高中数学苏教版选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.2.1
有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给 x，y，z 中的 一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个,0,0)不能作为法向量．
探究 5 利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？
【提示】 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向 向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行． (3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．
【精彩点拨】
(1)利用两直线的方向向量共线求解；
→ → 3→ (2)AB即是直线 AB 的一个方向向量，利用AP＝5AB求点 P 的坐标．
x y 8 【解析】 (1)由 l1∥l2 可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以 ＝ ＝ ， －7 3 4 解得 x＝－14，y＝6. → (2)AB＝(0,6,2)是直线 AB 的一个方向向量． → 3→ 由 AP∶PB＝3∶2，得AP＝5AB. 3 设 P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝5(0,6,2)，
阶 段 一
阶 段 三
3.2 3.2.1
阶 段 二
空间向量的应用
学 业 分 层 测 评
直线的方向向量与平面的法向量
1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点) 2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点) 3．平面法向量的设法．(易错点)
[ 基础· 初探] 教材整理 1 直线的方向向量
阅读教材 P99 上半部分，完成下列问题．
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
2．求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向 量． (2)取特值：在求 n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个取特殊值， 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量 n＝(x，y，z)的某个坐标为某特 定值时，一定要注意这个坐标不为 0.
18 3 即 x－2＝0，y＝ 5 ，z－1＝2· 5， 18 11 解得 x＝2，y＝ 5 ，z＝ 5 ， 所以直线 AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点 P
18 11 的坐标为2， 5 ， 5 .
【答案】 (1)－14 6 (2)(0,6,2)
18 11 2， ， 5 5
1 1 → → 0， ，－1＝0， AE· D1F＝0，1，2· 2
→ → → → 所以AD⊥D1F，AE⊥D1F，又 AD∩AE＝A， → 所以D1F⊥平面 ADE， → 从而D1F是平面 ADE 的法向量．
用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明 线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必 须证明两个线线垂直.
【解析】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)，
【导学号：09390079】
→ n· AB＝z＝0， 则 → AC＝－x＋y＋z＝0， n· 令 x＝1，则 y＝1，z＝0， 即 n＝(1,1,0)， 则平面 ABC 的一个法向量为(1,1,0)．
【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)
1 → 1 D2，0，0，C(1,1,0)，S(0,0,1)，AD＝2，0，0是平面
SBA 的法向量， → → → 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，u)，有 n⊥DC，n⊥DS，则 n· DC＝(1，λ，
1 1 1 ，1，0 ＝ ＋λ＝0，∴λ＝－ . u)· 2 2 2 1 1 1 1 1 → － ，0，1＝－ ＋u＝0，∴u＝ ，∴n＝1，－ ， . n· DS＝(1，λ，u)· 2 2 2 2 2
[ 再练一题] 2．如图 323 所示，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB， PC 的中点．
图 323
(1)指出直线 MN 的一个以 A 为起点的方向向量； → (2)若∠PDA＝45° ，求证：MN为平面 PCD 的一个法向量．
【解】
(1)取 PD 的中点 E，连结 NE，AE，
证明平面的法向量
在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点．
图 322
→ 求证：D1F是平面 ADE 的法向量． → 【精彩点拨】 要证明D1F是平面 ADE 的法向量， 只需证明 D1F⊥平面 ADE
即可．
【自主解答】
如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，
DD1 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1，则
因为 N 是 PC 的中点， 1 所以 NE∥DC，NE＝ DC. 2 1 又 DC∥AB，DC＝AB，AM＝ AB， 2 1 1 所以 AM∥ CD，AM＝ CD. 2 2 所以 NE∥AM，NE＝AM. 所以四边形 AMNE 是平行四边形，所以 MN∥AE. → 所以AE为直线 MN 的一个以 A 为起点的方向向量．
1．平面 α 内一条直线 l 的方向向量为 a＝(2,3，－1)，平面 α 的法向量为 n ＝(－1,1，m)，则 m＝________.
【解析】 易知 a· n＝0，即－2＋3－m＝0，解得 m＝1. 【答案】 1
2．已知 A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面 ABC 的法向量为________.
