3、概率统计人物
应用统计学的名人
应用统计学的名人
应用统计学领域有很多著名的人物，其中一位是卡尔·弗里德里希·高斯。
高斯1777年出生于德国不伦瑞克，他的家庭并不富裕，但父母非常重视他的教育。
在他小时候，父母发现他对数学和自然科学产生了浓厚兴趣，便鼓励他继续深造。
年轻的高斯在求学过程中展现出极高的天赋，19岁时便考入了哥廷根大学学习数学。
在哥廷根大学的日子里，他如饥似渴地学习各种知识，逐渐在数学领域崭露头角。
高斯在数学领域取得了丰硕的成果，他提出了高斯消元法，研究了数论中的二次互反律，还发现了高斯函数，这个函数在数学分析、统计学和物理学等领域都有重要应用。
高斯还将数学理论应用于实际问题，关注地球物理学和天文学等领域的进展，并提出了自己的观点。
他的科学成就影响了整个世界，如今，他的名字被镌刻在科学史上，成为数学领域的永恒传奇。
高中数学概率统计小故事
1.分赌本问题A ，B 二人赌博，各出注金a 元，每局每个人获胜的概率都是12，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况的分析.由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确.例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配.塔泰格利亚则在1556年怀疑能找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金.法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配.卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=.把注金按)1(22+r r ︰)1(11+r r 之比分给A 和B.他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之处，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身.这个问题的症结在于：它关乎每个人在当时状况下的期望值.从以上这些五花八门的解法中，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系.而与此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率.循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负.假如A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局.因此按二项分布，A 取胜的概率为r rr i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-.注金按B A p p :之比分配给A 和B ，因A ap 2和B ap 2是A ，B 在当时状态下的期望值.这个解是巴斯噶（B.Pascal, 1623～1662）在1654年提出的.他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）.1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同.后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形.分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过对这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系有了启示.有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具.如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等.可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段.2. 巴斯噶与费尔马的通信巴斯噶与费尔马(P. de Fermat ，1601-1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生.巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及.至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数,,,≠xyx z y x xyz≠0和整数3≥n ，使n n n z y x =+) 于近年得到证明，名声更远播数学圈子内外.费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的成就，其在概率史上占到一席地位，多少有些偶然，由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封.这几封信全是讨论具体的赌博问题.与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称).与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了.他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了.他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率.3年后，惠更斯改“值”为“期望” (expectation)，这就是概率论的最重要的概念之一——(数学)期望的形成和命名过程.前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间.这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a 和b 元(a ，b 为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率.