2020年北京市丰台区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市丰台区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合的子集个数为A. 4B. 6C. 7D. 82.函数的定义域为A. B.C. D.3.下列函数中，最小正周期为的是A. B. C. D.4.已知数列的前n项和，则A. 3B. 6C. 7D. 85.设，为非零向量，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则p的值为A. B. 2 C. D. 47.已知函数，则A. 是奇函数，且在定义域上是增函数B. 是奇函数，且在定义域上是减函数C. 是偶函数，且在区间上是增函数D. 是偶函数，且在区间上是减函数8.如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为A.B.C.D.9.在中，，，，则AB边上的高等于A. B. C. D.10.某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，，且a，b，；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是A. 每场比赛的第一名得分a为4B. 甲至少有一场比赛获得第二名C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名D. 丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知复数，则______．12.已知直线的倾斜角为，则______．13.已知双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为______．14.天干地支纪年法简称干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是______年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年．15.已知集合，由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”给出下列结论：“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；白色“水滴”图形的面积是．其中正确的有______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四边形ABCD为正方形，，，，，．Ⅰ求证：平面ABCD；Ⅱ求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．17.已知等差数列的前n项和为，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若等比数列满足，且公比为q，从；；这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和．18.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：Ⅰ现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查．求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；Ⅱ现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；Ⅲ某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．19.已知函数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ求证：当时，；Ⅲ当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围．20.已知椭圆经过，两点．O为坐标原点，且的面积为过点且斜率为的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ求直线l的斜率k的取值范围；Ⅲ设，求的取值范围．21.已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”．Ⅰ已知集合，判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；Ⅱ设集合1；，1，，s，，1；，，s，求证：集合A，B互为“完美加法补集”；记和分别表示集合A，B中不大于的元素个数，写出满足的元素n的集合．只需写出结果，不需要证明-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：0，，集合A的子集个数为个，故选：D．先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数．本题主要考查了集合子集个数的求法，掌握公式是关键，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得或．函数的定义域为．故选：C．由分母中根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3.答案：D解析：解：函数的最小正周期为，故排除A；函数的最小正周期为，故排除B；函数的最小正周期为，故排除C；函数的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．由题意利用三角函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．4.答案：B解析：解：，时，．则．故选：B．，可得时，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：，为非零向量，“”展开为：．“”是“”的充要条件．故选：C．，为非零向量，“”展开，进而判断出结论．本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：分析：求出抛物线和双曲线的焦点坐标，即可得到结论．本题主要考查抛物线和双曲线的性质，求出对应的焦点坐标是解决本题的关键．解：抛物线的焦点坐标为，双曲线的方程为，，，则，即，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，，即，故选：D7.答案：B解析：解：根据题意，函数，则有，解可得，即的定义域为；设任意，，则函数为奇函数；，其导数，在区间上，，则为上的减函数；故选：B．根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得，即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得为上的减函数；即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．8.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：，由于三棱锥体的左视图和主视图都为等边三角形，所以，所以．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．9.答案：B解析：解：，，，由余弦定理可得：，可得，设AB边上的高为h，则，，解得：．故选：B．由已知及余弦定理可求cos A的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，设AB边上的高为h，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：解：甲最后得分为16分，，接下来以乙为主要研究对象，若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则，则，而，则，又，，此时不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则，则，由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则，则，由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则，此时显然，，则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共分，乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共分，丙的得分情况为4场第二名，则，即，此时符合题意．综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．故选：C．根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题．11.答案：解析：解：复数，．故答案为：．根据复数模长的定义直接进行计算即可．本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．