三角形中的几个特殊点：旁心、费马点和欧拉线-高中数学知识点讲解

高中数学《三角形“五心”的完美统一》

三角形“五心”的完美统一数学的诱惑力就在于对一个问题的研究，越研究越觉得有味道，越琢磨越觉得数学美的存在，就拿三角形“五心”来说吧，有不少人如文[1],[2],[3]做过类似研究.现在伴随新课程的改革和教学理念的更新,结合本人先前做过的一些粗浅的研究，对其又有了新的收获，它们完全可以达到数和形的完美统一，而这些都来自于课堂上学生对问题的积极思考和发问，让我不得不放弃原来的教学计划和学生一起探究与发现.也正如一位大家所说“教学是一门奇缺的艺术，数学美的东西就在你身边，关键看你有没有发现美的眼睛”.下面就把我的教学片段展示出来，与大家共勉.“问题是数学的心脏”，笔者在复习平面向量这部分内容时，只想简单的涉及一道有关三角形中常见的“心”的高考题目让学生见识一下，但谁知学生课上突然发问，三角形的其它心——垂心、外心、重心、旁心，应该有怎样的向量表达式，学生也曾通过我推荐阅读的文[1]了解了三角形的重心、内心、垂心、外心的坐标形式，使我不得不在新课程的一个基本理念“倡导积极主动、勇于探索的学习方式——学生的数学学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程同时，高中数学课程应设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”,问题提出（2003年新课程高考理4）：点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心问题解决：学生利用向量加法的几何意义及单位向量的概念不难得出正确答案B.本打算再让学生看下面的题目若将上题中的条件“[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪”改为“()[),0,OP OA AB AC λλ=++∈+∞”则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A 外心B 重心C 垂心D 内心答案B谁知一学生突然站起来提出以下问题S1：老师,若点G 是ABC ∆的重心，则有=++，从而有()13OG OA OB OC =++，可知点G 的坐标为)3,3(C B A C B A y y y x x x ++++，那么根据ABC ∆的重心G 的坐标形式与向量表示的这种关系，由△ABC 内心I 的坐标为),(c b a cy by ay c b a cx bx ax C B A C B A ++++++++，（,,a b c 为三角形的三边长），于是我猜想出ABC ∆的内心I 的向量形式是aOA bOB cOC OI a b c++=++，这种猜想对吗?我们能证明吗？ T:你的想法太好了，猜想是正确的,我们能证明,我们是否下课再证呢?这时有的同学喊道还是当堂证一下吧，也包括刚才站起来的那位同学，我只好和学生一块证明起来（也许有些学生故意要将老师的军，看你临场反应如何？）命题1 若点I是ABC ∆的内心，则0aOA bOB cOC aIA bIB cIC OI a b c ++++=⇔=++. 反之，也成立.证明：如图1 设,AI u AD BI BE λ==因为AD 是角平分线所以bAB c AC AD b c +=+ 同理 aBA cBC BE a c +=+ a AB cBC BI a c λλ+∴=+ ()(1)a c AB cAC AB BI AI a c λλ+-+∴+==+ 又ubAB uc AC AI b c +=+ 1ub b c c uc a c b c λλ-=+=++⎧∴⎨⎩()1u a c ub b c b c +∴-=++ ()b c u a b c ∴+=++ B 图1b c u a b c +∴=++ 1()AI bAB cAC a b c∴=+++ ()()a b c IA bAB cAC O ∴++++=aIA bIB cIC O ∴++=，从而 aOA bOB cOC OI a b c ++=++ 反之，也成立，因为以上证明的后三步是可逆的.T:我们可以到此收兵了吗？S2:老师，其它心——垂心,外心,旁心的向量形式是什么呢?那只好再研究下去.T:现在我给你们时间自己证一下，看谁能快速证出.不料5分钟过后，有的学生就有了下面的答案.命题2 若点H 是ABC ∆的垂心，则0cos cos cos a b c HA HB HC A B C ++=. 反之，也成立. 证明:如图2,设,AH u AD BH BE λ==,因为AD 是BC 边上的高线,所以:BD DC =cos :cos c B b C 所以cos cos cos cos b cAB AC b C AD b c B C +=+ 同理 cos cos cos cos a c BA BC A C BE a c A C +=+ 同命题1的证明方法可证得 0cos cos cos a b c HA HB HC A B C++=. 同理可证明以下命题(由学生课下完成)命题3点O 是ABC ∆的外心02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A命题4点I '是ABC ∆的旁心0'''=++⇔C I c B I b A I a (C ∠作为一内角)通过以上的探究锻炼了学生发现问题和解决问题的能力.也由此得到了三角形的“五心”数和形结合的完美统一.由以上可知三角形各心的坐标如下：（1）若BE 、CF 为△ABC 边的中线,则△ABC 重心G 的坐标为)3,3(CB AC B A y y y x x x ++++ C 图2（2）若BE 、CF 为△ABC 的内角平分线,则△ABC 内心I 的坐标为),(cb a cy by ayc b a cx bx ax C B A C B A ++++++++ （3）若BE 、CF 为△ABC 的高,则△ABC 垂心H 的坐标为)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (C c B b A a y C c y B b y Aa C c Bb A a x Cc x B b x A a CB AC B A ++++++++ （4）若BE 、CF 的交点为△ABC 的外心,则△ABC 外心O 的坐标为)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB AC y B y A y C B A C x B x A x C B A C B A ++++++++ （5）若BE 、AF 为△ABC 的外角平分线,则△ABC 旁心I '的坐标为(,)A B C A B C ax bx cx ay by cy a b c a b c+-+-+-+-(C ∠作为一内角) 由此顺藤摸瓜将“五心”推广到一般形式：（证法由学生提供）命题5在ABC ∆内任取一点O ，用,,A B C S S S 分别表示,,BOC COA AOB ∆∆∆的面积，求证:0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.