这个问题拿现在的标准看也有相当的难度.由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性.有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础.这话相当有道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有明确陈述并提炼出概率运算的原则性内容.例如，他们想当然地使用了概率加法和乘法定理.但未将其作为一般原则凸现出来.促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题.1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决.所提问题并不难，但不知为何巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出一个“双6”的机遇小于2/1（其值为.0)36/35(124≈-≈0.491 4）.但从另一方面看，掷两颗骰子只有36种等可能结果，而24占了36的3/2，这似乎有矛盾，如何解释.现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题.巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧.3. 惠更斯的《机遇的规律》惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相若的大科学家.人们熟知他的贡献之一是单摆周期公式g l T /2π=.他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作《机遇的规律》出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久.该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文.他从关于公平赌博(fair game)的值的一条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理.基于这些定理并利用递推法等工具，惠更斯解决了当时感兴趣的一些机遇博弈问题.最后，他提出了5个问题，对其中的3个给出了答案但未加证明.3条定理加11个问题，被称为惠更斯的14个命题.前3条如下述：命题1若某人在赌博中以等概率12得a ，b 元，则其期望为2/)(b a +元.命题2若某人在赌博中以等概率13得a ，b 和c 元，则其期望为3/)(c b a ++元.命题3若某人在赌博中以概率p ,)1(=+q p q 得a ，b 元，则其期望为qb pa +元.看了这些命题，现代的读者或许会感到惶惑：为何一个应取为定义的东西，要当作需要证明的定理? 答案在于，这反映了当时对纯科学的一种公认的处理方法，即应从尽可能少的“第一原理”（first principle ，即公理）出发，把其他内容推演出来.惠更斯只从一条公理出发而导出上述命题，其推理颇为别致，此处不细述.这几个命题是期望概念的一般化.此前涉及或隐含这一概念只是相当于命题3中0=b 的特例，即注金乘取胜概率，因而本质上没有超出概率这个概念的范围.惠更斯的命题将其一般化，是这个重要概念定型的决定性的一步.实际上，据惠更斯的命题不难证明：若某人在赌博中分别以概率得k a a ,,1 元，则其期望为11k k p a p a ++.这与现代概率论教科书中关于离散随机变量的期望的定义完全一致.余下的11个命题及最后的5个问题，都是在形形色色的赌博取胜约定下，去计算各方取胜的概率，其中命题4～9是关于2人和多人的分赌本问题.对这些及其他问题，惠更斯都用了现行概率论教科书中初等概率计算方法，通过列出一定的方程求解，大体上与巴斯噶的做法相似.这种方法后来被伯努利称为“惠更斯的分析方法”.最后5个问题较难一些，其解法的技巧性也较强.现举其一为例：A ，B 二人约定按ABBAABBAABB …掷两颗骰子，即A 先掷一次，然后从B 开始轮流各掷两次.若A 掷出和为6点，则A 胜；若B 掷出和为7点，则B 胜.求A ，B 获胜的概率.A 在一次投掷时掷出和为6的概率36/5=A p ，而B 在一次投掷时掷出和为7的概率6/136/6==B p .记B B A A p q p q -=-=1,1，又记i e 为在第1i -次投掷完时A ，B 都未取胜，求在这一条件下A 最终取胜的概率.利用全概率公式，并注意到约定的投掷次序，可以列出方程组：14433221,,,e q p e e q e e q e e q p e A A B B A A +===+=.由此容易得出略小于1/2.故此赌法对A 不利.机遇博弈在概率概念的产生及其运算规则的建立中，起了主导的作用.这一点不应当使人感到奇怪：虽说机遇无时不在，但要精确到数量上去考虑，在几百年前那种科学水平之下，只有在像掷骰子这类很简单的情况下才有可能.但这门学科建立后，既脱离赌博的范围又找到了多方面的应用.这也是一个有趣的例子，表明一种看似无益的活动(如赌博），可以产生对人类文明极有价值的副产物.把概率论由局限于对赌博机遇的讨论拓展出去的转折点和标志，应是1713年伯努利划时代著作《推测术》的出版，是在惠更斯的《机遇的规律》出版后56年.惠更斯这一著作，内容基本上限于掷骰子等赌博中出现各种情况的概率的计算，而伯努利这本著作不仅对以前的成果作了总结和发挥，更提出了“大数定律”这个无论从理论和应用角度看都有着根本重要性的命题，可以说其影响一直到今日而不衰.其对数理统计学的发展也有不可估量的影响，许多统计方法和理论都是建立在大数定律的基础上.有的概率史家认为，这本著作的出版，标志着概率概念漫长的形成过程的终结与数学概率论的开端.假定有一个事件A ，根据某种理论，我们算出其概率为p A P =)(.这理论是否正确呢？一个检验的方法就是通过实际观察，看其结果与此理论的推论——p A P =)(是否符合.