4第三节-常见分布的数学期望和方差
常见分布的数学期望和方差
E( X
2)
n k0
k 2Ckn
pkqnk
n
np
k 1
k
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
np[(n 1) p 1]，
EX 2 4 ，试求 a 和 b（ a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
第21页
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上 均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
0.90 .
12
第12页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
1. 均匀分布 X ~ U (a, b) .
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b .
ba 2
2
13
第13页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
p
npab 2 1源自pqnpq(b a)2 12 1
常见分布的期望和方差
7、两个独立随机变量之和的概率密度：
fZ ( z)
f X ( x) f Y ( z x)dx
fY ( y) f X ( z y)dy 其中 Z ＝X ＋ Y
8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即
Z
aX
bY : N (a 1
b
2, a2
2 1
b2
2 2
。
9、期望的性质：……（ 3）、 E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) ；（ 4）、若 X ，Y 相互独立，则பைடு நூலகம்E (XY ) E (X ) E (Y ) 。
m np
lim P
x
n
npq
(x) ， 其中 q 1 p 。
(1) 、当 n 充分大时， m 近似服从正态分布， N (np npq) 。
(2) 、当 n 充分大时， m 近似服从正态分布， n
18、参数的矩估计和似然估计： (参见 P200)
19、正态总体参数的区间估计：
所估参数
条件
N ( p, pq ) 。 n
10、方差： D (X ) E ( X 2 ) (E ( X )) 2 。
若 X ， Y 不相关，则 D ( X Y ) D ( X ) D (Y ) ，否则 D ( X Y ) D (X ) D (Y ) 2Cov ( X ,Y ) ，
D ( X Y ) D ( X ) D (Y) 2Cov( X ,Y)
分布类型
0-1 分布 B （1， p） 二项分布 B （ n，p）
泊松分布 P(λ )
均匀分布 U（ a, b ）
正态分布 N（
,
2
）
指数分布 E（λ）
2
六个常用分布的数学期望和方差 ppt课件
E (X)μ,D (X)σ2
例1.已知 X~(3),Y求2X1, E(Y ) ,D(Y ) , E[3(X2 1)] 解：X~(3), E(X)3, D(X)3 则
E (Y)E (2X1)2E(X)1 5
D (Y)D (2X1) 4D(X) 12
E[3(X2 1)] 3E(X2)3 3 {D (X )[E (X )2 ]}3 33
由二项分布定义可知，X是n重贝努利试验中事件A发
生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p，设
1 X k 0
A 在k 次 第发,k 生 1 ,2 , ,n A 在k 次 第不 发 生
则Xk服从二点分布，其分布律为： X
0
1
E(Xk)p, D (Xk)p(1p) Pk 1-p p
X X 1 X 2 X n
e 22 dx（令
2
t
x ）
1
t2
(t)e2dt
2
2
t2
e 2 dt
D (X )E {X [E (X )2 ]} (x)2
1
(x)2
e 22 dxLeabharlann 22t2t2e2 dt （令 t x ）
2
2
2
t2
(t)d e2
2
t2
te2
2
t2
e 2dt
2
2
即
2 2
附： 几种重要随机变量的数学期望和方差
一.二点分布 二.二项分布 三.泊松分布
四.均匀分布 五.正态分布 六.指数分布
一.二点分布
若随机变量X服从二点分布，其分布律为：
X
0
1
Pk
1-p
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
常见分布的期望和方差
罕有散布的期望和方差(0,1)N 2()Yx n t =概率与数理统计重点摘要1.正态散布的盘算：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ.2.随机变量函数的概率密度：X 是屈服某种散布的随机变量,求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =.（拜见P66～72）3.散布函数(,)(,)xyF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基赋性质：⑴.是变量x,y 的非降函数;⑵.0(,)1F x y ≤≤,对于随意率性固定的x,y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=; ⑶.(,)F x y 关于x 右持续,关于y 右持续;⑷.对于随意率性的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ,有下述不等式成立：4.一个主要的散布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5.二维随机变量的边沿散布：边沿概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边沿散布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态散布的边沿散布为一维正态散布.6.随机变量的自力性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X,Y 互相自力.简称X 与Y 自力.7.两个自力随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰个中Z ＝X ＋Y8.两个自力正态随机变量的线性组合仍屈服正态散布,即22221212(,Z aX bY N a b a b μμσσ=+++). 9.期望的性质：……（3）.()()()E X Y E X E Y +=+;（4）.若X,Y 互相自力,则()()()E XY E X E Y =. 10.方差：22()()(())D X E X E X =-.若X,Y不相干,则()()()D X Y D X D Y +=+,不然()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++,()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-11.协方差：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--,若X,Y 自力,则(,)0Cov X Y =,此时称：X 与Y 不相干. 12.相干系数：(,)()()XY Cov X Y X Y ρσσ==1XY ρ≤,当且仅当X 与Y 消失线性关系时1XY ρ=,且1,b>0;1,b<0XY ρ⎧=⎨-⎩ 当 当。
