高一数学概率单元检测题
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (32)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为16．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A+B（B表示事件B的对立事件）发生的概率为( )A．13B．12C．23D．562.若事件A与B为互斥事件，则下列表示正确的是( )A．P(A∪B)>P(A)+P(B)B．P(A∪B)<P(A)+P(B)C．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(A)+P(B)=13.某医院治疗一种疾病的治愈率为15．那么，前4个患者都没有治愈，第5个患者治愈的概率是( )A．1B．15C．45D．04.抛掷一枚骰子，观察向上的点数，则该试验中，基本事件的个数是( )A．1B．2C．4D．65.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C= {抽到三等品}，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A．0.7B．0.65C．0.35D．0.56.甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A．0.95B．0.6C．0.05D．0.47.甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发 1 个球．若在某局比赛中，甲发球贏球的概率为 12，甲接发球赢球的概率为 25，则在比分为 10:10 后甲先发球的情况下，甲以 13:11 赢下此局的概率为 ( ) A ． 225B ． 310C ． 110D ． 3258. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 ( ) A ．521B ．1021C ．1121D ．19. 从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为奇数的概率是 ( ) A ． 15B ． 25C ． 12D ． 3510. 我们记事件 P 为明天会下雨，事件 Q 为明天会下暴雨，则有 ( ) A ． P ⊆Q B ． Q ⊆PC ． P =QD ．事件 P 与事件 Q 没有关系二、填空题（共6题）11. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数分别为 x ，y ，则 xy 是整数的概率是 ．12. 思考辨析 判断正误某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．( )13. 设集合 A ={1,2}，B ={1,2,3}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ，确定平面上的一个点 P (a,b )，记“点 P (a,b ) 落在直线 x +y =n 上”为事件 C n （2≤n ≤5，n ∈N ），若事件 C n 的概率最大，则 n 的所有可能值为 ．14. 从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．15. 某班有 42 名学生，其中选考物理的学生有 21 人，选考地理的学生有 14 人，选考物理或地理的学生有 28 人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ．16. 袋中 12 个小球，分别有红球、黑球、黄球各若干个（这些小球除颜色外其他都相同），从中任取一球，得到红球的概率为 13，得到黑球的概率比得到黄球的概率多 16，则得到黑球、黄球的概率分别是．三、解答题（共6题）17.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利润50元，若供大于求，则剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1) 若商店一天购进商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；(2) 商店记录了该商品50天内的日需求量n（单位：件，n∈N），将数据整理后得到下表：日需求量(单位:件)89101112频数(单位:天)91115105若商店一天购进10件该商品，以记录的50天内各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润（单位：元）在[400,550]内的概率．18.甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子，如果向上的面的点数之和为偶数，则甲赢，否则乙赢．(1) 求两枚骰子向上的面的点数之和为8的概率；(2) 这种游戏规则公平吗？试说明理由．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．(1) 求甲连胜四场的概率；(2) 求需要进行第五场比赛的概率；(3) 求丙最终获胜的概率．20.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．高校相关人员抽取人数A18xB362C54y(1) 求x，y；(2) 若从高校B，C抽取的人中选2人做专题发言，求这2人都来自高校C的概率．21. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 29．(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．22. 海关对同时从 A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测．地区A B C 数量50150100(1) 求这 6 件样品中来自 A ，B ，C 各地区商品的数量；(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意知，B表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B互斥，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A+B)=P(A)+P(B)=26+26=46=23．【知识点】互斥事件的概率计算2. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算3. 【答案】B【解析】每一个患者治愈与否都是随机事件，故第5个患者被治愈的概率仍为15．【知识点】频率与概率4. 【答案】D【知识点】事件与基本事件空间5. 【答案】C【解析】因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P=1−P(A)=0.35．【知识点】事件的关系与运算6. 【答案】A【解析】方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1−0.75)+(1−0.8)×0.75+0.8×0.75=0.95．方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1−0.2×0.25=0.95．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P1=12×35×12×25=350；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P2=12×25×12×25=125．所以甲以13:11赢下此局的概率为P1+P2=110．【知识点】事件的相互独立性8. 【答案】B【解析】方法一：从袋中取出2个球的方法有C152=105（种），取出1个白球的方法有C101=10（种），取出1个红球的方法有C51=5（种），故取2个球，1白1红的方法有C101C51=50（种），所以P=50105=1021．方法二（间接法）：从袋中取出2个球的方法有C152=105（种），若取出的2个球是同色的，则取出的方法有C102+C52=55（种）．记“取出的2个球同色”为事件A，则P(A)=55105=1121．因此，取出的2个球不同色的概率为P=1−P(A)=1021．【知识点】古典概型9. 【答案】B【知识点】古典概型10. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】718【知识点】古典概型12. 【答案】×【知识点】频率与概率13. 【答案】3或4【解析】点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P(a,b)落在直线x+y=n上（2≤n≤5，n∈N），则当n=2时，P点是(1,1)，当n=3时，P点可能是(1,2)，(2,1)，当n=4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，当 n =5 时，P 点是 (2,3)，即事件 C 3，C 4 的概率最大，故 n =3 或 4． 【知识点】古典概型14. 【答案】13【解析】一次随机抽取两个数共有 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4) 这六组，一个数是另一数的 2 倍的有 2 种， 故所求概率为 13．【知识点】古典概型15. 【答案】 16【解析】设选考物理的学生为集合 A ，选考地理的同学为集合 B ， 由题意得：Card (A ∪B )=Card (A )+Card (B )−Card (A ∩B )， 即 28=21+14−Card (A ∩B )， 解得：Card (A ∩B )=7，所以该班有 7 人既选考物理又选考地理，所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 742=16， 故答案为：16． 【知识点】古典概型16. 【答案】 512，14【解析】因为得红球的概率为 13， 所以黑球或黄球的概率为 23．记“得到黄球”为事件 A ，“得到黑球”为事件 B ， 则 {P (A )+P (B )=23,P (B )−P (A )=16.所以 P (A )=14，P (B )=512． 【知识点】事件的关系与运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 当 n ≥10 时，y =50×10+(n −10)×30=30n +200； 当 n <10 时，y =50×n −(10−n )×10=60n −100，所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为 y ={30n +200,n ≥10,n ∈N60n −100,n <10,n ∈N ．根据题意求出当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式，应用了函数与方程思想． (2) 记录的 50 天内有 9 天获得的利润为 380 元，有 11 天获得的利润为 440 元，有 15 天获得的利润为 500 元，有 10 天获得的利润为 530 元，有 5 天获得的利润为 560 元． 若当天的利润在 [400,550] 内，则该商品的日需求量可以为 9 件、 10 件、 11 件，其对应的频数分别为 11，15，10，则当天的利润在 [400,550] 内的概率 P =11+15+1050=3650=1825．