北京市高考数学压轴题总复习

北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)

1．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1AC 平面1B EF ；②1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关. 其中正确判断的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 CA. {}2B. 255⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C. {|222}t t ≤≤ D. 2{|52}5t t ≤≤3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是D（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有 CA. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做ABCDE1A 1D 1B1C OABDCA 1D 1A 1C 1B DCB OPN MQM BA图1 图2 图3这个点到这个平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到平面β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，且满足P到β的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面γ的距离的最大值是C（A）3（B）3（C）3+（D）66.已知函数)(xf的定义域为R，若存在常数0>m，对任意x∈R，有|()|||f x m x<，则称)(xf为F函数．给出下列函数：①2)(xxf=；②xxxf cossin)(+=；③1)(2++=xxxxf；④)(xf是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数21,xx均有21212)()(xxxfxf-≤-．其中是F函数的序号为 C（A）②④（B）①③（C）③④（D）①②7.定义区间(,)a b，[,)a b，(,]a b，[,]a b的长度均为db a=-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d=-+-=. 用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]x x x=-，其中x∈R. 设()[]{}f x x x=⋅，()1g x x=-，若用123,,d d d分别表示不等式()()f xg x>，方程()()f xg x=，不等式()()f xg x<解集区间的长度，则当02011x≤≤时，有 B（A）1231,2,2008d d d===（B）1231,1,2009d d d===（C）1233,5,2003d d d===（D）1232,3,2006d d d===8. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点,0N n，则m的象就是n，记作f m n．则下列命题中正确的是（）CA ．114f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在其定义域上单调递增D ．()f x 的图象关于y 轴对称 9. 用max{}a b ，表示a ，b两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A A ．3512 B ．5924 C ．578D ．911210. 对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是C (A) 2n(B) 2(2n -1)(C) 2n(D) 2n 211. 定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ C ）12.对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-，判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是D（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①②13. 已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 DA ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞C ．)5,31(D ．)3,(-∞(A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D) [3,)+∞14.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是 A（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）115. 已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为 A（A ）32 （B ）12（C ） 1 （D ）2 16. 已知抛物线M ：24yx ，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 DA ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈ D ．3[,)2r ∈+∞ 17. 设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）（A ）最小值为15（B（C ）最大值为15（D18. 已知数列*{} ()n a nN 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 . 2026 19. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义11,P x y 、22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y .若点1,3A -，则(,)d A O = ；已知点1,0B ，点M 是直线30(0)kxykk上的动点，(,)d B M 的最小值为 . 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩20. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____.，25 21. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间)1,0(内任取两个实数,p q ，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是．[15,)+∞22. 定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是．γ>α>β23．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为．24.已知函数399)(+=x x x f ，则(0)(1)f f += ，若112()()k S f f k k-=+31()()(2,k f f k k kk-+++≥∈Z)，则1k S -= （用含有k 的代数式表示）．1，12k - 25.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n nn n k k a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.62；1或526.已知数列{}n a ，满足：123451,2,3,4,5a a a a a =====，且当5n ≥时，1121n n a a a a +=-，若数列{}n b 满足对任意*n ∈N ，有2221212n n n b a a a a a a =----，则5b = ；当5n ≥时，=n b ．65 n -7027．数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n =，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.120；(21,2),k k k -∈*N 28．函数)0(2>=x x y 的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，n N *∈，若161=a ，则=+53a a ，数列{}n a 的通项公式为．5， 52n-29.对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ．3430. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为； '()f x 的零点是 . (2,4); 331.已知函数sin ()x f x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号）（2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.①② , 9 32．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__ACP BD秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．6，(1),2(3),2n n n n a n n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数.33．已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 .1334. 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -中的逆序数为 .4；232n n -35. 已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数，且n a a a <<< 21，对任意的,,A y x ∈且x y ≠，有25xyy x ≥-．（Ⅰ）求证：251111-≥-n a a n ；（Ⅱ）求证：9≤n ；（Ⅲ）对于9=n ，试给出一个满足条件的集合A ． (Ⅰ) 证明：依题意有)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21，因此)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ． OA 1A 2 A 3 A 4B 1 B 2 B 3 B 4 AB可得)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i ．所以12231111111111125i i n n n a a a a a a a a +---+-+-++-≥．即251111-≥-n a a n ． …………………4分（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得25111->n a ．又11≥a ，可得2511->n ，因此26<n ．同理2511i n a a n i -≥-，可知251i n a i ->．又i a i ≥，可得251in i ->，所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立．当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ，可知10<n ．又当9≤n 时，25)2()2()(22<=-+≤-ni n i i n i ．所以9≤n ． …………………9分（Ⅲ）解：对于任意n j i ≤<≤1，j i i a a a ≤<+1，由)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i 可知， 25111111≥-≥-+i i j i a a a a ，即25j i j i a a a a ≥-．因此，只需对n i <≤1，251111≥-+i i a a 成立即可．因为251211≥-；2513121≥-；2514131≥-；2515141≥-，因此可设11=a ；22=a ；33=a ；44=a ；55=a ．由2511165≥-a a ，可得4256≥a ，取76=a ．由2511176≥-a a ，可得181757≥a ，取107=a ．由2511187≥-a a ，可得3508≥a ，取208=a ．由2511198≥-a a ，可得1009≥a ，取1009=a ．所以满足条件的一个集合{}100,20,10,7,5,4,3,2,1=A ．……………14分 36. 已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.（Ⅱ）若1000n =时① 若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值．解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ．...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分（Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠．对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈，则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000，所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤，使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠，所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉.又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈,即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中，因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤，当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ，都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分 37. 已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）因为 30a =，且3221a a =+，所以22a =-．同理可得123a =-，即23a =-． ………………………3分（Ⅱ）证明：假设a 为数列{}n b 中的第*()i i ∈N 项，即1i a a b ==；则211()()i i a f a f b b -===； 3212()()i i a f a f b b --===；………121()()2i i a f a f b b -====-；12()10i i ia f a a +==+=，即1()(2)0i i a f a f +==-=。