【精彩点拨】 因为与平面垂直的向量为平面的法向
图 321
量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用 直接法求出；若没有，设出法向量 n，再利用待定系数法求解．
【自主解答】
∵AD，AB，AS 是三条两两垂直的线
→ → → 段，∴以 A 为原点，以AD，AB，AS的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，
(2)证明：在 Rt△PAD 中，∠PDA＝45° ， 所以 AP＝AD，所以 AE⊥PD， 又因为 MN∥AE，所以 MN⊥PD. 因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥CD， 又因为 CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面 PAD， 因为 AE⊂平面 PAD，所以 CD⊥AE. 又因为 MN∥AE，所以 CD⊥MN，又因为 CD∩PD＝D， 所以 MN⊥平面 PCD. → 所以MN为平面 PCD 的一个法向量．
[ 小组合作型]
直线的方向向量及其应用
(1)已知直线 l1 的一个方向向量为(－7,3,4)，直线 l2 的一个方向向量 为(x，y,8)，且 l1∥l2，则 x＝________，y＝________. (2)在空间直角坐标系中，已知点 A(2,0,1)，B(2,6,3)，P 是直线 AB 上一点， 且满足 AP∶PB＝3∶2，则直线 AB 的一个方向向量为________，点 P 的坐标为 ________．
【提示】 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任
意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此， 求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
探究 4 依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？
【提示】
a＝0， n· 不惟一． 利用待定系数法求平面法向量时， 由于方程组 b＝0 n·
2＝－λ， 即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即 x＝λ，
∴λ＝－2，x＝－2.
【答案】 －2
教材整理 2
平面的法向量
阅读教材 P99 中间部分，完成下列问题．
向量n垂 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α， 那么称__________ 平面α的法向量 ． 直于平面 α，记作________. n⊥α __________ 此时，我们把向量 n 叫做________________
[ 探究共研型]
方向向量与法向量的特征
探究 1 如何正确地判断直线的方向向量？
【提示】
(1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两
个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合． (2)与直线 l 平行的任意非零向量 a 都是直线的方向向量， 且直线 l 的方向向 量有无数个．
(3)给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，就可以确定惟一一条过点 A 且平 行于向量 a 的直线． (4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不 一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可 能相反．
1 → 1 → ∴AM＝0，1，2，AN＝－1，2，1.
1 1 A(1,0,0)， M1，1，2， N0，2，1.
设平面 AMN 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 1 → AM＝y＋2z＝0， n· ∴ 1 → n· AN＝－x＋2y＋z＝0， 令 y＝2，∴x＝－3，z＝－4，∴n＝(－3,2，－4).
1．应注意直线 AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个． 2． 利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线 的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．
求平面的法向量
如图 321， ABCD 是直角梯形， ∠ABC＝90° ， 1 SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SBA 与平面 SCD 的法向量．
探究 2 过空间任意一定点 P，能否作出平面 α 的法向量？能作几条？
【提示】 由于过空间任意一点 P，有且仅有一条直线 PO 垂直于平面 α， 因此，过空间任意一点都能作出平面 α 的法向量． 由于直线 PO 的方向向量有无数个， 因此， 过点 P 的平面 α 的法向量也有无 数个． 探究 3 求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？
1 D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E1，1，2， 1 F0，2，0， → 1 → → 1 → → 所以AD＝(－1,0,0)，D1F＝ 0，2，－1 ，AE＝ 0，1，2 ，所以AD· D1F＝(－ 1 0， ，－1＝0， 1,0,0)· 2
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高中数学苏教版选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.1+2
[ 基础· 初探] 教材整理 1 空间向量及其线性运算
阅读教材 P81 的部分，完成下列问题． 1．空间向量
大小 又有______ 方向 的量叫做空间向量． 在空间，把既有______
2．空间向量的线性运算 空间向量的 线性运算 定义(或法则) 设 a 和 b 是空间两个向量， 过一点 O 作 a 和 b 的____________ 相等向量 → → 平行四边形法则 ．平行四 OA和OB，根据平面向量加法的_________________ → 边形 OACB 的对角线 OC 对应的向量OC就是 a 与 b 的和， 记 作 a＋b
【自主解答】 对于(1)：单位向量是指长度等于 1 个单位长度的向量，而 其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且 方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的， 故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．
【答案】 3
空间向量的线性运算 → → → → 化简：(AB－CD)－(AC－BD)． 【精彩点拨】 根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为
减法运算． 【自主解答】 法一：将减法转化为加法进行化简．
→ → → → ∵AB－CD＝AB＋DC， → → → → → → → → ∴(AB－CD)－(AC－BD)＝AB＋DC－AC＋BD → → → → → → → → ＝AB＋DC＋CA＋BD＝AB＋BD＋DC＋CA → → ＝AD＋DA＝0.
