思考题1

思考题
1． 设3621,,,X X X 是来自正态总体)5,40(2
N 的样本,求样本均值在38与43之间的概率。

2．设),(~2
σμN X , 其中0,>σμ是未知参数, 设
n X X X ,,,21 是X 的样本, 求2,σμ的最大似然估计量.
3．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为
⎩
⎨⎧<≥=--.,0,
,);()(θθλθθλx x e x f x
其中0,0>>λθ为未知参数。

求参数λθ,的最大似然估计量λθˆ,ˆ。

解 似然函数),,2,1(,)(1
)(n i x e L i
x n n
i i =≥∑==--θλθθλ
得
取对数时当,0)(,),,2,1(0>=≥θL n i x i
∑=--=n
i i x n L 1)(ln )(ln θλλθ，
因为
)(,02)
(ln θθ
θL n L 故>=∂∂单调增加。

由于θ满足
),,2,1(n i x i =≤θ，因此当θ取n x x x ,,,21 中的最小值时，)(θL 取最大值，所以θ的最大似然估计值为 ),,min(ˆ21n x x x =θ，θ的最大似然估计量为 ),,,min(ˆ21n
X X X =θ。

由
,0)(ln =+-=∂∂θλ
λθn x n n
L 得 θ
λ
ˆ1ˆ-=x ，所以λ的最大
似然估计量为
121
ˆmin(,,,)
n X X X X λ
=-
4．设X 的分布律为θ
-θθ
213
21k
p X ，其中参数0>θ未知，
今有样本
2,1,1,3,2,2,1,2,2,3,1,2,3,1,1,1
试求θ的矩估计和最大似然估计。

解 下面x 与X 符号不区分。

（1）矩估计。

θ-=θ-⨯+θ⨯+θ⨯=33)21(321Ex 令
θ
-==33Ex x ()125162833116211331331ˆ=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-=θ⇒ x （2）最大似然估计。

313
16
1
)21(}{)(θ-θ
===
θ∏=i i
x X P L
令0)3213()21()(2
12
=θ-θ-θ=θ'L 得0=θ或21或32
13
，前两者不符合题意
故取32
13
ˆ=θ
5．设由来自正态总体)9.0,(~2
μN X ，容量为9的简单随机样本计算得样本均值5=X ，求未知参数μ的置信度为0.95的置信区间。

[解] ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛σ
±
α2/Z n X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯±=96.199
.05()588
.05±= 或
)588.5 , 412.4(
6．设2
2
,),,(~σμσμN X 未知，X 的样本为 457，482，493，471，510，446，435，418，394，469 求2
,σμ的95%置信区间。

解 2
2
22.35,50.4575,05.0%951,10===-=α=s x n (1) 2622.2)9(025.0)1(2==-αt t n , μ的95%置信区间为
()69.482 , 31.4322622.21022.3550.457)1(2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±αn t n s x
(2) 023.19)9(,70.2)9()1(2
025.02
975.02
12=χ=χ=-χα-n 2σ的95%置信区间为
()84.4134 , 87.58670.222.359 , 023
.1922.359)1()1( )1()1(222122222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-χ--χ-αα-n s n n s n ，
7．在一批木材中随机抽取36根, 测量其小头直径, 算得平均值
2.14=x cm. 设木材的小头直径)2.3,(~2μN X , 问该批木材的平
均小头直径能否认为在14cm 以上？（显著性水平05.0=α）
解 这是一个单边检验问题, 检验假设
14:0≤μH , 14:1>μH .
选取检验统计量 n
X U σ14
-=
, 该假设检验问题的拒绝域为
ασz n
x u ≥-=
14
. 现在36=n , 2.3=σ, 2.14=x , 因而
375.036
2
.3142.14=-=
u ．由05.0=α，查标准正态分布表得，
645.105.0==z z α, 所以645.1375.0<=u , 接受原假设14:0≤μH , 即不能认为这批木材的小头直径在14cm 以上.
8．用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度（单位: C ）, 设测量值),(~2
σμN X , 现在重复测量7次, 测得温度如下
112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6
而温度的真值6.1120=μ, 试问用热敏电阻测温仪间接测量温度有无系统偏差？（)05.0=α.
解 检验假设
6.112:0=μH , 6.112:1≠μH .
选取统计量 n
S
X t 6.112-=, 当0H 成立时)1(~-n t t . 该假设检验
问题的拒绝域为
)1(6.1122-≥-=
n t n
s
x t α.
由05.0=α, 7=n , 得4469.2)6()1(025.02==-t n t α. 由样本算得8.112=x , 136.1=s , 统计量t 的值为
4659.07
136
.16.1128.112=-=
t ,
显然4469.24659.0||<=t , 从而在显著性水平05.0=α下, 所以接受原假设6.112:0=μH , 即可以认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统偏差.
9.设),,(ˆˆ),,,(ˆˆ21222111n n X X X X X X θθθθ==是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，且0)ˆ(3)ˆ(2
1>=θθD D 。

令2
1ˆˆθθb a Y +=， 确定b a ,使Y 为θ的无偏估计量，并且在一切这样的线性估计类中Y 最有效。

10. 某厂生产的螺钉长度),(~2σμN X ，规定合格品的标准长度为5.50，标准差不超过0.09。

现在从该厂生产的一批螺钉中随机地抽取6个，测得长度的平均值46.5=x ，标准差0802.0=s 。

问是这批螺钉是否合格？（05.0=α）。

11. 某农科所为了试验某种有机肥料的用量x （单位：公斤）对谷物产量y （单位：公斤）的影响进行了科学试验，试验结果如下表
假设谷物产量y 对肥料用量x 满足线性关系式
()2,~0,y x N αβεεσ=++。

（1）试用最小二乘法求谷物产量y 对施肥量x 的线性回归方程； （2）求2
σ的估计值；
（3）对线性模型的线性假设进行显著性检验；()0.05α= （4）求当肥料用量为50公斤时，谷物产量的置信水平为95%的预测区间。