第三章第二次课 几种常见的理论分布

第三章第二次课： 回顾概率基础知识，通过离散型和连续型随机变量的概率分布引出本次讲授内容。

第二节几种常见的理论分布重点：掌握正态分布、二项分布、泊松分布的定义、特点和概率计算。

难点：二项分布的概率函数特征，正态分布的特征。

一、二 项 分 布一）、贝努利试验及其概率公式将某随机试验重复进行n 次，若各次试验结果互不影响， 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的。

对于n 次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A 与A 之一，在每次试验中出现A 的概率是常数p (0<p <1),因而出现对立事件A 的概率是1-p=q ，则称这一串重复的独立试验为n 重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials )。

在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n 枚种蛋的出雏数、n 头病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。

在n 重贝努利试验中，事件A 可能发生0，1，2，…，n 次，现在我们来求事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率P n (k)。

先取n =4，k =2来讨论。

在4次试验中，事件A 发生2次的方式有以下24C 种： 21A A 43A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A其中A k (k =1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验发生；k A (k =1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验不发生。

由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有 P (21A A 43A A )=P (4321A A A A )=…= P (4321A A A A )= P (1A )·P (2A )·P (3A )·P (4A )=242-qp又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，在4 次试验中，事件A 恰好发生2次的概率为)2(4P = P (21A A 43A A )+P (4321A A A A )+…+ P (4321A A A A )=24C 242-qp一般，在n 重贝努利试验中，事件A 恰好发生k (0≤k ≤n)次的概率为)(k P n =kn C kn k qp - k =0,1,2…，n (3-14)若把(4-14)式与二项展开式∑=-=+nk kn k k n nqp C p q 0)(相比较就可以发现，在n 重贝努利试验中，事件A 发生k 次的概率恰好等于np q )(+ 展开式中的第k +1项，所以也把(4-14)式称作二项概率公式。

二）、二项分布的意义及性质二项分布定义如下：设随机变量x 所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…，n ，且有)(k P n =kn C kn kqp k =0,1,2…，n其中p ＞0，q ＞0，p+q=1，则称随机变量x 服从参数为n 和p 的二项分布 (binomial distribution ),记为 x ～B(n,p)。

显然，二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。

参数n 称为离散参数， 只能取正整数；p 是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q 由p 确定，故不是另一个独立参数)。

二项分布由n 和p 两个参数决定：1、当p 值较小且n 不大时，分布是偏倚的。

但随着n 的增大 ，分布逐渐趋于对称，如图4—9 所示；2、当p 值趋于0.5时，分布趋于对称，如图4—10所示；3、对于固定的n 及p ，当k 增加时，P n (k )先随之增加并达到其极大值，以后又下降。

此外，在n 较大，np 、nq 较接近时，二项分布接近于正态分布；当n →∞时，二项分布的极限分布是正态分布。

三）、二项分布的概率计算及应用条件例：豌豆红花和白花杂交后， 在F2红花：白花＝3：1，若每次观察4株，共观察100次，问得红花为0、1、2、3、4株的概率各为多少？表 观察4株出现红花的概率分布表 (p=0.75 q=1-p=0.25)概率函数 Cnxpxqn-x P(x) F(x) NP(x)P(0) C40p0q4 0.0039 0.0039 0.39 P(1) C41p1q3 0.0469 0.0508 4.69 P(2) C42p2q2 0.2109 0.2617 21.09 P(3) C43p3q1 0.4219 0.6836 42.19 P(4) C44p4q0 0.3164 1.000 31.64 合计 1.000 100例2：鸡蛋孵化率为，每次选5个进行孵化，试求孵出小鸡的各种可能概率，若做1000次试验，其理论次数分别为多少？孵化小鸡的概率分布表(p= 0.90 q=0.10)概率函数 Cnxpxqn-x P(x) F(x) NP(x) P(0) C50p0q5 0.00001 0.00001 0.01 P(1) C51p1q4 0.00045 0.00046 0.45 P(2) C52p2q3 0.0081 0.00856 8.1 P(3) C53p3q2 0.0729 0.08046 72.9 P(4) C54p4q1 0.32805 0.40951 328.05P(5) C55p5q0 0.59049 1.0000 590.49（二）样本容量的确定例：某小麦品种在田间出现自然变异的概率为0.0045， （1)调查100株，获得两株或两株以上变异植株的概率是多少？（2)期望有0.99的概率获得1株或1株以上的变异植株，至少应调查多少株？n=100, p=0.0045 P(x ≥2)=1- P(0)- P(1)=0.0751 P(0)=0.01n=1021(株）（三）二项分布的形状和参数二项分布的形状由n 和p 两个参数决定。

