全等三角形知识点讲解经典例题含复习资料
全等三角形的判定总复习
AB=A´B´
BC=B´C´
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´(HL)
B
B′
A
C
已知：如图,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC,
BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD
(1)求证： △ABC≌△BAD.
(2)求证：BC=AD
(1)解： ∵ AC⊥BC, BD⊥AD D
C
∴ ∠C=∠D=90°
在Rt△ABC和 Rt△BAD中
例子1：如图，在△AEC和△ADB中，已 知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
解：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
例2：如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
B
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
A
D
CF E
例1： 已知如图，O是AB的中点，∠A=∠B，
求证：△AOC≌△BOD
证明：
∵ O是AB的中点(已知） C
∴ OA=OB(中点定义）
在△AOC和△BOD中 A
,有
AB=AB,
A
B
AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). (2)∵ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴ BC=AD
例2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 将上述条件标注在图中，求证BC=BD
八上数学全等三角形章节复习及经典例题
八上数学全等三角形章节复习及经典例题【知识梳理】一、全等三角形1.概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2.全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等、对应角相等。
②全等三角形的周长相等、面积相等。
③全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3.全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4.证明两个三角形全等的基本思路：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边二、角的平分线：1.（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”【例题精讲】例1．如图，在ABC ∆中, 90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。
全等三角形知识点讲解经典例题含答案
全等三角形一、目标认知学习目标：1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
重点：1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；2 .三角形全等的性质和条件。
难点：1.掌握用综合法证明的格式；2 .选用合适的条件证明两个三角形全等经典例题透析类型一：全等三角形性质的应用1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。
【变式2】如右图，，。
求证：AE∥CF【答案】∴AE∥CF2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。
思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析：在ΔABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B，又∠A=30°，∠B=50°，所以∠ACB=100°.又因为ΔABC≌ΔDEF，所以∠ACB=∠DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。
所以∠DFE=100°EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
全等三角形复习资料(搜集整理版)
特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。
第十一章全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形.2、全等三角形有哪些性质(1)：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS")边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)）2、(判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3）“有三个角对应相等"或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; （4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边"、“对顶角”第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4。
轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。
全等三角形—知识讲解及典型例题解析
中考总复习：全等三角形—知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE 上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO与△AFO中，∵AE AFEAO FAO AO AO=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5 .如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB 中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．。
全等三角形的判定常考典型例题及练习
全等三角形的判定一、知识点复习①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS）图形分析：书写格式: 在△ABC和△DEF中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EFBCEBDEAB∴△ABC≌△DEF（SAS)②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA)图形分析:书写格式：在△ABC和△DEF中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FCEFBCEB∴△ABC≌△DEF(ASA）③“角角边”定理:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）图形分析:书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC F C E B∴△ABC ≌△DEF （AAS)④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.(SSS ）图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB∴△ABC ≌△DEF(AAS)⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎩⎨⎧==DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （HL ）一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法,还有其他的三角形全等识别法吗?比如说“SSA ”、“AAA ”能成为判定两个三角形全等的条件吗？两个三角形中对应相等的元素两个三角形是否全等 反例SSA ⨯AAA⨯二、常考典型例题分析第一部分：基础巩固1。