【知识点】古典概型、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 若用 (x,y ) 表示甲得到的点数为 x ，乙得到的点数为 y ， 则样本空间可记为 Ω={(x,y )∣ x,y =1,2,3,4,5,6}， 则两人的投掷结果共有 36 个基本事件，两枚骰子向上的面的点数之和为 8 的基本事件有 (2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，共 5 个， 所以两枚骰子向上的面的点数之和为 8 的概率 P =536． (2) 这种游戏规则公平． 理由如下：设“甲胜”为事件 A ，“乙胜”为事件 B ．甲胜即点数之和为偶数，所包含的基本事件有 (1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共 18 个， 所以 P (A )=1836=12，P (B )=1−1836=12，所以 P (A )=P (B )，故此游戏规则公平． 【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 甲连胜四场的概率为116．(2) 根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为 116；乙连胜四场的概率为 116；丙上场后连胜三场的概率为 18．所以需要进行第五场比赛的概率为 1−116−116−18=34． (3) 丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况；胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 116，18，18．因此丙最终获胜的概率为 18+116+18+18=716． 【知识点】事件的相互独立性、古典概型20. 【答案】(1) 由题意可得x 18=236=y54，所以 x =1，y =3．(2) 记从高校B 抽取的 2 人为 b 1，b 2，从高校C 抽取的 3 人为 c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 (b 1,b 2)，(b 1,c 1)，(b 1,c 2)，(b 1,c 3)，(b 2,c 1)，(b 2,c 2)，(b 2,c 3)，(c 1,c 2)，(c 1,c 3)，(c 2,c 3) 共 10 种，设选中的 2 人都来自高校C 的事件为 X ，则 X 包含的基本事件有 (c 1,c 2)，(c 1,c 3)，(c 2,c 3) 共 3 种，因此 P (X )=310，故选中的 2 人都来自高校C 的概率为 310． 【知识点】古典概型、分层抽样21. 【答案】(1) 设 A 、 B 、 C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有 { P(A ⋅B)=14,P(B ⋅C)=112,P (A ⋅C )=29, 即 { P (A )⋅(1−P (B ))=14, ⋯⋯①P (B )⋅(1−P (C ))=112, ⋯⋯②P (A )⋅P (C )=29. ⋯⋯③ 由①、③得P (B )=1−98P (C ).代入②得 27[P (C )]2−51P (C )+22=0． 解得 P (C )=23 或119（舍去）．将 P (C )=23 分别代入 ③、② 可得 P (A )=13,P (B )=14. 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 13,14,23．(2) 记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则P (D )=1−P(D)=1−(1−P (A ))(1−P (B ))(1−P (C ))=1−23⋅34⋅13=56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 56. 【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) A ，B ，C 三个地区商品的总数量为 50+150+100=300，抽样比为 6300=150， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150=1，150×150=3，100×150=2， 所以 A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1，3，2．(2) 方法一：设 6 件来自 A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2． 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：{A,B 1}，{A,B 2}，{A,B 3}，{A,C 1}，{A,C 2}，{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 1,C 1}，{B 1,C 2}，{B 2,B 3}，{B 2,C 1}，{B 2,C 2}，{B 3,C 1}，{B 3,C 2}，{C 1,C 2}，共 15 个．每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件 D ：“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件 D 包含的基本事件有：{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 2,B 3}，{C 1,C 2}，共 4 个． 所以 P (D )=415，即这 2 件商品来自相同地区的概率为415．方法二：这 2 件商品来自相同地区的概率为 C 32+C 22C 62=3+115=415．【知识点】分层抽样、古典概型。
深圳外国语学校2023届高一下学期数学《概率》单元卷(1)
深圳外国语学校2023届高一下学期数学《概率》单元卷满分：120分 考试时间：120分钟 命题人：陈祖厚 审题人：林国炜学号： 班级：高一 班 姓名： 成绩：第I 卷（选择题共60分）一、单选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.若“A ＋B ”发生(A ，B 中至少有一个发生)的概率为0.6，则A －，B －同时发生的概率为( ) A.0.6 B.0.36 C.0.24D.0.42.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有多少种( ) A.3 B.4 C.6D.123.一个骰子连续投2次，点数和为i (i ＝2，3，…，12)的概率记作P i ，则P i 的最大值是( ) A.112 B.16 C.14D.134.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6D.0.76.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.512C.14D.167.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.45 B.35 C.25D.158.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110 B.15 C.310 D.25二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是( )A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨C.上京和上海都可能没降雨D.北京降雨的可能性比上海大10.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是( )A.至少有1件次品与至多有1件正品B.至少有1件次品与都是正品C.至少有1件次品与至少有1件正品D.恰有1件次品与恰有2件正品11.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为89的是( ) A.颜色相同 B.颜色不全同 C.颜色全不同D.无红球12.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配不合理的是( )A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13.一枚硬币连掷三次，事件A 为“三次反面向上”，事件B 为“恰有一次正面向上”，事件C 为“至少两次正面向上”，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝________. 14.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没有击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}.其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________(本题第一空3分，第二空2分).15.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________.16.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋10＞0成立的事件发生的概率等于________.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率.18.(12分)随意安排甲、乙、丙3人在3天假期中值班，每人值班1天，则甲排。
高一概率测试题及答案
高一概率测试题及答案一、选择题1. 一枚均匀的硬币连续抛掷3次，出现至少一次正面朝上的概率是多少？A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 7/8答案：D2. 一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机抽取2个球，抽到两个都是红球的概率是多少？A. 1/5B. 3/10C. 1/2D. 2/5答案：B二、填空题1. 一个班级有30名学生，其中男生15名，女生15名。
随机抽取一名学生，抽到男生的概率是______。
答案：0.52. 抛掷一枚六面的骰子，得到数字6的概率是______。
答案：1/6三、计算题1. 一个盒子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取3个球，求至少抽到一个蓝球的概率。
答案：1 - (5/8)^3 = 1 - 125/512 ≈ 0.75782. 一个袋子里有5个白球和5个黑球，随机抽取3个球，求抽到的球都是同色的概率。
答案：(5/10) * (4/9) + (5/10) * (4/9) = 40/90 = 4/9四、解答题1. 一个班级有50名学生，其中20名是男生，30名是女生。
随机抽取5名学生，求至少有1名男生的概率。
答案：1 - (30/50)^5 = 1 - 0.0243 = 0.97572. 抛掷一枚均匀的硬币5次，求出现至少3次正面朝上的概率。
