[整理]《风险理论》第一章效用理论与保险习题课
现代精算风险理论 第1章_效用理论与保险2007
可以证明（见习题 1.4
第
3
题）
d
E
X
X
d
以
及 2 d Var X X d 是 d 的 连 续 函 数 ． 注 意
0 2 0 0, EX 和 2 VarX .
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 被保险人是风险厌恶者。 风险厌恶者的效用函数的特点：
1． 边际效用递减u'(x) 0 ； 2． 凹函数 u''(x) 0 。
定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效 用函数，有
下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为
止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
．然而，除非
P
很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望
收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。
B：100%的机会夫去20元。 选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？
对于这样的决策，效用函数u 应该具有怎样的形式？
选择 w=0．假设u 0 0 和u 1 1 ．
当b = 1 时，他选择A； u( 1) 1 [u(0) u(1)]
《风险理论》第1章_效用理论与保险
• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能 比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
结论：因为这么大的损失一但发生可 能导致破产，因此可以付出比期望值 高的费用为风险投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论)
以价格 P 元参与如下的
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。 如果 E 那么保险人将以保 U W P X U W ， 费 P 承保损失 X 。 上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费， 可从反映保险人 状况的效用均衡方程中解出：
效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值 u w （被称为效用函数）去衡量
其财富，而不是用财富 w 本身去衡量。 如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会 去比较 E u w X 和E u w Y ，并选择期望效用 较大的那个损失。 利用这个模型，对于随机损失 X，拥有财富 w 的被保险 人，就可以决定为此支付的最大保费 P 了。这可以由均 衡方程 E u w X u w P 求出。 保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一 个最小的保费 P 。 如果保费介于被保险人的最大保费 P 和保险人的最小 保费 P 之间，保险人与被保险人双方的效用就都增加 了。
风险偏好者的效用函数 u x 的特点：
u ' x 0, u " x 0 ，凸函数
风险中性人的效用函数 u x 的特点： ：
u ' x 0, u " x 0 ，直线
第一章+风险与保险
2.1 风险的分类
4.按风险损害的对象可分为财产风险,人身风险, 责任风险和信用风险.
财产风险指导致财产毁损,灭失和贬值的风险. 人身风险是指人们因生,老,病,死,残等原因而导致 经济损失的风险. 责任风险指依法对他人所遭受的人身伤害或财产损失应 负的法律赔偿责任或未履行契约所致对方受损应负的合 同赔偿责任. 信用风险指在经济交往中,因对方违约或不可抗力的发 生,致使合同无法执行时所造成的经济损失的风险,即 失信风险. 风险管理篇 15
风险管理篇
23
2.2 风险的组成要素
2.风险事故risk events 风险事故是指可能引起人身伤亡或财产损失的偶然 事件,是造成风险损失的直接原因,又是风险因素 所诱发的直接结果. 3.风险损失risk loss 在风险管理中,损失是指非故意的,非预期的和非 计划的经济价值的减少.
风险管理篇
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风险, 第一章 风险,风险管 理与保险
学习目的:通过本章的学习了解风险的分类, 学习目的:通过本章的学习了解风险的分类, 风险管理的过程,掌握风险的概念,特征, 风险管理的过程,掌握风险的概念,特征, 风险因素, 风险因素,可保风险的条件以及风险管理与 保险的关系. 保险的关系.
