山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题

山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知22ac bc >，则下列不等式成立的是（ ）A ．220a b ->B ．a c b c +>+C ．ac bc >D ．lg lg a b > 2．在ABC ∆中，若222a c b ac +-=-，那么角B 等于（ ）A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．在ABC 中，已知c =，30A ︒=，则B =（ ）A ．90︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．90︒或30︒ 4．在等比数列{}n a 中，4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a 等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．不能确定 5．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．36．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．87．已知0x >，0y >，821y x +=，则x y +的最小值为（ ） A ．6 B ．12C ．18D ．24 8．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 9．若不等式220x ax a -+>，对x R ∈恒成立，则关于t 的不等式221231t t t a a ++-<<的解为（ ）A ．12t <<B ．21t -<<C ．22t -<<D ．32t -<< 10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．1611．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路,C D 两点进行测量.在C 点测得塔底B 在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿着南偏东40方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30，则塔的高度为A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米 12．若两个正实数,x y 满足112x y +=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．()4,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞13．在ABC ∆中，2a =，3b =，c =ABC ∆的面积等于______.14．设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为__________．15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin sin sin sin b C c B B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______． 16．数列{}n a 满足，123231*********n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式__________．17．如图，在ABC 中，2,AB AC BC ===点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒（1）求BAC ∠的度数；（2）求AD 的长度.18．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．已知函数2()3f x x x m =++.(1)当m=-4时，解不等式()0f x ≤；(2)若m>0，()0f x ＜的解集为(b ，a)，求14a b+的最大値. 20．设公差不为零的等差数列{}n a 满足21a =-，且2a ，1a ，3a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}13n n a --的前n 项和n S .21．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，已知sin cos c A C =，c =(1)求角C ；(2)求ABC 面积的最大值.22．已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =-，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()()12242410n n T n n λ+≤⋅⋅-⋅++对任意()*3n n ≥∈N 恒成立，求λ的取值范围．参考答案1．B【解析】【分析】转化条件得a b >，举出反例可判断A 、C 、D ，由不等式的性质可判断B ，即可得解.【详解】由22ac bc >可得，a b >,A 中，当0a =，1b =-时，220110a b -=-=-<，所以A 错误；B 中，由a b >可得a c b c +>+，所以B 正确；C 中，当0c <时，ac bc <，C 错误；D 中，当0a b >>或0a b >>时，对数没有意义，所以D 错误．故选：B.【点睛】本题考查了不等式与不等关系，属于基础题.2．C【解析】【分析】由余弦定理先求得cos B ，再得B 。

【详解】ABC ∆中，由题意2221cos 22a cb B ac +-==-，∴120B =︒。

故选：C 。

【点睛】本题考查余弦定理，考查用余弦定理求角。

余弦定理公式较多，注意选用：如2222cos b a c ac B =+-，变形为222cos 2a c b B ac +-=。

3．D【解析】【分析】由正弦定理求得sin C ，进而求得C ，再根据三角形内角和定理计算B 即可.【详解】因为c =，30A ︒=，所以由正弦定理得sin sin c A C a ==， 因为c a >，所以C A >，所以60C ︒=或120︒，当60C ︒=时，180()180(3060)90B A C ︒︒︒︒︒=-+=-+=；当120C ︒=时，180()180(30120)30B A C ︒︒︒︒︒=-+=-+=. 故选：D .【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.4．B【解析】【分析】由韦达定理得412a a ，再由等比数列性质可求得8a 。

【详解】∵4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，∴4123a a +=-，4121a a =，∴4120,0a a <<，又{}n a 是等比数列，∴284121a a a ==，而等比数列{}n a 中所有偶数项同号，∴81a =-。

故选：B 。

【点睛】本题考查等比数列的性质，考查韦达定理，掌握等比数列性质是解题基础。

5．D【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案.【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．D【解析】【分析】由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =，所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C【解析】【分析】 由82()()x y x y y x+=++展开后利用基本不等式求得最小值。