下列条件,不能使两个三角形全等的是（ ）A ．两边一角对应相等B ．两角一边对应相等C ．直角边和一个锐角对应相等D ．三边对应相等2.如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上,CD 与BE 相交于O 点，已知AB=AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD( )A.∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD3。
全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
专题01 全等三角形(解析版)
专题01 全等三角形【考点1全等图形的相关概念】【考点2全等三角形的性质】【考点3全等三角形的判定】【考点4直角三角形全等的判定】【考点5全等三角形的判定与性质】【考点6全等三角形的实际应用】知识点1：全等图形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
知识点2：全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.知识点3：全等三角形的性质对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．知识点4：全等三角形的判定方法(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．知识点5：全等三角形的应用运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．考点剖析【考点1全等图形的相关概念】1．（2023秋•太和县期中）下列各组图形，是全等图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、不是全等图形，不符合题意；B、不是全等图形，不符合题意；C、不是全等图形，不符合题意；D、是全等图形，符合题意；故选：D．2．（2023秋•平原县期中）下列说法错误的是（ ）A．全等三角形的三条边相等，三个角也相等B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边C．面积相等的两个图形是全等形D．全等三角形的面积和周长都相等【答案】C【解答】解：全等三角形的三条边相等，三个角也相等，A正确；判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边，B正确；面积相等的两个图形不一定是全等形，C错误；全等三角形的面积和周长都相等，D正确，故选：C．3．（2023•东丽区一模）两个全等图形中可以不同的是（ ）A．位置B．长度C．角度D．面积【答案】A【解答】解：两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．故选：A．4．（2022秋•东莞市期末）下列各组图形中，是全等形的是（ ）A．两个含60°角的直角三角形B．腰对应相等的两个等腰直角三角形C．边长为3和4的两个等腰三角形D．一个钝角相等的两个等腰三角形【答案】B【解答】解：A、两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；B、腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；C、边长为3和4的两个等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3不一定全等对应关系不明确不一定全等；D、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．故选：B．5．（2023秋•淮阳区期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（ ）A．135°B．125°C．120°D．90°【答案】A【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠1＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故选：A．6．（2022秋•西乡塘区校级期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A．①和②B．②和③C．①和③D．全部【答案】D【解答】解：根据全等形的定义可知，①，②，③，④都全等．故选：D．7．（2023秋•永泰县期中）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形，若∠A'＝95°，∠B＝75°，∠D'＝130°，则∠C＝ 60° ．【答案】60°．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形，∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，∵∠A'＝95°，∠D'＝130°，∴∠A＝95°，∠D＝130°，∵∠B＝75°，∴∠C＝360°﹣（95°+130°+75°）＝60°．故答案为：60°．【考点2全等三角形的性质】8．（2023秋•虞城县期中）如图，△ABC≌△CDA，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则AD的长是（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△CDA，BC＝8，∴AD＝BC＝8．故选：D．9.（2023秋•阜平县期中）如图，△ABC≌△ADE，点D在边BC上，下列结论不正确的是（ ）A．AD＝AB B．DE＝BD+DC C．∠B＝∠E D．∠BAD＝∠CAE【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，DE＝BD+DC，即∠BAD＝∠CAE，∴选项A、选项B、选项D正确，选项C不一定正确，故选：C．10．（2023秋•丹江口市期中）如图，△ABC≌△AED，点D在BC边上．若∠EAD＝85°，∠B＝30°，则∠ADC的度数是（ ）A．50°B．55°C．65°D．30°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△AED，∠EAD＝85°，∴∠BAC＝∠EAD＝85°，AC＝AD，∵∠B＝30°，∴∠ADC＝∠C＝180°﹣85°﹣30°＝65°，故选：C．11．（2023秋•鹤庆县期中）如图，△ABC≌△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠D的度数为（ ）A．110°B．105°C．100°D．90°【答案】A【解答】解：∵∠B＝25°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣25°﹣45°＝110°，∵△ABC≌△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），∴∠D＝∠BAC＝110°，故选：A．12．（2022秋•长春期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）A．30B．27C．35D．40【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．12．（2023秋•文成县期中）如图，△ABC≌△DEF，BC＝12，EC＝7，则CF的长为（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝12，∴EF＝12，∴EC＝7，∴CF＝EF﹣EC＝12﹣7＝5，故选：A．13．（2023秋•天长市期中）如图，△ABD≌△ACE，BE＝16，DE＝10，则BC的长是（ ）A．24B．20C．21D．22【答案】D【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC＝BE﹣DE＝6，∴BC＝BE+EC＝16+6＝22，故选：D．14．（2022秋•市中区期末）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝80°，则∠CEB ＝（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】C【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝80°，∴∠ADC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△CAD≌△CBE，∴∠CEB＝∠CDA＝70°；故选：C．15．（2022秋•汶上县校级期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD＝AC＝7，∵BE＝5，∴DE＝BD﹣BE＝2，故选：A．16．（2023秋•琼中县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE 交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为（ ）A．