专题训练(四) 与三角形有关的角度计算的四种方法
专题训练(四)与三角形有关的角度计算的四种方法?
方法一根据三角形的内角和定理及其推论直接计算角度
1．如图4－ZT－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分线，则∠ADC 的度数为()
图4－ZT－1
A．25° B．50° C．65° D．70°
2．如图4－ZT－2，已知∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE的度数为()
图4－ZT－2
A．120° B．115° C．110° D．105°
3．2019·枣庄如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()
图4－ZT－3
A．15° B．17.5°
C．20° D．22.5°
4．2019·岳西期中如图4－ZT－4，AB∥CD，∠C＝65°，CE⊥BE，垂足为E，则∠B 的度数为________．
图4－ZT－4
5．2019·安徽绩溪期中如图4－ZT－5，已知a∥b，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠3＝________°.
图4－ZT－5
6．2019·安徽舒城月考如图4－ZT－6，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2＝________°.
图4－ZT－6
7．2019·淅川县期末如图4－ZT－7，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.
(1)填空：∠AFC＝________°；
(2)求∠EDF的度数．
8．探索与发现：在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．
(1)在图4－ZT－8①中，若∠B＝20°，∠C＝50°，求∠EAD的度数；
(2)在图②中，当∠ACB为钝角时，设∠B＝α，∠ACB＝β，请用含α，β的式子表示∠EAD，并说明理由．
图4－ZT－8
?方法二三角尺或直尺的组合放置中的角度计算
9．将一副三角尺如图4－ZT－9放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的度数为()
A．140° B．160°
C．170° D．150°
图4－ZT－9
10．2019·营口如图4－ZT－10，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为()
图4－ZT－10
A．85° B．70° C．75° D．60°
11．将一把直尺与一块三角尺如图4－ZT－11放置．若∠1＝40°，则∠2的度数为()
图4－ZT－11
A．125° B．120° C．140° D．130°
12．2019·枣庄将一副三角尺和一张对边平行的纸条按图4－ZT－12所示方式摆放，两个三角尺的一直角边重合，含30°角的三角尺的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是()
图4－ZT－12
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
?方法三与截取或折叠有关的角度计算
13．如图4－ZT－13，小明将一张三角形纸片(△ABC)沿着DE折叠(点D，E分别在边AB，AC上)，并使点A与点A′重合，若∠A＝70°，则∠1＋∠2的度数为()
A ．140°
B ．130°
C ．110°
D ．70°
? 方法四 与平行线的性质或判定综合的角度计算
14．如图4－ZT －14所示，已知AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，且EG 平分∠FEB ，∠1＝50°，则∠2等于( )
图4－ZT －14
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
15．2019·金华如图4－ZT －15，已知AB ∥CD ，BC ∥DE.若∠A ＝20°，∠C ＝120°，则∠AED 的度数是________.
图4－ZT －15
16．如图4－ZT －16，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠ADE ＝155°，求∠B 的度数．
图4－ZT －16
17．已知：如图4－ZT －17，AB ∥CD ，∠1＝∠2，求证：∠BEF ＝∠EFC.
图4－ZT －17
详解详析
1．[解析] C ∵∠C ＝90°，∠B ＝40°，∴∠BAC ＝90°－∠B ＝90°－40°＝50°.∵AD 是
∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝12
∠BAC ＝25°，∴∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝40°＋25°＝65°.故选C.
2．[解析] B ∠DFE ＝∠A ＋∠ADF ＝∠A ＋∠B ＋∠C ＝32°＋45°＋38°＝115°.故选B.
3．[解析] A ∵∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，∴∠DBE ＝12
∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE .又∵∠DCE －∠DBE ＝∠D ，∠ACE －∠ABC ＝∠A ，∴∠D ＝12∠A ＝12
×30°＝15°.故选A.
4．25° 5.70 6.56
7．解：(1)∵△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，
∴∠BAD ＝∠DAF .
∵∠B ＝50°，∠BAD ＝30°，
∴∠AFC ＝∠B ＋∠BAD ＋∠DAF ＝110°.
故答案为110.
(2)∵∠B ＝50°，∠BAD ＝30°，
∴∠ADB ＝180°－50°－30°＝100°.
∵△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，
∴∠ADE ＝∠ADB ＝100°，
∴∠EDF ＝∠EDA ＋∠BDA －∠BDF ＝100°＋100°－180°＝20°.
8．解：(1)∵∠B ＝20°，∠C ＝50°，
∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－20°－50°＝110°.
∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝55°.
又∵AD ⊥BC ，
∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－20°＝70°.
∴∠EAD ＝∠BAD －∠BAE ＝70°－55°＝15°.
(2)∠EAD ＝12β－12
α.理由如下： ∵∠BAC ＝180°－α－β，AE 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE ＝12
(180°－α－β)． ∵∠BAD ＝90°－α，
∴∠EAD ＝∠BAD －∠BAE ＝(90°－α)－12(180°－α－β)，即∠EAD ＝12β－12
α. 9．[解析] B ∠BOC ＝∠AOB ＋∠COD －∠AOD ＝90°＋90°－20°＝160°.
10．C
11．[解析] D
在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，∠1＝40°，(已知)∴∠3＝90°－∠1＝50°，(三角形的内角和定理)∴∠4＝180°－∠3＝130°.(平角定义)∵EF∥MN，(已知)∴∠2＝∠4＝130°.(两直线平行，同位角相等)故选D.
12．[解析] A如图，过点A作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°.
∵∠2＋∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°.
故选A.
13．[解析] A∵△A′DE是由△ADE翻折而得，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝70°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－70°＝110°，∴∠1＋∠2＝360°－2×110°＝140°.故选A.
14．[解析] D∵EG平分∠FEB，∴∠FEB＝2∠1＝2×50°＝100°.∵AB∥CD，∴∠2＋∠FEB＝180°，∴∠2＝180°－∠FEB＝180°－100°＝80°.故选D.
15．[答案] 80°
[解析] 延长DE交AB于点F，∵AB∥CD，BC∥DE，∴∠AFE＝∠B，∠B＋∠C＝180°. ∴∠AFE＋∠C＝180°. 又∵∠C＝120°，∠A＝20°，∴∠AFE＝60°，∴∠AED＝∠A＋∠AFE ＝80°.
16．解：∵∠ADE＝155°，
∴∠EDC＝25°.
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠EDC＝25°.
在△ABC中，∠A＝90°，
∴∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝65°.
17．证明：连接BC，如图．∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB，(两直线平行，内错角相等)即∠1＋∠EBC＝∠2＋∠FCB.又∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥FC，(内错角相等，两直线平行)
∴∠BEF＝∠EFC.(两直线平行，内错角相等)