12.答案：解析：解：直线的斜率，直线的倾斜角．．故答案为：．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，即可求解的值．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．13.答案：解析：解：由题意可得，即，，可得双曲线的渐近线方程，即为故答案为：运用离心率公式和a，b，c的关系，可得，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．14.答案：己卯60解析：解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、、癸未，甲申、乙酉、丙戌、、癸巳，，若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；故答案为：己卯，60．根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得2059年是己卯年，又由天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，据此可得天干地支共有60种组合，即可得答案．本题考查合情推理的应用，关键是掌握“干支纪年法”的规律，属于基础题．15.答案：解析：解：对于，方程中，令，得，所以，其中，所以，所以，解得；所以点，点，点，点，所以错误；对于，由，设，则点M到原点的距离为，当时，，d取得最大值为3，所以正确；对于，由知最高点为，最低点为，所以，正确；对于，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；计算它的面积是，所以正确；综上知，正确的命题序号是．故答案为：．方程中，令求得y的取值范围，得出最高点的坐标；利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值；求出知最高点C与最低点D的距离；计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．本题考查命题真假的判断，考查三角函数和圆的综合知识应用问题，也考查运算求解能力，是难题．16.答案：证明：Ⅰ因为，，所以，因为，，所以平面ABCD．Ⅱ解：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，．因为四边形ABCD为正方形，所以．如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，，，．设平面PDM的法向量为y，，则，即令，则，于是1，．平面PDM的法向量为1，．设直线PC与平面PDM所成的角为，所以．所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为．解析：Ⅰ推导出，，由此能证明平面ABCD．Ⅱ推导出，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC与平面PDM所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ设等差数列的公差为d，又因为，且，所以，故，所以；Ⅱ由Ⅰ可知，，又，所以．若选择条件，可得，；若选择条件，可得，；若选择条件，可得，．解析：Ⅰ先由题设条件求出等差数列的基本量：首项与公差，再求其通项公式；Ⅱ先选择公比q的值，再结合其它题设条件计算出结果．本题主要考查等差、等比数列中基本量的运算及数列的求和，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为．参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，所以分Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．，，．X的分布列为：X012P分Ⅲ答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．分解析：Ⅰ记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率．Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．利用超几何分布列计算公式即可得出．Ⅲ答案不唯一．示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．本题考查了超几何分布列计算公式及其数学期望、小概率事件问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ因为，定义域R，所以．令，解得．随x的变化，和的情况如下：x 0增极大值减由表可知函数在时取得极大值，无极小值；Ⅱ证明：令，．由得，于是，故函数是上的增函数．所以当时，，即；Ⅲ当时，由Ⅱ知，满足题意．令，．当时，若，，则在上是减函数．所以时，，不合题意．当时，，则在上是减函数，所以，不合题意．综上所述，实数a的取值范围．解析：Ⅰ求导，列出随x的变化，和的情况表，进而求得极值；Ⅱ令，求导，由得，则，进而得出函数的单调性，由此得证；Ⅲ当时，由Ⅱ知符合题意，再令，分及均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ因为椭圆经过点，所以解得．由的面积为可知，，解得，所以椭圆C的方程为．Ⅱ设直线l的方程为，，联立，消y整理可得：．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得．因为，所以k的取值范围是．Ⅲ因为，，，所以直线AM的方程是：．令，解得．所以点S的坐标为．同理可得：点T的坐标为．所以，，．由，可得：，所以．同理．由Ⅱ得，所以所以的范围是．解析：Ⅰ把点A坐标代入椭圆的方程得由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程．Ⅱ设直线l的方程为，，联立直线l与椭圆C的方程的关于x的一元二次方程．，进而解得k的取值范围．Ⅲ因为，，，，写出直线AM的方程，令，解得点S的坐标为同理可得：点T的坐标为用坐标表示，，，代入，得同理由Ⅱ得，代入，化简再求取值范围．本题考查椭圆的标准方程，及取值范围，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ由，得是奇数，当，时，，所以，；Ⅱ首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组，其中，1；，1，，k，，使得，由于，这种形式的自然数p至多有个，且最大数不超过．由，1；，1，，k，，每个都有两种可能，所以这种形式的自然数p共有个结果．下证，其中，1；，1；，1，，k，，则．假设存在中，取i最大数为j，则，所以不可能．综上，任意正整数p可唯一表示为显然，满足，所以集合A，B互为“完美加法补集”．解析：Ⅰ由a为奇数，b为偶数，可得为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合；Ⅱ首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组，其中，1；，1，，k，，使得，考虑自然数p的个数即可得证；下证，其中，1；，1；，1，，k，，则由反证法即可得证；考虑集合中元素为奇数，可为本题考查集合的新定义的理解和应用，考查综合法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。
2020北京丰台高三二模数学含答案
Tn = (a1 − b1) + (a2 − b2 ) + + (an − bn )
= (a1 + a2 + + an ) − (b1 + b2 + + bn )
= n(a1 + an ) − b1(1− qn )
2
1− q
= n(n + 3) + 26−n − 64 . 2
若选择条件③ q
（A）3
（B） 6
（C） 7
（D） 8
5． 设 a，b 为非零向量,则“ a ⊥ b ”是“ a +b = a − b ”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
6． 已知抛物线 M : x2= 2 py( p 0) 的焦点与双曲线 N : y2 − x2 = 1 的一个焦点重合，则 p = 3
集合 A, B 互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合 A = a a = 2m +1, m N , B = b b = 2n, n N .判断 2019 和 2020 是否属于集合 A + B ，并说
明理由；
（Ⅱ）设集合 A = x x = 0 +2 22 +4 24 + +2i 22i + +2s 22s,2i = 0,1;i = 0,1, , s, s N ,
（A） 2
（B）2
（C） 2 2
（D）4
7． 已知函数 f (x) = ln(1− x) − ln(1+ x) ，则 f (x)
（A）是奇函数，且在定义域上是增函数