24B．18C．12D．8【答案】C【解答】解：∵△ADC≌△BDF，∴AD＝BD，∵BD＝4，∴AD＝4，∵DC＝2，∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，∴S＝＝＝12，△ABC故选：C．【考点3全等三角形的判定】17．（2023秋•社旗县期中）如图所示的四个三角形中，全等的三角形是（ ）A．①③B．①②C．②④D．①③④【答案】B【解答】解：根据SAS可知①和②中的两个三角形全等．故选：B．18．（2023秋•太和县期中）如图，AB∥DE，BC＝EF．补充下列一个条件，不能使△ABC≌△DEF的是（ ）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．AB＝DE D．AC∥DF【答案】A【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，且BC＝EF，A、若AC＝DF，不能判定△ABC≌△DEF，符合题意；B、若∠A＝∠D，可根据“角角边”判定△ABC≌△DEF，不符合题意；C、若AB＝DE，可根据“边角边”判定△ABC≌△DEF，不符合题意；D、若AC∥DF，则∠ACB＝∠F，可根据“角边角”判定△ABC≌△DEF，不符合题意；故选：A．19．（2023秋•新和县期中）已知：如图，AB＝DC，AE＝BF，∠A＝∠FBD，求证：△AEC ≌△BFD．【答案】见解析．【解答】证明：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，∴AC＝BD，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（SAS）．20．（2023•咸阳一模）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：△ABC≌△EAD．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠E＝∠BAC，在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（AAS）．21．（2023秋•曹县期中）如图，点F，C在BE上，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．22．（2022秋•祁阳县期末）已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（ASA）．23．（2023秋•建湖县期中）已知，如图，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，求证：（1）△ABE≌△ACD；（2）△BOD≌△COE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，∵AD＝AE，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）．24．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（ASA）．【考点4直角三角形全等的判定】25．（2023春•渭滨区期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选：C．26．（2023秋•疏勒县期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．【答案】见解析．【解答】证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△BFD和Rt△ACD中，∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．27．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．【答案】见试题解答内容【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．28．（2023春•垦利区期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．29．（2022春•泾阳县期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵DE＝BF，∴DE+EF＝BF+EF；∴DF＝BE；在Rt△ADF和Rt△CBE中，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），∴AF＝CE．【考点5全等三角形的判定与性质】30．（2023秋•礼县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AD＝DE，则BD＝CE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ADE，即∠BAD＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C，∠BDA＝180°﹣∠BAD﹣∠B，∴∠DEC＝∠BDA，故①正确；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①可知∠DEC＝∠BDA，∵AD＝DE，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE，故②正确；③∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°﹣40°＝50°，∵∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故③正确；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，故④不正确，综上所述正确的有①②③，故选：C．31．（2023秋•临颍县期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1＝26°，∠3＝56°，则∠2的度数为（ ）A．30°B．56°C．26°D．82°【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠1＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠2，∵∠3＝∠1+∠ABD，∴∠3＝∠1+∠2，∵∠1＝26°，∠3＝56°，∴∠2＝56°﹣26°＝30°，故选：A．32．（2023秋•太和县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠EDF，若BE＝CD＝1，BC＝3，则CF的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，∠B＝∠EDF，∴∠BED＝∠CDF，∵BE＝CD，∴△BED≌△CDF（ASA），∴CF＝BD，∵BC＝3，CD＝1，∴BD＝2，∴CF＝2，故选：B．33．（2023秋•鹤庆县期中）已知△ABC中AD为中线，且AB＝5、AC＝7，则AD的取值范围为（ ）A．2＜AD＜12B．5＜AD＜7C．1＜AD＜6D．2＜AD＜10【答案】C【解答】解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，在△ADB和△EDC中∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝7，∴CE＝5，设AD＝x，则AE＝2x，∴7﹣5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6，故选：C．34．（2023秋•辉县市期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，BD＝6，CD＝4，则线段AF的长度为（ ）A．1B．2C．4D．6【答案】B【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DAB，∴BD＝AD＝6，∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠C，∵∠AFE＝∠BFD∴∠C＝∠BFD在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴CD＝DF＝4，∴AF＝AD﹣DF＝6﹣4＝2．故选：B．35．