截长补短法例题
截长补短经典例题
截长补短经典例题
1.问题：一个长方形的长是宽的2倍，如果长减少4厘米，宽增加6厘米，那么面积就会增加18平方厘米。
请问原来的长方形的长和宽各是多少厘米？
解：设原来的长方形的宽为X厘米，那么长为2x厘米。
根据题意，我们可以得到一个方程：
(x+6)*(2x-4)=2x^2+18
解这个方程，我们得到：
2x2-4x+12x-24=2x2+18
IOx=42
X=4.2
所以原来长方形的宽为4.2厘米，长为4.2*2=8.4厘米。
2.问题：一个圆的半径是另一个圆半径的2倍，如果大圆的面积比小圆的面积大16兀平方厘米，那么大圆和小圆的半径各是多少厘米？(兀取
3.14)
解：设小圆的半径为r厘米，那么大圆的半径为2r厘米。
根据题意，我们可以得到一个方程：
π*(2r)^2一n*r^2=16π
解这个方程，我们得到：
3.14*(4r^2-r^2)=16π
3.14*3/2=16π
3/2=16
r^2=5.3333（保留四位小数）
所以小圆的半径约为2.3厘米，大圆的半径约为4.6厘米。
专题02 辅助线之截长补短
几何专题02 辅助线之截长补短一、 知识导航截长：在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证明剩下的线段长度与另一短边相等。
例：如图，在AB 上截取AD AC=补短：通过延长或是旋转等方式使两短边拼接在一起，然后证明与长边相等。
例：延长AC 至点D ，使得AD AB=D CB A二、 典型例题题型一 截长补短证明线段（角）和差关系例1 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AB BD AC +=．变式训练1 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C∠=∠例2 在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的两点，且∠EAF＝G F E C B D A A DBCE FG FE C B D A A D B C EF 12∠BAD ，求证：BE+DF ＝EF ．变式训练2 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，45EAF ∠=︒，求证：EF BF DE=-题型二 截长补短探究线段长度关系例3 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 是边BC 下方一点，∠BDC =90°，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．变式训练3 在四边形ABDC 中，180B C ∠+∠=︒，DB DC =，120BDC ∠=︒，以D 为顶点作EDF ∠为60︒角，角的两边分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，请直接写出线段BE ，CF ，EF 之间的数量关系．GAB DC E F FEC D BA三、 巩固练习1. 正方形ABCD 中，已知AB=3，点E ，F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF 的面积.2. 如图，在ΔABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．截长补短方法归纳总结：线段间的和差倍分，就把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．但凡出现了线段的和差关系时，一定要尝试一下用截长补短的方法来进行处理，但不是每一个和差关系的题目都可以同时使用截长法和补短法，有时截长法能更加便捷的解决问题，而有时补短法又优于截长法，这都是需要根据具体的题目取选择具体的方法的。
截长补短法经典例题
1.在解决几何问题时，截长补短法常用于：A.证明线段相等B.证明角度相等（答案）C.计算面积D.求解体积2.下列哪个图形问题最适合使用截长补短法来解决？A.求解圆的半径B.证明两个三角形全等（答案）C.计算长方体的表面积D.求解一次方程的根3.使用截长补短法时，通常需要：A.添加辅助线来构造相似图形B.延长或截取线段来构造等长线段（答案）C.使用勾股定理D.计算图形的周长4.在三角形ABC中，AB > AC，为了证明某条线段与AB相等，可以使用截长补短法，下列哪个步骤是正确的？A.延长AC至D，使得CD = ABB.截取AB的一部分，使其与AC相等（答案）C.在三角形外部构造一个与三角形ABC全等的三角形D.计算三角形ABC的面积5.截长补短法在解决哪类问题时特别有用？A.代数方程求解B.图形面积计算C.线段长度比较和证明（答案）D.体积计算6.下列哪个不是截长补短法的常见应用？A.证明线段和差关系B.构造平行线来证明角度相等C.通过截取和延长来构造等边三角形（答案，这更多是等边三角形的性质或构造法，不是截长补短法的直接应用）D.利用线段的相等关系来证明三角形的全等7.在使用截长补短法时，如果延长了某条线段，通常是为了：A.增加图形的面积B.构造一个与已知线段相等的线段（答案）C.改变图形的形状D.计算图形的周长8.下列哪个步骤是使用截长补短法证明线段相等时的常见策略？A.延长较短的线段至与较长线段相等B.计算两条线段的长度差C.通过截取较长线段的一部分来构造与较短线段相等的线段（答案）D.使用三角形的相似性质。
三角形全等例题+练习(常用方法)
B
DE C
7