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2020届北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形1．（2020▪丰台高三二模）下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x=（B ）1sin 2y x= （C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x=2.（2020▪房山高三二模）函数()sin πcos πf x x x =的最小正周期为（A ）1 （B ）2 （C ）π（D ）2π3.（2020▪海淀二模）将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（A ）sin(2)6x π+（C ）cos2x （B ）2sin(2)3x π+（D ）cos2x-4．（2020▪密云高三二模）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则A ．，B ．，C ．，D ．，5.（2020▪朝阳高三二模）已知函数()sin(2)6f x x π=-，则下列四个结论中正确的是（A ）函数()f x 的图象关于512π（，0）中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称（C ）函数()f x 在区间ππ（-，）内又4个零点 （D ）函数()f x 在区间[,0]2π-上单调递增6. （2020▪东城高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 (A)135平方米 (B)270平方米 (C)540平方米 (D)1080平方米7.（2020▪海淀二模）在△ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π8．（2020▪西城高三二模）在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310（D ）359. （2020▪丰台高三二模）在△ABC 中，3AC =，BC =2AB =，则AB 边上的高等于（A ）（B（C（D ）3210.（2020▪房山高三二模）在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =1 （A ）（B ）（C ）（D ）11.（2020▪朝阳高三二模）圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC ∠)为26.5°,夏至正午太阳高度角(即ADC ∠)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB 的长)为a ，则表高(即AC 的长)为（A ）sin532sin 47a（B ）2sin 47sin 53a（C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a（D ）sin 26.5sin73.5sin 47a12. （2020▪西城高三（下）6月模拟）在锐角ABC 中,若2,3,6a b A π===,则cosB =(A)3413. （2020▪丰台高三二模） 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α=________．14．（2020▪西城高三二模）设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为________；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为_________．15.（2020▪东城高三二模）已知1cos 23α=，则()22πcos ()2cos π2αα+--的值为________. 16.（2020▪东城高三二模）从下列四个条件①a =；②π6C =；③cos B =；④b =件，能使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）,所选三个条件下的c 的值为 ____.17.（2020▪昌平高三二模） 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上.若， 则________ ；_____ .18.（2020▪密云高三二模） 在中，三边长分别为，，，则的最大内角的余弦值为_________，的面积为_______．19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知函数()()0,0,02f x Asin x A πωϕωϕ⎪=>⎛⎫ ⎝+><⎭<同时满足下列四个条件中的三个:①最小正周期为π;②最大值为2;③()01f =-;④06f π⎛⎫-⎪⎝⎭= .(Ⅰ)给出函数()f x 的解析式,并说明理由;(Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间.20.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）在中，（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，,求的面积. 21.（2020▪密云高三二模）（本小题满分15分）已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当时，关于的不等式_______，求实数 的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形参考答案1.D2.A3.C4.B5.C6.B7.C8.A9.B 10.C 11.D 12.C;13. 14. ， 15.-1 16. ①③④，，或者②③④， 17. ，18. ，19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则.这与矛盾，故不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④.………………2分由条件①，得，又因为，所以.………………4分由条件②，得.………………5分由条件④，得，又因为，所以.所以.………………8分（Ⅱ）由，，………………10分得，………………12分所以函数的单调递增区间为，.………………14分（注：单调区间写成开区间亦可.）20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，因为，所以……………..2分因为，所以所以……………..4分因为，所以. ……………..6分（Ⅱ）因为，，由余弦定理可得. ……………..8分所以……………..12分所以. ……………..14分21.（本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为==．所以函数的最小正周期．因为函数的的单调增区间为，所以，解得．所以函数数的的单调增区间为，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式有解，即．因为，所以．故当，即时，取得最大值，且最大值为．所以．若选择②由题意可知，不等式恒成立，即．因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为．所以．。
2020届北京市丰台区高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题 PDF版
（ ⅱ ） 记 An 和 B n 分 别 表 示 集 合 A, B 中 不 大 于 n(n N*) 的 元 素 个 数 ， 写 出 满 足 An B n n1的元素 n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
20.（本小题共 14 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 经过 A(1,0) ， B(0,b) 两点. O 为坐标原点，且△
AOB 的面积为
2 . 过点 P(0,1) 且斜率为 k(k 0) 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 M，N ,且直线 AM ， AN 分别
酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：
天甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 ┈
干 地子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
┈ 支 干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
┈ 纪年年年年年年年年年年年年年 年
丰台区高三数学二模考试试题 第 2 页/ 共 13 页
2049 年是新中国成立 100 周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049 年 是己巳年，则 2059 年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.