或者，一开始我们根本就不知道)(A P 等于多少，而希望通过实际观察去估计其值.这些包含了数理统计学中两类重要问题——检验与估计.这个检验与估计概率p 的问题，是数理统计学中最常见、最基本的两个问题.要构造具体例子，最方便的做法是使用古典概率模型.拿一个缸子，里面装有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个.这时，随机从缸中抽出一球(意指各球有同等可能被抽出），则“抽出之球为白球”这事件A 有概率)/(b a a p +=.如果不知道a ，b 的比值，则p 也不知道.但我们可以反复从此缸内抽球(每次抽出记下其颜色后再放回缸中）.设抽了N 次，发现白球出现N X 次，则用N X N /去估计p .这个估计含有一定程度不确定的误差，但我们直观上会觉得，抽取次数N 愈大，误差一般会愈小.这一点如伯努利所说：“哪怕最愚笨的人，也会经由他的本能，不需他人的教诲而理解的”.但对这个命题却无人能给出一个严格的理论证明.伯努利决心着手解决这个问题，其结果导致了以他的名字命名的大数定律的发现.这个发现对概率论和数理统计学有极重大的意义.伯努利把这一研究成果写在他的著作《推测术》的第四部分中，是该著作的精华部分.由于该书在概率统计史上的重要意义，在此对伯努利其人及此书的整个面貌先做一点介绍.4. 伯努利的《推测术》伯努利1654年出生于瑞士巴塞尔.在其家族成员中，对数学各方面做出过不同程度贡献的至少有12人，在概率论方面有5人，其中杰出的除他本人外，还有其弟弟约翰与侄儿尼科拉斯.伯努利的父亲为其规划的人生道路是神职人员.但他的爱好却是数学.他对数学的贡献除概率论外，还包括微积分、微分方程和变分法等.后者包括著名的悬链线问题.他和牛顿、莱布尼兹是同时代人，并与后者有密切的通信联系，因而非常了解当时新兴的微积分学的进展，学者们认为他在这方面的贡献，是牛、莱之下的第一人.此外，他对物理学和力学也做出过贡献.他与惠更斯长期保持通信联系，仔细阅读过惠更斯的《机遇的规律》，由此引发了他对概率论的兴趣.从他与莱布尼兹的通信中，可知他写《推测术》这一著作是在他生命的最后两年.在1705年他去世时，此书尚未整理定稿.由于家族内部的问题，整理和出版遗稿的工作，迟迟未能实现.先是其遗孀因对其弟约翰的不信任，不愿把整理和出版的事委托给他，后来又拒绝了欧洲一位富有学者捐资出版的建议.最后在莱布尼兹的敦促下，才决定由其侄儿尼科拉斯来负责这件事情.尼科拉斯也是当时重要的数学家，与欧拉和莱布尼兹保持通信联系.当时尚无科学期刊，学者的通信是学术交流的一种重要方式.《推测术》一书共239页，分四个部分.第一部分(P 2～71)对《机遇的规律》一书作了详细的注解，总量比惠更斯的原书长4倍.第二部分(P 72～137)是关于排列组合的系统的论述.第三部分(P 138～209)利用前面的知识，讨论了一些使用骰子等的赌博问题.第四部分(P 210～239)是关于概率论在社会、道德和经济等领域中的应用，其中包括了该书的精华、奠定了概率史上不朽地位的，以其名字命名的“伯努利大数定律”——大数定律的名称不是出自该书，首见于泊松1837年的一篇著作中.该书若缺了这一部分，则很可能会像某些早期概率论著作那样湮没无闻，或至多作为一本一般著作被人评价.该书最后有一长为35页的附录，用与友人通信的形式讨论网球比赛中计分问题.5. 伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第四部分.回到前面的缸中抽球模型：缸中有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个，“抽出之球为白球”的概率为p ，则有)/(b a a p +=.假设有放回地从缸中抽球N 次，记N X 为抽到白球的次数，以N X N /估计p .这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.此处的条件是，每次抽取时都要保证缸中b a +个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证.例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置.在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具.这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字9,,2,1,0 ，它们是用据说是“充分随机”的方法产生的.在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象.伯努利企图证明的是：用N X N /估计p 可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性.其确切含义是：任意给定两个数0>ε和0>η，总可以取足够大的抽样次数N ，使事件{}ε>-|)/(|p N X N 的概率不超过η.这意思就很显然：ε>-|)/(|p N X N 表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大N ).为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定于1)(-+b a ，虽然其证明对一般ε也有效.但他做这一模型限定与所用缸子模型的特殊性有关：必要时把缸中的白、黑球分别改为ra 和rb 个，则p 不变，1)(-+b a 改为1)(-+rb ra ，只须取r 足够大，便可使1)(-+rb ra 任意小.二是伯努利欲证明的是：对任给的0>c ，只要抽取次数足够大，就可使⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-εεp N X cP p N X P N N . （5）这与前面所说是一回事.因为由上式得.11c p N X P N +<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-ε （6）取c 充分大，可使(6)式右边小于η.