第一节 风险及其特征
确定性和不确定性的登记分类
不确定性水平 无(确定) 水平1(客观不确定) 水平2(主观不确定) 水平3 特征 结果可以精确预测 结果是确定的和概率可知 结果确定,但概率不可知 结果不完全确定,概率不可知
风险管理篇
例子 物理定理,自然科学 概率游戏:纸牌和色 子 火灾,车祸,投资 太空探索,基因研究
8
风险损失的实际成本(解释随后) 风险损失的无形成本 预防或控制风险损失的成本
保险学 1-11章习题(.9.4.整理)(1)说课讲解
保险学习题（第一至十一章）2016.3.-5.（注意：本套练习系按照本人编写教材得章节设计题目并经过压缩，而非按本西南财大版本的《保险学原理》的章节设计，仅供大家参考练习。
有疑问老师解答）第一章风险与风险管理一、名词解释1.风险2.风险因素3.风险事故4.损失 5可保风险 6.道德风险 7.心理风险二、填空题1.风险的基本要素包括（）、（）和（）。
2.风险因素通常可以分为三类，即（）、（）和（）。
3.风险按照涉及的范围分类，可以分为（）和（）。
4.风险管理方式可以分为（）型和（）两种类型。
5.保险产生和发展的自然基础是（）和经济基础（）。
6.财产风险是指导致物质财产发生（）和（）的可能性。
7.通常将导致自然力的不规则变动或人们行为的错误或失当所导致的经济损失的不确定性，称之为（）风险。
三、单项选择题1.下冰雹使得路滑而发生车祸造成人员伤亡，这时冰雹是（）。
A.风险因素B.风险事故C.损失D.风险单位2.投机风险发生后所导致的可能结果不包括( )。
A.获利B.无损失C.损失D.灭失3.风险按性质分类可以分为（）。
A.人身风险和财产风险B.纯粹风险和投机风险C.自然风险和社会风险D.静态风险和动态风险4.权利人因义务人而遭受经济损失的风险是（）。
A.责任风险B.信用风险C.财产风险D.自然风险5.股票市场的波动属于（）性质的风险。
A.社会风险B.纯粹风险C.投机风险D.技术风险6.自然损耗不能保险，是因为它不符合可保风险的条件是（）。
A.必须是纯粹风险B.风险事故的发生是意外的C.损失幅度不能太大也不能太小D.大量独立的同质风险单位存在7.对某种特定的风险，测定其风险事故发生的概率及其损失程度，称为（）。
A.风险识别B.风险衡量C.风险处理D.风险管理效果评价8.以下事件中（）属于保险意义上的损失。
A.折旧B.馈赠C.请朋友吃饭D.车祸撞死人9.风险管理的基础是（）。
A.风险识别B.风险衡量C.风险处理D.风险管理效果评价四、判断题1.无风险，无保险。
保险学概论第一章课后答案
第一章风险与保险思考练习一、术语解释风险——风险是指损失的不确定性。
风险因素——风险因素是指引起或增加风险事故发生的机会或扩大损失幅度的原因和条件。
它是风险事故发生的潜在原因，是造成损失的内在的或间接的原因。
风险事故——风险事故又称风险事件，是造成生命财产损失的偶发事件。
也就是说，风险事故是损失的媒介，是造成损失的直接的或外在原因。
损失——在风险管理中，损失是指非故意的、非预期的和非计划的经济价值的减少。
纯粹风险——纯粹风险是指那些只有损失机会而无获利可能的风险。
投机风险——投机风险是指那些既有损失机会，又有获利可能的风险。
静态风险——静态风险是指由于自然力的不规则作用，或者由于人们的错误或失当行为而招致的风险。
动态风险——动态风险是指以社会经济的变动为直接原因的风险，通常由人们欲望的变化、生产方式和生产技术以及产业组织的变化等所引起。
责任风险——责任风险是指由于社会个体（经济单位）的侵权行为造成他人财产损失或人身伤亡，依照法律负有经济赔偿责任，以及无法履行合同致使对方受损而应负的合同责任，所形成的风险。
信用风险——信用风险是指在经济交往中，权利人与义务人之间，由于一方违约或违法行为给对方造成经济损失的风险。
可保风险——可保风险是指可被保险人接受的风险，或可以向保险人转移的风险。
保险——保险是集合具有同类风险的众多单位或个人，以合理计算分担金的形式，实现对少数成员因约定风险事故所致经济损失或由此而引起的经济需要进行补偿或给付的行为。
自愿保险——自愿保险是指投保人和保险人在平等自愿的基础上，通过签订保险合同而建立保险关系的保险。
强制保险——强制保险又称法定保险，是指国家对一定的对象以法律、法令或条例规定其必须投保的一种保险。
风险管理——风险管理是指经济单位通过对风险的识别和衡量，采用合理的经济和技术手段对风险加以处理，以最小的成本获得最大安全保障的一种管理行为。
二、思考题1．什么是风险？风险有哪些特征？答：风险是指损失发生的不确定性。
风险理论 第一章
5．保险人的组织形式包括国有独资保险 公司、 股份有限公司、 相互保险公司、 公司 、 股份有限公司 、 相互保险公司 、 相互 保险社、保险合作社和劳合社等。 保险社、保险合作社和劳合社等。 保险中介主要包括保险代理人、 6．保险中介主要包括保险代理人、保险 经纪人和保险公估人等。 经纪人和保险公估人等。
二、保险市场的构成要素
（一）保险市场的主体 供给方。 供给方。 需求方。 需求方。 保险市场中介。 保险市场中介
第一节 保险市场概述
二、保险市场的构成要素 （二）保险市场的客体