答案：C(5,3)*(1/2)^3*(1/2)^2 + C(5,4)*(1/2)^4*(1/2) + (1/2)^5 = 10*(1/32) + 5*(1/16) + (1/32) ≈ 0.5078注：C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (20)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知 a ∈{−2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数 f (x )=(a 2−2)e x +b 为减函数的概率是 ( ) A ．310B ． 35C ． 25D ． 152. 从 4 名男生 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为 ( ) A ． 15B ． 12C ． 35D ． 453. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 ( ) A ． 2144B ． 1522C ． 2150D ． 9254. 如果 A ，B 是互斥事件，那么以下等式中一定成立的是 ( ) A ． P (A ∪B )=P (A )⋅P (B ) B ． P (A ∪B )=P (A )+P (B ) C ． P (AB )=P (A )⋅P (B ) D ． P (A )+P (B )=15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，其中 a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，若 |a −b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A ． 316B ． 29C ． 718D ． 496. 若 P (AB )=19，P(A)=23，P (B )=13，则事件 A 与 B 的关系是 ( ) A ．事件 A 与 B 互斥 B ．事件 A 与 B 对立C ．事件 A 与 B 相互独立D ．事件 A 与 B 既互斥又相互独立7. 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 12=5+7，在不超过 18 的素数 2，3，5，7，11，13，17 中，随机选取两个不同的数，其和等于 18 的概率是 ( )A．142B．121C．221D．178.下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”D．有一个灯泡，A表示“灯泡能用1000小时”，B表示“灯泡能用2000小时”9.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥但不对立的事件的有( )A．0对B．1对C．2对D．3对10.已知0≤a<2，0≤b<4，为估计在a>1的条件下，函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点的概率P．用计算机产生了[{0,1})内的两组随机数a1，b1各2400个，并组成了2400个有序数对(a1,b1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如表：满足b1<a12的数对个数满足b1≥a12的数对个数合计满足a1≤12的数对个数1101200满足a1>12的数对人数550合计2400则数据表中数据计算出的概率P的估计值为( )A．1348B．1124C．1960D．712二、填空题（共6题）11.设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是．12.思考辨析，判断正误A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)．( )13.甲、乙两人做出拳（锤子、剪刀、布）游戏，则平局的概率为；甲赢的概率为．14. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 25，丙及格的概率为 23，则三人中至少有一人及格的概率为 ．15. 在一个袋中装有大小、质地均相同的 9 只球，其中红色、黑色、白色各 3 只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）．16. 古典概型．（1）定义：如果一个概率模型满足：① 试验中所有可能出现的基本事件只有 个； ② 每个基本事件出现的可能性 ．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． （2）计算公式：对于古典概型，任何事件 A 的概率为 P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．三、解答题（共6题）17. 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是 60%，若该篮球爱好者连续投篮 4 次，求至少投中 3 次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．18. 某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取 n 名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表．(1) 求 a ，b ，n 的值；(2) 若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生，并在这 6 名学生中随机抽取 2 名与张老师面谈，求第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率．19. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的 7 名同学分别用 A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅰ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．20.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“✓”表示购买，“×”表示未购买．(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？21.运动会前夕，某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们获得冠军的概率分别为37和16，所以她们的粉丝认为该省获得乒乓球女子单打冠军的概率是16+37．该种想法正确吗？为什么？22.垃圾分类，人人有责．2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．(1) 应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的4名同学分别用A，B，C，D表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．（i）写出这个试验的样本空间；（ii）设事件M=“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】若函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数，则a2−2<0，又a∈{−2,0,1,2,3}，故只有a=0，a=1满足题意，所以函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数的概率P=25．【知识点】古典概型2. 【答案】C【解析】列举出所有结果易得P=35．【知识点】古典概型3. 【答案】A【解析】根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P(C)=1−P(A)P(B)=1−(1−0.6)×(1−0.7)=0.88．则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P(A∩B∣C)=P(A∩B∩C)P(C)=0.6×0.70.88=2144．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】由题意知本题是一个古典概型．样本空间共包含36个样本点记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)(5,6),(6,5),(6,6)}，共16个样本点．所以他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49．【知识点】古典概型6. 【答案】C【解析】因为P(A)=1−P(A)=1−23=13，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．又因为P(AB)≠P(A)+P(B)，所以事件A与B并不互斥．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，基本事件总数n=C72=21，其和等于18包含的基本事件有：(5,13)，(7,11)，共2个，所以其和等于18的概率是P=221．【知识点】古典概型8. 【答案】A【解析】B选项由于是不放回摸球，故事件A与B不相互独立，C选项中A与B为对立事件，D选项中事件B受事件A影响，故选A．【知识点】独立事件积的概率9. 【答案】C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”等，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件．①④是符合要求的．【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【解析】要使得函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点，4a2−4b>0，所以a2>b，条件中所给的共有2400对有序数对，在这些有序数对中，使得函数有两个相异的零点，共有110+(1200−550)=760，所以数据表中数据计算出的概率P的估计值是7602400=1960．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.8【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】×【知识点】事件和与事件积，事件和与事件积的概率计算13. 【答案】13；13【解析】设平局（用 △ 表示）为事件 A ，甲赢（用 ⊙ 表示）为事件 B ，乙赢（用 ⋇ 表示）为事件 C ．容易得到如图．平局含 3 个基本事件（图中的 △），P (A )=39=13．甲赢含 3 个基本事件（图中的 ⊙），P (B )=39=13．【知识点】古典概型14. 【答案】 2425【解析】设甲及格为事件 A ，乙及格为事件 B ，丙及格为事件 C ，则 P (A )=45，P (B )=25，P (C )=23，所以 P(A)=15，P(B)=35，P(C)=13，则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×35×13=125，所以所求概率 P =1−P(ABC)=2425． 【知识点】独立事件积的概率15. 【答案】712【解析】随机取出 2 个球的基本事件有 C 92=36 种，“至少有一个红球”的事件有 C 31C 61+C 32=21 种，所以至少有一个红球的概率为 2136=712． 【知识点】古典概型16. 