另外要指出的是：伯努利使用的这个缸子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而有损于结果的普遍性.但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要.伯努利上述对事实上确定性数学的理解，即(5)式，有一个很值得赞赏的地方，即他在概率论的发展刚刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法.因为，既然我们欲证明的是当N 充分大时，N X N /和p 可以任意接近，则一个看来更直截了当的提法是,lim p N X N N =∞→ （7）而这不可能实现.因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时N X N /总为1，不能收敛到1<p .或者退一步：要求(7)式成立的概率为1，这一结论是对的，但直到1909年才由波莱尔给予证明，证明的难度比伯努利的提法大得多.设想一下，如果当时伯努利就采用该提法，他也许在有生之年不能完成这一工作.由于波莱尔的结论比伯努利的结论强，现今人们又把他们的结论分别称之为强大数定律和弱大数定律.6. 泊松公式、泊松分布与泊松大数定律泊松（Possion ）的名字对学概率论与数理统计的人来说，可谓耳熟能详.原因主要在于泊松近似公式，以及更重要的是源于该近似公式的泊松分布，泊松分布的重要性和知名度在离散型分布中仅次于二项分布.泊松的另一个重要工作是把伯努利大数定律推广到每次试验中事件发生的概率可以不同的情况，现称泊松大数定律.继狄莫佛给出二项概率近似计算公式(10)之后，丹尼尔和拉普拉斯也给出了二项概率近似计算公式，但这些公式在现今的教科书上已很少提及，只有泊松近似公式则不然，其形式为,!),,(lim k e k p N b k N λλ-∞→= （11）其中Np N ∞→=lim λ，N k ,,2,1,0 =.公式(11)在教科书上通称为泊松逼近公式、泊松近似公式或泊松公式.它是泊松在1838年于《概率在法律审判的应用》一书中所引进，此公式适用于p 很小，N 很大而Np 又不很大时，这正好填补了狄莫佛公式(10)的不足，因后者只适用于p 不太接近于0和1的时候.不过，从历史上看，狄莫佛早在1712年已做出了这个结果.7. 贝叶斯及其传世之作托马斯•贝叶斯(Thomas Bayes,1701－1761)在18世纪上半叶的欧洲学术界，恐怕不能不算是一个很知名的人物.在他生前，没有发表过任何的科学论著.那时，学者之间的私人通信，是传播和交流科学成果的一种重要方式.许多这类信件得以保存下来并发表传世，而成为科学史上的重要文献，例如，前面提到的费尔马和巴斯噶的通信、伯努利与莱布尼兹的通信等.但对贝叶斯来说，这方面材料也不多.在他生前，除在1755年有一封致约翰•康顿的信(其中讨论了辛普森有关误差理论的工作)外，历史上没有记载他与当时的学术界有何重要的交往.但他曾在1742年当选为英国皇家学会会员(相当于科学院院士），因而可以想到，他必定曾以某种方式表现出其学术造诣而被当时的学术界所承认.如今，我们对这个生性孤僻、哲学气味重于数学气味的学术怪杰的了解，是因他的一篇题为“An essay towards solving a problem in the doctrine of chance(机遇理论中一个问题的解)”的遗作.此文发表后很长一个时期在学术界没有引起什么反响，但到20世纪以来突然受到人们的重视，成为贝叶斯学派的奠基石.1958年，国际权威性的统计杂志《Biometrika》（生物计量）重新刊载了这篇文章.此文也有中译本(见廖文等译《贝叶斯统计学——原理、模型及应用》的附录4，中国统计出版社1992年版）.此文是他的两篇遗作之一，首次发表于1764年伦敦皇家学会的刊物《Philosophical Transactions》上.此文在贝叶斯生前已写就，为何当时未交付发表，后来的学者有些猜测，但均不足定论.据文献记载，在他逝世之前4个月，他在一封遗书中将此文及100英镑托付给一个叫普莱斯的学者，而贝叶斯当时对此人在何处也不了然.所幸的是，后来普莱斯在贝叶斯的文件中发现了这篇文章，他于1763年12月23日在皇家学会上宣读了此文，并在次年得以发表.发表时普莱斯为此文写了一个有实质内容的前言和附录.据普莱斯说，贝叶斯自己也准备了一个前言.这使人们无法确切区分：哪些思想属于贝叶斯本人，哪些又是普莱斯所附加的.贝叶斯写作此文的动机，说法也不一.一种表面上看来显然的说法是为了解决伯努利和狄莫佛未能解决的、二项分布概率p的“逆概率”问题，因为当时距这两位学者的工作发表后尚不久，有人认为他是受了辛普森误差工作的触动，想为这种问题的处理提供一种新的思想.还有人主张，贝叶斯写作此文，是为了给“第一推动力”的存在提供一个数学证明.这些说法现在都无从考证.上面提到“逆概率”这个名词.在较早的统计学著作中这个名词用得较多，现在已逐渐淡出.顾名思义，它是指“求概率这个问题的逆问题”：已知事件的概率为p，可由之计算某种观察结果出现的概率如何.反过来，给定了观察结果，问由之可以对概率p做出何种推断.推广到极处可以说，“正概率”是由原因推结果，是概率论；“逆概率”是由结果推原因，是数理统计.8. 拉普拉斯的“不充分推理原则”贝叶斯的遗作发表后很长一段时期，都没有得到学术界的注意，因而他的这种思想未能及早地发展成为一种得到广泛应用的统计推断方法.但是，也有些学者独立地朝这个方向思考，提出类似的思想并付诸实用，其中最重要的当属拉普拉斯.拉普拉斯在1774年的一篇文章中提出了所谓的“不充分推理原则”（principle of insufficient reasoning ）.他的思想大致如下：如果一个问题中存在若干个不同的原因(cause) n A A A ,,,21 ，则在没有理由认为其中哪一个特别有优势时，概率应各取n /1，即认为各原因有同等机会出现.在统计问题中，这里所说的不同“cause ”n A A A ,,,21 可看作代表未知参数的不同的可能值.以E 记在这原因下可能产生的事件(例如，在某参数值之下观察到的样本)，拉普拉斯提出：)|(/)|(i i A E P E A P 与i 无关. （12）用现今熟知的概率论知识很容易证明(12），但拉普拉斯在其文章中用了一个很复杂的证法.