（2023秋•应城市期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B ＝∠E＝∠ACD，AC＝CD，若AB＝1，BE＝4，则DE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠B＝∠E＝∠ACD，∴∠ACD+∠ACB+∠BAC＝180°，∵∠ACD+∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠BAC＝∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC＝DE，AB＝CE，∵AB＝1，BE＝4，∴DE＝BC＝BE﹣CE＝BE﹣AB＝4﹣1＝3，故选：C．36．（2022秋•阿荣旗期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE＝AC，连接AD，若BC＝8，则BD+DE等于（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴CD＝DE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC，∵BC＝8，∴BD+DE＝BC＝8．故选：C．37．（2022秋•和平区校级期末）如图所示，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD ＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵BC、AE是锐角△ABF的高，∴∠BCF＝∠ACD＝∠AEF＝90°，∴∠F+∠CAD＝∠F+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠CAD，在△BCF和△ACD中，，∴△BCF≌△ACD（AAS），∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝5，∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3．故选：B38．（2023秋•京口区期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长．【答案】（1）见解析；（2）FC＝4cm．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10cm，BF＝3cm，∴FC＝10﹣3﹣3＝4cm．39．（2023秋•连山区期中）如图，点D在AC边上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝45°，求∠BDE的度数．【答案】（1）见解析；（2）67.5°．【解答】（1）证明：∵∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C，∠1＝∠2∴∠C＝∠BDE，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（AAS），（2）解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∴∠EDC＝∠C，∵∠1＝45°∴∴∠BDE＝67.5°40．（2023秋•科尔沁区期中）如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF．理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB＝∠CAF＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF．在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，∴∠ABF+∠BGM＝90°，∴∠EMB＝90°，∴EC⊥BF．∴EC＝BF，EC⊥BF．（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．41．（2023秋•合江县期中）如图，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）AD＝AB+CD．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：过点M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，∴MB⊥AB，MC⊥CD，∵DM平分∠ADC，ME⊥AD，MC⊥CD，∴ME＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MB＝ME，又∴MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．（2）∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C＝∠DEM＝90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中，，∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD＝DE，同理AE＝AB，∵AE+DE＝AD，∴CD+AB＝AD．【考点6全等三角形的实际应用】42．（2023秋•镇平县期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ）A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】B【解答】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到原三角形全等的三角形．故选：B．43．（2023秋•昭阳区期中）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，然后在BC的同侧找到点M使∠MBC＝60°，∠MCB＝40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA【答案】D【解答】解：在△MBC，△ABC中，，∴△MBC≌△ABC（ASA）．故选：D．44.（2023春•龙岗区校级期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（ ）A．ASA B．AAS C．SSS D．HL【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE，在△ADM和△AEM中，．∴△ADM≌△AEM（SSS），故选：C．45．（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求证：△ABP≌△PEF；（2）求BE的长．【答案】（1）证明见解答；（2）15m．【解答】（1）证明：∵∠ABP＝∠FEP＝90°，∠APF＝90°，∴∠APB＝∠PFE（同角的余角相等）．在△ABP与△PEF中，，∴△ABP≌△PEF（AAS）；（2）由题意知，AB＝1.5×3＝4.5（m），EF＝7×1.5＝10.5（m）．由（1）知，△ABP≌△PEF，∴BP＝EF＝10.5m，AB＝PE＝4.5m，∴BE＝BP+PE＝15m．46．（2023秋•云梦县期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时（容器壁厚度均匀），小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆形容器的壁厚了．（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；（2）若a＝58.6mm，b＝61.2mm，求出圆形容器的壁厚．【答案】（1）见解析；（2）圆形容器的壁厚为1.3mm．【解答】解：（1）在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB＝CD；（2）∵EF＝b＝61.2mm，AB＝CD＝a＝58.6mm，∴圆形容器的壁厚为．47．（2023春•渠县校级期末）生活中的数学：（1）启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是 三角形具有稳定性 ．（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD 的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，请说明AD＝CB的理由．【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解答．【解答】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性；（2）证明：∵O是AB和CD的中点，∴AO＝BO，CO＝DO，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC．过关检测一．选择题（共10小题）1．