保险市场的客体是指保险市场上供求 双方具体交易的对象 交易的对象， 双方具体交易的对象，即保险商品和相关 服务。 服务。
第一节 保险市场概述
三、保险市场的特征
（一）保险市场是直接的风险市场 （二）保险市场是非即时清结市场 （三）保险市场是特殊的“期货”交易市场 保险市场是特殊的“期货”
第二节 保险市场经营主体
一、保险人 二、保险中介
第二节 保险市场经营主体
一、保险人
（一）国有独资保险公司
我国的公司法规定，国有独资公司(state 我国的公司法规定， 是指国家单独出资、 国家单独出资 sole funded corporation)是指国家单独出资、 由国务院或者地方人民政府授权本级人民政府 国有资产监督管理机构履行出资人职责 出资人职责的 国有资产监督管理机构履行出资人职责的有限 责任公司。 责任公司。
（二）保险市场国际化的表现形式 跨国保险公司及相关经营机构的设立。 跨国保险公司及相关经营机构的设立。 国际化的再保险市场。 国际化的再保险市场。 保险公司境外投资。 保险公司境外投资。 保险公司的境外融资。 保险公司的境外融资。
第三节
第二讲风险效用理论及保险定价理论的发展
第二讲风险效用理论及保险定价理论 的发展
风险效用理论
2021/1/31
风险（期望）效用理论
圣彼得堡悖论 Von Neumann-Morgenstern期望效用理论 行为主体的风险偏好 风险效用理论的质疑与发展 基于风险效用理论的保险定价思想
圣彼得堡悖论
对风险按照数学期望值的方法度量，这种方法客 观、直观和简便，然而在保险经济中却不适用。
同的满足程度，离原点越远，满足程度越大，反之则越
小。
偏好关系
关于消费者偏好的基本假定 偏好的完全性；偏好的可传递性；偏好的非饱和
性
偏好关系
定义：消费集X上的二元关系，用“ ”表示，若 x1 x2 ，
我们称对于消费者“ x1 与 x2 只是一样地好”。若该二元
关系满足如下公理：
完备性：对于任意属于X集的两个选择 x1 与 x2 ，要么
保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及 人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和 社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保 险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、 保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险 费和责任准备金等保险具体问题的计算。
保险精算学起源于人寿保险中的保费计算，其发 展与寿险有着深厚的渊源关系。
数据类型一般为分组频数数据，即只知道区间内 的数据个数而没有具体值的记录；另外，由于免 赔额和超额损失的存在，使得数据具有左截断和 右删失的特征。
保险学第1章风险风险管理与保险课件
损失抑制风 风险自
险自留
留
在选择采用何种处理方
法处理某种风险时，可 以参考图1—3种的选择
低
损失频率
高
方案。
保险学第1章风险、风险管理与保
3）心理风险因素是与人的心理状态有关的无形因素，又称风 纪风险因素。
保险学第1章风险、风险管理与保
2024/1/14
险
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1．1．4风险的组成要素
2．风险事故 风险事故是指可能引起人身伤亡或财产损失
的偶然事件，是造成风险损失的直接原因， 又是风险因素所诱发的直接结果。 3．风险损失 在风险管理中，损失是指非故意的、非预期 的和非计划的经济价值的减少。
保险学第1章风险、风险管理与保
2024/1/14
险
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1．2．3风险管理的过程
2．风险的识别
风险的识别是整个风险管理的基础，是在风险事故 发生之前，运用各种方法系统地、全面地、连续 地认识所面临的各种风险，以及分析风险事故发 生的潜在原因。
表格和问卷识别法
风险列举法
财务报表分析法
安全检查表
（1）风险管理的主体是各种经济单位，个人、家庭、 企业以及其他法人团体都可以看作独立的经济单位。
（2）风险管理强调的是人们的主动行为。
（3）风险管理地目的是以尽可能小的成本来换取最大 的安全保障和经济利益。
保险学第1章风险、风险管理与保
2024/1/14
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1．2．2风险管理的方法
对于某一特定的风险，人们可以使用以下几种管理 方法：回避、防损与减损、自留和转移，当然也 可以采用上述两种或更多方法的综合。
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第一章 效用理论与保险【知识要点】1、 边际效用递减原理与最大期望效用原理边际效用递减原理：个人对财富需求的满足程度是由他的效用值来衡量的，他对财富的满足程度随着财富的增加而增加，但增加的速度却在逐渐减小，这就是经济学中所述的边际效用递减原理。