拉普拉斯的原则(12)可用于由)|(i A E P 推)|(E A P i ，这与贝叶斯的原则完全一样，也并未超出贝叶斯思想的范围.因此，现在统计学史上也把拉普拉斯视为贝叶斯统计的一个奠基者.9. 勒让德发明最小二乘法勒让德是法国大数学家，在数学的许多领域，包括椭圆、积分、数论和几何等方面，都有重大的贡献.最小二乘法最先出现在他于1805年发表的一本题为《计算彗星轨道的新方法》著作的附录中，该附录占据了这本长达80页著作的最后9页.勒让德在这本书前面几十页关于彗星轨道计算的讨论中没有使用最小二乘法，可见在他刚开始写作时，这一方法尚未在他头脑中成形.历史资料还表明，勒让德在参加测量巴黎子午线长这项工作很久以后还未发现这个方法.考虑到此书发表于1805年且该法出现在书尾的附录中，可以推测他发现这个方法应当在1805年或之前不久的某个时间.勒让德在该书72～75页描述了最小二乘法的思想、具体做法及方法的优点.他提到：使误差平方和达到最小，在各方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止了某一极端误差（对决定参数的估计值）取得支配地位，而这有助于揭示系统的更接近真实的状态.的确，考察勒让德之前一些学者的做法，都是把立足点放在解出一个线性方程组上.这种做法对于误差在各方程之间的分布的影响如何，是不清楚的.在方法的具体操作上，勒让德指出，为实现20111()n i i ki k i x x x θθ=+++=∑最小而对各i θ求偏导数所形成的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+∑∑==.,,1,,,1,0,,,,1,0110k j k r x x s k j s n i ji ri rj kr j r rj θθ （13）只涉及简单的加、乘运算，至于解线性方程组，这是当时已知的其他方法也难免的.现今我们把(13)叫做正则方程组，这是后来高斯引进的称呼.关于最小二乘法的优点，勒让德指出了以下几条：第一，通常的算术平均值是其一特例.第二，如果观察值全部严格符合某一线性方程，则这个方程必是最小二乘法的解.第三，如果在事后打算弃置某些观察值不用或增加新的观察值，对正则方程组的修改易于完成.从现在的观点看，这方法只涉及解线性方程组是其最重要的优点之一（其他的重要优点包括此法在统计推断上的一些优良性质，以及其广泛的适用性）.近年发展起来的，从最小二乘法衍生出的其他一些方法，尽管在理论上有其优点，可是由于计算上的困难而影响了其应用.最小二乘法在19世纪初发明后，很快得到了欧洲一些国家的天文和地测学工作者的广泛使用.据不完全统计，自1805年至1864年的60年期间，有关这一方法的研究论文约250篇，一些百科全书，包括1837年出版的《不列颠百科全书》（第7版），都收进了有关这个方法的介绍.在研究论文中，有一些是关于。
关于世界十大数学家
即便是君主，研究学问的道路也是 没有捷径的。
五一假期快乐������
莱昂哈德欧拉
如果高斯是王子，欧拉就是国王。他生活 在1707年到1783年，被认为是地球上最伟 大的数学家。据说，所有的数学公式都是 以下一个人欧拉的名字命名的，以发现它 们。在他那个时代，他是一个开创性的人 物，在天才方面与爱因斯坦不相上下。他 对该领域的主要贡献是引入了数学符号， 包括函数的概念、速记三角函数、自然对 数以的及基它数的的虚单“e”位、的希符腊号字p母i，Si以gm及a求它和的的圆和周 比的符号pi。所有这些都对现代数学产生 了巨大的影响，从每天的到难以置信的复 杂。 此外，他还解决了图论中的Seven Bridges of Koenigsberg问题，找到了连接对象顶点、 边和面的Euler特征，并证明了许多众所周 知的理论，太多了，无法列出。此外，他 继续发展微积分学、拓扑学、数论、分析 学和图论以及更多的，最终为现代数学及 其启示铺平了道路。工业和技术的发展在 这个时候迅速增加，这也许不是偶然的。
正确地解释这个数学是多么具有突破性和新颖性，有人
说，你一方面可以计算出世界上数学家的数量，一方面
，他们当时能够理解并验证他的证明。然而，随着时间 的推移，这种影响可能只会增加。
艾萨克·牛顿和威廉·莱布尼 茨
艾萨克·牛顿和威廉·莱布尼茨
我把这两者放在一起，因为它们都经常被 授予成为现代微积分的‘发明者’的荣誉，因 此它们都对这个领域做出了巨大的贡献。 首先，莱布尼茨经常因为引进现代标准符 号，特别是整体符号而受到表扬。他在拓 扑学领域做出了巨大贡献。而所有的天才 ，艾萨克·牛顿，由于伟大的科学史诗原理 ，通常成为大多数人欢迎的主要人成为真 正的微积分的发明者。然而，可以说的是 ，两人都以自己的方式作出了巨大的贡献 。
许宝騄对概率论与数理统计的卓越贡献
许宝騄对概率论与数理统计的卓越贡献摘要许宝騄是中国最早在概率论与数理统计研究方面达到世界先进水平的杰出数学家。
他奠定了中国概率论与数理统计学科的基础,并为之付出了毕生精力。
其研究成果已成为当代概率论与数理统计理论的重要组成部分,至今“许方法”仍被认为是解决检验问题的最实用方法。
关键词许宝騄概率论数理统计假设检验多元分析许宝騄(1910—1970年)是20世纪中最富有创造性的统计学家之一,是中国最早在概率论与数理统计研究方向达到世界先进水平的杰出数学家。
他加强了强大数定律;研究了中心极限定理中误差大小的精确估计;发展了矩阵变换技巧;得到了高斯2马尔科夫(Gauss-Markov)模型中方差的最优估计;揭示了线性假设似然比检验的第一个优良性质等[1]。
其研究成果已经成为当代概率论与数理统计理论的重要组成部分,至今“许方法”仍被认为是解决检验问题的最实用方法。
少年时代的许宝騄受益于表姐夫徐传元(毕业于美国麻省理工学院)的指导。
1928年,许宝騄考入燕京大学化学系,但对数学的浓厚兴趣,促使他改攻数学,并于1930年考入清华大学数学系。
期间,深受熊庆来(1893—1969年)、孙光远(1900—1979年)和杨武之(1896—1973年)的教诲。
1933年,以优异成绩获得理学士学位。