平面 PDM 的法向量为 u (1,1,2) .
………5 分13 页
设直线 PC 与平面 PDM 所成的角为 ，
uuur
uuur
PC u
所以 sin cos PC,u uuur
3 .
PC u 6
所以直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值为
则称集合 A, B 互为“完美加法补集”.
2020-2021学年北京市高考数学二模试卷（理）及答案解析
2020-2021学年北京市⾼考数学⼆模试卷（理）及答案解析北京市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= ．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（⽤数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= ．②记Sn三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂⾜为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的⽅程及离⼼率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表⽰x1，x2，x3，…，x n中的最⼤值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最⼩值；（Ⅲ）?k∈N*，求d n的最⼩值．参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分⼦分母同时乘以1+i，直接利⽤复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利⽤双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的⼏何量，然后求解双曲线的渐近线⽅程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线⽅程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，联⽴⽅程组求得最优解的坐标，代⼊⽬标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可⾏域如图，联⽴，解得A（），化⽬标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最⼤，z有最⼩值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成⽴，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”?α⊥β；反之不成⽴，若α⊥β，b?β，b⊥α不⼀定成⽴．故选：A．5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的⽐例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB?AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△=ADO=，解得DE．由DE⊥BC，可得BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB?AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△==，解得DE==2．ADO∵DE⊥BC，∴BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC?BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．∴BE=2，故选：C．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满⾜条件，退出循环，从⽽可得判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运⾏过程，得S=0，i=1满⾜条件，执⾏循环体，S=2，i=2满⾜条件，执⾏循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满⾜条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利⽤函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成⽴；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∴满⾜不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在⼏何中的应⽤．【分析】根据题意找出使得λ+µ最⼤的顶点C，根据向量加法的平⾏四边形法则可作出平⾏四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的⼏何意义便可得出，这样由平⾯向量基本定理即可求出λ+µ的最⼤值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平⾏四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+µ最⼤；作平⾏四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；⼜；∴；即λ+µ的最⼤值为．故选C．⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= 2n（N*）．【考点】等⽐数列的通项公式；等⽐数列的前n项和．【分析】根据等⽐数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．【考点】简单曲线的极坐标⽅程．【分析】求出极坐标⽅程的普通⽅程，利⽤点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通⽅程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利⽤正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图可知：该⼏何体为三棱锥．AC⊥侧⾯PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该⼏何体为三棱锥，AC⊥侧⾯PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有144 种．（⽤数字作答）【考点】排列、组合的实际应⽤．【分析】先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= 1512 ．②记Sn【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：②a1当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满⾜条件．∴a=．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），②a1∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三⾓函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利⽤周期公式可求ω，⼜函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，⼜结合范围﹣＜x0＜，从⽽可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利⽤正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本⼩题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，⼜∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，⼜|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，⼜∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【考点】相互独⽴事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利⽤均值与⽅差的定义分别求出甲、⼄两校新⽣的数学成绩的均值与⽅差，从⽽得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差⼩于⼄校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差．（2）设事件D=“从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++?=，因此，从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平⾯所成的⾓；直线与平⾯平⾏的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平⾯BC1D，由线⾯平⾏的性质得出AB1∥EF；。
2024年北京丰台区高三二模数学试题和答案
2024北京丰台高三二模数 学2024.04本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{23}B =，，则()()U UA B =（A ）{3} （B ）{1,2} （C ）{4,5}（D ）{1,2,3}2．在复平面内，复数z 对应的点为(1,1)Z −，则z 的共轭复数z = （A ）1i + （B ）1i − （C ）1i −+（D ）1i −−3．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ,，都有p q p q a a a +=，若1a =4a =（A ）2 （B ）（C ）4（D ）4．下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）1()||f x x = （B ）()22x x f x −=+ （C ）()sin f x x =（D ）()tan f x x =5．若,a b ∈R ，且a b >，则 （A ）221111a b <++ （B ）22a b ab > （C ）22a ab b >>（D ）2a ba b +>> 6．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（A ）//,,m n αβαβ⊥⊥ （B ）//,,m n αβαβ⊂⊥ （C ）,,//m n αβαβ⊥⊥（D ）,,//m n αβαβ⊥⊂7．已知函数ππ()sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>−<< 的导函数是'()f x ，如果函数()'()y f x f x =− 的图象如右图所示，那么,ωϕ的值分别为（A ）1,0（B ）1,4π−（C ）1,4π （D ）2,4π−8．已知曲线2:1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是 （A ）当1k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 （B ）当1k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点 （C ）当2k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 （D ）当2k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点9．已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1(0,)2απ∈，那么“πd =”是“集合S ={|sin ,n x x α=*}n ∈N 恰有两个元素”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”.利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图 1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直.图 2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为α，PB α⊥，则椭圆1O 的离心率为图1 图2（A （B（C ）2（D ）3第二部分 （非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年北京市丰台区高三数学二模试卷及参考答案
