2009年江西高考数学理科卷带详解
2009年高考理科 数学卷（江西）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数()
()211i z x x =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 【测量目标】复数的基本概念.
【考查方式】由纯虚数概念直接进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A
【试题解析】由纯虚数概念得：210110
x x x ?-=?=-?-≠?，故选A.
2.函数
ln 1x y +=
的定义域为 （ ）
A.(4,1)--
B.(4,1)-
C.(1,1)-
D.(]1,1- 【测量目标】函数的定义域.
【考查方式】由对数函数、根式性质分别求解，直接得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】由210340x x x +>??--+>?1
41
x x >-???
-<
3.已知全集U =A
B 中有m 个元素，(
)()U
U A B 中有n 个元素．若A B 非空，则A B
的元素个数为 ( ) A.mn B.m +n C.n m - D.m n - 【测量目标】集合的含义，集合的基本运算. 【考查方式】利用交并补之间的基本关系，进行计算. 【难易程度】容易 【参考答案】D
【试题解析】
()
(
)U
U U
A B A B ??=
??，A B m n ∴=-，故选D
4.若函数()
π
()1cos ,(0
)2
f x x x x
=+，则()f x 的最大值为 （ ）
1+2 【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的值域. 【考查方式】对函数进行化简，进一步得到答案. 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】
()
()1cos cos f x x x x x =+=+
π2cos 3x ?
?=- ??
?π
(0
)2
x
.（步骤1） 当π3x =
时，ππ()2cos 2cos 0233f x ??
=-== ???
. 故选B.（步骤2） 5.设函数2
()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点()1,(1)g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的斜率为 （ ） A.4 B.0.25- C.2 D.0.5- 【测量目标】导数的几何意义.
【考查方式】利用导数求解切线方程，进而求解切点处的斜率. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】
()()2f x g x x ''=+，
（步骤1） (1)2,(1)(1)214g f g ''∴==+?=，故选A.（步骤2）
6.过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，
若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 ( )
C.12
D.13
【测量目标】椭圆的简单几何性质.
【考查方式】求出交点坐标，由角度关系确定离心率. 【难易程度】中等
【参考答案】B
【试题解析】由题意知，
2
,
b P c
a ??
-±
??
?
，又
12
60
F PF
∠=，(步骤1)
2
1222
1
22
tan
PF c ac
F PF
b
PF b
a
∴∠===
222
22
3
1
ac e
a c e
===
--
,（步骤2）
2
1
3
e
∴=或23
e=（舍去），
3
3
e
?=.（步骤3）
第6题图
7.()
1n
ax by
++展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为（）A.a=2,b=1
-,n=5 B.a=2
-,b=1
-,n=6
C.a=1
-,b=2,n=6 D.a=1,b=2,n=5
【测量目标】二项式定理.
【考查方式】利用展开式中的常数项求参数的值.
【难易程度】容易
【参考答案】D
【试题解析】()()
55
12433,1322
n n
b a
+==+==，（步骤1）
1,2,5
a b n
?===.（步骤2）
8．数列{}n a的通项222
ππ
cos sin
33
n
n n
a n
??
=-
?
??
，其前n项和为
n
S，则
30
S为（）A.470 B．490 C．495 D．510
【测量目标】数列的前n 项和.
【考查方式】由通项公式化简求得结果. 【难易程度】中等 【参考答案】A
【试题解析222ππcos sin 33n n n a n ??
=- ?
??222π2π1cos 1cos 2π33cos 223n n n n n ??+- ?=-= ? ?
??
， 2π
32π3
T ∴==,故数列{}n a 的最小正周期为3，
（步骤1） 则2222223012453622S ????++=-++-++ ? ?????…2222829302??+++ ???
()()()2210
102
11323153922k k k k k k ==??-+-??=-+=-?????
?????∑∑91011254702??=-=.（步骤2）
9.如图，正四面体ABCD 的顶点,,A B C 分别在两两垂直的三条射线,,Ox Oy Oz 上，则在下列命题中，错误的为 （ ）
第9题图
A.O ABC -是正三棱锥
B.直线OB ∥平面ACD
C.直线AD 与OB 所成的角是45
D.二面角D OB A --为45 【测量目标】二面角，线面平行的判定. 【考查方式】由题设已知条件，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B
【试题解析】将原图补为正方体B 选项错误，故选B.