北京市高考十年数列压轴题

北京市数列压轴题 2020西城期末解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =； ……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈, ……………… 4分令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉. ……………… 8分（Ⅲ）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤，所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，又因为121001m a a a -<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-，以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分2019高考已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ，又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.2018高考设n 为正整数，集合A={α|α=（t 1，t 2，…t n ），t k ∈{0，1}，k=1，2，…，n }，对于集合A 中的任意元素α=（x 1，x 2，…，x n ）和β=（y 1，y 2，…y n ），记M （α，β）=12[（x 1+y 1﹣|x 1﹣y 1|）+（x 2+y 2﹣|x 2﹣y 2|）+…（x n +y n ﹣|x n ﹣y n |）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M （α，α）和M （α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M （α，β）是奇数；当α，β不同时，M （α，β）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）=0，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算．（Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明．（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．【解答】解：（I ） M （a ，a ）=2，M （a ，β）=1．（II ）考虑数对（x k ，y k ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的x k +y k −|x k −y k |2分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M （α，β）是偶数，所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足题意，假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M （α，β）=1不合题意，故B 中元素个数的最大值为4．（Il ） B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，（0，0，0，…，1）}，此时B 中有n +1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M （α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于n +1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M （α，β）=0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n +1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i =y i =l ，此时M （α，β）≥1不满足题意，故B 中最多有n +1个元素．【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．2017高考设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2c b a c b a b a c b a b a b a -----，，，，，，4所以，对于*n N ∀∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较当*k N ∈且1<k<n 时， 11()()k k b a n b a n ---=[]k 1n -+<（2-1）-nk （1-k ）n+2(k-1)= （k-1）(2-n) 因为k-1>0,且2-n<0, 所以11k k b a n b a n -≤- 所以对于*n N ∀∈且n 2≥11n c b a n =-=1-n 所以 -1=-1n n c c -n 2≥ 又21=-1c c - 所以{}n c 是以首项1=0c d=-1为公差的等差数列。

2021.1北京高三数学期末分类汇编-新定义压轴题(含参考答案)

