马柯维茨均值-方差模型

中通常以资产的历史收益率的协方差度量资产风险与相关性，这种计算方法存在预期误差，
即未来实际协方差矩阵与历史协方差矩阵间的存在偏差。
例 1．以华北制药、中国石化、上海机场三只股票，如何构使用马柯维茨模型构建投资 组合模型资产数据如下表：
表 三只股票的日回报率、风险数据及协方差矩阵
收益率均值(%)
收益率标准差(%)
Rp
E(rp )
和
2 p
分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
函数语法：
[PortRisk, PortReturn] = portstats(ExpReturn, ExpCovariance, PortWts)
输入参数：
ExpReturn：资产预期收益率
ExpCovariance：资产的协方差矩阵
PortWts：资产权重 输出参数： PortRisk：资产组合风险（标准差） PortReturn：资产组合预期收益（期望）
例：在例 1 中，假设等权重配置华北制药、中国石化、上海机场，则资产组合的风险与
收益为多少 M 文件：
ExpReturn = [ ];
ExpCovariance = *
[
;
;
];
PortWts=1/3*ones(1,3);
[PortRisk, PortReturn] = portstats(ExpReturn, ExpCovariance,PortWts)
>>PortRisk =
PortReturn =
注释： ones(n,m)为生产元素都为 1 的 n×m 矩阵, ones(1,3)=[1,1,1].
>> PortRisk =
*
PortReturn = *
PortWts =
0 0 0
图 1 投资组合有效前沿图
直接运行 frontcon(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts)则可画出图 1；
如果各个资产投资上限为 50%，求解有效前沿
程序源码：
ExpReturn = [ ];
[PortRisk, PortReturn, PortWts] = portopt(ExpReturn, ExpCovariance,...
NumPorts, [], ConSet)
>> PortRisk = *
PortReturn = *
PortWts =
0
图 约束条件下投资组合有效前沿
运行 portopt(ExpReturn, ExpCovariance,NumPorts, [], ConSet)得到图。 点睛：同一组资产进行配置，无约束的有效前沿为图，带约束的有效前沿为图，约束使 得有效前沿不再平滑。
M 编程求解：
NumAssets = 3;
ExpReturn = [ ];
ExpCovariance = [
;
;
];
NumPorts =5;
PVal = 1;
AssetMin = 0;
AssetMax = [ ];
GroupA = [1 0 0];
GroupB = [0 1 1];
GroupMax = [,];
注释：portcons 函数 ConSet = portcons(varargin)
portcons 该函数比较复杂，本书使用举例的方式进行说明。 例如:例配置华北制药、中国石化、上海机场三个资产，华北制药最大配置 50%，中国 石化最大配置 90%，上海机场最大配置 80%，华北制药为资产集合 A，中国石化、上海机场 组成资产计划 B，集合 A 的最大配置为 50%，集合 B 的最大配置为 80%，集合 A 的配置不能 超过集合 B 的倍，则如何配置。 M 文件为 约束条件设置如下： AssetNum=3；资产数量三个 PVal = 1; 配置比例，100%表示满仓配置，若 80%，则设 PVal = ; AssetMin = 0; 各资产最低配置
ConSet = portcons('PortValue', PVal, NumAssets,'AssetLims',...
ห้องสมุดไป่ตู้
AssetMin, AssetMax, NumAssets, 'GroupComparison',GroupA, NaN,...
AtoBmax, GroupB,GroupMax );
AtoBmax = ;
ConSet = portcons('PortValue', PVal, NumAssets,'AssetLims',...
AssetMin, AssetMax, NumAssets, 'GroupComparison',GroupA, NaN,...
