四川省成都市东辰国际学校2019-2020学年九年级期中数学试题(解析版)

四川省成都市东辰国际学校2019-2020学年九年级期中数学试题一、选择题1. 在方程x 2＋x ＝y－2x 2＝3，(x －1)(x －2)＝0，x 2－1x ＝4，x(x －1)＝1中，是一元二次方程的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C【解析】－2x 2＝3，（x －1）（x －2）＝0， x （x －1）＝1，一共有三个．故选C ． 2. 若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）A . -2 B. 2 C. 4 D. -4【答案】A【解析】【分析】 根据12b x x a +=-求解即可. 【详解】设另一根为x 2，则-1+x 2=-3，∴x 2=-2.故选A .【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a⋅= . 3. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 为斜边AB 的中点，如果CD=3，那么AB 的长是（ ）A. 1.5B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2CD，得到答案．【详解】∵∠C=90°，点D为斜边AB上的中点，∴AB=2CD，又CD=3，∴AB=6，故选C.【点睛】考查直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB，再根据矩形的对角线相等解答．【详解】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．5. 如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A. AB=AD且AC⊥BDB. AB=AD且AC=BDC. ∠A=∠B且AC=BDD. AC和BD互相垂直平分【答案】B【解析】解：A．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B．根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；C．根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD 是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；D．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．故选B．6. 某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，其中甲跑第一棒，那么乙跑第二棒的概率为（）A. 124B.112C.16D.13【答案】D【解析】【分析】列举出所有情况，看乙跑第二棒的情况数占总情况数的多少即可．【详解】甲跑第一棒有6种情况，其中乙跑第二棒的情况数有2种，所以概率为26=13．故选D．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确画出图是解题的关键.7. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）3米 B. 6米3 D. 3米【答案】A【解析】分析：本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.解析：因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为60BAD ∠=︒，所以∠BAO=30°，∴OA=33米,∴AC= 63米.故选A.8. 某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（ ）．A. 8%B. 18%C. 20%D. 25%【答案】C【解析】【分析】【详解】设每次降价的百分率为x ，由题意，得200（1-x ）2=128，解得：x 1=0.2，x 2=1.8（不符合题意，舍去）．答：每次降价的百分率为20%．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程.9. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ，若AB 的长为2，则FM 的长为( )A. 2B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】【详解】∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，∴FB=AB=2，BM=1，则在Rt △BMF 中，FM=22BF BM -=2221-=3，故选B ．考点：翻折变换（折叠问题）．10. 如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，15CAE ︒∠=，则下面的结论：①ODC ∆是等边三角形；②=2BC AB ；③135AOE ︒∠=；④AOE COE S S ∆∆=，其中正确结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】 根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC 是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE 根据等底等高的三角形面积相等得出AOE COE S S =.【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC ，OD=OB ，AC=BD∴OA=OD=OC=OB∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE=15°.∴∠CAE=15°，∴∠DAC=30°.∵OA=OD ，∴∠ODA=∠DAC=30°.∴∠DOC=60°. ∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形. ∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°. ∴∠DAC=∠ACB=30°. ∴AC=2AB. ∵AC＞BC，∴2AB＞BC. ∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°.∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°.∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE.∴四边形ABCD是矩形.∴∠DOC=60°，DC=AB，∵△DOC等边三角形，∴DC=OD.∴BE=BO.∴∠BOE=75°，∵∠AOB=∠DOC=60°，∴∠AOE=135°.∴③正确；∵OA=OC，∴根据等底等高的三角形面积相等可知S△AOE=S△COE∴④正确故正确答案是C.【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用.二、填空题11. 正方形ABCD的边长AB＝4，则它的对角线AC的长度为_______.【答案】42【解析】解：对角线AC=22224442+=+=.故答案为42．AB BC12. 若代数式x2＋9的值与－6x的值相等，则x的值为________.【答案】-3【解析】解：根据题意得：x2+9=-6x，整理得：x2+6x+9=0，（x+3）2=0，所以x1=x2=-3．故答案为-3．13. 如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件___（只添一个即可），使ABCD是矩形．【答案】AC=BD（答案不唯一）【解析】试题分析：根据矩形的判定定理推出即可：添加，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形；添加∠ABC=90°等，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形．14. 已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是_______【答案】1【解析】解：设方程另一根为a，则a+3=4，解得：a=1，故答案为1．15. 一个不透明的布袋里装有2个白球、1个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，先从布袋中摸出1个球，放回搅匀后，再摸出1个球，两次摸到的球都是白球的概率为_____.【答案】1 4【解析】【分析】根据题意可知，第一次摸到白球的概率是24，第二次摸到白球的概率是24，两次都摸到白球的概率就是这两个概率的乘积，本题得以解决．【详解】由题意可得，两次摸到的球都是白球的概率是：24×24＝14，即两次摸到的球都是白球的概率是14．故答案为14．【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是明确每次发生的概率，两次都发生的概率就是每次发生的概率的乘积．16. 关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是_____.【答案】－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－2x ＋3＝0有实数根，∴△=4-4（a+1）×3≥0，且a+1≠0，解得a≤-23，且a≠-1， 则a 的最大整数值是-2．故答案为-2．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．17. 如图所示，菱形ABCD 的边长为4，且AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠B ＝60°，则EF 长为________．【答案】23【解析】【分析】【详解】解：连接EF ，由菱形,4,180120,ABCD AB BC CD BAD B ===∠=︒-∠=︒,AE BC AF CD ⊥⊥9090906030,AEB BAE B ∴∠=︒∴∠=︒-∠=︒-︒=︒同理30,120303060DAF EAF ∠=︒∴∠=︒-︒-︒=︒22221,2,42232Rt AEB BE AB AE AB BE ∴∴==∴=-=-=中 ,2 3.AE AF AEF EF AE ∴=∴∴==是等边三角形18. 点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A ，B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得到线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于_____．【答案】45°【解析】【分析】【详解】试题分析：在AD 上取一点F ，使DF=BP ，连接PF ，由正方形的性质就可以得出△DFP ≌△PBE ，就可以得出∠DFP=∠PBE ，根据AP=AF 就可以得出∠DFP 的值，就可以求出∠CBE 的值．解：在AD 上取一点F ，使DF=BP ，连接PF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠A=∠ABC=90°．∴AD ﹣DF=AB ﹣BP ，∠ADP+∠APD=90°，∴AF=AP ．∴∠AFP=∠APF=45°，∴∠DFP=135°．∵∠DPE=90°∴∠APD+∠BPE=90°．∴∠ADP=∠BPE ．在△DFP 和△PBE 中，DF BP ADP BPE DP PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DFP ≌△PBE （SAS ），∴∠DFP=∠PBE ，∴∠PBE=135°，∴∠EBC=135°﹣90°=45°．故答案为45°．点评：本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．三、解答题19. 解下列方程：(1)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)；(2)x(2x－4)＝5－8x.【答案】(1) x1＝－2，x2＝3；(2) x1＝－1＋142，x2＝－1－142.【解析】试题分析：（1）整理后用因式分解法解答即可；（2）整理后用配方法解答即可．试题解析：解：（1）移项，得：（x－1）（x＋2）－2（x＋2）＝0 变形，得：（x＋2）（x－1－2）＝0∴x＋2＝0或x－3＝0∴x1＝－2，x2＝3；（2）去括号，得：2x2－4x＝5－8x移项，得：2x2＋4x＝5二次项系数化为1，得：x2＋2x＝5 2配方，得：x2＋2x＋1＝52＋1，即（x＋1）2＝72两边开平方，得：x＋1＝±7 2∴x1＝－1＋142，x2＝－1－142．20. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．【答案】详见解析.【解析】【分析】已知AB∥CD，∠BAD=90°，由平行线的性质可得∠ADC=90°，在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，即可得四边形ABCD是矩形．