2021年北京市高考数学压轴题总复习
北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)
1．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1AC 平面1B EF ；②1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有（A ）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 CA. {}2B. 255⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C. {|222}t t ≤≤ D. 2{|52}5t t ≤≤3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有 CA. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做ABCDE1A 1D 1B1C OABDCA 1D 1A 1C 1B DCB OPN MQM BA图1 图2 图3这个点到这个平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到平面β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，且满足P到β的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面γ的距离的最大值是C（A）3（B）3（C）3+（D）66.已知函数)(xf的定义域为R，若存在常数0>m，对任意x∈R，有|()|||f x m x<，则称)(xf为F函数．给出下列函数：①2)(xxf=；②xxxf cossin)(+=；③1)(2++=xxxxf；④)(xf是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数21,xx均有21212)()(xxxfxf-≤-．其中是F函数的序号为 C（A）②④（B）①③（C）③④（D）①②7.定义区间(,)a b，[,)a b，(,]a b，[,]a b的长度均为db a=-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d=-+-=. 用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]x x x=-，其中x∈R. 设()[]{}f x x x=⋅，()1g x x=-，若用123,,d d d分别表示不等式()()f xg x>，方程()()f xg x=，不等式()()f xg x<解集区间的长度，则当02011x≤≤时，有 B（A）1231,2,2008d d d===（B）1231,1,2009d d d===（C）1233,5,2003d d d===（D）1232,3,2006d d d===8. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点,0N n，则m的象就是n，记作f m n．则下列命题中正确的是（）CA ．114f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在其定义域上单调递增D ．()f x 的图象关于y 轴对称 9. 用max{}a b ，表示a ，b两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A A ．3512 B ．5924 C ．578D ．911210. 对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是C (A) 2n(B) 2(2n -1)(C) 2n(D) 2n 211. 定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ C ）12.对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是D（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①②13. 已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 DA ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞C ．)5,31(D ．)3,(-∞(A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D) [3,)+∞14.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是 A（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）115. 已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为 A（A ）32 （B ）12（C ） 1 （D ）2 16. 已知抛物线M ：24yx ，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 DA ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈ D ．3[,)2r ∈+∞ 17. 设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）（A ）最小值为15（B（C ）最大值为15（D18. 已知数列*{} ()n a nN 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 . 2026 19. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义11,P x y 、22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y .若点1,3A -，则(,)d A O = ；已知点1,0B ，点M 是直线30(0)kxykk上的动点，(,)d B M 的最小值为 . 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩20. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____.，25 21. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间)1,0(内任取两个实数,p q ，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．[15,)+∞22. 定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．γ>α>β23．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．24.已知函数399)(+=x x x f ，则(0)(1)f f += ，若112()()k S f f k k-=+31()()(2,k f f k k kk-+++≥∈Z)，则1k S -= （用含有k 的代数式表示）．1，12k - 25.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n nn n k k a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.62；1或526.已知数列{}n a ，满足：123451,2,3,4,5a a a a a =====，且当5n ≥时，1121n n a a a a +=-，若数列{}n b 满足对任意*n ∈N ，有2221212n n n b a a a a a a =----，则5b = ；当5n ≥时，=n b ．