10.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡
片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 （ ） A.
3181 B.3381 C.4881 D.50
81
【测量目标】排列、组合的应用.
【考查方式】根据题意，先计算没有获奖的概率，再计算获奖即可. 【难易程度】中等 【参考答案】D
【试题解析】没有获奖的概率：5532331
381P ?-=
=,(步骤1) ∴能获奖的概率为：150
181
P P =-=
,故选D.（步骤2） 11.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,t t t t ，则下列关系中正确的为 （ ）
A B
C D
A.1432t t t t >>>
B.3124t t t t >>>
C.4231t t t t >>>
D.3421t t t t >>> 【测量目标】几何概型的新定义.
【考查方式】计算出各个选项的面积即可得出答案. 【难易程度】中等
【参考答案】C
【试题解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，
12322,π,3t t t ∴===，
第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，
423t ∴=，则4231t t t t >>>，选C.
12.设函数()2()0f x ax bx c a =
++<的定义域为D ，若所有点()(),(),s f t s t D ∈构成
一个正方形区域，则a 的值为 ( ) A.2- B.4- C.8- D.不能确定 【测量目标】函数定义域求参数范围.
【考查方式】由韦达定理、正方形性质直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B
【试题解析】由题意知，函数)2()0f x ax bx c a =
++<的两根分别为：
214b b ac x -+-=和224b b ac x ---=，
因为区域为正方形，12max ()x x f x ∴-=，
22
2
444b ac ac b a a
--=24a a a ?=-=-或0a =（舍去），故4a =-. 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡上. 13．已知向量()()()3,1,1,3,,7k ===a b c ，若()-a c b ，则k =
【测量目标】向量的坐标运算.
【考查方式】向量平行，对应坐标成比例即可得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】5 【试题解析】
()3,6k -=--a c ，36
13
k --?
=， 315,5k k ?=?=.
14．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱
柱的体积为 ． 【测量目标】三棱锥的体积.
【考查方式】利用它球面距离进行求解即可. 【难易程度】中等 【参考答案】8 【试题解析】,A B 两点的球面距离为π，故90,AOB ∠=
又
OAB △是等腰直角三角形，AB ∴==
则ABC △的外接圆半径为
3
，（步骤1）
O 到平面ABC 的距离:d ===
∴正三棱柱高3
h =
，又ABC △的面积S =，（步骤2） ∴正三棱柱111ABC A B C -的体积8V Sh ==.（步骤3）
15()2k x +的解集为区间[],a b ,且2b a -=,则k = ．
【测量目标】解含参的一元二次不等式. 【考查方式】画出图象，数形结合，求解. 【难易程度】中等
【试题解析】由题意知，曲线y =x 轴上半周的半圆，（步骤1）
()2k x +(如图)，
此时有：3b =.又2b a -=，1a ?=.（步骤2）
在1a =处，半圆与直线相交，y ∴=(，（步骤3）
将点(代入直线中：k =
（步骤4）
第15题图 16．设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=()0
2πθ
,对于下列四个命题：
A ．M 中所有直线均经过一个定点;
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上;
C ．对于
任意整数()3n n
，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上;D ．M 中的直线所能围
成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是 【测量目标】直线方程，点到直线的距离公式.
【考查方式】利用点到直线的距离公式、n 边形内切性质直接进行计算. 【难易程度】中等 【参考答案】,,A B C 【试题解析】
()cos 2sin 1x y θθ+-=，∴点()0,2P 到M 中每条直线的距离:
221cos sin d θθ
=
=+，即M 为圆22:(2)1C x y +-=的全体切线组成的集合,
从而M 中所有直线上与经过一个定点（0,2）, A 正确；（步骤1） 又因(2,0)点不存在任何直线上,B 正确 ；（步骤2）
对任意n ≥3,存在n 正边形使其内切圆为圆C ,故C 正确；（步骤3）
M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF ,故D 错.（步骤4）
三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17．（1）设函数e ()x f x x
=，求函数()f x 的单调区间；
（2）若0k >，求不等式()()1()0f x k x f x '+->的解集． 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，解决不等式问题.