证法1:如图3以,,αβγ分别表示,,BOC COA AOB ∠∠∠,以123,,e e e 分别表示,,OA OB OC 单位向量,则111sin sin 22A S OA OB OC OA OB OC OA e αα⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ 同理可得, 21sin 2B S OB OA OB OC e β⋅=⋅⋅⋅⋅ 31sin 2C S OC OA OB OC e γ⋅=⋅⋅⋅⋅, 即证:123sin sin sin 0e e e αβγ⋅+⋅+⋅=. 如上图, 在OA 上取点D,使1sin OD e α=⋅,作//DE OB 交CO 的延长线于E点,在EOD ∆中,由正弦定理可知sin DE β=,即2sin DE e β=⋅,3sin EO e γ=⋅,由于,,OD DE EO 构成三角形,所以123sin sin sin 0e e e αβγ⋅+⋅+⋅=证法2: 设点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ,则()()()()33221132321131213231213201110,,,222001A x y S OA x y x y x y y x x y x x y x y x x y y y y x ⋅=⋅=-⋅=-- 同理: ()()1133221232311231230110,,B x y S OB x y x y x x y x x y x y y y y x ⋅=⋅=--图3()2313122132311,2C S OC x x y x x y x y y y y x ⋅=--, 所以0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=证法3 实际上我们知道若点G 是ABC ∆的重心，则0GA GB GC ++=，且GAB GAC GBC S S S ∆∆∆==，于是根据这个知识点可以如下证明.证明:设,,A B C S S S 分别为,,x y z ，'xOA OA =,'yOB OB =,'zOC OC =,则'''0OA OB OC ++=,所以O 是'''A B C ∆的重心如图4,且OA B OA C OB C S S S ''''''∆∆∆==, 由此得到:1sin 121sin 2OBC OB C OB OC BPC OB OC S S yz OB OC OB OC BPC ∆''∆∠===''''∠, 所以1OBC OB C S S yz ''∆∆=, 同理: 1OAC OA C S S xz ''∆∆=,1OAB OA B S S xy ''∆∆=.所以111::::::OBC OAC OAB S S S x y z yz xz xy ∆∆∆== 从而 0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=. 证法3显然优美简洁，这是学生课下研究出来的.配套练习题.⒈(2005年全国卷Ⅰ文) 点O 是ABC ∆所在平面内的一点，满足OA OB ⋅=OB OC OC OA ⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的( )A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案D⒉已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若0aOA bOB cOC ++=，则点O 是ABC ∆( )A ．外心B ．内心C ．重心D 垂心答案B⒊已知O 是ABC ∆所在平面上一点，满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 是ABC ∆的( )图4A.外心B.内心C.重心D.垂心答案D⒋已知点O 是ABC ∆所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则点O 是ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心答案A⒌(2005年高考湖南理科第10题) 设P 是ABC ∆内任意一点，ABC S ∆表示ABC ∆的面积，123,,PBC PCA PAB ABC ABC ABC S S S S S S λλλ∆∆∆∆∆∆===,定义()()123,,f P λλλ=,若G 是ABC ∆的重心，()111,,236f Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则 A ．点Q 在GAB ∆内 B ．点Q 在GBC ∆内 C ．点Q 在GCA ∆内 D ．点Q 与G 重合答案A⒍(2005全国卷Ⅰ理15) ABC ∆的外接圆圆心为O ，两条边上的高交点为H ，()m ++=，则实数m =___________. 法1因在三角形中，外心、重心、垂心三点共线，这条线为欧拉线，重心G 分外心O 和垂心H 的比为1:2，()13OG OA OB OC =++ 又1,2:1:==m 故法2或者特殊值验证,或者证明OH ++=⒎（2004年全国数学联赛）设O 是ABC ∆内一点，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为A.2B.32C. 3D.53答案C⒏若点O 是在ABC ∆内部一点，且有()0(,0)mOA nOB m n OC m n +++=>，则::()::AOB BOC AOC S S S m n m n ∆∆∆=+思考：⒈题目形式由特殊到一般，给学生提供了一种解决问题的思路和方法，从而教师变成了学生数学活动的激励者、合作者，使学生和教师均能获益匪浅，增强了对教材的处理能力.⒉虽说没有按教学计划完成任务，但满足了学生的求知欲望，使他们的思路得到了极大的开阔，培养了学生的钻研精神，配套练习训练了学生灵活运用知识解决问题的能力，激发了学生学习数学的极大兴趣.⒊探究由学生发现，并当堂和学生一起解决，教师敢于暴露自己的解法和思路，使学生领略了教师的解题过程，从而也锻炼了学生的解题思维.⒋教师一定要有足够的知识灵活应变学生突然反问的能力，以及灵活驾驭课堂的能力，一定要相信自己的学生，只要正确引导，他们的潜力是巨大的，命题5的三种证法就足够说明这一点.这也论证了新课程的教学理念.。