【答案】 (1)(2)(3)(4)
1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空 间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决． 2． 对于有关向量基本概念的考查， 可以从概念的特征入手， 也可以通过举出反例而排除或否定相关命题．
高中数学(苏教版 选修2-1)课件第3章 空间向量与立体几何3.2.2精选ppt课件
【解析】 ∵n＝－2a，∴n∥a，又 n 是平面 α 的法向量，所以 l⊥α.
【答案】 垂直
4 ． 已 知 不 重 合 的 平 面 α ， β 的 法 向 量 分 别 为 n1 ＝ 12，3，－1 ， n2 ＝
－16，－1，13，则平面 α 与 β 的位置关系是________. 【导学号：09390083】
∵P→D＝0，2 3 3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
1．证明线线垂直常用的方法 证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．
【解析】 ∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故 α∥β.
【答案】 平行
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
【答案】 垂直
4 ． 已 知 不 重 合 的 平 面 α ， β 的 法 向 量 分 别 为 n1 ＝ 12，3，－1 ， n2 ＝
－16，－1，13，则平面 α 与 β 的位置关系是________. 【导学号：09390083】
∵P→D＝0，2 3 3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
1．证明线线垂直常用的方法 证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．
【解析】 ∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故 α∥β.
【答案】 平行
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
高中数学选修2-1-第三章 空间向量与立体几何 复习课件-苏教版
由题意知 DA1 是平面 ABD1 的一个法向量, DA1 =(1,0,1), DC1 是平面 BCD1 的一个法向量, DC1 =(0,1,1),
所以 cos
< DA1 , DC1 >=
DC1 DA1 DC1 DA1
=1 2
.
所以< DA1 , DC1 >=60°.即二面角 A-BD1-C 的大小为 60°.
3 AE-C 的大小为 π .
3
(1)求PB的长度;
(1)解:因为 AB 平行且等于 EC, 所以四边形 ABCE 是平行四边形,所以 BC∥AE, 又因为 BD⊥BC,所以 BD⊥AE, 所以 AE⊥FB,AE⊥FP, 即∠PFB 为二面角 P-AE-C 的平面角, BF= 3 ,PF=2 3 , 由余弦定理 BP2=BF2+PF2-2BF·PFcos∠BFP=9, 得 BP=3.
(2)P点到平面EFB的距离.
解:(2)设 n=(x,y,z)是平面 EFB 的单位法向量,即|n|=1,n⊥平面 EFB, 所以 n⊥ EF ,且 n⊥ BE .又 EF =(-a,a,0), BE =(0,-a,a),即
x
3,
x2 y2 ax ay
z2 0,
1,
得其中的一个解是
( 5 ,0, 2 5 ).
5
5
因为 N(1,1,0),所以 MN =(-1,1,-1),故点 N 到平面 MA1C1 的距离 d=| MN · n0|=1.
四、易错易误辨析 1.混淆向量与实数的运算性质致误 【典例4】 已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与 7a-2b垂直,求向量a,b的夹角.
错解:由题意得
苏教版高中数学选修2-1第三章-空间向量与立体几何3.2.2ppt课件
精品数学课件 苏教版
3．2.2 空间线面关系的判定
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与 平面的垂直、平行关系． (2)能用向量方法判断有关直线和平面位置关系的立体几 何问题．
2．过程与方法 (1)通过对直线方向向量和平面法向量的应用，得出直线 与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系的判定 方法．(2)通过判定方法的应用过程，体会向量法求解立体几 何问题的优势，理解体会用向量方法解决立体几何问题的思 想及过程． 3．情感、态度与价值观 引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题 的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同 时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．
(1)由上可知B→O1＝(－1，－1,2)，O→D1＝(－1，－1,2)， ∴B→O1＝O→D1∴B→O1∥O→D1， 又直线 BO1 与 OD1 无公共点， ∴BO1∥OD1. (2)法一 由上可知A→C＝(－2,2,0)，A→D1＝(－2,0,2)， ∴B→O1＝－12A→C＋A→D1，∴B→O1，A→C，A→D1共面， ∴B→O1∥平面 ACD1，又 BO1⊄平面 ACD1， ∴BO1∥平面 ACD1.
