概率统计3.4
概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)
即X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是 连续函数，故对所有的x,y，有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
特别，令 x 1, y 2，可以得到
1
1
2 1 2 1 2 2 1 2
从而 0.
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
解：将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
(2) P{ X1 X2 1} D f ( x1, x2 )dx1d x2
x2
1
x1 x2 1 D
O
1
1 0
1 x2 0
1 9
e ( x1 x2 )/ 3
d
x1
d
x2
1 9
1 ex2 / 3 (
0
1 0
x2
e
x1
/
3
d
x1
)dx2
x1
9
18
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参 数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？
解：由X与Y的分布律
X
0
《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
概率与统计学公式集锦整理速查
概率与统计学公式集锦整理速查以下是概率与统计学领域中常见的公式集锦，方便您在需要时进行查阅和使用。
1. 概率公式1.1 事件的概率：P(A) = n(A) / n(S)1.2 互斥事件的概率：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)1.3 两独立事件的概率：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)1.4 随机事件的和：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)1.5 随机事件的差：P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)1.6 互补事件的概率：P(A') = 1 - P(A)2. 统计学公式2.1 定义方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]2.2 方差的性质：Var(aX) = a^2 × Var(X)2.3 协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]2.4 相关系数：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (√(Var(X)) × √(Var(Y)))2.5 二项分布期望：E(X) = n × p2.6 二项分布方差：Var(X) = n × p × (1 - p)2.7 正态分布的标准差：Var(X) = σ^23. 概率函数与密度函数3.1 二项分布概率函数：P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k)3.2 二项分布累积概率函数：P(X ≤ k) = Σ(i=0 to k) C(n, i) × p^i × (1 - p)^(n - i)3.3 正态分布概率密度函数：f(x) = (1 / (σ × √(2π))) × exp(-(x - μ)^2 / (2σ^2))3.4 正态分布累积概率函数：P(X ≤x) = Φ((x - μ) / σ)4. 估计与假设检验4.1 样本均值的抽样分布：X ～N(μ, σ^2/n)，其中 X 为样本均值，μ 为总体均值，σ 为总体标准差，n 为样本容量。
概率论与数理统计 南京大学 3 第三章随机变量的数字特征 (3.4.1) 柯西 施瓦兹不等式
协方差的定义
定义： E[(X-EX)(Y-EY)]称为随机变量X与Y的 协方差，记为Cov(X, Y )。即 Cov(X, Y )= E[(X-EX)(Y-EY)]
协方差的一般计算公式： Cov(X, Y )=E(XY)- E(X)E(Y)
证明：Cov(X, Y )= E[(X-EX)(Y-EY)] =E[XY-XEY-YEX+EXEY] =E(XY)-E(XEY)-E(YEX)+EXEY =E(XY)- E(X)E(Y)
由一元二次方程的求解知： [2Cov(X,Y)]2 -4DXDY≤0
即 Cov2(X,Y) ≤DXDY
柯西-施瓦兹不等式
2018/12/15
柯西-施瓦兹不等式有多种形式：
n
n
n
1.数列形式： ( aibi )2 ai2 bi2
i1
i1
i1
ห้องสมุดไป่ตู้
b
b
b
2.积分形式： ( f (x)g(x)dx)2 f 2(x)dx g2(x)dx
a
a
a
3.概率形式……
=E(X-EX)2+E(Y-EY)2+2E[(X-EX)(Y-EY)]
=DX+DY+2Cov(X,Y)
=DX+DY
定理：（柯西 施瓦兹不等式）若随机变量X、Y的 二阶原点矩存在，则
Cov2( X ,Y ) DX DY
证明：对任意t E[t(X-EX)-(Y-EY)]2 =t2DX-2tCov(X,Y)+DY≥0
（4）若X、Y相互独立，则 Cov(X, Y )= 0；且
D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
《概率论与数理统计》课件3-4条件分布
Y
1.7<Y<1.8( ),
X
1.7 1.8 .
.
.
.
1
( X,Y )
j
P{Y = yj } > 0
PX P{X= xi |Y= yj }=
xi ,Y
yj
…
P Y yj
Y = yj
X
= pij p• j
i=1,2,
.
r.v,
r.v
.
i P{X = xi } 0
P{Y yj | X xi } )
X = xi
Y
(j = 1,2,
. .
P X xi Y yj 0 i=1,2, …
P X xi Y yj 1
i1
1 设 (X, Y) 的联合分布律如下，
求X=0、X=1的条件下, Y的条件概率分布.