1936年,通过赴英庚子赔款公费留学考试,进入伦敦大学学院(UniversityCollege)的高尔顿(FrancisGaldon,1822—1911)实验室和统计系学习数理统计学。
1938年获得哲学博士学位,两年后又获得理学博士学位[2]。
1940年,许宝騄回到抗日烽火中的祖国,受聘为北京大学教授,在西南联合大学任教。
1945年,应加州伯克利大学和哥伦比亚大学的联合邀请而前往美国。
1947年10月,谢绝众多朋友的挽留,毅然回到中国,此后一直在北京大学任教。
许宝騄是中央研究院第一届当选的5名数学所院士之一。
1955年当选为中国科学院学部委员。
概率论学者
概率论学者1.吉罗拉莫·卡尔达诺(1501年9月24日~1576年9月21日)意大利文艺复兴时期百科全书式的学者, 数学家、物理学家、占星家、哲学家和赌徒. 古典概率论创始人, 在他的著作《论运动、重量等的数字比例》建立了二项定理和二项系数的确定. 他一生写了200多部著作，内容涵盖医药、数学、物理、哲学、宗教和音乐。
[代数：在1545年出版的《大术》一书中，他第一个发表了三次代数方程一般解法的卡尔达诺公式，也称卡当公式（解法的思路来自塔塔利亚，两人因此结怨，争论经年）。
书中还记载了四次代数方程的一般解法（由他的学生费拉里发现）。
此外，卡尔达诺还最早使用了复数的概念。
概率论：卡尔达诺死后发表的《论赌博游戏》一书被认为是第一部概率论著作，他对现代概率论有开创之功。
他生于帕维亚，为达芬奇一位律师朋友的私生子，早年多病。
1526年获帕维亚大学医学博士学位，后成为欧洲名医，曾任英国国王爱德华六世的御医，并曾任教于帕维亚大学、博洛尼亚大学。
他的家庭生活非常不幸。
他最小也是最疼爱的儿子因为杀死不忠的妻子于1560年被判死刑。
他的女儿沦为妓女，死于梅毒。
他的另一个儿子是个赌徒，经常偷窃他的财物。
他自己因为推算耶稣的出生星位，被指控为大逆不道，于1570年入狱，并失去教职。
更为可悲的是，他的儿子参与了指控。
出狱后他移居罗马，获得了教皇格里高利十三世的年金资助，完成了自己的自传。
据说，他通过占星术推算出自己的忌辰。
2.雅各布·伯努利,1654－1705)，伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家。
被公认的概率论的先驱之一。
他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。
还较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。
他还研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。
概率论中的伯努利试验与大数定理也是他提出来的。
雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。
他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。
概率统计的起源与发展课件
应对不确定性的能力。
概率统计与其他学科的交叉研究
1 2 3
与机器学习的融合
结合机器学习算法，挖掘数据中的潜在模式和规 律，为概率统计提供新的研究思路和方法。
与金融学的交叉
深入研究金融领域中的概率统计问题，如风险管 理、投资组合优化等，为金融市场的发展提供理 论支持。
与生物医学的交叉
运用概率统计方法，研究生物医学中的复杂问题 和挑战，如疾病预测、药物研发等。
参数估计
指根据样本数据推断总体参数的过程 ，如均值、方差等。
概率统计中的重要公式与定理
大数定律 中心极限定理
贝叶斯定理 方差与协方差
指在大量重复试验中，频率稳定收敛到概率，即随着试验次数 的增加，事件发生的频率逐渐接近其概率。
指在独立同分布的情况下，随机变量的分布近似于正态分布。
指在已知某些条件下，事件发生的概率可以通过贝叶斯公式进 行计算。
统计的基本概念
数据收集
指通过调查、观察、实验等方式获取 数据的过程。
02
数据整理
指对收集到的数据进行分类、排序、 计算等处理，使其更加易于分析。
01
假设检验
指根据某些假设，利用样本数据推断 总体特征的过程。
05
03
数据描述
指用图表、数值等方式对数据进行可 视化处理，以便更直观地观察数据特 征。
04
实时动态评估
对概率统计模型进行实时评估和优化，确保预测结果的准确性和及 时性。
深入研究不确定性问题
不确定性度量
01
发展更有效的度量方法，以定量描述概率统计中的不确定性，
为决策提供更准确的依据。
不确定性的来源与传播
02
深入研究不确定性的来源和传播机制，揭示潜在影响因素和风
你知道创造了概率统计的人是谁吗？
你知道创造了概率统计的人是谁吗？概率统计在现代科学中扮演着至关重要的角色，可谓是数据和信息处理中的核心技术。
然而，你是否知道这一学科的创造者是谁呢？历史上，这一学科的诞生与发展过程中有很多别致而又富有意义的故事。
1. 诞生之始——帕斯卡在17世纪的法国，生活着一个富有天赋的年轻数学家——布莱士·帕斯卡。
他对概率统计有极强的兴趣，并且通过研究“渔翁问题”和“赌局问题”等传统数学问题，深入探究了概率统计的理论基础和应用极限。
这些研究成果迅速在学术领域引起了广泛关注，帕斯卡也随之成为了概率统计领域的先驱人物。
帕斯卡的贡献在于他将概率统计问题转化为数学问题，并把简单的数学知识应用于复杂的统计分析中。
他的这种方法为概率统计的发展打下了坚实的基础。
2. 缔造美名——贝叶斯在18世纪初，一个来自英国的牧师——托马斯·贝叶斯，突破性地提出了“贝叶斯定理”，这一公式被认为是概率统计领域中的关键公式之一。
贝叶斯定理的出现使得概率统计研究能够有更丰富的应用领域，比如对社会经济、医学科学等关键领域的决策提供更加科学化的支持。
贝叶斯定理是如此重要，以至于整个概率统计领域都被以他的名字命名为“贝叶斯学派”，并厚载于概率统计教材中，后人们将他视为概率统计历史上的“缔造者”。
3. 量化细节——高斯19世纪初，另一位德国数学家——卡尔·弗里德里希·高斯，发明了正态分布理论，被引用得最多的概率统计法则之一。
卡尔·弗里德里希·高斯将概率统计的过程转化为使用数学语言汇编的分析过程。