65 n -7027．数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n =，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.120；(21,2),k k k -∈*N 28．函数)0(2>=x x y 的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，n N *∈，若161=a ，则=+53a a ，数列{}n a 的通项公式为 ．5， 52n-29.对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ．3430. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 . (2,4); 331.已知函数sin ()x f x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.①② , 9 32．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__ACP BD秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．6，(1),2(3),2n n n n a n n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数.33．已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 .1334. 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -中的逆序数为 .4；232n n -35. 已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数，且n a a a <<< 21，对任意的,,A y x ∈且x y ≠，有25xyy x ≥-． （Ⅰ）求证：251111-≥-n a a n ； （Ⅱ）求证：9≤n ；（Ⅲ）对于9=n ，试给出一个满足条件的集合A ． (Ⅰ) 证明：依题意有)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21， 因此)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ． OA 1A 2 A 3 A 4B 1 B 2 B 3 B 4 AB可得)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i ． 所以12231111111111125i i n n n a a a a a a a a +---+-+-++-≥． 即251111-≥-n a a n ． …………………4分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得25111->n a ． 又11≥a ，可得2511->n ，因此26<n ． 同理2511i n a a n i -≥-，可知251i n a i ->． 又i a i ≥，可得251in i ->， 所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立． 当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ， 可知10<n ．又当9≤n 时，25)2()2()(22<=-+≤-ni n i i n i ． 所以9≤n ． …………………9分（Ⅲ）解：对于任意n j i ≤<≤1，j i i a a a ≤<+1，由)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i 可知， 25111111≥-≥-+i i j i a a a a ，即25j i j i a a a a ≥-． 因此，只需对n i <≤1，251111≥-+i i a a 成立即可． 因为251211≥-；2513121≥-；2514131≥-；2515141≥-， 因此可设11=a ；22=a ；33=a ；44=a ；55=a ． 由2511165≥-a a ，可得4256≥a ，取76=a ． 由2511176≥-a a ，可得181757≥a ，取107=a ．由2511187≥-a a ，可得3508≥a ，取208=a ． 由2511198≥-a a ，可得1009≥a ，取1009=a ． 所以满足条件的一个集合{}100,20,10,7,5,4,3,2,1=A ．……………14分 36. 已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.（Ⅱ）若1000n =时① 若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值． 解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ．...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉.又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈,即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤， 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分 37. 已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为 30a =，且3221a a =+， 所以22a =-．同理可得123a =-，即23a =-． ………………………3分（Ⅱ）证明：假设a 为数列{}n b 中的第*()i i ∈N 项，即1i a a b ==；则211()()i i a f a f b b -===； 3212()()i i a f a f b b --===；………121()()2i i a f a f b b -====-；12()10i i ia f a a +==+=， 即1()(2)0i i a f a f +==-=。
2021.1北京高三数学期末分类汇编-新定义压轴题(含参考答案)
（Ⅲ）设数列{an} 为等比数列，公比为 q ，项数为 N (N ≥3) ．判定数列{an} 是否存在长 度为 3 的递增子列：1，16，81？若存在，求出 N 的最小值；若不存在，说明理由穷数列．给出两个性质： ①对于{an} 中任意两项 ai , a j (i > j) ，在{an} 中都存在一项 am ，使得 2ai − a j = am ； ②对于{an} 中任意项 an (n 3) ，在{an} 中都存在两项 ak ,al (k > l) ，使得= an 2ak − al . (Ⅰ)若= an 2= n (n 1, 2,) ，判断数列{an} 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若= an n= (n 1, 2,) ，判断数列{an} 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若{an} 是递增数列， a1 = 0 ，且同时满足性质①和性质②，证明：{an} 为等差数列.
（Ⅱ）对于任意“ 5 阶非负数表” A ，记 R(s) 为 A 的第 s 行各数之和（1 ≤ s ≤ 5），证明：存
在 {i, j, k}⊆ {1,2,3,4,5}，使得 R(i) + R( j) + R(k) ≥ 3 ；
（Ⅲ）当 n = 2k(k ∈ N*) 时，证明：对与任意“ n 阶非负数表” A ，均存在 k 行 k 列，使得 这 k 行 k 列交叉处的 k 2 个数之和不小于 k .
设{an*} 的前 n 项和为 Sn* .