2020年北京市丰台区高三二模试卷 数 学 2020.06第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1． 集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）82． 函数()f x =（A ）(02),（B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞U ,,（D ）(0][2)-∞+∞U ,,3． 下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x =（B ）1sin2y x =（C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x =4． 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3（B ）6（C ）7（D ）85． 设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6． 已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A（B ）2（C ）（D ）47． 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（A ）233 （B ）43（C ）433（D ）239. 在△ABC 中，3AC =，7BC =，2AB =，则AB 边上的高等于（A ）23 （B ）33（C ）26 （D ）3210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是 （A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名 （C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D ）丙至少有一场比赛获得第三名第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．13. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ┈ 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ┈干支 纪年甲子年乙丑年丙 寅年丁 卯年戊 辰年己 巳年庚 午年辛 未年壬 申年癸 酉年甲 戌年乙 亥年丙子年┈ 纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.15．已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.17.（本小题共14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从Ⅰ2q =；Ⅰ12q =；Ⅰ1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共15分）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.21.（本小题共14分）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由； （Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L {}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2020北京丰台高三二模数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDBCDBABC11．5 12．22-13．2y x =±14. 己卯；60 15. ②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分 （Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM所成角的正弦值为6. ………14分17.（本小题共14分）解： （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.若选择条件①2q =，可得41312b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--1(3)1222n n n -+=-+. ………14分若选择条件②12q =，可得41332b b q ==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--(3)+2(1(1))2n n n +=--.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X 的分布列为：()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化． 答案示例2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()exx f x +=，定义域R ，所以'()exxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ……5分（Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()eeex xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e xx h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)eexxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a-，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意.当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数， 所以()(0)0h x h <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C ab+=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB 的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,.所以11(01)1y PS x -=--u u r,,22(01)1y PT x -=--u u u r,,(01)PO =-u u u r,.由,,PO PT PO PS μλ==可得：12121111y y x x λμ---=--=---,，所以111111111y kx x x λ+=+=+--．同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121k x x x x k k +=-=++,，所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)1 21k k k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)． ………14分21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数， 当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+. ………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ， 使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能， 所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L121121+2+2++2+2++2i i k i i kεεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L1001111001111110111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j jj j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N,. ………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2020年北京市丰台区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市丰台区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合的子集个数为A. 4B. 6C. 7D. 82.函数的定义域为A. B.C. D.3.下列函数中，最小正周期为的是A. B. C. D.4.已知数列的前n项和，则A. 3B. 6C. 7D. 85.设，为非零向量，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则p的值为A. B. 2 C. D. 47.已知函数，则A. 是奇函数，且在定义域上是增函数B. 是奇函数，且在定义域上是减函数C. 是偶函数，且在区间上是增函数D. 是偶函数，且在区间上是减函数8.如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为A.B.C.D.9.在中，，，，则AB边上的高等于A. B. C. D.10.