B(n,p)(1)当p 值较小且n 不大时，分布是偏倚的。

随n 的增大，分布趋于对称；（2）当p 值趋于0.5时，分布趋于对称。

nn p p C P )1()0(0-=（三）二项分布的形状和参数统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量所构成的总体的平均数μ 、标准差σ与n 、p 这两个参数有关。

μ＝n p在二项分布中，事件A 发生的频率 x/n 称为二项成数，即百分数或频率。

则二项成数的平均数和标准差分别为：也称为二项总体百分数的标准误，当 p 未知时，常以样本百分数 来估计。

此时上式改写为： =又称为样本百分数标准误。

例：豌豆红花纯合基因型和白花纯合基因型杂交后，在F2代红花植株与白花植株出现的比例为3:1。

每次观察4株，n=4, 红花出现概率为p=3／4＝0.75。

（1）红花出现的平均株数μ=n p = 3.0 (株）（2）标准差 =0.8660（株）二、泊 松 分 布泊松分布(Poisson distribution) 是一种可以用来描述和分析随机地发生在单位空间或时间里的稀有事件的概率分布，也是一种离散型随机变量的分布。

泊松分布是二项分布的一种特殊类型。

泊松分布的概率函数 可由二项分布概率函数推导出来 p(x)＝ Cnxpx(1-p)n-xλ为参数，λ = npx = 0,1,2,… μ=λσ2 =λ 泊松分布记为:P(λ ) P(λ )的形状由λ确定!) ( x e x P λ=-λ x )1 ( p np - =σ pp=μnpq /)(=PσpσpˆpSn q p /)ˆˆ(λ 较小时，泊松分布偏倚。

λ 增大时，泊松分布趋于对称。

λ 无限增大时，泊松分布接近正态分布。

1、对于小概率事件，可用泊松分布描述其概率分布。

2、二项分布当p<0.1和np<5时，可用泊松分布来近似。

显微镜检查某样本内结核菌的数目细菌数(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总计实际格子数 5 19 26 26 21 13 5 1 1 1 118P(x) 0.0506 0.1511 0.2253 0.2240 0.1671 0.0997 0.0496 0.0211 0.0079 0.0026 0.9990理论格子数 5.97 17.83 26.59 26.43 19.72 11.76 5.85 2.49 0.93 0.31 117.88例：某小麦品种在田间出现自然变异的概率为0.0045， （1)调查100株，获得两株或两株以上变异植株的概率是多少？（2)期望有0.99的概率获得1株或1株以上的变异植株，至少应调查多少株？!) ( x e x P λ=-λ xn=100, p=0.0045=0.6376=0.2869调查100株，获得两株或两株以上变异植株的概率为:P(x ≥2)=1- P(0)- P(1)=0.0755 至少应调查的株数n 应为:!) ( 1 e1 P 0.45 =- 0.451!) ( 0 e0 P 0.45 =-0.45 0!) ( x e x P λ=-λ x=0.01n=lg0.01/-plge=-2/-0.0045×0.43429=1023(株)三 正态分布正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。

生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的，如家畜的体长、体重、产奶量、产毛量、血红蛋白含量、血糖含量等。

许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。

此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。

因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。

一）、正态分布的定义及其特征(一) 正态分布的定义 若连续型随机变量x 的概率分布密度函数为222)(21)(σμπσ--=x ex f (3-16)其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x 服从正态分布(normal distribution )， 记为x ～N (μ,σ2)。

相应的概率分布函数为⎰∞---=xx dx ex F 222)(21)(σμπσ (3-17)分布密度曲线如图4—2所示。

(二) 正态分布的特征 由(4—6)式和图4—2可以看出正态分布具有以下几个重要特征：1、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x =μ；2、f(x)在x =μ处达到极大，极大值πσμ21)(=f ；! ) ( 0e x P λ=-λ 03、f(x)是非负函数，以x 轴为渐近线，分布从-∞至+∞；4、曲线在x =μ±σ处各有一个拐点，即曲线在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞) 区间上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]区间内是上凸的；5、正态分布有两个参数，即平均数μ和标准差σ。

μ是位置参数，如图4—3所示。

当σ恒定时，μ愈大，则曲线沿x 轴愈向右移动；反之，μ愈小，曲线沿x 轴愈向左移动。