空间的 维(dimension)。 若子空间没有有限基，则它是无限维的。
x 1e1 2e 2 N e N
1 x1 , 2 x2 ,, N xN
18
N
N 是具有许多可能的基的 N 维空间
任意 K N 个线性无关的 N 维向量的跨度形成
的 K 维子空间。
19
2.1.2 开集、闭集和紧集
开球(open ball)
0 0
例 2.11 (单位球面)单位球 B1 (0) 的边界是
S1 0 x X d x, 0 1 ，称为单位球面(unit sphere)。
2 2 中单位球面是 S1 (0) {x 2 : x12 x2 1} ，它是集 2 合 B1 (0) {x 2 : x12 x2 1} 的边界。
例 2.10 开球是开集
图 2.4 开球是开集
N 中的开集和闭集具有如下事实：
任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。 任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
24
边界点(boundary point)
x 0 是 S X 的边界点 x0 X 的每个邻域既包含
总供给(aggregate suppley) y y y
1 K
均衡要求总需求等于总供给，即 x y
意味着: xn xn yn yn 或者: x n y n
1 M 1 K
7
范数(norm) 实值函数 : X 称为范数 x, y X ， ， 满足：
15
例 2.6 的子空间 原点 {0} 所有经过原点的直线 所有经过原点的平面
3
3 本身
例 2.7 次数小于 N 的多项式 设 Pn 表示所有次数小于 N 的多项式，由于加法和标量乘法 不会提高多项式的次数，因此，集合 Pn 是所有多项式的集合 P 的子空间。
16
非空集合 S X ，跨度：
X 向上无界，则取 inf ，而 inf X
当 inf X X ，称 X 取得(或达到)上确界。
30
2.1.4 序列收敛和完备性
m N 中的序列(sequence) {x m } m 1 或 {x }
m
lim x m x 或 x m x 0 ， M ， m M
集合 X 加上其度量 d 称为度量空间(metric space)， 表示为 (X , d ) 。
9
例 2.3 范数的一些例子
上的绝对值
欧几里德（Euclidean）或 l2 范数
x 2 xT x
1/ 2
2 x12 xn
1/2
Cauchy-Schwarz 不等式： x, y ， x y x
Eff (Y ) Í ¶Y
Eff (Y ) 通常是 b(Y ) 的真子集
28
2.1.5 上确界和下确界
X ， a 是 X 的上界(upper bound) x X ， x a X 的上界的集合
(此时称 X 无上界)
整个 (仅当 X = 时) 闭的无界区间 [b , ) 上确界(supremumin) sup X
第 2 章 赋范线性空间与凸集
2.1 赋范线性空间 2.2 凸集 2.3 一些重要例子 2.4 保持凸性的运算 2.5 分离超平面和支撑超平面
1
2.1 赋范线性空间
2.1.1 赋范线性空间 2.1.2 开集和闭集 2.1.3 上确界和下确界 2.1.4 序列收敛和完备性 2.1.5 紧性 2.1.6 Banach 空间
S 中的点也包含 S c 中的点
边界(boundary) ( S ) 是所有边界点的集合
图 2.5 2 中的内点和边界点
25
闭包(closure) S int S S
S S S 开
S S S 闭。
26
例 2.10 (闭球) 闭球 Cr ( x ) {x X : ( x, x ) r} 是闭集。
x , y , z X ， , ，满足：
1. x + y = y + x (交换律) 2. 3. 4. 5.
(x + y ) + z = x + (y + z ) (结合律)
(x y ) x y
( ) x ax x
( ) x ( x ) (结合律)
1. 非负性(positivity)： x 0 2. 严格非负性(strict positivity)： x 0 x 0 3. 齐次性(homogeneity)： x | | x 4. 三角不等式(triangle inequality)： x y x y
范数用来衡量向量的大小，符号 表明范数是实 数集 上绝对值的推广。
27
例 2.13 效率生产
生产计划 y Y 是有效率的(efficient) 不存在可行计划
y Y ， y ′ y , y ′ ≠ y
Eff (Y ) -有效率的生产计划的集合
Eff y y|y ′ y, y ′ ≠ y y ′ ∉ Y
Y 的每个内点都是非效率的
x N , lim x
p
p
max xn n 1
N
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例 2.4 生产计划 y y1 ,, yN 的“大小 ” 的测量
y 1 yn
n 1
N
y2 y
y
n 1 n
N
2 n
max yn
12
赋范线性空间(normed linear space) 定义在范数之上的线性空间 X
8
度量(metric) d ( x , y ) x y 符合距离函数的要求 即对 x , y , z X ，满足：
1. 非负性(positivity)： d ( x, y ) 0 2. 严格非负性(strict positivity)： d ( x, y ) 0 x y 3. 对称性(symmetry)： d ( x, y ) d (y , x) 4. 三角不等式(triangle inequality)： d ( x, z ) d ( x , y ) d ( y , z )
|| xm x || 。 Nhomakorabeax 称为 {xm } 的极限点(limit point)或极限(limit)
31
序列 {xm } 收敛 极限惟一
3
6． 0 X ， x + 0 = x 7．对 x X ， y X ， x +y = 0 8． 1x x 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(closed)。 线性空间的元素称为向量(vector)。
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例 2.1 一些线性空间
N 维实向量空间或 N 维欧氏空间：所有 N 维实向量的集
21
S 是 x 0 的邻域 S X 包含 x 0 的开球， x 0 称为 S 的
内点(interior point)
内部(interior) int S S 中所有内点的集合
S 是开的(open) S int S S 是闭的(closed) S c 是开的。
22
合
N
所有实数序列的集合 x1 , x2 ,..., xn , ， xn 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 a N t N 的集合。
5
消费集(例 1.1)和生产可能性集(例 1.2)本身不是线 性空间。
但它们都是线性空间 N 的子集，并且都从其母空 间中继续了许多线性特征。
f 在 x S 处的函数值为 f ( x )
13
例 2.5 (空间 l )一生的消费路径选择问题 一种商品， xt 表示 t 期时对该商品的消费量 设消费者是长生不老的 消费者计划 x ( x1 , x2 ,...) 消费集 X ( x1 , x2 ,..., xt ,...) xt ，它是一个线性空间 每期消费受资源限制： | xt | K 。 结合范数 x max xn ，它成为赋范线性空间 l 。
本书涉及的三类赋范线性空间
N 维实向量空间 N M N 阶实矩阵空间 M N
S M 上的有界、连续的实值函数空间 C ( S )
f , g C S , f g ，
x S 处的函数值为 f ( x ) g ( x )
2
2.1.1 赋范线性空间
线性空间(linear space)/向量空间(vector space) 指定义加法和标量乘法的非空集合 X 加法(addition) x, y X ， x y X 标量乘法 x X ， ， x X
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例 2.8 的标准基 单位向量的集合
N
e1 (1, 0, 0,..., 0) e 2 (0,1, 0,..., 0) e3 (0, 0,1,..., 0) e n (0, 0, 0,...,1)
称为 的标准基。 每一向量 x x1 , x2 , , xN 都有唯一表达式：
N span S n x n n , x n X n1
设 B 是子空间 Y 的子集，如果 B 中没有真子集具有跨 度这一性质，则称 B 是子空间 Y 的基(base)。 基的元素是线性无关的 除 {0} 外，子空间 Y 通常有很多不同的基。 若 Y 有一个由有限个元素组成的基，则所有基都 有相同数目的非零元素，这一数目称为子空间的 维(dimension)。 若子空间没有有限基，则它是无限维的。