【详解】证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°，又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，∵132=52+122，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．21. 有四张扑克牌，分别为红桃3、红桃4、红桃5、黑桃6，背面朝上洗匀后放在桌面上，从中任取一张后记下数字和颜色(不放回)，再背面朝上洗匀，然后再从中随机取一张，求两次都为红桃，并且数字之和不小于8的概率．【答案】1 3【解析】试题分析：先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都为红桃，并且数字之和不小于8的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：解：画树状图如下：总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同．其中，两次都为红桃，并且数字之和不小于8的结果有4种，所以，P （两次都为红桃，并且数字之和不小于8）＝41123． 点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．22. 临近端午节，某食品店每天卖出300只粽子，卖出一只粽子的利润为1元.经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子.为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0<m <1）元， （1）零售单价降价后，每只利润为 元，该店每天可售出 只粽子.（2）在不考虑其他因素的条件下，当零售单价下降多少元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖．．出的粽子．．．．更多．．？ 【答案】（1） (1-m ) ，（300+1000m ）；（2）当零售单价下降0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多【解析】【分析】（1）降价后的利润等于原来的利润-降价即可得到；每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可； （2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．【详解】（1）该店每天可售出300+100×0.1m =（300+1000m ）只粽子． 每只利润为（1-m ）元；(2) 根据题意，得(1-m )（300+1000m ）=420，解得m 1=0.4 m 2=0.3，显然，当m =0.4时, 300+1000m =700，当 m =0.3时, 300+1000m =600，700＞600，答：当零售单价下降0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来． 23. 已知关于x 的方程(m －1)x 2－x －2＝0. (1)当m 为何实数时，方程有两个不相等的实数根？(2)若x 1，x 2是方程的两个根，且x 21x 2＋x 1x 22＝－18，试求实数m 的值． 【答案】(1)故m >78且m ≠1时，方程有两个不相等的实数根(2)m ＝5 【解析】【分析】（1）由题意得：判别式△≥0且m －1≠0，即可得到关于m 的不等式，求解即可；（2）根据根与系数关系：求出两根之和，两根之积．由221212x x x x +＝x 1x 2（x 1＋x 2）＝18-．代入即可得到一个关于m 的方程，求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：△＝（－1）2－4×（m －1）×（－2）＝8m －7＞0，∴m ＞78. 又∵m －1≠0，∴m ≠1．故m ＞78且m ≠1时，方程有两个不相等的实数根； （2）由题意得：x 1＋x 2＝11m -，x 1x 2＝－21m -. ∵221212x x x x +＝x 1x 2（x 1＋x 2）＝18-，∴－21m -·11m -＝18-， ∴（m －1）2＝16，∴m 1＝5，m 2＝－3．∵m ≥78且m ≠1， ∴m ＝5．24. 如图，已知点E,F 分别是□ABCD 的边BC,AD 上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF 面积．【答案】（1）见解析（22532【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF 是菱形；（2）连接EF 交于点O ，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC 与EF 的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF 的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC ，AD=BC ．在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点E 是BC 边的中点， ∴AE=CE=12BC ． 同理，AF=CF=12AD ． ∴AF=CE ．∴四边形AECF 是平行四边形． ∴平行四边形AECF 是菱形．（2）解：在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，∴AC=5，AB=53．连接EF 交于点O ，∴AC⊥EF 于点O ，点O 是AC 中点．∴OE=15322AB =． ∴EF=53．∴菱形AECF 的面积是12AC·EF=2532．考点：1．菱形的性质和面积；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．25. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．【答案】（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒【解析】【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠，//AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ， ∴四边形ADEC 是平行四边形，CE AD ∴=； D 为AB 中点，AD BD ∴=，BD CE ∴=，∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．。