【考查方式】求函数导数，判断单调区间，分类讨论，来求解参数解集. 【难易程度】中等
【试题解析】（1）22111()e e e x x x
x f x x x x
-'=-
+=，由()0f x '=1x ?=.(步骤1) 当0x <时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '<；(步骤2) 当1x >时，()0f x '>.（步骤3）
()f x ∴的单调增区间是[)1,+∞； 单调减间是()(],00,1-∞.（步骤4）
（2）由()221()1()e x x kx kx f x k x f x x -+-'+-=
=()()2
11e 0x
x kx x --+>， ()()110x kx ?--<.（步骤5）
当01k <<时，解集为：11x x k ??
<<
????
；（步骤6） 当1k =时，解集为：?；（步骤7） 当1k >时，解集为：11x x k ??
<
.（步骤8）
18．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是50%若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额． (1) 写出ξ的分布列； (2) 求数学期望()E ξ．
【测量目标】离散型随机变量的分布列及数学期望. 【考查方式】分布列及数学期望的求解. 【难易程度】中等 【试题解析】
（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.
1(0)64P ξ==
, 3(5)32P ξ==, 15(10)64P ξ==, 5(15)16P ξ==, 15(20)64P ξ==, 3(25)32P ξ==, 1(30)64
P ξ==.(步骤1)
ξ
0 5 10 15 20 25 30
P
164 332 1564 516 1564 332 164
（步骤2） （2）31551531
()5101520253015326416643264
E ξ=?
+?+?+?+?+?=. ∴数学期望()15E ξ=.（步骤3）
19
．
△
ABC 中，A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，
sin sin tan cos cos A B C A B +=
+,1
sin()cos 2
B A
C -==.
（1）求,A C ；
（2）若33ABC S =+△,求,a c . 【测量目标】两角差的正弦，正弦定理.
【考查方式】由题设等式，进行化简，进而求解答案. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)
sin sin tan cos cos A B C A B +=
+，sin sin sin cos cos cos C A B
C A B
+?=
+, sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B ∴+=+
sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B ∴-=-，(步骤1)
sin()sin()C A B C ?-=-,
C A B C -=-或πC A -=－()B C -(不成立)，
即2C =A +B ,π3C ?=,2π3
A B ?+=①.（步骤2） 又1sin()cos 2B A C -==，则π6B A -=②或5π
6B A -=（舍去）
∴①②联立得：π5π
412
A B ==，.（步骤3）
(2)162sin 3328
ABC S ac B ac =
==+△（步骤4） 由正弦定理得：
sin sin a c
A C =,23
?=，解得，22,3a c ==（步骤5）
20． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =4，AB =2. 以
AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.
第20题图
【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用. 【考查方式】由球的性质、等面积法，空间向量运算求解. 【难易程度】较难
【试题解析】方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC . 又PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，（步骤1）
又
CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AM ，∴AM ⊥平面PCD ，
∴平面ABM ⊥平面PCD .(步骤2)
（2）由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =，则M 是PD 的中点可得，
221
22,232
AM PD MC MD CD =
==+=,（步骤3） 则1
262
ACM S AM MC ==△设D 到平面ACM 的距离为h ，
D ACM M DCA V V --=,又118
323M DCA DCA V S PA -=?=△,
18
2633
h ??=,263h ?=.（步骤4） 设所求角为θ，则6sin 3h CD θ=
=6arcsin 3
θ∴=.（步骤5） （3）可求得PC =6.因为AN ⊥NC ，由
PN PA PA PC =
，得8
3
PN =,（步骤6）
59NC PC ∴
=,故N 点到平面ACM 的距离等于P 点到平面ACM 距离的5
9
.（步骤7） 又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等， 由（2）可知所求距离为
5106
9h =.(步骤8) 方法二：（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0)A B C ，(0,0,4)P ，(0,4,0),(0,2,2)D M ，
（步骤3） 设平面ACM 的一个法向量(),,x y z =n ，由,AC AM ⊥⊥n n 可得：240
220x y y z +=??+=?