均不构成等差数列，求 p 的最大值；
（Ⅲ）设数列{an} 为等比数列，公比为 q ，项数为 N (N ≥3) ．判定数列{an} 是否存在长度为 3 的递增子列：1，16，81？若存在，求出 N 的最小值；若不存在，说明理由穷数列．给出两个性质： ①对于{an} 中任意两项 ai , a j (i > j) ，在{an} 中都存在一项 am ，使得 2ai − a j = am ； ②对于{an} 中任意项 an (n 3) ，在{an} 中都存在两项 ak ,al (k > l) ，使得= an 2ak − al . (Ⅰ)若= an 2= n (n 1, 2,) ，判断数列{an} 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若= an n= (n 1, 2,) ，判断数列{an} 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若{an} 是递增数列， a1 = 0 ，且同时满足性质①和性质②，证明：{an} 为等差数列.
（Ⅱ）对于任意“ 5 阶非负数表” A ，记 R(s) 为 A 的第 s 行各数之和（1 ≤ s ≤ 5），证明：存
在 {i, j, k}⊆ {1,2,3,4,5}，使得 R(i) + R( j) + R(k) ≥ 3 ；
（Ⅲ）当 n = 2k(k ∈ N*) 时，证明：对与任意“ n 阶非负数表” A ，均存在 k 行 k 列，使得这 k 行 k 列交叉处的 k 2 个数之和不小于 k .
设{an*} 的前 n 项和为 Sn* .
（Ⅰ）设 an
=
n 2n
，写出 a1* ， a2* ， a3* ， a4* ；
（Ⅱ）证明：“对任意 n ∈ N* ，有= Sn* an+1 − a1 ”的充要条件是“对任意 n ∈ N* ，有 | an+1 − an |= 1 ”；

2024届北京师大附中高三压轴卷数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（） A1BCD2．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（） A ．760B ．16C ．1360D ．143．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．784．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 5．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B 的范围是（）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭6．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（）A ．32B ．12C ．78 D ．987．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-8．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π9．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 10．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．250x y ±=B ．250x =C 520x y ±=D 50x y ±=11．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β12．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市2020年高考文科数学压轴卷含解析

3．若变量 x, y 满足约束条件 ⎨x ≥ 1, ,则 z = 2 x + y 的最大值为（）⎪ y ≥ 0北京市 2020 年高考文科数学压轴卷（含解析）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知 (1+ b i)i = -1 + i(b ∈ R) ，则 b 的值为（）A. 1B. -1C. iD. -i2．下列函数中，值域为 R 的偶函数是（）A ．y=x 2+1B ．y=e x ﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ． y = x 2⎧x + y ≤ 2, ⎪⎩A ． 0B ． 2C ． 3D ． 44. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为 1，则输出的 a 值为（）开始输入否是输出结束A. 1B. 2C. 3D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．27B ．30C ．32D ．3613.若 0 < a < b < 1 ， x = a b ， y = b a ， z = log a ，则 x ， y ， z 有小到大排列为．6 ) + 1 的最小正周期是，最小值是．10．已知 cos α = ， α ∈ 0, ⎪ ，则 cos + α ⎪ = ______．6. “ ab = 4 ”是直线 2x + ay -1 = 0 与直线 bx + 2 y - 2 = 0 平行的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知点 Q (2 2,0) 及抛物线 x 2 = 4 y 上一动点 P( x , y) ，则 y + | PQ | 的最小值是（）A ．1B ．1C ．2D ． 328. 设函数 f ( x ) 的定义域 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x ∈ D ，都有f ( x + m ) > f ( x ) ，则称 f ( x ) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x - a - a （ a ∈ R ）．若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（）A ． a > 0B ． a < 5C ． a < 10D ． a < 20二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分.把答案填在题中的横线上．）9.函数 y = 2sin(2 x +π3 ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ 5 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 3 ⎭11. 如果平面直角坐标系中的两点 A(a - 1,a + 1) ， B(a, a ) 关于直线 l 对称，那么直线 l 的方程为_.12.在平面向量 a,b 中，已知 a = (1,3) ， b = (2,y) ，.如果 a ⋅ b = 5 ，那么 y = _____；如果a +b = a -b ，那么 y = ______b1 = 1 ， a + + L + <2 . , ⎥ ，都有 f (x ) ≥ -3 ．(Ⅱ)求证：对于任意的 x ∈ ⎢- 14.数列{a } 满足： ann -1+ an +1> 2a (n > 1,n ∈ N * ) ，给出下述命题：n①若数列{a } 满足： a > a ，则 a > an21n n -1(n > 1, n ∈ N * ) 成立；②存在常数 c ，使得 a > c (n ∈ N * ) 成立；n③若 p + q > m + n (其中p , q , m , n ∈ N *) ，则 a + a > a + a ；p qmn④存在常数 d ，使得 a > a + (n - 1)d (n ∈ N * ) 都成立．n1上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共 6 小题，共 80 分。