（Ⅰ）设 an
=
n 2n
，写出 a1* ， a2* ， a3* ， a4* ；
（Ⅱ）证明：“对任意 n ∈ N* ，有= Sn* an+1 − a1 ”的充要条件是“对任意 n ∈ N* ，有 | an+1 − an |= 1 ”；
2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附答案
2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附答案一、立体几何多选题1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α2215301515=， 故D 正确故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．2．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -55【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故225OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为354356V R π==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否.【详解】如图，连接OA ，则2115OA AA =+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EFEH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱，其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，a ⎡∈⎣，()Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,22R λλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则()()12,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=，14λ=，此时113313022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；113AC A R =，则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,33D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.5．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||10A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ，则A B '===≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()313BCDE f S λλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=时，函数()f λ取得最大值()113f λ⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.6．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A ．棱的高与底边长的比为2B ．侧棱与底面所成的角为4πC D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a⨯'=- 令()233210840f a a a⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 6． 【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22a ⋅-+， ∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3【答案】ABD【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1； 当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S 的最大值为2所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确．对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体， 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.9．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D DD ．四边形1BFDE 面积的最小值为62【答案】BCD【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62. 【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E平面11ABB A BE =. 平面1BFD E 平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16232⨯⨯=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.10．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2 ）A ．BF ⊥平面EABB ．该二十四等边体的体积为203C ．该二十四等边体外接球的表面积为8πD ．PN 与平面EBFN 2 【答案】BCD【分析】 A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，所以A 错；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体， 则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心， 其半径为2R =248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠， 其正弦值为22PS PN =，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。
2021-2023北京高考真题数学汇编：压轴选择(第10题)
证明：当 n = 1 时， a1 − 6 =−3 ≤ −3 ，此时不等关系 an ≤ 3 成立；
设当 n = k 时， ak − 6 ≤ −3 成立，
则
ak +1
−
6
=
1 4
( ak
−
6)3
∈
−54, −
27 4
，故
ak +1
−
6
≤
−3
成立，
由数学归纳法可得 an ≤ 3 成立.
而 an+1 − a=n
2021-2023 北京高考真题数学汇编
压轴选择（第 10 题）
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知数列{an} 满足 an+1=
1 4
(
an
−
6)3
+
6(n=
1, 2,3,) ，则（
）
A．当 a1 = 3时，{an} 为递减数列，且存在常数 M ≤ 0 ，使得 an > M 恒成立
B．当 a1 = 5 时，{an} 为递增数列，且存在常数 M ≤ 6 ，使得 an < M 恒成立
1 4
x3
−
9 2
x2
+
26x
−
47 (
x
≤
3)
，判断得
an+1
<
an
−1，
