做好数学语言的翻译-江苏省丹阳高级中学

数学也需要“翻译”

江苏省丹阳高级中学 祝智瀚

高一学生产生数学学习障碍的一个原因是高中数学的语言表达与初中阶段大不相同。初中阶段，数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达，数学题目往往用直白、详细的语言描述，很多老师也为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，很多学生在初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言、图象语言等,在数学语言的表达上有了很大的变化，数学题目往往语言精练，字数少但信息量大，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。

数学语言主要由三种形式的语言构成，即符号语言、图形语言、自然语言。同一数学研究对象，往往可用不同的语言形态表达。自然语言比较自然、生动、通俗；图形语言（函数图象、几何图形、表格、集合的韦恩图等）易引起清晰的视觉形象，直观、明了、易懂；数学所特有的符号语言与普通语言相比有其简单性、严密性和可操作性的特点，可较大地简化复杂的理论和数学问题解决的操作过程。往往是同一个问题，同一个条件，换了种说法也会引起他们理解上的困难。所以在教学中渗透几种语言的互译，以及同一问题的不同说法，对锻炼学生的审题能力和思维的展开是非常有益的。互译包括:文字语言与符号语言的互译、符号语言与图形语言的互译、文字语言与图形语言的互译这三个方面。

数学问题通过阅读理解、抽象思维、推理演算，直到问题解决，实质上是数学语言各种形态之间的转化或互译过程，也是数学语言各种形态的表达。以下通过几个教学实例的解析，谈谈三种数学语言形态之间互译以及在解题中的应用。

1、 自然语言与符号语言的互译

例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____

分析：先将自然语言转换为数学符号表达式：设长方体长宽高分别为x ，y ，z ，则

, 所求对角线长为5116)(2)(22222=-=++-++=++xz yz xy z y x z y x

评析：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，也即自然语言与符号语言的转化。观察和分析三个数学式，使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。

例2. 设b ax x y ++=2，集合}{}|{a x y x ==，求b a +的值。

分析：例2主要用数学符号语言描述，字数不多，但是蕴含的信息量比较大。如果我们把它翻译为自然语言的话，即为方程x b ax x =++2有两个相等的实根为a 。学生就会发现这个问题本质上只是一个二次方程有等根的问题，问题迎刃而解。

2、 符号语言和图形语言的互译

例3. 如果实数y x ,满足等式3)2(22=+-y x ，求 x

y 的取值范围。 分析：本题若用代数方法设k x y =代入求解较繁。理解符号x

y 的几何意义，问题转译为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；也即过原点与圆相交的直线的斜率范围问题。只需求出两个与圆相切的直线的斜率即可。

例4. 若函数2(),f x kx x R =∈的图像上的任意一点都在函数()1,g x kx x R =-∈的下方，则实数k 的取值范围是____________

分析：本题需要将图形语言转译为符号语言，函数2

(),f x kx x R =∈的图像在函()1,g x kx x R =-∈的下方可转译为)()(x g x f <在R x ∈上恒成立的问题即可求解。 例5：解不等式：。

分析：若应用常规的方法解此题：即平方、移项、合并同类项等方法将其化归为有理方程进行求解，其复杂性是显而易见的。注意到不等式左边的结构特点，即可化为：

这时化静为动得到一个平面区域：

这是一个3,4==c a 的椭圆及内部区域17

162

2≤+y x

再以静制动，令y = 2可得原不等式的解为7

2147214≤≤-x 。 评析：此题典型体现了数学解题过程中动静的互相转化。也体现了符号语言向图象语言的转化，因而使得问题由抽象变为直观形象而易于解决。

3、 自然语言和图形语言的互译

例6、求边长为1的正方形所在平面内的任一点到正方形四个顶点距离之和的最小值。 分析：这是一个以自然语言形式叙述的数学问题。我们不妨根据其几何意义用符号表示：

如图,设P 是边长为1的正方形ABCD 所在平面内的任一点，

求PD PC PB PA P f +++=)(的最小值。

建立直角坐标系，

则有)1,0(),1,1(),0,1(),0,0(D C B A

设),(y x P , 则

PD PC PB PA P f +++=)(=

22222222)1()1()1()1(y x y x y x y x -+-++-+-+++=

面对此较复杂的式子一时难以下手,根据其特征，考虑复数方法解决，将其赋以复数符号语言：设i y x z yi x z i y x z yi x z )1()1(,)1(,)1(,4321-+-=+-=-+=+=，则 22|22|||||||||||)(43214321=+=+++≥+++=i z z z z z z z z P f 其中，等号当且仅当2

1==y x 时成立。所以)(P f 的最小值为22。 评析：本题体现了自然语言与符号语言，符号语言与符号语言之间的相互转换，辅之以几何意义的直观想象，对问题的解决带来了很大方便。

由以上几例可知，数学语言的三种语言形式从不同方面表达了问题的共同性。也即同一数学问题的多重性表达，各有其特点和适用场合，不同语言形态间的互译能力是数学能力素质的基本要素之一。平时在教学过程当中，我们需要注重培养学生对三种语言的转换，提高学生数学语言能力，这对学生学好数学起着至关重要的作用。