【答案】有限；相等【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727，7895，0123，⋯，4560，4581，4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为n100．【知识点】频率与概率18. 【答案】(1) 依题意得5n =0.05，an=0.35，20n=b，解得n=100，a=35，b=0.2．(2) 因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取3060×6=3名，2060×6=2名，1060×6=1名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1,a2}，{a1,a3}，{a1,b1}，{a1,b2}，{a1,c1}，{a2,a3}，{a2,b1}，{a2,b2}，{a2,c1}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a3,c1}，{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为1−315=0.8．【知识点】频率分布直方图、古典概型、频率与频数19. 【答案】(1) 由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2) （ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}，{B,G}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{D,E}，{D,F}，{D,G}，{E,F}，{E,G}，{F,G}，共21种．（ⅰ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，{F,G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P(M)=521．【知识点】古典概型、分层抽样20. 【答案】(1) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2．(2) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3．(3) 与（1）同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1．所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．【知识点】古典概型21. 【答案】正确．因为两个人分别获得冠军是互斥事件，所以两个人只要有一人获得冠军，则该省就获得冠军，故该省获得冠军的概率为16+37=2542．【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) 设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为x，y，z，由分层抽样，得x30=y15=z15=430+15+15=115，解得x=2，y=1，z=1，所以应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；(2) （i）样本空间为：Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；（ii）由（1），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是A，B，来自高二年级的是C，来自高三年级的是D，因为M={(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，所以n(M)=10，所以事件M发生的概率P(M)=n(M)n(Ω)=1012=56．【知识点】分层抽样、古典概型。
高一数学必修1概率单元测试题
高一数学必修1概率单元测试题问题一某班级有30名学生，其中有12名男生和18名女生。
现在从该班级中随机选取两名学生，请计算以下概率：a) 两名学生都是男生的概率。
b) 两名学生都是女生的概率。
c) 一名学生是男生，一名学生是女生的概率。
问题二一副标准扑克牌有52张牌，其中有4种花色（红桃、方块、梅花、黑桃）和13个面值（A、2-10、J、Q、K）。
现在从这副牌中随机抽取一张牌，请回答以下问题：a) 抽到红桃的概率是多少？b) 抽到大于或等于10点的牌的概率是多少？问题三一家餐馆的菜单上有10道主菜供选择。
现在从菜单中随机选择2道菜，请计算以下概率：a) 两道菜都是牛排的概率。
b) 至少有一道菜是鱼的概率。
c) 两道菜都不是牛排的概率。
问题四某次运动会中，100名运动员参加百米赛跑比赛。
已知其中有40名运动员是女性。
现在从这些参赛人员中随机选取一位运动员，请计算以下概率：a) 选取的运动员是女性的概率。
b) 选取的运动员是男性的概率。
问题五一台质量合格的饮水机每天制造瓶矿泉水。
已知其中有1%的瓶子有瓶底印刷错误。
现在从这批矿泉水中随机选取一瓶，请回答以下问题：a) 选取的矿泉水有瓶底印刷错误的概率是多少？b) 选取的矿泉水没有瓶底印刷错误的概率是多少？问题六一位学生参加了一次数学竞赛，得分范围为0到100分。
已知其得分服从正态分布，均值为70分，标准差为10分。
现在随机选取一名参赛学生，请回答以下问题：a) 选取的学生得分在60分到80分之间的概率是多少？b) 选取的学生得分在80分以上的概率是多少？问题七一家电子产品公司生产电池，已知该公司生产的电池中有2%存在瑕疵。
现在从这批电池中随机选取一只，请回答以下问题：a) 选取的电池不是瑕疵品的概率是多少？b) 选取的电池是瑕疵品的概率是多少？这些题目涵盖了概率的各个方面，请根据概率的基本概念和计算方法回答以上问题。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (46)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.若事件A与B相互独立，则P(B∣A)与P(B)的大小关系是( )A．P(B∣A)=P(B)B．P(B∣A)<P(B)C．P(B∣A)>P(B)D．不能确定2.甲、乙两人同时报考同一所大学，甲被录取的概率是0.6，乙被录取的概率是0,7．如果两人是否被录取互不影响，那么至少有1人被该大学录取的概率是( )A．0.42B．0.46C．0.58D．0.883.设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数大约为( )A．160B．7840C．7998D．78004.同时掷两个质地均匀的骰子，向上点数之积为12的概率是( )A．13B．19C．118D．1365.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A．0.216B．0.36C．0.432D．0.6487.经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8000件产品中次品的件数为( )A．7840B．160C．16D．7848.甲和乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么摸出红球的概率为( )A．730B．1115C．715D．7109.袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有 1 个白球和全是黑球；③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球；④至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球．在上述事件中，是对立事件的为 ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④10. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是 ( ) A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关二、填空题（共6题）11. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于 ．（用数字作答）12. 若随机事件 A ，B 互斥，且 A ，B 发生的概率均不为 0，P (A )=2−a ，P (B )=3a −4，则实数a 的取值范围为 ．13. 从 3 男 3 女共 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的机会相等），则 2 名都是女同学的概率等于 ．14. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 25，丙及格的概率为 23，则三人中至少有一人及格的概率为 ．15. 若掷一颗质地均匀的骰子，则出现向上的点数大于 4 的概率是 ．16. 从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 ．三、解答题（共6题）17. 在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有 3 只黄色，3 只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出 3 个球，若摸得同一颜色的 3 个球，摊主送给摸球者 5 元钱；若摸得非同一颜色的 3 个球，摸球者付给摊主 1 元钱． (1) 摸出的 3 个球为白球的概率是多少？(2) 摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少？(3) 假定一天中有 100 人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按 30 天计）能赚多少钱？18.设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合：∈S．① 1∉S；②若a∈S，则11−a解答下列问题：(1) 若数列{2⋅(−1)n}中的项都在S中，求S中所含元素个数最少的集合S∗；(2) 在集合S∗中，任取三个元素a，b，c，求使a⋅b⋅c=−1的概率；(3) 集合S中所含元素的个数一定是3n(n∈N∗)吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．19.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1) 若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2) 若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．20.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1) 应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2) 抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如下表，其中“○”表示享受”ד表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件"抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同"，求事件M发生的概率．