由A→1B1＝A→B，易得 B1(－1,1,1)． ∵A→1C＝(－1,0，－1)，B→D＝(0，－2,0)，B→B1＝(－1,0,1)， ∴A→1C·B→D＝0，A→1C·B→B1＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1， ∴A1C⊥平面 BB1D1D.
法二 ∵A1O⊥平面 ABCD，∴A1O⊥BD. 又四边形 ABCD 是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面 A1OC，∴BD⊥A1C. 又 OA1 是 AC 的中垂线，∴A1A＝A1C＝ 2，且 AC＝2， ∴AC2＝AA12＋A1C2， ∴△AA1C 是直角三角形，∴AA1⊥A1C. 又 BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，又 BB1∩BD＝B， ∴A1C⊥平面 BB1D1D.
3．2.2 空间线面关系的判定
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与 平面的垂直、平行关系． (2)能用向量方法判断有关直线和平面位置关系的立体几 何问题．
2．过程与方法 (1)通过对直线方向向量和平面法向量的应用，得出直线 与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系的判定 方法．(2)通过判定方法的应用过程，体会向量法求解立体几 何问题的优势，理解体会用向量方法解决立体几何问题的思 想及过程． 3．情感、态度与价值观 引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题 的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同 时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．
(1)由上可知B→O1＝(－1，－1,2)，O→D1＝(－1，－1,2)， ∴B→O1＝O→D1∴B→O1∥O→D1， 又直线 BO1 与 OD1 无公共点， ∴BO1∥OD1. (2)法一 由上可知A→C＝(－2,2,0)，A→D1＝(－2,0,2)， ∴B→O1＝－12A→C＋A→D1，∴B→O1，A→C，A→D1共面， ∴B→O1∥平面 ACD1，又 BO1⊄平面 ACD1， ∴BO1∥平面 ACD1.
由A→1B1＝A→B，易得 B1(－1,1,1)． ∵A→1C＝(－1,0，－1)，B→D＝(0，－2,0)，B→B1＝(－1,0,1)， ∴A→1C·B→D＝0，A→1C·B→B1＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1， ∴A1C⊥平面 BB1D1D.
法二 ∵A1O⊥平面 ABCD，∴A1O⊥BD. 又四边形 ABCD 是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面 A1OC，∴BD⊥A1C. 又 OA1 是 AC 的中垂线，∴A1A＝A1C＝ 2，且 AC＝2， ∴AC2＝AA12＋A1C2， ∴△AA1C 是直角三角形，∴AA1⊥A1C. 又 BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，又 BB1∩BD＝B， ∴A1C⊥平面 BB1D1D.
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.3)ppt课件
3.2.3 空间的角的计算
5
[预习导引]
1.两条异面直线所成的角
(1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线
a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b
所成的角. (2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.
(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，
1234
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的 正弦值为________.
解析 建系如图，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
A(1,0,0)， ∴B→C1＝(－1,0,1)，A→C1＝(－1,1,1)，A→1B＝(0,1，－1)，
则a，b所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝|a|a|··b|b||.
3.2.3 空间的角的计算
6
2.直线与平面所成的角
(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面
内的射影所成的角. (2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤π2.
(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，
3.2.3 空间的角的计算
34
1234
∴A→B1＝ 26， 22，－1，C→1B＝ 26，－ 22，1， ∴A→B1·C→1B＝64－24－1＝0，∴A→B1⊥C→1B. 即AB1与C1B所成角的大小为90°. 答案 90°
3.2.3 空间的角的计算
35
1234
4.如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角 坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z 轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2， ∠VDC＝θ.当θ＝π3 时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值. 解 由于AC＝BC＝2，D是AB的中点， 所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).
苏教版高中数学选修2-1：空间向量的应用_课件3
则nn11··AA→→AC1＝＝00
⇒z－＝20x，＋2y＝0.