进而取 m = −[M ] + 4 推得 an > M 不恒成立；对于 B，证明 an 所在区间同时证得后续结论；对于 C，记
m0
log3
2 log1
(M
− 6)
+ 1
，取=m
[m0 ] +1推得 an > M 不恒成立；对于 D，构造
2021年北京市高考数学总复习：数列
a1，a6，a21依次成等比数列，可得
a62＝a1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40），
解得a1＝5，
则an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；
（2） （ ），
即有前n项和为Sn （ ）
（ ） ，
数列{bn}的前n项和Sn ．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝m，an+1＝Sn+1（n∈N*）．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设公差为d的等差数列{bn}满足b1＝1，b2+b5＝b8，
则b1+d+b1+4d＝b1+7d，解得d ，
所以 ．
数列{an}前n项和为Sn且2a1＝a2＝2，且b2Sn+1+b5Sn﹣1＝b8Sn，
整理得 ，
6．已知正项等比数列{an}中，a1，2a2，a3+6成等差数列，且a42＝4a1a5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Sn是数列{an}的前n项和，设bn ，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设公比为q的正项等比数列{an}中，a1，2a2，a3+6成等差数列，且a42＝4a1a5．
＝（101+102+…+10n）+2×（1+2+…+n）﹣1×n
2 n
（10n﹣1）+n2．
2．已知数列{an}为等差数列，a7﹣a2＝10，且a1，a6，a21依次成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
北京高考数学压轴题试题集锦(含详细解析)
北京高考数学压轴题试题集锦第1讲 真题分析【例1】 （2007北京理）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ． 集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．【例2】 （2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N p *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ； （Ⅰ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅰ）是否存在,p q 使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求,p q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-， 解11323n -≥，得203n ≥. Ⅰ11323n -≥成立的所有n 中的最小正整数为7，即37b =. （Ⅰ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数m ，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈； 当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.Ⅰ()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅰ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. Ⅰ32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+， 即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--），这与上述结论矛盾！当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-.（经检验符合题意） Ⅰ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-. 【例3】 （2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅰ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅰ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，Ⅰ该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，Ⅰ该数集具有性质P. （Ⅰ）Ⅰ{}12,,n A a a a =具有性质P ，Ⅰn n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，Ⅰn n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈，Ⅰ11a = Ⅰ121n a a a =<<<， Ⅰk n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又Ⅰ121n nn nn n a a a a a a a a -<<<<， Ⅰ121121,,,n nn n n n n n a a a aa a a a a a a a --====， 从而121121n nn nn n n n a a a a a a a a a a a a --++++=++++，Ⅰ1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，当5n =时，有552343,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，Ⅰ1251a a a =<<<，Ⅰ34245a a a a a >=，Ⅰ34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈. 由2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，Ⅰ34232a aa a a ==， Ⅰ534224321a a a a a a a a a ====， 即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.【例4】 （2010北京理）已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为=1(,)||i i i d A B a b =-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅰ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ) 设P n S ⊆，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()P d，证明：()P d≤2(1)mnm -.证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)||||||niiiii d A C B C a c b c =--=---∑由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)||(,)niii d A C B C a b d A B =--=-=∑(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=(,)(,)d B C d B A C A h =--=所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的个数为l 。