21.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，统计结果如图所示．(1) 采用分层随机抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆车中随机抽取2辆，求至少有1辆为电动汽车的概率；(2) 为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为所有电动车车主发放补助，标准如下：①每辆电动自行车补助300元；②每辆电动汽车补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算，并用样本估计总体，估计市政府执行此方案的预算．22.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时．(1) 求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2) 求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3) 求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【知识点】事件的相互独立性2. 【答案】D【知识点】事件的相互独立性3. 【答案】B【解析】8000×(1−2%)=7840（件）．【知识点】频率与概率4. 【答案】B【解析】同时掷两个质地均匀的骰子，共有6×6=36种不同的结果，其中向上点数之积为12的基本事件有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)共4个，所以P=436=19．【知识点】古典概型5. 【答案】B【知识点】古典概型6. 【答案】D【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】B【解析】该厂产品的不合格率为2%，按照概率的意义，8000件产品中次品的件数约为8000×2%=160．【知识点】频率与概率8. 【答案】B【解析】由题可知，摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中摸出红球，概率为610×26=15，第二种：从乙箱中摸出红球，概率为810×46=815，所以摸出红球的概率为15+815=1115，故选：B．【知识点】古典概型9. 【答案】B【解析】至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．故②中两事件是对立事件．③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是对立事件，因此是对立事件的只有②． 【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【解析】频率指在相同条件下重复试验，事件 A 出现的次数除以总数，它是变化的．概率指在大量重复进行同一个实验时，事件 A 发生的频率总接近于某个常数，这个常数就是事件 A 发生的概率，它是不变的． 故选C ．【知识点】频率与概率二、填空题（共6题） 11. 【答案】 11105【知识点】古典概型12. 【答案】 (43,32]【解析】由题意可得 {0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,所以 {0<2−a <1,0<3a −4<1,2a −2≤1,解得 43<a ≤32．【知识点】事件的关系与运算13. 【答案】 15【解析】记三名男生分别为 A 1，A 2，A 3，三名女生分别为 B 1，B 2，B 3，从 6 名学生中任选 2 名共有 15 种不同的结果，其中 2 名都是女生的结果有 3 种，故概率为 315=15． 【知识点】古典概型14. 【答案】 2425【解析】设甲及格为事件 A ，乙及格为事件 B ，丙及格为事件 C ，则 P (A )=45，P (B )=25，P (C )=23，所以 P(A)=15，P(B)=35，P(C)=13，则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×35×13=125， 所以所求概率 P =1−P(ABC)=2425． 【知识点】独立事件积的概率15. 【答案】 13【解析】掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数 n =6， 则出现向上点数大于 4 包含的基本事件个数 m =2， 所以出现向上点数大于 4 的概率为 P =m n=26=13．【知识点】古典概型16. 【答案】0.2【知识点】古典概型三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 把 3 个黄色乒乓球标记为 A ，B ，C ，3 个白色的乒乓球标记为 1，2，3．从 6 个球中随机摸出 3 个的基本事件为：ABC ，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12，A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23，C12，C13，C23，123，共 20 个． 事件 E =‘‘摸出的 3 个球为白球"，事件 E 包含的基本件有 1 个，即摸出 1，2，3 号 3 个球， 所以 P (E )=120=0.05．(2) 事件 F =‘‘摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球"， 事件 F 包含的基本事件有 9 个， 所以 P (F )=920=0.45．(3) 事件 G =‘‘摸出的 3 个球为同一颜色"=‘‘摸出的 3 个球为白球或摸出的 3 个球为黄球"， 事件 G 包含的基本事件有 2 个， 所以 P (G )=220=0.1，假定一天中有 100 人次摸奖，由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计事件 G 发生 10 次，不发生 90 次．则摊主一天可赚 90×1−10×5=40 元，每月可赚 30×40=1200 元． 【知识点】古典概型18. 【答案】(1) 因为 a n =2⋅(−1)n ， 所以 a 1=−2，a 2=2，a 3=−2， 即 S 中必有元素 2，−2， 因为 2∈S ， 所以11−2=−1∈S ；因为 −1∈S ， 所以 11−(−1)=12∈S ； 因为 12∈S ， 所以11−12=2∈S ，所以 S 中至少含有元素 2，−1，12， 同理，由 −2∈S ，可得，13∈S ，32∈S ，所以 S 中至少含有元素 −2，13，32，综上，S 中所含元素个数最少的集合 S ∗={2,−1,12,−2,13,32}．(2) 在 S ∗ 中任取 3 个元素 a ，b ，c ，共有 C 63=20（种）取法，而使 a ⋅b ⋅c =−1 的只有 2，−1，12 和 −2，13，32 两种取法， 所以使 a ⋅b ⋅c =−1 的概率为220=110．(3) 一定是 3n (n ∈N ∗)．理由如下： 因为由 a ∈S 且 1∉S ⇒a ≠1， 所以由 a ∈S ⇒11−a ∈S ⇒11−11−a∈S ⇒1−1a∈S ⇒11−(1−1a)∈S ⇒a ∈S ，即当 a ∈S 时，11−a ∈S ，1−1a ∈S ． 下面证明：a ，11−a ，1−1a 互不相等，若 a =11−a ，则 a −a 2=1，即 a 2−a +1=0，无解，所以 a ≠11−a ；若a=1−1a ，则a2−a+1=0，无解，所以a≠1−1a；若11−a =1−1a，则a2−a+1=0，无解，所以11−a∉1−1a．综上，a，11−a ，1−1a互不相等，所以集合S中所含元素的个数一定是3n(n∈N∗)．【知识点】古典概型、元素和集合的关系19. 【答案】(1) 每次取一件，取后不放回地连续取两次，样本空问Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件A由4个样本点组成，所以P(A)=46=23．(2) 有放回地连续取出两次，样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)}，共9个样本点，由于每一件产品被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这事件，则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)=49．【知识点】古典概型20. 【答案】(1) 由已知，得老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2) （i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种．（ii）由题中表格知，符合题意的所有可能结果为(A,B)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,E)，(C,F)，(D,F)，(E,F)，共11种．所以事件M发生的概率为1115．【知识点】古典概型、分层抽样21. 【答案】(1) 根据分层随机抽样的原理，电动自行车应抽取2020+25×9=4（辆），分别记为a1，a2，a3，a4，电动汽车应抽取2520+25×9=5（辆），分别记为b1，b2，b3，b4，b5．从9辆电动车中抽取2辆，共有36种抽法，其中2辆均为电动自行车的有a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，共6种．设“从这9辆车中随机抽取2辆，至少有1辆为电动汽车”为事件A，则P(A)=1−P(A)=1−636=56.(2) 由题图可知，抽取的这100辆电动车中电动自行车有60辆，电动汽车有40辆，其中电池需要更换的电动自行车有8辆，电动汽车有1辆．由补助方案可知，这100辆电动车共需补助60×300+40×500+9×400=41600（元）．由样本估计总体，市政府执行此方案的预算为41600100×50000=20800000（元）．【知识点】古典概型、概率的应用22. 【答案】(1) 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的样本点的总数为24．设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)=124．(2) 设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)=924=38．(3) 设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)=824=13．【知识点】古典概型。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (34)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1. 下列问题中是古典概型的是 ( ) A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B ．掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出 1 点的概率C ．在区间 [1,4] 上任取一数，求这个数大于 1.5 的概率D ．同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是 5 的概率2. 