最大期望效用原理：在具有风险和不确定的情况下，个人行为的动机和准则是为了获得最大期望效用值。
2、 Jensen 不等式如果一个决策人是一个风险厌恶者，其效用函数()u x 是一个凹函数，即满足 ',"0u u >≤，对于随机损失X ，则有如下不等式： ()[]()E u X u E X ⎡⎤≤⎣⎦这意味着，决策人认为确定性损失的效用值不低于随机损失。
3、 Arrow-Prant 指数为了比较决策者之间风险态度的差异，引入了Arrow- Prant 指数，定义如下：()"'a R x u u =-为绝对风险指数（风险厌恶系数）； ()"'r R x x u u =-为相对风险指数。
风险态度及Arrow-Prant 指数的关系4、 效用原理与保险定价保险人承保必须满足如下不等式：()()E u w P X u w ⎡⎤+-≥⎣⎦其中w 是保险人的初始资产，P 是收取的保费，X 是承保损失的随机变量，此式的含义就是承保后财产的效用期望值应不低于承保前财富的效用值。
对于被保险人而言，有下面的不等式： ()()u w P E u w X ⎡⎤-≥-⎣⎦其中w 是被保险人的财富，P 是缴纳的保费，X 是其面临的损失随机变量，此式表明被保险人购买保险后财富的效用值应大于购买前财富的期望值。
当收取的保费P 介于承保人必须收取的最低保费P -和被保险人愿意支付的最高保费P +之间时，保险合同才可能成立。
5、 停止损失（再）保险在这种保险合同中，保险人只赔付超过一定限额的损失，即 () X 0,,d dI X X d X d≤⎧=⎨->⎩，其中免赔额由下式确定：()()()d d P E I x x d f x dx ∞⎡⎤==-⎣⎦⎰ 停止损失（再）保险不仅使其期望效用最大，而且使自留风险的方差最小。
6、例题例1 一个保守的投资者具有如下特征： （1） 他的效用函数为() 0.025,0u x x x =≥； （2） 他有1000个单位的财富。
他用375个单位购买彩票，并以概率α得到50000个单位，以概率（1-α）一无所获。
问：当概率α为何值时，他购买彩票和不购买彩票相当？(A)0.09 (B)0.07 (C)0.06 (D)0.10 (E)0.01 解：设收益随机变量X 的概率分布列为投资者购买彩票后的期望效用为()()()()()()()()0.0250.0251000375625625006255000050000625150625 1.17460.1364E u w P X E u X E u X u P X u P X ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+=-+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+⨯=++⨯==⨯-+⨯=+他不购买彩票的效用为()0.02510001000 1.1885u ==。
按题意，令()()E u w P X u w ⎡⎤-+=⎣⎦，即1.17460.1364 1.1885α+=，解得0.1019α=，故答案应选（D ）。
例2 某投资者拥有财产1个单位，他的效用函数为() 0u x x =>他有两个选择：（1）投资于一个项目，预期5年后财产可能变成（2） 将钱存入银行，年利率为ϑ。
问：年利率为ϑ为多少时，上述两种选择的效用等同？ 解：根据期望效用原理，当()()()51E u X u ϑ⎡⎤=+⎣⎦时二者等同。
()0.250.50.150.1 1.1516E u X ⎡⎤=+++=⎣⎦，()()51u ϑ+=，1.1516=()521 1.151610.0581ϑϑ+=⇒=-=因此，当年利率 5.81%ϑ=时，两个选择等价。
例3 某人具有400个单位的财富，他的效用函数是() 0u x x =>他面临的损失随机变量X 的分布是他用30个单位的财富购买了具有免赔额的保单，计算在此情况下他的期望效用可能达到的最大值。
（A ）18.3 (B)18.6 (C)18.7 (D)19.6 (E)19.8解：因为() 0,,d X dI X X d X d ≤⎧=⎨->⎩，当050d <≤时，()()()1125010050333d E I X d d d ⎡⎤=-⨯+-⨯=-⎣⎦令()25030303d E I X P d d ⎡⎤=⇒-=⇒=⎣⎦；当50100d <≤时，()()111001003010333d E I X d d ⎡⎤=⨯+⨯+-⨯=⇒=⎣⎦，这与免赔额在50100d <≤间矛盾，故免赔额30d =个单位。
所以自留风险的随机变量为：() 30,3030,30X X Y X I X X ≤⎧=-=⎨>⎩()()()()()()()103003112303050100333P Y P X P X P Y P X P X P X ∴==≤=====>==+==+=所求期望效用为()()()123318.7d E u w P X I X E u w P Y E E ⎡⎤⎡⎤--+=--⎣⎦⎣⎦===⨯+⨯=故答案应选（C ）。
例4 某人初始财富为50，他的效用函数为()ln ux x =，面临损失X 的分布为()() 00.5,400.5P X P X ====。