P Y = 0 | X = 0} = P Y = 1| X = 0} =
1 ==
5 3 == 5
A)
B)
C)
D)
A
B
C
D
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单选题 1分
二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
(8xy2 0 < x < < 1 f (x, y) =
〈 的边缘概率密度为 ( )．
(8 | (x
−
x7 )
fX (x) =〈
3
|0
(8 |
(x
−
x6 )
fX (x) =〈
3
|0
0<x<1 else
0<x<1 else
(| B) fX (x) =〈
(1− x6
)| 0
(|
2023年数学一考试大纲
2023年数学一考试大纲摘要：1.引言2.2023年数学一考试大纲概述3.考试内容详解3.1 数学基础部分3.2 代数部分3.3 几何部分3.4 概率与统计部分4.考试题型及分值分布5.考试时间与地点6.备考建议7.结语正文：【引言】随着2023年的到来，全国各地的学子们纷纷投入到紧张的备考之中。
数学一作为众多考生关注的科目，其考试大纲的掌握至关重要。
本文将为您详细解析2023年数学一考试大纲，帮助您更好地备战考试。
【2023年数学一考试大纲概述】2023年数学一考试大纲延续了历年考试大纲的特点，注重对考生数学基础、代数、几何、概率与统计等方面的考察。
整体而言，考试大纲要求考生具备扎实的数学基本功和一定的解决问题的能力。
【考试内容详解】3.1 数学基础部分数学基础部分主要包括数列、极限、连续性、导数、积分等内容。
考生需要熟练掌握各类数学公式，具备较强的运算能力。
3.2 代数部分代数部分主要考察考生的抽象代数知识，包括群、环、域等概念。
同时，考生还需掌握矩阵、向量、线性方程组等相关知识。
3.3 几何部分几何部分主要考察考生的空间几何和解析几何知识，涉及平面几何、空间直线与平面、曲线与曲面等内容。
3.4 概率与统计部分概率与统计部分要求考生掌握基本的概率分布、大数定律、中心极限定理等知识，并能运用统计方法解决实际问题。
【考试题型及分值分布】2023年数学一考试题型主要包括选择题、填空题、解答题等。
其中，选择题和填空题主要考察考生的基本概念和运算能力，占总分的30%；解答题则侧重于考察考生的综合分析和解决问题的能力，占总分的70%。
【考试时间与地点】2023年数学一考试时间预计为每年的6月份，具体时间以当地教育部门公告为准。
考试地点为各省市指定的考点，考生需提前了解并做好准备。
【备考建议】1.深入研究考试大纲，明确复习重点和难点。
2.做好基础知识的学习和巩固，特别是数学公式和定理。
3.勤做习题，提高解题速度和准确率。
贝叶斯统计3.4,3.5教材
27
例3.22
关于成功概率的无信息先验分布至今已有4种 π1(θ)=1 π2(θ)=θ-1(1-θ)-1 π3(θ)=θ-1/2(1-θ)-1/2 ——正常 ——不正常 ——正则化后可成为正常
π4(θ)=θθ(1-θ)(1-θ) ——正则化后可成为正常
注意：1.一般说来，无信息先验不是唯一的.
但它们对贝叶斯统计推断的影响都很小，很少对结 果产生较大的影响
2.任何无信息先验都可以采用。
28
总结
1. 掌握贝叶斯假设
2.掌握位置参数和尺度参数的无信息先验分布
3.会用Fisher信息阵确定无信息先验
29
§3.5 多层先验
一、多层先验 二、多层模型
30
一、多层先验
1.定义
当所给先验分布中超参数难于确定时，可以对超参数 再给出一个先验，第二个先验称为超先验。由先验和 超先验决定的一个新先验称为多层先验。
试求分布参数 与的无信息先验.
取为位置参数, 为尺度参数, 令 1, ln( ), w ln( x), 则有
p( w; , )
1
w
d * 由随机变量函数知, ( ) ( ) 1 , 2 ( ) 1 , d
浙江财经学院本科教学课程经济数学三概率统计精品文档贝叶斯统计34352第三章先验分布的确定31主观概率32利用先验信息确定先验分布33利用边缘分布mx确定先验密度34无信息先验分布35多层先验334无信息先验分布一贝叶斯假设二位置尺度参数族的无信息先验三用fisher信息阵确定无信息先验4所谓参数??的无信息先验分布是指除参数??的取值范围和??在总体分布中的地位之外再也不包含??的任何信息的先验分布
例3.23 设对某产品的不合格品率了解甚少，只知道 它比较小。现需要确定θ的先验分布。决策人经过 反复思考，最后把他引导到多层先验上去，他的思 路是这样的： (1)开始他用(0,1)上的均匀分布U(0,1)作为θ的先 验分布。
概率统计习题 3.4 演示文稿1
解其中记gZ(为x,此y商) 店{经110000销00xy该50种0( y商x)品每{15周00000(所xy, 得y),y的xy利x 润,由题设知Z=g(X,Y),
由题设条件知(X,Y)的联合概率密度为
1 , 10x20,10 y20,
px, y
(x,
y)
{100 0,
其它,
np1(t)[1
F1 (t)]n1
n(1
t
)n1
1
所以
E(Y )
n n
0
t n dt
n n 1
E(Z )
n n
0
t(
t)n1 dt
n 1
14.设随机变量U服从(-2,2)上的均匀分布,定义X和Y如下:
X {1 若U 1, 1 若U-1,
这是贝塔分布Be(10,1),由此得
E(Y )
10 ;Var(Y ) 11
10 11212
5 726
10．系统有n个部件组成，记 Xi为第i个部件能持续工作的时间，如果 X1, X 2 ,L , X n 独立同分布，且 Xi : Exp()，试在以下情况下求系统持续工作的平均时间：
（1）如果有一个部件在工作，系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作。
解 因为X,Y独立,都服从N(0,1),所以 X Y : N (0, 2). ,又因为
max(X ,Y ) X Y | X Y | 2
由于 X Y : N(0, 2).,所以
E[max( X ,Y )] E( X ) E(Y ) E | X Y | E | X Y |
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炮弹或炮身结构所引起的误差等等.