令 x＝1，得 y＝1，∴n1＝(1,1,0)． 设平面 AEC1 的一个法向量为 n2＝(x，y，z)，
则nn22··AA→→CE1＝＝00
－2x＋2y＋z＝0， ⇒－2x＋12z＝0.
令 z＝4，得 x＝1，y＝－1，∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
则D→1E＝(0，a，－2a)，D→A1＝(a,0,2a)，D→B＝(a，a,0)．
又(0，a，－2a)＝(a，a,0)－(a,0,2a)， 所以D→1E＝D→B－D→A1，所以D→1E、D→B、D→A1共面． 因为 DA1、DB⊂平面 A1BD，D1E⊄平面 A1BD，
故 D1E∥平面 A1BD.
即r2－12rt＋12r2－12rt＋12rt－t2＝0， 12r2－12rt＋r2－12rt＋12rt－t2＝0，
得32r2－12rt－t2＝0，∴r＝t. 因此，当CCCD1＝1 时，A1C⊥平面 C1BD.
【名师点评】 当空间图形不适合建立空间 直角坐标系时，一般选用基向量法．
θ＝
1 3.
【名师点评】 用向量法求二面角的大小时， 可以转化为求两平面的法向量的夹角，但应 注意二面角与该角的关系是相等还是互补， 应根据图形进行选择．
(2)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：作 SO⊥BC，垂足为 O， 连结 AO. 由侧面 SBC⊥底面 ABCD，得 SO⊥平面 ABCD. 因为 SA＝SB，所以 AO＝BO.又∠ABC＝45°， 故△AOB 为等腰直角三角形，且 AO⊥OB.
如图，以 O 为坐标原点，O→A方向为 x 轴正向，O→B 方向为 y 轴正向，O→S方向为 z 轴正向，建立空间 直角坐标系 O－xyz，则 A( 2，0,0)、B(0， 2， 0)、C(0，－ 2，0)、S(0,0,1)，
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.1)ppt课件
15
A→E·D→1F＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0， 所以A→D⊥D→1F，A→E⊥D→1F，又 AD∩AE＝A， 所以D→1F⊥平面 ADE， 从而D→1F是平面 ADE 的法向量.
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
16
规律方法 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的 数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直 相同，区别在于必须证明两个线线垂直.
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
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课堂小结 1.直线的方向向量的应用 利用方向向量可以确定空间中的直线.若有直线 l，点 A 为直线上的 点，向量 a 是 l 的方向向量，在直线 l 上取A→B＝a，则对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使A→P＝tA→B，这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置还可以具体地表示出直线 l 上的任意点.
y 轴，z 轴的正方向建立如图所示坐标系，
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
12
则 A(0,0,0)，D(12，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
A→D＝(12，0,0)是平面 SBA 的法向量， 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，u)，有 n⊥D→C，n⊥D→S，
则 n·D→C＝(1，λ，u)·(12，1,0)＝21＋λ＝0，∴λ＝－12. n·D→S＝(1，λ，u)·(－21，0,1)＝－12＋u＝0， ∴u＝12，∴n＝(1，－21，21).
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(章末复习提升)ppt课件
正确； 又因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，SA＝SB＝SC＝SD
＝2，所以S→A·S→B＝2·2·cos∠ASB，S→C·S→D＝2·2·cos∠CSD，
而∠ASB＝∠CSD，于是S→A·S→B＝S→C·S→D，因此④正确， 其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
答案 ③④
章末复习提升
向量的夹角范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是(0，π2]. ②平面的斜线的方向向量与平面法向量的夹角余弦的绝对
值等于该斜线与平面所成角的正弦，由此可求斜线与平面
所成的角.
③如图②，设n1，n2分别是二面角αlβ中平面α，β的法向量，
则n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角.
章末复习提升
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(4)求空间的距离 两平行平面间的距离、直线与平面的距离都可转化为点到 平面的距离；利用法向量可求点到平面的距离：如图③， 设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条射线，其中A∈α，
→ 则点B到平面α的距离为|AB·n| .
|n|
章末复习提升
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知识网络
系统盘点，提炼主干
题型一 空间向量及其运算 空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运 算以及空间向量的坐标运算.空间向量的运算法则、运算律 与平面向量基本一致.主要考查空间向量的共线与共面以及 数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础.