已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为 ( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．13. 设事件 A ，B ，已知 P (A )=15，P (B )=13，P (A ∪B )=815，则 A ，B 之间的关系一定为 ( ) A ．两个任意事件 B ．互斥事件 C ．非互斥事件 D ．对立事件4. 我省高考从 2021 年开始实行 3+1+2 模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理 4 个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为 ( ) A ． 16B ． 12C ． 56D ． 345. 《 西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦 》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过 《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( ) A ． 0.5B ． 0.6C ． 0.7D ． 0.86. 在一对事件 A ，B 中，若 A 是必然事件，B 是不可能事件，则 A 和 B ( ) A ．是互斥事件，但不是对立事件 B ．是对立事件，但不是互斥事件 C ．是互斥事件，也是对立事件D ．是互斥事件7.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( )A．13B．12C．23D．358.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个，下列事件中的必然事件是( )A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品9.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．其中，为互斥事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③10.某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的概率为( )A．25B．815C．35D．23二、填空题（共6题）11.已知集合A={−2,−1,−12,13,12,1,2,3}，任取k∈A，则幂函数f(x)=x k为偶函数的概率为．（结果用数值表示）12.在边长为2的正方形当中，有一块封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为．13.记事件A={某人射击一次,中靶}，且P(A)=0.92，则A的对立事件是，它发生的概率是．14.思考辨析判断正误．不可能事件与任何一个事件相互独立．( )15.判断下列结论是否正确．（请在括号中打“√”或“×”）（1）事件发生的频率与概率是相同的．( )（2）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )（3）两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )（4）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( )16.古典概型．（1）定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有个；②每个基本事件出现的可能性．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．（2）计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为P(A)=A包含的基本事件的个数．基本事件的总数三、解答题（共6题）17.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x表示），已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．(1) 根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；(2) 根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；(3) 经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）．18.某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110∼120的学生数有14人．(1) 求总人数N和分数在120∼125的人数n；(2) 利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？(3) 现在从比分数在115∼120名学生（男女生比例为1:2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．19.某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者某年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放优惠券金额50100150200(1) 求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2) 以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．20.随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app）获取新闻资讯．为了解用户对某款新闻类app的满意度，随机调查了300名用户，调研结果如下表（单位：人）．青年人中年人老年人满意6070x一般5525y不满意25510(1) 从所有参与调研的人中随机选取1人，估计此人“不满意”的概率；(2) 从参与调研的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的概率；(3) 现需从参与调研的老年人中选择6人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取2人，这种抽样是否合理？说明理由．21.使用一种仪器测量一个高为70个单位长的建筑物50次，所得的数据如下表：测量值68个69个70个71个72个单位长单位长单位长单位长单位长次数51510155(1) 根据以上数据，求测量50次的平均值．(2) 若用该仪器再测量此建筑物一次，试估计测量值为70个单位长的概率．22.连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．(1) 写出这个试验的基本事件；(2) 求出“至少有两枚正面向上”这一事件的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个．故选D．【知识点】古典概型2. 【答案】B【解析】设3件合格品为A1，A2，A3，2件次品为B1，B2，从5件产品中任取2件，基本事件为(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共10个．恰有1件次品的有6个，所以P=610=0.6．【知识点】古典概型3. 【答案】B【解析】因为P(A)+P(B)=15+13=815=P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】C【解析】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有：{化学,生物}，{化学,政治}，{化学,地理}，{生物,政治}，{生物,地理}，{政治,地理}共6种选法．由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=6×6=36种，其中两人的选科完全相同的选法有6种，所以她们的选科至少有一科不相同的概率为P=1−636=56．【知识点】古典概型5. 【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90−80+60=70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100=0.7．【知识点】频率与概率6. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算7. 【答案】B【知识点】古典概型8. 【答案】D【知识点】事件的关系与运算9. 【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知，③正确，只有③的两个事件不会同时发生．【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.25【知识点】古典概型、指数函数及其性质12. 【答案】125【解析】设阴影区域的面积为S，则S4≈60100，所以S≈125．【知识点】频率与概率13. 【答案】{某人射击一次,未中靶}；0.08【解析】事件A={某人射击一次,中靶}，则A的对立事件是{某人射击一次,未中靶}．因为P(A)=0.92，所以P(A)=1−P(A)=0.08．【知识点】事件的关系与运算14. 【答案】√【知识点】事件的相互独立性15. 【答案】×；√；×；×【知识点】频率与概率16. 【答案】有限；相等【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】×(80+82)=81．(1) 根据茎叶图，计算样本中男职工健康指数的众数是76，中位数是12(2) 根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，=3（人），记为a，b，c，女职工2人，记为D，E，男职工抽5×1830从这5人中随机抽取2人，所有的基本事件是ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种，抽取的2人都是男职工的事件为ab，ac，bc，．故所求的概率为P=310(3) 由题意知81×18+11×69+x=30×76.2，解得x=69．所以样本中所有女职工的健康指数平均数为xʹ=(11×69+69)÷12=69，×[11×190+(69−69)2]≈174.2．方差为sʹ2=112【知识点】样本数据的数字特征、茎叶图、古典概型18. 【答案】(1) 分数在110∼120内的学生的频率为P1=(0.04+0.03)×5=0.35，=40，所以该班总人数为N=140.35分数在120∼125内的学生的频率为：P2=1−(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.10，分数在120∼125内的人数为n=40×0.10=4．(2) 由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，=107.5，即为105+1102设中位数为a，因为0.01×5+0.04×5+0.05×5+0.50，所以a=110，所以众数和中位数分别是107.5，110．