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差 服从正态分布之后，人们发 现，正态分布在自然界中极 为常见.
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
*
2 即近似地有： X k ~ N 0,1 , X ~ N , n . k 1
n
中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因 素的影响.
如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，
注：考虑标准化，是为了排除（和无穷，量纲等的)干扰
lim P(Yn x ) Φ( x ) .
n
此定理说明,当n充分大时,有
X
i 1
n
i
n
近似地
n
或
~
N (0, 1) ,
X / n
近似地
~
N (0, 1) ,
Xi
i 1
n
近似地
~
N (n , n 2 ) ，
例8 将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍 五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计，
(1) 当n=1500时，舍入误差之和的绝对值大于15的概率；
(2) n满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍入误差 之和的绝对值小于10．
解 设 X i (i 1,2,, n) 是第 i 个数据的舍入误差； 由条件可以认为 X i ( i 1,2, , n ) 独立且都在区间 [ 0.5，0.5] 上服从均匀分布 , 从而 EX 0，DX 1 / 12 ．
记 Sn X1 X2 X n 为 n 个数据的舍入误差之和，
根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时
i i
SX近 似 n地 近( 似 N 0地 , 1) ,
n
i 1 12 /n i
n
~ ~ n
N (0, 1) ,
Sn 近 似 地 N (0, 1) , 12 / n
给出
X
对 {Xn } 独 立同 分布 的情 形， 中心极限定理则
i
的渐近分布的更精确表述。
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态 分布这一类定理都叫做中心极限定理. 下面介绍几个常用的中心极限定理。
林德贝格（ Lindeberg）定理
推论1 列维（Levy）定理（证略）
设 Xn 独 立 ,同 分 布 ,且 有 有 限 期 望 与 方 差 ,则
由题意 , X i ( i 1, , n ) 相互独立,且
E( X i ) 50 , D( X i ) 52.
总重量 Yn
X
i 1
n
i
，
由列维-林德伯格中心极限定理,有
Yn
近似地
~
N (50n, 25n) ，
Yn 近 似 地 N (50n, 25n) ，
5000 50n P{Yn 5000 } Φ 0.977 Φ( 2) ， 5 n
lim P(
n
n np
np(1 p)
x)
x
1 e 2
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大量 的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总和 中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量的 分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未 知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函数 很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量很 多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态分 布在概率论和数理统计中占有极其重要的地15 }
15 | S1500 | P 1500/ 12 1500/ 12
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
Sn 近 似 地 N (0, 1) , 12 / n
~
(2)
数据个数n应满足条件：
10 | Sn | P{ | Sn | 10 } P 0.90 , n / 12 n / 12 10 10 ) 0.95 , 即 2Φ( ) 1 0.90 , Φ( n / 12 n / 12 10 1.645, n 443.5 , n / 12
1000 10n 2， 所以n必须满足 n
~
n 98.0199，
即最多可以装98箱.
下面给出上述定理的一个重要特例。
棣莫弗-拉普拉斯（De `Moivre-Lapce）定理
设 n 是 n 次 伯 努 利 试 验 中 成 功 的 次 数 ,在 每 次 试 验 中 成 功 的 概 率 为 p( 0 p 1) , 则 对x R , 一 致 地 有
X n服 从 中 心 极 限 定 理 ， 即 ：
n *
Yn X k , Fn x P Yn x lim Fn ( x ) Φ( x ) . n k 1
n n Xk E Xk k 1 即：当n充分大时，P k 1 n D Xk k 1 x x
名词解释—中心极限定理
Yn X k , X n ~ 中心极限定理 k 1
n *
limYn X 其中，X ~ N 0,1
W n
即 X n ~ 中心极限定理 lim FYn x x ， n
即当 n 443 时，才能使误差之和的绝对值小于10的 概率不小于0.90．
例9 生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,
假设每箱的平均重50千克,标准差5千克. 若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多 少箱,才能保证不超载的概率大于0.977.
解 设 X i 为第 i 箱的重量( i 1, , n ),