典型例题 5．翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例 5．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD⊥BC，若 BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．
A
E
F
B DC
G
针对练习 1：如图２所示，已知 ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， BD 平分 ABC ， 求证： AB BC CD 。
0
60
，
C
400
，P，Q
分别在
BC，CA
上，并且
AP
、BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
A
B Q
P
C
截长补短 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分 ABC ， 求证： A C 1800
A D
B
C
截长补短 5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
∠MBN 60 ，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长线）于
E，F ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，不需证明．
A
B
EM
A
B
EM
A B
CF
截长补短法例题完整
截长补短法例题(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）截长补短法例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，即∠BAD +∠BCD =180°F E D C B A 图1-2 A B C D图1-1例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BP BP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PEA B C D P 12N图3-1P 12NA B C D E 图3-2AD B CE 图2-1 ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例3. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DEDE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ，∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2. 求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2 AD B CEF 1234图2-2D C B A 12图4-1 ED CB A 12图4-2∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE .又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB .∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .F D C B A 12图4-3超重和失重 问题超重和失重是两个很重要的物理现象。
微专题 截长补短法
(1)BC＝2； (2)证明：如解图，在AM上截取AN＝DF，连接DN. ∵F为边BC的中点， ∴BC＝2CF. ∵CD＝2CE， ∴CE＝CF， ∵∠MCF＝∠MCE，CM＝CM， ∴△MCF ≌△MCE(SAS). ∴∠CFM＝∠CEM＝90°，MF＝ME.
第4题解图
∵DC＝AD，∠CDF＝∠DAN，DF＝AN， ∴△CDF ≌△DAN(SAS). ∴∠CFD＝∠DNA＝90°＝∠DNM. ∵∠CFM＝∠DNM＝90°，∠CMF＝∠DMN，CM＝DM ∴△CMF ≌△DMN(AAS). ∴MF＝MN＝ME. ∵AM＝AN＋MN， ∴AM＝DF＋ME.
∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B，
B E
∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中，1 2
∴△ABD ≌△AED(AAS)，
AD AD
∴AB＝AE.
又∵AE＝AC＋CE＝AC＋DC，
∴AB＝AC＋CD.
例题解图②
针对训练
1. 在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝ EF，则∠EAF的度数为( C ) A．30° B．37.5° C．45° D．60°
∴CM＝BN，∠ACM＝∠B＝45°，
∴∠MCE＝45°，
CM BN
∴∠B＝∠MCE，在△MCE和△NBE中，MCB B
∴EN，
∴AE＝AM＋EM＝CN＋EN.
4. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过 M作ME⊥CD于点E，∠BAC＝∠CDF. (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME.
第3题图
证明：如解图，在AE上截取AM=CN,连接CM, ∵∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠BCA＝180°－∠CAB－∠CBA＝90°，即∠1＋∠NCA＝90°， ∵CN⊥AE ∴∠2＋∠NCA＝90° ∴∠1＝∠2.