，令
1z =，则()2,1,1=-n .（步骤4）
设所求角为α，则46
sin 26
CD CD α-==
=?n n
，6arcsin 3α?=.
∴所求角的大小为6
arcsin
3
.（步骤5）
第21题图
（3）由条件可得，AN NC ⊥.在Rt PAC △中，2
PA PN PC =,（步骤6）
所以83PN =
,则10539
NC NC PC PN PC =-==，，（步骤7） 所以所求距离等于点P 到平面ACM 距离的5
9
，
设点P 到平面ACM 距离为h ，则26
AP h =
=n n ，（步骤8）
∴所求距离为5106
927
h =.（步骤9）
21已知如图，点()100,P x y 为双曲线22
2
21(8x y b b b
-=为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为A ,连接2F A 并延长交y 轴于2
P . (1)求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程;
(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点,在E 上任取一点()()111,0Q x y y ≠,直线,QB QD 分别交
y 轴于,M N 两点.求证:以MN 为直径的圆过两定点.
第21题图
【测量目标】圆锥曲线的轨迹方程，双曲线的简单几何性质，圆锥曲线中的定点问题，间接证明.
【考查方式】由直线方程求解轨迹方程，进而利用椭圆性质求解定点. 【难易程度】较难
【试题解析】（1）由已知得()23,0F b ，08,3b A y ??
???
，则直线2F A 的方程为：()0
33y y x b b
=-
-，
（步骤1） 令0x =得，09y y =，即()200,9P y ，
（步骤2） 设(),P x y ，则00002
952x x y y y y ?
=???+?==??，即0025x x y y =???=??，代入22002218x y b b -=得，
222241825x y b b -=，?22
22
1225x y b b -=.
P ∴的轨迹E 的方程为22
22
1225x y b b -
=.（步骤3） （2）在22
22
1225x y b b
-=中，令0y =得222x b =
，则不妨设(
))
,0,,0B D ，
于是：直线QB 的方程为
:)
y x =
+，（步骤4）
直线QD 的方程为
: )
y x =
-.（步骤5）
则,0,M N ?? ??
则以MN
为直径的圆的方程为2
0x y y ????
++=
?，（步骤6） 令0y =得，22
2
122
122b y x x b =-，而()11,Q x y 在22221225x y b b -
=上， 则22
2
112225
x b y -=
.（步骤7） 5x b ∴=±，即以MN 为直径的圆过定点()()5,0,5,0b b -.
22．各项均为正数的数列{}n a ，12,,a a a b ==，且对满足m +n =p +q 的正整数m ,n ,p ,q 都有
()()()()
1111p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=++++.
（1）当a =
12,b =4
5
时，求通项{}n a ； （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1
n
a λλ
.
【测量目标】数列的通项公式，间接证明.
【考查目标】利用数列性质、等式关系求解通项，利用函数定义间接证明范围. 【难易程度】较难 【试题解析】
（1）由()()()()
1111p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=++++得，()()()()1211211111n n n n a a a a a a a a --++=++++，
将1214
,25a a =
=代入化简得：1
1
212n n n a a a --+=+.（步骤1） 1
1
111131n n n n a a a a ----∴
=++，故数列11n n a a ??-??+??
为等比数列. 1113n n n a a -∴=+，即3131
n n n a -=+.（步骤2） （2）证明:由题设
()()
11m n
m n a a a a +++的值仅与m n +有关，记为m n b +，
则()()()()1111111n n
n n n a a a a b a a a a +++=
=++++，（步骤3）
函数()()
()()011a x
f x x a x +=
>++，则在定义域上有:
1
,111
()
(),1
2,011a a f x g a a a
a a ?>?+??==???<
， 故对1
,()n n b g a *
+∈N 恒成立. （步骤4）
又()
22
2()1n
n n a b g
a a =
+
，注意到1
0()
2
g a <，解上式得， n
a =
，
取λ=
1
n
a λλ.（步骤5）