（2023秋•巴东县期中）下列汽车标志中，是由多个全等图形组成的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：组成第1个图形的各部分不全等，不符合题意；组成第2个图形的两个图形全等，符合题意；组成第3个图形的三个图形全等，符合题意；组成第4个图形是四个圆形全等，符合题意．故选：C．2．（2023秋•沂南县期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）A．30°B．31°C．32°D．33°【答案】D【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣117°﹣30°＝33°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝33°，3．（2022秋•海淀区校级期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED的大小为（ ）A．34°B．56°C．62°D．68°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，∴∠BAE＝∠1＝56°，∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣56°）＝62°，∴∠AED＝∠B＝62°，故选：C．4．（2023秋•广陵区校级月考）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90°D．∠BCA＝∠DCA【答案】D【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项符合题意；5．（2023秋•张北县期中）如图，要测量池塘A，B两端的距离，作线段AC与BD相交于点O．若AC＝BD＝8m，AO＝DO，△COD的周长为14m，则A，B两点间的距离为（ ）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】A【解答】解：∵AC＝BD，AO＝DO，∴AC﹣AO＝BD﹣DO，即OC＝OB，∵OC＝OB，∠COD＝∠BOA，OD＝OA，∴△COD≌△BOA（SAS），∴AB＝CD，∵△COD的周长为14m，∴OC+OD+CD＝14m，即AC+CD＝14m，∴CD＝6m，∴AB＝6m，故选：A．6．（2023秋•崆峒区校级期中）装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（ ）A．①B．②C．③D．④【答案】A【解答】解：②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：A．7．（2023秋•青秀区校级期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等C．三边分别相等的两个三角形全等D．两点之间线段最短【答案】B【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，故选：B．8．（2022秋•正定县期末）如图，在△ABC和△AED中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（ ）A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E【答案】B【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE，A、加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；B、加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；C、加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；D、加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；故选：B．9．（2023秋•丹阳市期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．故选：B．10．（2022秋•灵宝市校级期末）现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝10m，BC＝8m，CD＝12m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（ ）A．B．C．2m/s或D．2m/s或【答案】D【解答】解：∵AB＝10m，E是AB边的中点，∴BE＝5m，∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等，∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ，当BP＝CQ，BE＝CP时，∵BE＝5m，BC＝8m，设运动时间为t，8﹣2t＝5，解得，∴，此时妞妞的运动速度为：m/s，当CP＝BP，BE＝CQ时，，t＝2，此时CQ＝5，妞妞的运动速度为：，故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2023秋•武都区期中）如图，点A，D，C，E在一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为 4 ．【答案】4．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠A＝∠E，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（ASA），∴AC＝ED＝7，又∵AE＝10，∴AC+DE﹣CD＝10，∴CD＝14﹣10＝4；故答案为：4．12．（2023秋•招远市期中）如图，已知BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，若AC＝9，AE＝2，则线段DC的长为 7 ．【答案】7．【解答】解：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AD＝AE＝2，∵AC＝9，∴DC＝AC﹣AD＝7，故答案为：7．13．（2023秋•湖北期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB 的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是 SSS ．【答案】SSS．【解答】证明：由题意知；CM＝CN，在△OMC和ONC中，，∴△OMC≌ONC（SSS），∴△OMC≌△ONC的理由是SSS．故答案为：SSS．14．（2023秋•宁江区期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点B作BE⊥CD于点D，交AC于点E．已知∠ABE＝∠A，AC＝10，BC＝6．则BD的长为 2 .【答案】2．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠DCE，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，在△CDB≌△CDE中，，∴△CDB≌△CDE（ASA），∴BD＝DE，CE＝BC＝6，即△BCE为等腰三角形，∴AE＝AC﹣CE＝4，又∵∠A＝∠ABE，∴BE＝AE，∴BD＝DE＝BE＝2，故答案为：2．15．（2023春•文登区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，线段PQ＝AB，点P、Q分别在AC和与AC垂直的射线AM上移动，当AP＝ 5cm或10cm 时，△ABC和△QPA全等．【答案】5cm或10cm．【解答】解：∵PQ＝AB，∴根据三角形全等的判定方法HL可知，①当P运动到AP＝BC时，△ABC≌△QPA，即AP＝BC＝5cm；②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA，即AP＝AC＝10cm．故答案为：5cm或10cm．三．解答题（共3小题）16．（2023•工业园区校级模拟）如图，点C、D在线段AB上，且AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF，连接CE、DE、CF、DF，求证CF＝DE．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴DE＝CF，即CF＝DE．17．（2023秋•南川区期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：AE＝AD；（2）若BD＝8，DC＝5，求ED的长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；（2）解：∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BD＝8，DC＝5，∴ED＝BD﹣BE＝BD﹣CD＝8﹣5＝3．18．（2023春•周村区期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．。