他通过量化细节和开创性的方法，为概率统计的研究和应用提供了极大的帮助。
卡尔·弗里德里希·高斯不仅是众所周知的天才数学家，还是概率统计领域中最杰出的人物之一。
4. 发展现状——海森堡在20世纪中期，量子力学和信息理论的出现，对概率统计领域的应用产生了深远的影响。
当时德国的物理学家——维尔纳·海森堡，通过模糊数学和图像处理技术，开始了最充分的概率统计思考。
数理统计学重要历史人物简介
数理统计学重要历史人物简介
数理统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，其发展历程涉及许多重要的历史人物。
以下是一些重要历史人物的简介：
1. 卡尔·皮尔逊（Karl Pearson），他被认为是数理统计学的奠基人之一。
皮尔逊是英国的一位著名数学家，他在19世纪末和20世纪初为统计学的发展做出了重要贡献。
他提出了皮尔逊相关系数和卡方检验等统计方法，对统计学的发展产生了深远影响。
2. 罗纳德·费舍尔（Ronald Fisher），费舍尔是20世纪最重要的统计学家之一，被誉为“现代统计学之父”。
他在统计学领域做出了许多开创性的工作，包括方差分析、最大似然估计等重要概念和方法。
3. 阿德里安·斯密斯（Adrian Smith），作为当代统计学领域的重要人物之一，斯密斯在统计学理论和方法的发展方面有着深远的影响。
他曾担任英国皇家统计学会主席，致力于推动统计学在各个领域的应用和发展。
4. 安德斯·贝约克（Anders Hald），贝约克是一位著名的统
计学家和历史学家，他对统计学的历史和发展做出了重要贡献。
他的著作《A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930》对统计学的历史进行了全面而深入的研究和总结。
这些人物在数理统计学的发展历史中扮演着重要的角色，他们的贡献对于现代统计学的发展产生了深远的影响。
通过他们的工作和努力，统计学逐渐成为了一门独立的学科，并在各个领域得到了广泛的应用。
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德· 摩根（Augustus De Morgan） 蒲丰（Georges Louis Leclerc Comte de Buffon） 卡尔· 皮尔逊（Karl Pearson） 高尔顿（Francis Galton） 柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov） 贝叶斯（Thomas Bayes） 雅各布· 伯努利（Jacob Bernoulli）
2013年7月5日星期五
Johann Carl Friedrich Gauss
Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb 1855 in Gö ttingen, Hanover (now Germany)
2013年7月5日星期五
• 柯尔莫哥洛夫在他1929年发表的文章‚概率论 与测度论的一般理论‛ ，首次给出了测度论基 础的概率论公理结构．5年以后该文编写成单 行本，即如今在数学界众所周知的经典著作 《概率计算的基本概念》．概率论的公理化是 他的巨大贡献，它使概率论从自然哲学领域真 正转到数学的范围，使概率论被确认为数学的 一个分支，并且日渐与其他数学分支相互渗 透．
2013年7月5日星期五
• 他在数学力学系创建了如下教研室：概率论 (1935年，任主任至1966年)，数理统计(1976 年，任主任至1980年)，数理逻辑(1980年，任 主任至逝世)，概率统计方法 (1960年，任顾问 至1966年，任主任从1966年到1976年)．他对 数学教学结构的形成起了很大作用，他创建了 许多新课程，如数学分析Ⅲ、概率论、数理逻 辑等．他教过的课程有数学分析、常微分方程、 复函数与概率论、数理逻辑、信息论等．
泊松（Simé Denis Poisson） on
2013年7月5日星期五
高斯（Johann Carl Friedrich Gauss） 帕斯卡（Blaise Pascal） 费马（Pierre de Fermat）
柯西（Augustin Louis Cauchy）
契比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev） 辛钦（Aleksandr Yakovlevich Khinchin） 林德贝格（Jarl Waldemar Lindeberg） 勒维（Paul Pierre Lé vy）
2013年7月5日星期五
• 五六岁的他负责家庭杂志《春燕》的数学部 分．在1963年发表的文章《我是如何成为数学 家的》中写道：‚在五六岁时我就领受到数学 ‘发现’的乐趣……”．从1922年开始了他长达 60多年的高强度与高创造性的时期．
2013年7月5日星期五
• 柯尔莫哥洛夫开创性成果的核心部分之一是概率 论与随机过程．这一研究起始于他大学的第四年 (1924年)，他与辛钦一起研究独立随机变量组成 的级数的收敛性，他首次使用了以后用他命名的 不等式以及相应的下限估计，开创了概率论研究 中的新方法．1928年他得到了独立随机变量列遵 从大数律的必要且充分的条件．1930年他又得到 了独立随机变量列遵从强大数律的一个非常一般 的充分条件．1929年他又得到了独立同分布随机 变量列的重对数律．
2013年7月5日星期五
Siméon Denis Poisson
Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France
2013年7月5日星期五
• 幼年主要受教于父亲，早年学医，后因一次注 射事故之后，转而学习数学.1798年，它进入 巴黎多科工艺学校.在校学习期间，他超人的智 慧受到拉格朗日、拉普拉斯等著名数学家的赞 赏.毕业后留在该校任教.1808年起任该校教 授.1812年成为巴黎科学院院士.1826年成为彼 得堡科学院院士. 泊松的研究领域非常广泛， 包括代数学、函数论、级数论、微分方程、积 分方程、位势论、变分法和概率论等.他推广了 大数定律，引入了十分重要的泊松分布定律.