(3) 由题意分数在115∼120内有学生40×(0.03×5)=6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名的基本事件为：(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,A4)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,A4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B1)，(A4,B1)，(A3,B1)，(A4,B2)，(A3,B1)，(B1,B2)共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，所以所求的概率为P=14．15【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征、古典概型19. 【答案】(1) 购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0.3≤x<0.50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9y50100150200频率0.40.30.280.02所以这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为：50×400+100×300+150×280+200×201000=96（元）．(2) 由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系，有P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=(2+0.8)×0.1=0.28，P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.2×0.1=0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+0.02=0.3．【知识点】样本数据的数字特征、事件的关系与运算、频率分布直方图20. 【答案】(1) 从所有参与调研的人共有300人，不满意的人数是25+5+10=40．记事件D为“从所有参与调研的人中随机选取1人此人不满意”，则所求概率为P(D)=40300=215．(2) 记事件M为“从参与调研的青年人中随机选取1人，此人满意”，则P(M)=60140=37；记事件N为“从参与调研的中年人中随机选取1人，此人满意”，则P(N)=70100=710．则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取1人，恰有1人满意”的概率为P(MN+MN)=P(M)⋅P(N)+P(M)⋅P(N)=37×(1−710)+(1−37)×710=3770.(3) 这种抽样不合理．理由：参与调研的60名老年人中不满意的人数为20，满意和一般的总人数为x+y=50，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取2人不合理．合理的抽样方法是采用分层抽样，根据x，y，10的具体数值来确定抽样数值．【知识点】古典概型、独立事件积的概率、分层抽样21. 【答案】(1) 设平均值为m，则m=68×5+69×15+70×10+71×15+72×550=70．(2) 用频率估计概率：P=1050=15．【知识点】频率与概率、样本数据的数字特征22. 【答案】(1) 连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．这个试验的基本事件有8个，分别为：{正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，{反反正}，{反正反}，{正反反}，{反反反}；(2) “至少有两枚正面向上”这一事件包含的基本事件有4个，分别为：{正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，所以“至少有两枚正面向上”这一事件的概率P=48=12．【知识点】古典概型、随机事件的概念。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (31)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷11（共22题）一、选择题（共10题）1.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．甲乙丙丁甲:0.30.30.8乙0.7:0.60.4丙0.70.4:0.5丁0.20.60.5:那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A．0.21B．0.15C．0.105D．0.0452.设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是( )A．事件A⊆B，则P(A)<P(B)B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D．P(A)+P(B)≤13.一个口袋中装有大小、形状完全相同的白球4个、黑球5个，从中随机摸出1个球，则摸出白球的概率为( )A．14B．45C．59D．494.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A．62%B．56%C．46%D．42%5.“某彩票的中奖概率为11000”意味着( )A．买1000张彩票就一定能中奖B．买1000张彩票中一次奖C．买1000张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是110006.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是( )A．34B．56C．16D．137.在集合A={2,3}中随机取一个元素m，在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m,n)，则点P在圆x2+y2=9内部的概率为( )A．12B．13C．34D．258.在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，中医治疗起到了重要作用．中医理论讲究食物相生相克，合理搭配饮食可以增强体质，提高免疫力，但不恰当的搭配也可能引起身体的不适．食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知猪肉与菊花，猪肉与百合，螃蟹与茄子相克．现从猪肉、螃蟹、茄子、菊花、百合这五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为( )A．13B．23C．310D．7109.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为( )A．C43C482C525B．C483C42C525C．1−C481C44C525D．C43C482+C44C481C52510.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A．15B．25C．12D．45二、填空题（共6题）11.已知Y=3+2X，若P(Y>7)=0.3，则P(X≤2)=．12.在100张奖券中，有4张中奖，从中任取两张，则两张都中奖的概率是．13.判断下列结论是否正确．（请在括号中打“√”或“×”）（1）事件发生的频率与概率是相同的．( )（2）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )（3）两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )（4）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( )14.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为．15.判断正误．用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率．16.判断正误．从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题．三、解答题（共6题）17.某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的—辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的，求：(1) 这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；(2) 这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；18.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆） 轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类10辆．(1) 求z的值．(2) 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3) 用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测，它们的得分如下（单位：分）：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．从这8个数任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．19.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个患者都没有治愈，第10个患者就一定能治愈吗？20.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，求(1) “3个球颜色全相同”的概率；(2) “3个球颜色不全相同”的概率．21.运动会前夕，某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们获得冠军的概率分别为37和16，所以她们的粉丝认为该省获得乒乓球女子单打冠军的概率是 16+37．该种想法正确吗？为什么？22. 甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有 3 道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是 35，乙答对每道题目的概率都是 12．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．(1) 求甲第二次答题通过面试的概率； (2) 求乙最终通过面试的概率；(3) 求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】甲，乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙，丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲，丙比赛甲获胜的概率是0.3，根据相互独立事件的概率乘法公式，所以甲得冠军丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3=0.045．