【详解】∵0x >，0y >，821y x+=，∴82()()x y x y y x +=++82101018x y y x =++≥+=，当且仅当82x y y x =，即6,12x y ==时等号成立，∴x y +的最小值是18。

故选：C 。

【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题方法是“1”的代换，主要是配凑出基本不等式中的“定值”，注意要得到最值，还要满足“相等”的条件，否则等号取不到。

8．B【解析】【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】 因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=， 所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9．A【解析】试题分析：不等式220x ax a -+>，对x R ∈恒成立，244001a a a ∴∆=-<⇔<<，那么：关于t 的不等式221231t t t a a ++-<<，等价于：221230t t t +>+->，即：224230t t t ⎧<⎨+->⎩， 解得：12t <<，故选A.考点：1.一元二次不等式；2.指数函数．10．C【解析】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．11．B【解析】【分析】设出塔高为h ，画出几何图形，根据直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求出h 的值．【详解】如图所示：设塔高为AB ＝h ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，则BC ＝AB ＝h ；在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，则BD =；在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos ∠BCD ，）2＝h 2+102﹣2h ×10×cos120°，∴h 2﹣5h ﹣50＝0，解得h ＝10或h ＝﹣5（舍去）；故选B ．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了将实际问题转化为解三角形的应用问题，是中档题．12．C【解析】正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭， 当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2.由2x y m m +<-有解,可得22m m ->，解得m >2或m <−1.本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．13．2【解析】【分析】先用余弦定理求得2221cos 22a b c C ab +-==-，从而得到n si C 再利用正弦定理三角形面积公式求解.【详解】因为在ABC ∆中，2a =，3b =，c =由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==-所以sin 2C ==由正弦定理得1sin 22ABC S ab C ∆==【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14．-5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】由x ，y 满足约束条件2121,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得A （﹣1，1）． ∴z ＝3x ﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．32【解析】【分析】由正弦定理得sin A =32bc =，再利用面积公式1sin 2S bc A =即可得解. 【详解】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin 2A =，又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc +-==， 所以cos 0A >，所以cos A，即32bc =，bc =， 所以ABC的面积113sin 2222S bc A ==⨯=． 故答案为：32. 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.16．16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ 【解析】 因为123231*********n n a a a a n ++++=+,所以()12312311111121122222n n n n a a a a a n +++++++=++,两式相减得11122n n a ++=，即12,2n n a n +=≥，又1132a =，所以16a =，因此16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.17．（1）120BAC ︒∠=（2）AD =【解析】【分析】（1）ABC ∆中直接由余弦定理可得cos BAC ∠，然后得到BAC ∠的度数；（2）由（1）知30ACB ∠=︒，在ADC ∆中，由正弦定理可直接得到AD 的值．【详解】解：（1）在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =∴由余弦定理，有2221cos 2?2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-， ∴在ABC ∆中，120BAC ∠=︒；（2）由（1）知30ACB ∠=︒，在ADC ∆中，由正弦定理，有sin30sin 45AD AC =︒︒，∴sin30sin 45AC AD ︒==︒【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．18．（Ⅰ）21,(2)n n a n S n n =+=+; （Ⅱ）4(1)n n +． 【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知3577,26a a a =+=可得1127{21026a d a d +=+= 解得1,a d ，则n a 及n S 可求；（2）由（1）可得111()41n b n n =-+，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有1127{21026a d a d +=+=， 解得13,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）由（1）知，21n a n =+， 所以22111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++， 所以11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n n T n =+. 