北京高考数学压轴题
【例1】如果存在常数a使得数列{}n a满足：若x是数列{}n a中的一项，则a x-也是数列{}n a中的一项，称数列{}n a为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．（1）若数列：1,2,4,(4)m m>是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）已知有穷．．等差数列{}nb的项数是00(3)n n≥，所有项之和是B，求证：数列{}n b是“兑换数列”，并用n和B表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由．压轴题【例2】 已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||)n n A B a b a b a b -=---…； A 与B 之间的距离为111(,)||i d A B a b -=-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=；（Ⅱ）证明：,,(,)(,)(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈，，，三个数中至少有一个是偶数（Ⅲ） 设n P S ⊆，P 中有(2)m m …个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()d P ．【例3】 已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．【例4】 设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．(Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到 的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．1 2 3 7-2-1122221212a a a a a a a a ------【例5】 若12(0n n i A a a a a == 或1,1,2,,)i n = ，则称n A 为0和1的一个n 位排列．对于n A ，将排列121n n a a a a - 记为1()n R A ；将排列112n n n a a a a -- 记为2()n R A ；依此类推，直至()n n n R A A =．对于排列n A 和()i n R A (1,2,,1)i n =- ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做n A 和()i n R A 的相关值，记作(,())i n n t A R A ．例如3110A =，则13()011R A =， 133(,())1t A R A =-．若(,())1(1,2,,1)i n n t A R A i n =-=- ，则称n A 为最佳排列． （Ⅰ）写出所有的最佳排列3A ； （Ⅱ）证明：不存在最佳排列5A ；（Ⅲ）若某个21(k A k +是正整数)为最佳排列，求排列21k A +中1的个数．【例6】 设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.。
高考数学压轴题精选精编附详细解答试题
2021年高考数学压轴题精选精编附详细解答1、〔本小题满分是14分〕如图，点(4,0)N p -〔p >0,p 是常数〕，点T 在y 轴上，0MT NT ⋅=，MT 交x 轴于点Q ，且2TM QM =.〔Ⅰ〕当点T 在y 轴上挪动时，求动点M 的轨迹E 的方程；(4分) 〔Ⅱ〕设直线l 过轨迹E 的焦点F,且与该轨迹交于A 、B 两点，过A 、B 分别作该轨迹的对称轴的垂线，垂足分别为12,,A A 求证：OF 是1OA 和2OA 的等比中项；〔5分〕(Ⅲ) 对于该轨迹E ，能否存在一条弦CD 被直线l 垂直平分？假设存在，求出直线CD 的方程；假设不存在，试说明理由。
〔5分〕2、〔本小题满分是14分〕设函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，0()1f x <<，且对任意的实数x 、R y ∈，有).()()(y f x f y x f =+ 〔Ⅰ〕求)0(f ；〔2分〕(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(,0]-∞上是否存在最大值，假设存在，求出该最大值，假设不存在说明理由；〔5分〕〔Ⅲ〕设数列{}n a 各项都是正数，且满足1(0),a f =22111(),()(32)n n n n f a a n N f a a *++-=∈--又设1322121111,,)21(++++=+++==n n n n n an a a a a a a T b b b S b n ，试比拟S n 与 n T 的大小.〔7分〕3、〔此题满分是13分〕椭圆221:36(0)x c y t t+=>的两条准线与双曲线222:536c x y -=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l 与双曲线2c 的右支相交于,P Q 两点(其中点P 在第一象限)，线段OP 与椭圆1c 交于点,A O 为坐标原点(如下图). 〔I 〕务实数t 的值；〔II 〕假设3OP OA =⋅，PAQ ∆的面积26tan S =-⋅∠求直线l 的方程.4、〔此题满分是14分〕数列{}n a 的前n项和nS 满足11,S =-121(),n n S S n N *++=-∈数列{}n b 的通项公式34().n b n n N *=-∈〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕试比拟n a 与n b 的大小,并加以证明；〔III 〕是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.5、(本小题满分是14分)一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经历，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为０．６，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛完毕．设全局比赛互相间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数〔不计甲负乙的局数〕，求ξ〕．6、(本小题满分是14分)数列{}n a 的前n 项和为S n *()n N ∈，点〔a n ，S n 〕在直线y =2x -3n 上．〔1〕假设数列{}的值求常数成等比数列C c a n ,+；〔5分〕〔2〕求数列}{n a 的通项公式；〔3分〕〔3〕数列{}请求出一组若存在它们可以构成等差数列中是否存在三项,?,n a 合适条件的项；假设不存在，请说明理由．〔6分〕7、〔本小题14分〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋． 〔1〕问：数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论；(5分) 〔2〕求n S 和n a ；(5分)〔3〕求证：nS S S S n 41212232221-≤+⋅⋅⋅+++ (4分)8、〔本小题满分是14分〕函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0. 