数学中考截长补短法例题
截长补短法例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CDAD DFDE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，即∠BAD +∠BCD =180°例2.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BPBP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .FEDCBA图1-2ABCDP12N图3-1P12NABCD E 图3-2ABC D图1-1ADBCE图2-1在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例3.如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ，∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .ADB CE F1234图2-2例4.已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE .又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB .∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .DCB A 12图4-1EDCBA12图4-2FDCBA 12图4-3。
专题5——截长补短法
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC 方向以 3cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作
圆．设点Q运动的时间为ts．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明
理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切， 求t的值．
2、如图①，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是 等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点，做一个 60°角使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接
MN，请求出△AMN的周长。
3、如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的
等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC
G A D A D(G) F A D F
G B
F C E B C E B C E
图①
图②
图③
5、 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB
也为正方形，设△AFC的面积为S，则 （
A．S=2 B．S=2.4 C．S=4
）
D．S与BE长度有关
6、正方形 ABCD 、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所
示，点G在线段DK上，正方形 BEFG 的边长为4，则 △DEK
的面积为：
（Ａ）10
（Ｂ）12
（Ｃ）14
（Ｄ）16
D
C G F P
R
K
A
B
E
7、如图，矩形 ABCD 中，AB=3cm，AD=6cm，点 E为AB边上的任意一点，四边形 EFGB 也是矩
EF 2 BE ，则 S△ AFC 形，
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截长补短法
例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCDK BC>AB, AD=DC BD平分/ ABC
求证：/ BAD +/ BCD180° .
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E作DF丄BC于点F,如图1-2
•/ BD平分/ ABC：DE=DF
在Rt A ADE与Rt A CDF中,
DE DF
AD CD
••• Rt△ ADE^ Rt A CDF HD，/-Z DAE/ DCF
又/ BAD Z DAE180°,/.Z BAB Z DCI=180
即Z BAD Z BCD180°
例2. 已知，如图3-1 , Z仁Z 2 , P为BN上一点，且POL BC于点D, AB^BC=2BD 求证：Z BAF+ Z BCP180° .
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°,可把它们移到一起，让它们是邻补角, 即证明Z BCP Z EAP因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2
•••Z 仁Z 2,且P［丄BC, •/ PE=PD
在Rt A BPE与Rt A BPD中 ,
PE PD
BP BP
• Rt△ BPE^ Rt A BPD HD，• BE=BD
•/ AB F BC=2BD•/ AB F B&DCB&BE•/ AB F D(=BE即DC=BEAB=AE 图3-1
E
图3-2
D C
在Rt A APE与Rt A CPD
中,
PE PD
PEA PDC
AE DC
••• Rt△ APE^Rt A CPD SAS), •••/ PAE Z PCD
又•••/ BAF+Z PAE180 ° ,•••/ BAF+Z BCP=180°
例3. 如图2-1 , AD// BC 点E在线段AB上, Z ADE Z CDE Z DCE Z ECB
求证：COABBC
分析：结论是COAD^BC可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CDh截取CF=CB 只要再证D巨DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
证明：在CD上截取CF=BC如图2-2
在厶FCE^ BCE中,
CF CB
FCE BCE
CE CE
• △ FCE^A BCE(SAS , •Z 2=Z 1.
又••• AD/ BC •••/ ADGZ BCD180°,「
• Z 2+Z 3=90 ° ,Z 1 + Z 4=90 °,「・
Z
在厶FDE与△ ADE
中,
FDE ADE
DE DE
• △ FDE^A ADE( ASA , • DF=DA
•/ CD F DF+CF,• CDA[>BC
例4. 已知：如图4-1，在△ ABC中，/ C= 2/ B,/ 1 = Z 2.
求证：A&AGCD
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD或在AB上截取AF=AC
证明：方法一（补短法）
延长AC到E,使DGCE 则/ CDE=Z CED 如图4-2
•••/ ACB= 2/ E
•••/ ACB= 2/ B •/ B=Z E,
在厶ABD W^ AED中,
1 2
B E
AD AD
•••△ ABD^ AED( AAS，二AB=AE 又AEAC+CEAGDC •- AB=A(+DC 方法二(截长法)
在AB上截取AF=AC如图4-3
在厶AFD与△ ACD中,
AF AC
1 2
AD AD
• △ AFD^A ACD( SAS , • DF=DC / AFD=Z ACD 又•••/ACB= 2 / B, •••/ FDB=Z B, • FD=FB
•/ AB=AF+FB=A(+FD, • AB=AGCD E
图4-1 图4-2。