的平面角的余弦值为
6 3.
章末复习提升
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跟踪演练3 如图，正方形ACDE所在的平面与平
面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且
AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC； 证明 ∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.2)ppt课件
设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c，
则由已知条件和正三棱柱的性质，
得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，
3.2.2 空间线面关系的判定
12
A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)，
A→N＝b＋14c，M→N＝A→N－A→M＝－12a＋21b＋14c， ∴A→B1·M→N＝(a＋c)·(－21a＋12b＋14c) ＝－21＋21cos 60°＋14＝0. ∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
3.2.2 空间线面关系的判定
25
B→C＝－ 22a， 22a，0. 设C→E＝tC→S，则B→E＝B→C＋C→E＝B→C＋tC→S
＝－ 22a， 22a1－t， 26at， 而B→E·D→S＝0⇔t＝31. 即当 SE∶EC＝2∶1 时，B→E⊥D→S.
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图.
3.2.2 空间线面关系的判定
23
设底面边长为 a，则高 SO＝ 26a，
于是
S 0，0，
26a ， D －
22a，0，0
，
B
22a，0，0 ，
C0， 22a，0，O→C＝0， 22a，0， S→D＝－ 22a，0，－ 26a，则O→C·S→D＝0. 故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
3.2.2 空间线面关系的判定
26
规律方法 在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式 出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需 要说明理由.解答这一类问题时，先假设结论存在，若推 证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在.
3.2.2 空间线面关系的判定
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跟踪演练3 空间图形P-ABCD中，ABCD是菱形，∠ABC＝ 60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ 2a，点E在PD上，且PE∶ED ＝2∶1.在PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明 你的结论. 解 以A为坐标原点，AD、AP所在直线分别 为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为 x轴，建立空间直角坐标系如图所示.
则由已知条件和正三棱柱的性质，
得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，
3.2.2 空间线面关系的判定
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A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)，
A→N＝b＋14c，M→N＝A→N－A→M＝－12a＋21b＋14c， ∴A→B1·M→N＝(a＋c)·(－21a＋12b＋14c) ＝－21＋21cos 60°＋14＝0. ∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
3.2.2 空间线面关系的判定
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B→C＝－ 22a， 22a，0. 设C→E＝tC→S，则B→E＝B→C＋C→E＝B→C＋tC→S
＝－ 22a， 22a1－t， 26at， 而B→E·D→S＝0⇔t＝31. 即当 SE∶EC＝2∶1 时，B→E⊥D→S.
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图.
3.2.2 空间线面关系的判定
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设底面边长为 a，则高 SO＝ 26a，
于是
S 0，0，
26a ， D －
22a，0，0
，
B
22a，0，0 ，
C0， 22a，0，O→C＝0， 22a，0， S→D＝－ 22a，0，－ 26a，则O→C·S→D＝0. 故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
3.2.2 空间线面关系的判定
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规律方法 在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式 出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需 要说明理由.解答这一类问题时，先假设结论存在，若推 证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在.
3.2.2 空间线面关系的判定
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跟踪演练3 空间图形P-ABCD中，ABCD是菱形，∠ABC＝ 60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ 2a，点E在PD上，且PE∶ED ＝2∶1.在PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明 你的结论. 解 以A为坐标原点，AD、AP所在直线分别 为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为 x轴，建立空间直角坐标系如图所示.
高中数学：3.2《立体几何中的向量方法(一)》江苏课件(苏教版选修2-1)
见，取z=1较合理。 其实平面的法向量不
（ x，y，z）g(2, 2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）g(4,5,3) 0,
即24xx
r n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
1
2y z 0 , 取z 5y 3z 0
, 1,1),
|
r n
|
3
1，得
x y
1 2 1
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？
又 x因 为y uD12u1uFzur0(0所, 12以, nr1)=(0，1，所- 2以) uDu1uFur//nr
所以 D1F 平面ADE
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行
l
以向量给定nr 为一法点向A和量一的个平向面量是nr完,那全么确过定点的A. ,
r n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
23..一 向个 量平nr是面平的面所的有法法向向量量，都向互量相mu平r 行是;
与r 平ur面平行或在平面内，则有
nm 0
例
1:在正方体 uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1