北京市高考十年数列压轴题

北京市数列压轴题 2020西城期末解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =； ……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈, ……………… 4分令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉. ……………… 8分（Ⅲ）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤，所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，又因为121001m a a a -<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-，以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分2019高考已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ，又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.2018高考设n 为正整数，集合A={α|α=（t 1，t 2，…t n ），t k ∈{0，1}，k=1，2，…，n }，对于集合A 中的任意元素α=（x 1，x 2，…，x n ）和β=（y 1，y 2，…y n ），记M （α，β）=12[（x 1+y 1﹣|x 1﹣y 1|）+（x 2+y 2﹣|x 2﹣y 2|）+…（x n +y n ﹣|x n ﹣y n |）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M （α，α）和M （α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M （α，β）是奇数；当α，β不同时，M （α，β）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）=0，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算．（Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明．（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．【解答】解：（I ） M （a ，a ）=2，M （a ，β）=1．（II ）考虑数对（x k ，y k ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的x k +y k −|x k −y k |2分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M （α，β）是偶数，所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足题意，假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M （α，β）=1不合题意，故B 中元素个数的最大值为4．（Il ） B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，（0，0，0，…，1）}，此时B 中有n +1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M （α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于n +1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M （α，β）=0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n +1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i =y i =l ，此时M （α，β）≥1不满足题意，故B 中最多有n +1个元素．【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．2017高考设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2c b a c b a b a c b a b a b a -----，，，，，，4所以，对于*n N ∀∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较当*k N ∈且1<k<n 时， 11()()k k b a n b a n ---=[]k 1n -+<（2-1）-nk （1-k ）n+2(k-1)= （k-1）(2-n) 因为k-1>0,且2-n<0, 所以11k k b a n b a n -≤- 所以对于*n N ∀∈且n 2≥11n c b a n =-=1-n 所以 -1=-1n n c c -n 2≥ 又21=-1c c - 所以{}n c 是以首项1=0c d=-1为公差的等差数列。

2020年北京市高考数学压轴试卷(含答案解析)