数学竞赛辅导(三角形五心)

锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆
半径之和的2倍。
等价于证明
三、内心的性质
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径设三角形面积为S，设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。B
数学竞赛辅导
三角形的五心
Preview one
一、外心的性质
A
O
B
C
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径． ∠BOC=2∠BAC 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心) 欧拉线
Example one
二、垂心的性质
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
（3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（6）鸡爪定理（7）鸭爪定理
Example six
△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心. 证明OE丄CD.
Example seven
A
M
F
E
K I
DH
C
四、重心的性质
Байду номын сангаас
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心
三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2
空间直角坐标系：
横坐标：(X1+X2+X3)/3

平面几何竞赛讲座(三)三角形的“五心”

M平面几何竞赛讲座（三）三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：I到三角形三边的距离相等.性质2：设I是⊿ABC内一点，AI所在直线交⊿ABC 的外接圆于D，I为⊿ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC.性质3：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：∠BIC=900+21∠A，∠AIC=900+21∠B，∠AIB=900+21∠C.性质4：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：⊿IBC、⊿IAC、⊿IAB的外心均在⊿ABC的外接圆上.性质5：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F，内切圆的半径为r，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r，S⊿ABC=pr=))()((cpbpapp---=xyzzyx)(++；(2)r=cbaSABC++∆2；(3)abc·r=p·AI·BI·CI.性质6：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K，交⊿ABC 的外接圆于D，则IKAI=DIAD=DKDI=acb+.〖例1〗如图，设⊿ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=600，∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE,(2)2R<IO+IA+IC<(1+3)R. (1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线交⊿ABC的外接圆于K，O、I分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO⊥AK. (1982四川省数学竞赛题)2、外心：.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是：(1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C.(2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A.性质3：R=ABCSabc4或S⊿ABC=Rabc4.〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿ADC的外接圆的圆心.求证：OO1=OO2. (1990高中联赛)3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.重心在三角形内部.重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.重心有以下常用的性质：性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，AD2=21(AB2+AC2)-BC2,且AG:GD=2:1.性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则(1)AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2；(2)AG2+BG2+CG2=31(AB2+BC2+CA2).性质3：设G是⊿ABC内一点，G是⊿ABC的重心的充要条件是下列条件之一：(1)S⊿GBC=S⊿GCA=S⊿GAB=31S⊿ABC；(2)当AG、BG、CG的延长线交三边于D、E、F时，S⊿AFG=S⊿BDG=S⊿CEG.(3)当点G在三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F时，GD·GE·GF值最大；H (4)过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，AP AB +AQAC=3； (5)BC 2+3AG 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2.4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。

三角形的五心一次看个够

三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。

6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心，又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛根底知识第一章集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。

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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。