2013年7月5日星期五
• 探险家、优生学家、心理学家，差异心理学之父，也是心 理测量学上生理计量法的创始人。从小就聪颖过人，出生 12 个月后，他便能认识所有的大写字母，18 个月后则能 辨别大写和小写两种字母。在他咿呀学语的时候就能背诵 拉丁文。到了两岁半左右，高尔顿已能阅读《蛛网捕蝇》 之类的儿童读物。3 岁时他学会签名，4 岁时他能写诗， 5 岁时已能背诵并理解苏格兰叙事诗《马米翁》，6 岁时， 他已精熟荷马史诗中的《伊利亚特》和《奥德赛》，7 岁 能欣赏莎士比亚名著. 1839 年，17 岁的高尔顿来到伦敦 国王学院学习医学、生理学、植物学和化学，并且成绩优 秀。但不久，他的兴趣就转移到数学和自然哲学上，于是 1840 年他考入剑桥大学三一学院.由于他在多个领域所作 出的巨大成就，使其得到世界公认并获得许多奖励与荣誉， 1909 年受爵士封号。
2013年7月5日星期五
Karl Pearson
Born: 27 March 1857 in London, England Died: 27 April 1936 in Coldharbour, Surrey, England
2013年7月5日星期五
• 英国数学家、哲学家、现代统计学的创始人之一。 1879年毕业于剑桥大学，并获优等生称号。在校 主修数外，还学习法律，1881年取得律师资格。 随后去德国海登堡大学和柏林大学留学，1882年 获硕士学位。接着又获博士学位。历任伦敦大学应 用数学系主任、优生学教授、哥尔登实验室主任， 并长期兼任《生物统计学杂志》和《优生学年刊》 的编辑，英国皇家学会会员。建立皮尔逊曲线族， 用数学方法描述自然现象，对发展数理统计理论及 其应用有重要贡献。他是生物统计学的奠基人。
2013年7月5日星期五
Andrey Nikolaevich Kolmogorov
Born: 25 April 1903 in Tambov, Tambov province, Russia Died: 20 Oct 1987 in Moscow, Russia
2013年7月5日星期五
Байду номын сангаас
• 1925年他毕业于莫斯科大学。在莫斯科大学学习 的同时又在门捷列夫化工学院数学部学习了一段 时间。 1929年研究生学习结束后，他成为莫斯 科大学数学力学研究所助理研究员． 1934年在 苏联首次建立了博士学位制度，翌年他被授予数 学物理学博士学位． 1931年柯尔莫哥洛夫任莫斯 科大学教授，开始指导研究生．1933年任莫斯科 大学数学力学研究所所长(至1939年1月，后来在 1951—1953年又任此职)．
2013年7月5日星期五
棣莫佛（Abraham de Moivre） 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace） 李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov） 格里汶科（Boris Vladimirovich Gnedenko） 戈塞特（William Sealey Gosset） 费舍尔（Sir Ronald Aylmer Fisher）
2013年7月5日星期五
Francis Galton
Born: 16 Feb 1822 in Sparkbrook (near Birmingham), England Died: 17 Jan 1911 in Grayshott House, Haslemere, Surrey, England
2013年7月5日星期五
Blaise Pascal
Born: 19 June 1623 in Clermont (now Clermont-Ferrand), Auvergne, France Died: 19 Aug 1662 in Paris, France
2013年7月5日星期五
Jacob (Jacques) Bernoulli
Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland
2013年7月5日星期五
• 伯努利，又译为‚贝努里‛，是瑞士的一个产生 过11个数学家的家族。他青年时根据父亲的意愿 学习神学，曾获巴塞尔大学文学硕士和神学硕士 学位.同时怀着强烈的兴趣研习数学和天文 学.1687年起任巴塞尔大学教授.首先发展了无穷 小分析他和莱布尼茨共同获得微积分学中的不少 成果，积分‚integral”这一术语即由他首创.对 无穷级数理论和常微分方程的积分法也有贡献， 高等数学中的伯努利方程就是以他的名字命名的。 伯努利大数定律是真正意义上的第一篇概率论的 论文。
2013年7月5日星期五
Georges Louis Leclerc Comte de Buffon
Born: 7 Sept 1707 in Montbard, Cô d'Or, France te Died: 16 April 1788 in Paris, France
2013年7月5日星期五
• 从小就酷爱数学和物理学。后来成为一名植物 学家。1733年成为巴黎科学院院士。1739年 任巴黎皇家植物园园长。1771年接受法王路易 14的爵封。1788年4月6日逝世。浦丰对数学 最大的贡献，是于1777年提出了著名的浦丰针 问题，这是他从事几何概率研究的成果。浦丰 解这一问题的方法不仅能几何地推算出圆周率 的近似值，而且对概率统计的发展起了很大作 用。
奈曼（Jerzy Neyman）
埃根· 皮尔逊（Egon Sharpe Pearson）
2013年7月5日星期五
Augustus De Morgan
Born: 27 June 1806 in Madura, Madras Presidency, India (now Madurai, Tamil Nadu, India) Died: 18 March 1871 in London, England