2020年北京市高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设复数z满足，则A. B. C. D.2.设集合0，1，2，，，则A. B. 1， C. 2， D. 1，2，3.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则A. B. C. D.4.函数其中e为自然对数的底数图象的大致形状是A. B.C. D.5.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆相切，则满足条件的直线l有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6.函数的单调递增区间是A. B.C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为A. 10B. 20C. 30D. 608.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为A. B. C. D.9.已知，则“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件10.已知随机变量的分布列为：x yP y x则下列说法正确的是A. 存在x，，B. 对任意x，，C. 对任意x，，D. 存在x，，二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为______．12.函数的最小正周期等于______．13.在中，若，，，求的面积______．14.已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式______；设数列的前n项和为，则______．15.已知函数，下列命题正确的有______写出所有正确命题的编号是奇函数；在R上是单调递增函数；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么k的最大值为2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数为常数，且．在下列条件中选择一个______使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．在的条件下，当时，设，求数列的前n项和．17.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．18.已知函数Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ当时，若在上有零点，求实数a的取值范围．19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．20.已知椭圆C：．求椭圆C的标准方程和离心率；是否存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.对于，定义一个如下数阵：，其中对任意的，，当i能整除j时，；当i不能整除j时，设．Ⅰ当时，试写出数阵并计算；Ⅱ若表示不超过x的最大整数，求证：；Ⅲ若，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由，得，，则．故选：A．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：B解析：解：解得，，或；，或；；1，．故选：B．解不等式即可得出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及一元二次不等式的解法，补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：根据题意，函数为奇函数且满足，则，又由当时，，则；则有，故选：B．根据题意，由函数的奇偶性和周期性分析可得，结合函数的解析式求出的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质应用，涉及函数的周期，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．判断的奇偶性，再根据在上的函数值的符号得出答案．【解答】解：，．为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当时，，，，排除D，故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．设出直线l：，再根据点到直线距离为2和直线与圆相切列方程组成方程组解得，只有一解．【解答】解：显然直线l有斜率，设l：，则，即，又直线l与圆相切，，联立，，，所以直线l的方程为，故选：A．6.答案：C解析：解：对于函数，令，求得，故函数的单调增区间为，，故选：C．由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果．本题主要考查正弦函数的的单调性，属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意可知几何体是底面是直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影与底面三角形组成长方形，底面三角形的直角边长为：3，5，棱锥的高为4，射影几何体的体积为：．故选：A．判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．8.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．利用点在抛物线C：的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：点在抛物线C：的准线上，，，直线AF的斜率为．故选：C．9.答案：C解析：解：，由，，反之也成立．“”是“”的充要条件．故选：C．：，由，可得，化简即可判断出关系．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：由随机变量的分布列得：x，，且，对任意x，，，由此排除A和B；取时，则，，排除D．故选：C．对任意x，，，由此排除A和B；取时，求出，，排除D．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查排除法、特殊值法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：2解析：解：曲线的导数为，曲线的一条切线的斜率是3，切点的横坐标为n，则，解得，故答案为：2．求出函数的导数，通过切线的斜率，转化求解切点的横坐标即可．本题考查导数的运用：求切线方程，正确理解函数导数的几何意义以及转化求解是解题的关键．12.答案：解析：解：因为函数；故最小正周期等于．故答案为：先根据二倍角的余弦公式将函数化简为的形式，再由得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期的求法，一般先将函数化简为的形式，再由可解题．13.答案：或解析：解：在中，设，由余弦定理可得，，，或．当时，的面积为，当时，的面积为，故答案为或．设，由余弦定理可得，解出x的值，代入的面积为，运算求得结果．本题考查余弦定理的应用，求得BC的长度或，是解题的关键．14.答案：解析：解：设等比数列的公比为q，由题知，，，；，．故填：，．先由，求出公比q，再求与，最后求．本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和的求法，属于基础题．15.答案：解析：解：根据题意，依次分析4个命题：对于、，定义域是R，且，是奇函数；故正确；对于、若，则，故在R递增；故正确；对于、，令，令可得，，即方程有一根，，，则方程有一根在之间，故错误；对于、如果对任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，故正确；综合可得：正确；故答案为：．根据题意，依次分析4个命题，对于、由奇函数的定义分析可得正确；对于、对函数求导，分析可得，分析可得正确；对于、，分析可得，即方程有一根，进而利用二分法分析可得有一根在之间，即方程至少有2跟，故错误，对于、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得正确，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，关键是利用二分法．16.答案：解析：解：不能使数列是等比数列，可以．由题意，即，可得，且，，由常数且，可得为非零常数，则是为首项、为公比的等比数列；由可得，当时，，，可得，前n项和．选，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：证明：如图所示，0，，0，，0，，2，，1，，1，，2，，1，，由，，；Ⅱ解：，，．异面直线PC与BQ所成角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，只要证明，即可证明结论．Ⅱ，，，利用向量夹角公式即可得出．本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ函数的定义域为，．由，可得或，当时，在上恒成立，的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．Ⅱ当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．在上有零点的必要条件是，即，．而，若，在是减函数，，在上没有零点．若，，在上是增函数，在上是减函数，在上有零点等价于，即，解得综上所述，实数a的取值范围是．解析：Ⅰ先求出函数的定义域，再求导，分类讨论，即可求出函数的单调区间，Ⅱ在上有零点等价于，解得即可本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查了运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题．19.答案：解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为．所有的可能取值为1，2，3，；；．所以X的分布列为X123P所以X的数学期望为．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．利用古典概型概率个数求解即可．求出X的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，然后求解即可．20.答案：解：椭圆C：，即有标准方程为，可得，，，；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，可得，，即，设，，可得，，由，可得，即，即，将代入可得，，消去，可得，解得，故存在这样的直线l，且方程为或．解析：将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，．因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．所以．Ⅲ证明：由的定义可知，，所以所以．考查定积分，将区间分成等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为所以．所以所以．所以．解析：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为从而得到结果．Ⅲ由的定义可知，，所以所以再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．本小题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．。

北京市2021年高考数学压轴卷含解析.doc

北京市2021年高考数学压轴卷（含解析）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{(1)(2)0}M x x x =-+<|，{1}N x x =-|，则M N =（）A ．(2,1)-B ．[1,1)-C ．[1,)-+∞D ．(1,1)-2．设复数z 满足(1)1i z i -=+，则z 等于（） A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i3．在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（）A ．15B ．30C ．20D ．404．已知两条直线m ，n 和平面α，且//n α，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为(1)3y k x =++，以点(1,1)为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（） A ．2B．C ．4D ．86．在ABC 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（） A ．94B ．4C ．92D ．67．已知函数211,0,()221,0,x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩则不等式()20x f x ->的解集是（）A ．(1,0)(0,1)- B ．(1,1)- C ．(0,1) D ．(1,)-+∞8．将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（） A ．()g x 为偶函数 B ．02g π-=⎛⎫⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点D ．若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为9 9．数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且44a b =，则（） A ．2635a a b b +>+ B ．2635a a b b +=+C ．2635a a b b +<+D ．26a a +与35b b +大小不确定10．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n 最小值是（）(取lg30.4771,lg 20.3010≈≈)A ．15B ．16C ．17D ．18第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。