AtoBmax, GroupB,GroupMax );
协方差矩阵（×）
华北制药
中国石化
上海机场
2 收益与风险计算函数
portstats 函数计算公式：
E(rp ) X T R
2 p
X TX
其 中 ， R (R1, R2 ,..., Rn )T ； Ri E(ri ) 是 第 i 种 资 产 的 预 期 回 报 率 ；
X (x1, x2 ,..., xn )T 是投资组合的权重向量； (ij )nn 是 n 种资产间的协方差矩阵；
frontcon 函数算法：
min p
X TX
min p max E(rp
XT )
X XT
R
n
s.t. xi 1
i 1
s.t.
X
T
R
=ei
n
xi 1
i1
给定 ei 计算相应风险最小的组合，即得到有效前沿上一点（有效组合），给定一系列 ei
可以有效描绘出有效前沿。组合的收益介于单个资产的最大收益与最小收益之间，例如示例
Groups：（可选）资产分组，Groups（i,j）=1 表示第 j 个资产属于第 i 个群（例如，
行业）；
GroupBounds：每个资产群约束(例如，某个行业配置能超过 20%)
输出函数：
PortRisk：资产组合风险（标准差）
PortReturn：资产组合预期收益（期望）
PortWts：资产组合中各资产权重
Rp
E(rp )
和
2 p
分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
点睛：马柯维茨模型以预期收益率期望度量收益；以收益率方差度量风险。在教课书中
通常以资产的历史收益率的均值作为未来期望收益率，可能会造成“追涨的效果”，在实际 中这些收益率可能是由研究员给出；在计算组合风险值时协方差对结果影响较大，在教课书
PortWts=1/3*[1,1,1]=[1/3, 1/3, 1/3]
3 有效前沿计算函数
马柯维茨均值-方差模型为经典的带约束的二次优化问题，在给定期望收益时，方差最 小解唯一(可行解域为凸)，frontcon 使用，matlab 优化工具箱的 fmincon 函数进行求解， fmincon 函数说明请参看附录。
AssetMax = [ ]; 各资产最高配置
GroupA = [1 0 0]; 资产集合 A（例如，行业）
GroupB = [0 1 1]; 资产集合 B（例如，行业）
GroupMax = [,]; 资产集合 A 最大配置 50%，B 最大 80%
AtoBmax = ; 集合 A 的配置不能超过集合 B 的倍
马柯维茨的后继者致力于简化投资组合模型。在一系列的假设条件下，威廉·夏普 (William F. Sharp)等学者推导出了资本资产定价模型，并以此简化了马柯维茨的资产组合 模型。由于夏普简化模型的计算量相对于马柯维茨资产组合模型大大减少，并且有效程度并 没有降低，所以得到了广泛应用。
1 模型理论
经典马柯维茨均值-方差模型为：
马柯维茨均值-方差模型
在丰富的金融投资理论中，组合投资理论占有非常重要的地位，金融产品本质上各种金 融工具的组合。现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权 衡关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到 在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。
函数语法： [PortRisk, PortReturn, PortWts] = portopt(ExpReturn, ExpCovariance, NumPorts, PortReturn, ConSet, varargin) 输入参数： ExpReturn：资产预期收益率 ExpCovariance：资产的协方差矩阵 NumPorts：（可选）有效前沿上输出点的个数，默认为 10 PortReturn：（可选）给定有效前沿上输出点回报 ConSet：组合约束，一般通过 portcons 进行设置 Varargin: 主要为优化算法中的一些参数 输出函数： PortRisk：资产组合风险（标准差） PortReturn：资产组合预期收益（期望） PortWts：资产组合中各资产权重
输入参数：
ExpReturn：资产预期收益率；
ExpCovariance：资产的协方差矩阵；
NumPorts：（可选）有效前沿上输出点的个数，默认为 10；
PortReturn：（可选）给定有效前沿上输出回报点个数；
AssetBounds：（可选）每种资产权重的上下限，例如，上海机场的最大持仓比例为 10%；
日波动率
上证综合指数
%
%
%
%
上证 50 指数
%
%
%
%
min
2 p
X
T X
max E(rp ) X T R