保险人初始资本为100，效用函数为()0.1e ,0xx x υ-=>。
保单规定，在承保的损失发生时，赔偿投保人20。
问这张保单是否有可能成交？解：作为投保人，可以有两个选择（投保或不投保）。
如果愿意支付保费P 进行投保，则投保后的期望效用为()()ln(50)0.5ln 5040200.50.5ln (50)30P P P P -⨯+--+⨯⎡⎤=⨯-⨯-⎣⎦，若不投保，期望效用为()()()()ln 50ln 5000.5ln 50400.50.5ln 500E X ⎡⎤-⎣⎦=-⨯+-⨯=，由效用均衡方程得()()250305008010000P P P P -⨯-=⇒-+=，由此解得80804915.505122P +±±===，上式求得的另一个值()64.550P =>超过原有财富值，被舍弃。
对于保险人，承保前后的期望效用应该相等，即()()()0.110000.1100200.11001080.11040.150.10.50.50.51.904310 4.5400104.194514.3377P P P P P eee e e e e e e P -+--+--⨯--------+=⇒+=⇒⨯=⨯⇒=⇒=如保费介于区间[]1,14.3377,15.5051P P -+⎡⎤=⎣⎦内，即可成交。
例5 设某人拥有10元财产，面临随机损失X 服从[] 0,10区间上的均匀分布，他的效用函数为()u x =他愿意支付1.8元去买限额损失保险()*d I X ，试确定免赔额*d ，并确定其最大期望效用。
解：首先由公式()()()10d dP E I X x d f x dx ⎡⎤==-⎣⎦⎰确定*d ，即()()()1022101.80.10.050.0510ddx d dx x d d =⨯-=-=⨯-⎰，由此解得免赔额为*4d =。
最大期望效用为：()()()()()4404410 1.80.10.120.10.1320.10.6320.123.48128.6074 1.229630.9880 1.22962.2176E u w P X I x E u X I x ⎡⎤⎡⎤--+=--+⎣⎦⎣⎦=⨯+⨯=⨯⨯+⨯=⨯⨯-+⨯=⨯⨯-+=+=⎰⎰例6 一个投资者具有6个单位的资产，他的效用函数为() ,0211,22x x u x x x ≤<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩这个决策者面临损失的随机变量X 的分布函数为()() 0,00.5,020.6,20.60.12,261.0,6x x F x x x x x ⎧<⎪≤<⎪⎪==⎨⎪+⨯-<≤⎪⎪>⎩当他把这笔财富全额投保时，他应付多少保费，才能使他的期望效用达到最大？(B) 1.8; (B) 2.0; (C) 2.4; (D) 3.8; (E) 3.6 解：X 的概率密度函数为： () 0.5,00.1,20.1,26x f x x x =⎧⎪==⎨⎪<≤⎩投保后的期望效用为()()()()()()()()()()6246246600622664110.510.1160.160.122220.30.50.23E u w X E u X u f u f u x f x dxx dx x dx⎡⎤⎡⎤-=-⎣⎦⎣⎦=-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++=⎰⎰⎰ 投保后财富减少为()() 6,4661,42P P u w P u P P P ->⎧⎪-=-=⎨-+≤⎪⎩他应支付的保费由效用均衡方程()()66E u X u P ⎡⎤-=-⎣⎦确定： 当4P >时，令633PP -=⇒=，这与4P >矛盾，舍弃。
当4P ≤时，令613242PP -+=⇒=≤，合理。
故投资人应支付的保费为2P =，答案为（B ）。
第一次作业1、 假设一保险人使用参数为α的指数效用函数，对于风险X ，最小保费应为多少？解：把()x U x e αα-=-代入均衡方程()()U W E U W P X -⎡⎤=+-⎣⎦，得 ()W P X WW P X WP XeE e E e e eeeE e αααααααααααα----+------⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦从而1P XeE eαα--⎡⎤=⎣⎦，即P Xe E e αα-⎡⎤=⎣⎦，取对数得ln XP E e αα-⎡⎤=⎣⎦，因此有()11ln ln XX P E e M αααα-⎡⎤==⎣⎦。
2、 设随机变量服从参数为λ的指数分布，即 (),0,0x f x e x λλλ-=≤<+∞>，证明其矩母函数为(),X M t t tλλλ=<-。
证明：根据矩母函数定义，()()0txtxX M t E e e f x dx +∞⎡⎤==⎣⎦⎰， 将密度函数()x f x e λλ-=代入上式，则得到 ()()()0t xt x tx xX M t e edx edx e t λλλλλλλ+∞+∞---+∞===-⎰⎰当tλ<时，则有()()()001t xX M t et t tλλλλλλλ-+∞==-=---。