常见分布的期望和方差)
常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要X — 41、 正态分布的计算： F(x) = p(x 兰x)=e ( ------ )。
c2、 随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量， 求丫 = f(X)的概率密度：f Y (y)= f x (x)[h(y)]|h'(y)|。
(参见P66〜_ x y3、分布函数F(x,y)=f f f(u,v)dudv 具有以下基本性质:0<F(x,y)<1，对于任意固定的 x , y 有：F^,y) = F(x^)=0 ;对于任意的(x i , y i ), (x 2, y 2), X i<:x 2,y i<y 2，有下述不等式成立:r 24、一个重要的分布函数： F(x,y)=l&+arcta n 与Q+arcta n')的概率密度为：f (x, y)=丄 F (x, y) = 2 22兀亠 2 2 2 3 c x c y 兀(x + 4)(y +9)5、二维随机变量的边缘分布:f x (x) = J*f(x, y)dy边缘概率密度：tf Y (y) = Lcf(x,y)dxx -beF X (x^F(x^^ f J f f (u,y)dy]du边缘分布函数： '4； 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
⑴、 是变量x , y 的非降函数;⑵、 ⑶、 F(x,y)关于x 右连续，关于y 右连续;⑷、yF Y(y)=F(P,y) = UJf(x,v)dx]dv随机变量的独立性：若 F(x, y) =F x (x)F Y (y)则称随机变量X ，Y 相互独立。
简称X 与Y 独立。
两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 Z=aX+b Y L N(a 已卄巴^务；+b 2cr 2)o13、k 阶原点矩：vk=E(X k)，k 阶中心矩：4k =E[(X-E(X))k] o16、独立同分布序列的中心极限定理:6、 7、 两个独立随机变量之和的概率密度：f z (z) = J f x (x)f Y (z-x)dx= J f Y (y)f x (z-y)dy 其中Z = X + YJ-oC9、 期望的性质: (3)、EX Y )EX( )EY()；(4)、若 X ，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X)E(Y) o10、方差： D(X ) =E(X 2)-(E(X))2o若 X , Y 不相关，贝y D(X + Y) = D(X) + D(Y),否贝U D(X + Y) = D(X)+D(Y) + 2Cov(X,Y),D(X -Y) = D(X) +D(Y) -2Cov(X,Y)11、协方差：Cov(X,Y) =E[(X -E(X))(Y-E(Y))]，若 X , Y 独立，则 Cov(X,Y) = 0，此时称：X 与 Y 不相关。
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。
本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。
一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。
以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。
设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。
设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。
二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。
以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。
设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。
2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
常见分布的期望和方差.pdf
x +
FX (x) = F(x, +) =
边缘分布函数：
[
− −
f (u, y)dy]du
y +
FY ( y) = F(+, y) =
[
− −
f (x, v)dx]dv
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若 F(x, y) = FX (x)FY ( y) 则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。
9、期望的性质：……（3）、 E(X +Y) = E(X ) + E(Y) ；（4）、若 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X )E(Y) 。
10、方差： D(X ) = E(X 2 ) − (E( X ))2 。 若 X，Y 不相关，则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) ，否则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) + 2Cov(X ,Y) ，
分布类型
0-1 分布 B（1，p） 二项分布 B（n，p）
泊松分布 P(λ)
均匀分布 U（ a,b ） 正态分布 N（ , 2 ）
指数分布 E（λ）
2 分布， 2 (n)
t 分布， t(n)
常见分布的期望和方差
概率密度函数
pi = P X = i = Cni piqn−i (q =1− p),(i =1, 2,..., n)
⑵、 0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x，y 有： F(−, y) = F(x, −) = 0 ；
⑶、 F(x, y) 关于 x 右连续，关于 y 右连续；
⑷、对于任意的 (x1, y1), (x2, y2 ), x1 x2, y1 y2 ，有下述不等式成立：
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2. 二项分布 X ~ B(n, p)
P{ X k} Ckn pkqnk , k 0,1,2, , n (q 1 p)
E( X )
n
k
C
k n
p
k
q
n
k
k0
n
k
k 1
n! k!(n
k )!
pk q nk
n
np
(n 1)!
p q k 1 n1(k 1)
k1 (k 1)!(n k )!