考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式．裂项求和19．(1) [-4,1]；(2)-3【解析】【分析】（1）当m ＝﹣4时，不等式f （x ）≤0，即为x 2+3x ﹣4≤0，可得：（x ﹣4）（x +1）≤0，解出即可得出．(2)由二次函数的根与不等式的关系得a+b=-3,ab=m>0,结合基本不等式求最值即可【详解】（1）当m ＝﹣4时，不等式f （x ）≤0，即为x 2+3x ﹣4≤0，可得：（x +4）（x ﹣1）≤0，即不等式f （x ）≤0的解集为[﹣4,1]．(2)由题()0f x =的根即为a,b,故a+b=-3,ab=m>0，故a,b 同负，则14a b+=114141()5(53333a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫-++=-++≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1,2a b =-=- 等号成立【点睛】本题考查了“三个二次”之间的关系、一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（Ⅰ）35n a n =-+.（Ⅱ）273312n n n n S --+= 【解析】【分析】（Ⅰ）利用等比中项及等差数列通项公式可得基本量，从而得到数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()113353n n n a n ---=-+-，利用分组求和得到数列{}13n n a --的前n项和n S .【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .因为2a ，1a ，3a 成等比数列，所以2123a a a =，即()()21112a a d a d =++，整理得1320a d +=①.又因为211a a d =+=-②.所以联立①②，解得12a =，3d =-.所以()23135n a n n =--=-+.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()113353n n n a n ---=-+-， 所以()()()()0121231343353n n S n -⎡⎤=-+--+--+⋅⋅⋅+-+-⎣⎦()()()()121214353333n n n -=+-+-+⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()313235213n n n n -+-+⎡⎤⎣⎦=--2733122n n n --=- 273312n n n --+=. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本量的计算，考查分组求和法，考查计算能力，属于常考题型.21．（1）23π；（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得tan C ，由C 的范围可求得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得ab 的最大值，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos C A A C = ()0,A π∈ sin 0A ∴≠sin C C ∴=，即tan C =又()0,C π∈ 23C π∴= （2）由余弦定理得：222222cos 3c a b ab C a b ab ab =+-=++≥（当且仅当a b =时取等号） 213c ab ∴≤=1sin 2ABC S ab C ∆∴==≤ABC ∆【点睛】 本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、三角形面积公式的应用；求解面积的最大值的关键是能够在余弦定理的基础上，利用基本不等式来求解两边之积的最大值.22．（Ⅰ）23n a n =-；（Ⅱ）()110225n n T n +=+⨯-；（Ⅲ）1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（Ⅰ）利用n a 与n S 之间的关系直接求解即可；（Ⅱ）由()223nn b n =⋅-，利用错位相减法即可直接得解； （Ⅲ）转化条件得()()252424n n n λ-≥-+对任意()3n n N *≥∈恒成立，设()251n t t -=≥，则()()()()2119109t t g t t t t t t ==≥++++，利用基本不等式求出()g t 的最大值即可得解. 【详解】 （Ⅰ）已知22n S n n =-．当2n ≥时，()()221212123n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦； 当1n =时，2111211a S ==-⨯=-，也适合上式．所以23n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）得()223nn b n =⋅-， 所以()()()234121212325225223n n n T n n -=⨯-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-，① ()()()23451221212325225223n n n T n n +=⨯-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-．②②-①可得()()231(222)22223n n n T n +=+-⨯++⋅⋅⋅++⨯-()()()2-112122222312n n n +-=+-⨯+⨯--()110225n n +=+⨯-． （Ⅲ）要使()()12242410n n T n n λ+≤⋅⋅-++对任意()3n n N *≥∈恒成立， 只需()()252424n n n λ-≥-+对任意()3n n N *≥∈恒成立， 设()251n t t -=≥，则()()()()2119109t t g t t t t t t ==≥++++． 则只需()g t λ≥在1t ≥恒成立即可．()21191091610t g t t t t t ==≤=++++， 当且仅当9t t =即3t =时（此时4n =）取等号， 所以116λ≥．故λ的取值范围为1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了利用n a 与n S 之间的关系求数列通项、错位相减法求数列前n 项和的应用，考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题的解决办法，属于中档题.。