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全等三角形一、目标认知学习目标：1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
重点：1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；2 .三角形全等的性质和条件。
难点：1.掌握用综合法证明的格式；2 .选用合适的条件证明两个三角形全等经典例题透析类型一：全等三角形性质的应用1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。
【变式2】如右图，，。
求证：AE∥CF【答案】∴AE∥CF2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。
思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析：在ΔABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B，又∠A=30°，∠B=50°，所以∠ACB=100°.又因为ΔABC≌ΔDEF，所以∠ACB=∠DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。
所以∠DFE=100°EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
举一反三：【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.【答案】(1）因为ΔACD≌ΔECD，所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.所以CD⊥AB.(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.因为∠CFE+∠BFE=180°，所以∠CFE=∠BFE=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.所以EF∥AC.类型二：全等三角形的证明3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．思路点拨:欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得解析：∵AC＝BD(已知)∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)即 AD＝BC在△ADF与△BCE中∴△ADF≌△BCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC【答案】∵AB∥CD∴∠3＝∠4在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB(SAS)∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．求证 AF＝DE．【答案】∵EB⊥AD(已知)∴∠EBD＝90°(垂直定义)同理可证∠FCA＝90°∴∠EBD＝∠FCA∵AB＝CD，BC＝BC∴AC＝AB+BC＝BC+CD＝BD在△ACF和△DBE中∴△ACF≌△DBE(S．A．S)∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用4、如图，AD为ΔABC的中线。
求证：AB+AC>2AD.思路点拨:要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。
由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。
解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE因为AD为ΔABC的中线，所以BD=CD.在ΔACD和ΔEBD中，所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).所以BE=CA.在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
举一反三：【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE.【答案】分别延长CE、BA交于F.因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.在ΔBEF和ΔBEC中，所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.所以∠BDA=∠BFC.在ΔABD和ΔACF中，所以ΔABD≌ΔACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF 思路点拨:(1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．解析：(1)在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF(SAS)∴AE＝CF(全等三角形对应边相等)(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等)∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)(3)在△AEF与△CFE中∴△AEF≌△CFE(SAS)∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证 AF＝AG．【答案】在△AGE与△BCE中∴△AGE≌△BCE(SAS)∴AG＝BC(全等三角形对应边相等)在△AFD与△CBD中∴△AFD≌△CBD(SAS)∴AF＝CB(全等三角形对应边相等)∴AF＝AG(等量代换)6、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．思路点拨:若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD=AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
举一反三：【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC 于D，A′D′⊥B′C′于 D′且 AD=A′D′求证：△ABC≌△A′B′C′证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中∴Rt△ABD ≌ Rt△A′B′D′(HL)∴∠B=∠B′(全等三角形对应角相等)在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求证：OC=OD【答案】∵∠C=∠D=90°∴△ABD、△ACB为直角三角形在Rt△ABD和Rt△ABC中∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)∴AD=BC在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC(AAS)∴OD=OC．7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG ⊥AB垂足分别是E、F、G..试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。
思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：结论：DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）作DM⊥CG于M∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG∴四边形EDMG是矩形DE=GMDM//AB∴∠MDC=∠B∵AB=AC∴∠B=∠FCD∴∠MDC=∠FCD而DM⊥CG，DF⊥AC∴∠DMC=∠CFD在⊿MDC和⊿FCD中∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）MC=DF∴DE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法。