所以 D( X ) np(np p 1) (np)2 np(1 p) .
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的
数学期望和方差.
设 X ~ B ( n, p )，X表示n重伯努利试验中的成功次数.
设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2,…,n
则
Xi
P
10
p 1 p
与 2X 的关系是则( ).
A.有相同的分布
B.数学期望相等
C.方差相等
D.以上均不成立
解 选(B).
11
例3 设事件A在每次试验中出现的概率为0.5，试利 用切比雪夫不等式估计1000次独立试验中，事件A出 现450到550之间的概率．
解 设X表示事件表示在1000次独立试验中出现的次数，
则 X ~ B(1000, 0.5) ,
2q p2
p
1 q p2
，
所以
1 q D( X ) p2
1 p2
q p2
1 p p2 .
9
xk
1
，x 1
k0
1 x
逐项求导， kxk1
k 1
1 (1 x)2
，x
1
再逐项求导， k(k
k2
1) x k2
2 (1 x)3
，
x
1
令 x q，
k(k 1)qk2
k2
2 (1 q)3
n1
np
(n 1)!
p i q n1 i
i0 i!(n 1 i)!
令i k1
np( p q)n1 np .
3
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
P{ X k} Ckn pkqnk , k 0,1,2, , n (q 1 p)
E( X ) np ，D( X ) np(1 p)
a ba
1 b3 a3 b2 ab a2 ，
ba 3
3
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 (b a)2 . 12
14
2. 指数分布 X ~ E( ) .
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
7
4. 几何分布 P{X k} (1 p)k1 p , k 1,2,
由无穷级数知识知，
k0
xk
1 1 x
，x
1
逐项求导， kxk1
k 1
1 (1 x)2
，x
1
令 x q 1 p ，(0 q 1)
有
k 1
kq k 1
1 (1 q)2
1， p2
所以
E( X )
kqk1 p
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b
1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b
.
ba 2
2
13
二、常见连续型分布的数学期望和方差
1. 均匀分布 X ~ U(a, b) .
E( X ) a b ，D( X ) (b a)2
2
12
E( X 2 ) x2 f ( x)dx b x2 1 dx
P{ X k} k e , k 0,1,2, , ( 0)
k!
E( X ) ，D( X )
E( X 2 ) k 2 k e k k e
k0 k!
k1 (k 1)!
k
(k 1)
e
k2
(k 1)!
k e
k1 (k 1)!
2
，
所以 D( X ) 2 2 .
k 1
p kqk1
k 1
p
1 p2
1 p
.
8
4. 几何分布 P{X k} (1 p)k1 p , k 1,2,
E( X ) 1 p
，D(
X
)
1
p p2
E( X 2 ) k 2qk1 p k(k 1)qk1 p kqk1 p
k 1
k2
k 1
2 (1 q)3 q p
1 p
5
3. 泊松分布 X ~ P()
P{ X k} k e , k 0,1,2, , ( 0)
k!
由无穷级数知识知， ex
xk ,
x (, )
k0 k!
E( X ) k k e k e
k0 k!
k1 (k 1)!
e i e e .
i0 i!
6
3. 泊松分布 X ~ P()
E( X 2 )
n
k 2Ckn
k0
pkqnk
n
np k
k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k)!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k)!
p
k
1
q
n
k
np[(n 1) p 1]，
第三节
1
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
EX 1000 0.5 500，DX 1000 0.5 0.5 250．
由切比雪夫不等式，
P{
X
}
2 2
P{450 X 550} P{| X 500 | 50}
1
DX 502
1
250 2500
0.90 .
12
二、常见连续型分布的数学期望和方差
1. 均匀分布 X ~ U(a, b) .
E( X i ) p , D( X i ) p(1 p) ,
而 X= X1+X2+…+Xn ， Xi 相互独立，
n
n
所以 E( X ) E( X i ) E( X i ) np .
i 1
i 1
n
n
D( X ) D( X i ) D( X i ) np(1 p) .
i 1
i 1
.
10
例1 设X服从二项分布B(n,p),则有 ( ).
A. E(2 X 1) 2np B. E(2 X 1) 4np 1 C. D(2 X 1) 4np(1 p) 1 D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解 选(D).
例2 设随机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y