【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】C【解析】若事件B包含事件A，则P(A)≤P(B)，故A错误；若事件A，B互斥，则P(AB)=0，若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，故B错误，C正确；若事件A，B相互独立，且P(A)>12，P(B)>12，则P(A)+P(B)>1，故D错误．【知识点】事件的关系与运算3. 【答案】D【知识点】古典概型4. 【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(AB)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46．所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【知识点】频率与概率6. 【答案】B【解析】试验中会出现（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，黑1），（白2，黑2）和（黑1，黑2）共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，黑1），（白2，黑2）和（黑1，黑2）共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是56．【知识点】古典概型7. 【答案】B【解析】点P(m,n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的内部，所求概率为26=13．【知识点】古典概型8. 【答案】C【解析】因为从猪肉、螃蟹、茄子、菊花、百合这五种食物中任意选取两种有C52=10种，相克的有3种，则相克的概率为P=310．【知识点】古典概型9. 【答案】D【解析】设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)= C43C482+C44C481C525．【知识点】古典概型10. 【答案】A【解析】如图，从O，A，B，C，D5个点中任取3个有{O,A,B}，{O,A,C}，{O,A,D}，{O,B,C}，{O,B,D}，{O,C,D}，{A,B,C}，{A,B,D}，{A,C,D}，{B,C,D}共10种不同取法，3点共线只有{A,O,C}与{B,O,D}共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为210=15．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.7【解析】因为P(Y>7)=P(3+2X>7)=P(X>2)=0.3，所以P(X≤2)=1−0.3=0.7．【知识点】事件的关系与运算12. 【答案】1825【知识点】古典概型13. 【答案】 × ； √ ； × ； ×【知识点】频率与概率14. 【答案】370【解析】正品率为 P =(1−170)×(1−169)×(1−168)=6770，所以次品率为 Pʹ=1−6770=370． 【知识点】事件的关系与运算、事件的独立性与条件概率15. 【答案】 ×【知识点】古典概型16. 【答案】 √【知识点】古典概型三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) P =P 106106=151200106=0.1512 (2) P =P 63×93106=1458106=0.001458【知识点】古典概型18. 【答案】(1) 依题意知，从每层抽取的比例为 140，从而轿车的总数为 50×40=2000（辆）， 所以 z =2000−100−150−300−450−600=400． (2) 由（1）知 C 类轿车共 1000 辆，又样本容量为 5， 故抽取的比例为1200，即抽取的 5 辆轿车中有 2 辆舒适型、 3 辆标准型，从中任取 2 辆，一共有 10 种等可能的不同取法，记事件 A 为“至少有 1 辆舒适型轿车”，则事件 A 表示抽取到 2 辆标准型轿车，共有 3 种不同取法，从而事件 A 包含的基本事件数为 7， 所以 P (A )=710．(3) 样本平均数 x =18×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.0，记事件 D 为“从这8 个数中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”，则事件 D 包含的基本事件有 6 个，所以 P (D )=68=34．【知识点】古典概型、分层抽样19. 【答案】如果把治疗一个患者作为一次试验，治愈率是 10% 指随着试验次数的增加，有 10%的患者能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是 10%，前 9 个患者是这样，第 10 个患者仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是 10%．【知识点】频率与概率20. 【答案】(1) “3 个球颜色全相同”包括“3 个全是红球”（事件 A ），“3 个全是黄球”（事件 B ），“3 个全是白球”（事件 C ），且它们彼此互斥，故“3 个球颜色全相同”这个事件可记为 A +B +C ，又 P (A )=P (B )=P (C )=127．故 P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )=19．(2) 记“3 个球颜色不全相同”为事件 D ，则事件 D 为“3 个球颜色全相同”，又 P(D)=P (A +B +C )=19．所以 P (D )=1−P(D)=1−19=89，故“3 个球颜色不全相同”的概率为 89． 【知识点】事件的关系与运算21. 【答案】正确．因为两个人分别获得冠军是互斥事件，所以两个人只要有一人获得冠军，则该省就获得冠军，故该省获得冠军的概率为 16+37=2542．【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) 设甲第二次答题通过面试为事件 A ， 则 P (A )=(1−35)×35=625．(2) 设乙最终通过面试为事件 B ，对立事件为乙最终没通过面试， ∵P(B)=(1−12)(1−12)(1−12)=18，∴P (B )=1−18=78．(3) 设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件 C ，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试， ∵P(C)=(1−35)(1−35)(1−35)×18=1125，∴P(C)=1−1125=124125．【知识点】事件的相互独立性。
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高一数学概率单元检测题
一、选择题
1、从湖中打一网鱼，共M 条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有N 条，其中有记号的K 条，则估计湖中有鱼（ ）条
A ．K MN
B ．N MK
C ．M NK
D ．无法确定
2、从一篮鸡蛋中任取一个，如果其重量小于30克的概率是0.3，重量在[30，40]克的概率是0.5，则重量不小于30克的概率是（ ）
A 0.3
B 0.5
C 0.8
D 0.7
3、把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A ．对立事件
B ．不可能事件
C ．互斥但不对立事件
D ．以上均不对
4、在所有的两位数(10~99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )
A ．56
B ．45
C ．23
D ．12
5、在1、2、3、4四个数中，任选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是（ ） A
32 B 21 C 31 D 81 6、4名学生与班主任站成一排照相，班主任站在正中间的概率是（ ） A.15 B.14 C.13 D.12 7、从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 A.51 B.52 C.103 D.10
7 8、从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A 至少有1个白球，都是白球
B 至少有1个白球，至少有1个红球
C 恰有1个白球，恰有2个红球
D 至少有1个白球，都是红球
9、从长度分别为3，4，5，7，9的5条线段中任取3条，能构成三角形的概率是（ ）
A.310
B. 12
C. 53
D. 52 10、某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（ ） A.157 B.158 C.5
3 D.1 11、从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为（ ） A.
15 B.12 C.23 D.35
12、在区间（0，1）内任取一个数a ，能使方程02122=++ax x 有两个相异的实根的概率为（ ） A.21 B.4
1 C.2
2 D.222- 二、填空题
13、我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
则年降水量在[]300,200（mm ）范围内的概率是 。
14 、在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使用，从这20瓶墨水中任意选出1瓶，取出的墨水是变质墨水的概率为_________.
15、设函数[]2()2,5,5f x x x x =--∈-,那么任取一点x ， 使()0f x ≤的概率为
16、袋中有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为0.75, 摸出黑球或白球的概率为0.6,那么袋中共有白、红、黑球各_____，_____，
_____个。
三、解答题
17、（12分）2004年1月9日，第十届全国运动会筹备委员会正式成立，由二名主任和4名副主任组成主席团成员，若章程规定：表决一项决议必须在二名主任都同意，且副主任同意的人数超过半数才能通过。
一次主席团全体成员表决一项决议，结果有4人同意，求通过决议的概率。
18、（12分）在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
19、（12分）某商场举行抽奖活动，现有装有编号1，2，3，4四个小球的抽奖箱，从中随机抽出一个小球，记下号码后放回抽奖箱，再抽出一个小球，两个小球号码相加之和不小于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，
（1）求中二等奖的概率；（2）求中奖的概率；
20、在区间（0，2）中随机的取出两个数，求两数之和大于3的概率。
21、袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率；（2）3只颜色相同的概率；
（3）3只颜色全不相同的概率；（4）3只颜色不全相同的概率；
22、甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙
赢。
（1）若以A表示和为6的事件，求P(A);
（2）现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由。