〔Ⅰ〕假设b ＝2，且h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(7分) 〔Ⅱ〕设函数f (x )的图象C 1与函数g (x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. (7分)9、〔本小题满分是14分〕设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 的一个交点为P . 〔Ⅰ〕当1m =时，直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于12A A 、，假如弦长12A A 等于三角形12PF F 的周长，求直线l 的斜率.〔Ⅱ〕求最小实数m ，使得三角形12PF F 的边长是自然数．10、〔本小题满分是14分〕〔Ⅰ〕函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;〔Ⅱ〕证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；〔Ⅲ〕定理:假设123,,ka a a a 均为正数,那么有123123()n n nn n kka a a a a a a a kk++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明： 当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时，12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++．11、本小题满分是14分〕如图，在OAB ∆中，||||4OA OB ==，点P 分线段AB 所成的比3:1，以OA 、OB 所在 直线为渐近线的双曲线M 恰好经过点P ，且离心率为2．〔Ⅰ〕求双曲线M 的HY 方程；〔Ⅱ〕假设直线y kx m =+〔0k ≠，0m ≠〕与双曲线M 交于不同的两点E 、F ，且E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，务实数m 的取值范围．12、本小题满分是14分函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+〔其中e 为自然对数的底，a ∈R 〕．〔Ⅰ〕求函数()f x 的解析式； 〔Ⅱ〕设ln ||()||x g x x =〔[,0)(0,]x e e ∈-〕，求证：当1a =-时，1|()|()2f xg x >+； 〔Ⅲ〕试问：是否存在实数a ，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？假如存在，求出实数a 的值；假如不存在，请说明理由．13、〔小题满分是14分〕锐角α、β满足sin cos()m βαβ=+〔0m >，2παβ+≠〕，令tan y β=，tan x α=。
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2021年北京市高考数学压轴题总复习
1．若方程f （x ）＝x 有实数根x 0，则称x 0为函数f （x ）的一个不动点．已知函数f （x ）＝
e x ﹣lnx +（a +1）x ﹣alnx （e 为自然对数的底数）a ∈R ．
（1）当a ≥0时f （x ）是否存在不动点？并证明你的结论；
（2）若a ＝﹣e ，求证f （x ）有唯一不动点．
【解答】解：（1）当a ≥0时f （x ）不存在不动点，
证明：由f （x ）＝x 可得，
e x x +ax −alnx =0， 令F （x ）=e x x +ax −alnx ，x ＞0，
则F ′（x ）=xe x −e x x 2+a −a x =(x−1)(e x +ax)x 2
， 当x ∈（0，1）时，F ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，函数单调递增，
故当x ＝1时，函数取得最小值F （1）＝a +e ＞0
故方程，e x x +ax −alnx =0没有实数根，即f （x ）不存在不动点；
（2）当a ＝﹣e 时，F （x ）=e x x
−ex +elnx ， 则F′(x)=(x−1)(e x −ex)x 2
， 令g （x ）＝e x ﹣ex 则g ′（x ）＝e x ﹣e ，
当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数单调递增，
故g （x ）≥g （1）＝0，
当x ∈（0，1）时，F ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，函数单调递增，
故当x ＝1时，函数取得最小值F （1）＝a +e ＝0，
所以e x x −ex +elnx =0有唯一的实数根1，
故f （x ）有唯一的不动点．
2．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）经过点（3，2√3），点A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，F
为抛物线的焦点，且满足FA →+FB →+FC →=0→
，过点C 作y 轴的垂线且垂足为M ． （Ⅰ）若直线AB ，FM 的斜率都存在，求证：k AB •k FM 为定值；
（Ⅱ）已知直线AB 过点（﹣1，0），抛物线上任意一点N （异于点A ，B ），直线NA ，NB 分别交直线x ＝1交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求证：OP →•OQ →
为定值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意有（2√3）2＝6p ，解得p ＝2，
所以抛物线的方程为y 2＝4x ，
所以焦点F （1，0），
设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），M （0，y 3），
由FA →+FB →+FC →=0→，得x 1+x 2＝3﹣x 3，y 1+y 2＝﹣y 3，
又因为{y 12=4x 1y 22=4x 2
， 两式相减得，（y 1+y 2）（y 1+y 2）＝4（x 1﹣x 2），
k AB =
y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2=−4y 3， k FM =0−y 31−0=−y 3， 所以k AB •k FM ＝4，
即k AB •k FM 为定值．
（Ⅱ）证明：设点N （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由{y 02=4x 0y 12=4x 1
，得y 0−y 1x 0−x 1=4y 0+y 1， 则直线l NA ：y ﹣y 0=4y 0+y 1
（x ﹣x 0）， 即（y 0+y 1）y ＝4x +y 0y 1，
其与x ＝1的交点P （1，y 0y 1+4
y 0+y 1），
同理直线l NB 与直线x ＝1的交点Q （1，
y 0y 2+4
y 0+y 2）， 所以OP →⋅OQ →=1+y 0y 1+4y 0+y 1+y 0y 2+4y 0+y 2
=1+y 02y 1y 2+4y 0(y 1+y 2)+16y 02+y 0(y 1+y 2)+y 1y 2① 设直线AB 的方程为y ＝k （x +1），
联立{y 2=4x y =k(x +1)
，消y 整理得k 2x 2+（2k 2﹣4）x +k 2＝0， 则x 1x 2＝1，y 1y 2=√16x 1x 2=4，
代入①得1+4y 02+4y 0(y 1+y 2)+16y 02+y 0(y 1+y 2)+4
=1+4＝5， 所以OP →•OQ →为定值．。