某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，，且a，b，；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是A. 每场比赛的第一名得分a为4B. 甲至少有一场比赛获得第二名C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名D. 丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知复数，则______．12.已知直线的倾斜角为，则______．13.已知双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为______．14.天干地支纪年法简称干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是______年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年．15.已知集合，由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”给出下列结论：“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；白色“水滴”图形的面积是．其中正确的有______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四边形ABCD为正方形，，，，，．Ⅰ求证：平面ABCD；Ⅱ求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．17.已知等差数列的前n项和为，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若等比数列满足，且公比为q，从；；这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和．18.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：Ⅰ现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查．求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；Ⅱ现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；Ⅲ某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．19.已知函数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ求证：当时，；Ⅲ当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围．20.已知椭圆经过，两点．O为坐标原点，且的面积为过点且斜率为的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ求直线l的斜率k的取值范围；Ⅲ设，求的取值范围．21.已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”．Ⅰ已知集合，判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；Ⅱ设集合1；，1，，s，，1；，，s，求证：集合A，B互为“完美加法补集”；记和分别表示集合A，B中不大于的元素个数，写出满足的元素n的集合．只需写出结果，不需要证明-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：0，，集合A的子集个数为个，故选：D．先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数．本题主要考查了集合子集个数的求法，掌握公式是关键，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得或．函数的定义域为．故选：C．由分母中根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3.答案：D解析：解：函数的最小正周期为，故排除A；函数的最小正周期为，故排除B；函数的最小正周期为，故排除C；函数的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．由题意利用三角函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．4.答案：B解析：解：，时，．则．故选：B．，可得时，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：，为非零向量，“”展开为：．“”是“”的充要条件．故选：C．，为非零向量，“”展开，进而判断出结论．本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：分析：求出抛物线和双曲线的焦点坐标，即可得到结论．本题主要考查抛物线和双曲线的性质，求出对应的焦点坐标是解决本题的关键．解：抛物线的焦点坐标为，双曲线的方程为，，，则，即，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，，即，故选：D7.答案：B解析：解：根据题意，函数，则有，解可得，即的定义域为；设任意，，则函数为奇函数；，其导数，在区间上，，则为上的减函数；故选：B．根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得，即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得为上的减函数；即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．8.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：，由于三棱锥体的左视图和主视图都为等边三角形，所以，所以．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．9.答案：B解析：解：，，，由余弦定理可得：，可得，设AB边上的高为h，则，，解得：．故选：B．由已知及余弦定理可求cos A的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，设AB边上的高为h，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：解：甲最后得分为16分，，接下来以乙为主要研究对象，若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则，则，而，则，又，，此时不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则，则，由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则，则，由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则，此时显然，，则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共分，乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共分，丙的得分情况为4场第二名，则，即，此时符合题意．综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．故选：C．根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题．11.答案：解析：解：复数，．故答案为：．根据复数模长的定义直接进行计算即可．本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．12.答案：解析：解：直线的斜率，直线的倾斜角．．故答案为：．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，即可求解的值．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．13.答案：解析：解：由题意可得，即，，可得双曲线的渐近线方程，即为故答案为：运用离心率公式和a，b，c的关系，可得，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．14.答案：己卯60解析：解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、、癸未，甲申、乙酉、丙戌、、癸巳，，若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；故答案为：己卯，60．根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得2059年是己卯年，又由天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，据此可得天干地支共有60种组合，即可得答案．本题考查合情推理的应用，关键是掌握“干支纪年法”的规律，属于基础题．15.答案：解析：解：对于，方程中，令，得，所以，其中，所以，所以，解得；所以点，点，点，点，所以错误；对于，由，设，则点M到原点的距离为，当时，，d取得最大值为3，所以正确；对于，由知最高点为，最低点为，所以，正确；对于，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；计算它的面积是，所以正确；综上知，正确的命题序号是．故答案为：．方程中，令求得y的取值范围，得出最高点的坐标；利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值；求出知最高点C与最低点D的距离；计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．本题考查命题真假的判断，考查三角函数和圆的综合知识应用问题，也考查运算求解能力，是难题．16.答案：证明：Ⅰ因为，，所以，因为，，所以平面ABCD．Ⅱ解：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，．因为四边形ABCD为正方形，所以．如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，，，．设平面PDM的法向量为y，，则，即令，则，于是1，．平面PDM的法向量为1，．设直线PC与平面PDM所成的角为，所以．所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为．解析：Ⅰ推导出，，由此能证明平面ABCD．Ⅱ推导出，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC与平面PDM所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ设等差数列的公差为d，又因为，且，所以，故，所以；Ⅱ由Ⅰ可知，，又，所以．若选择条件，可得，；若选择条件，可得，；若选择条件，可得，．解析：Ⅰ先由题设条件求出等差数列的基本量：首项与公差，再求其通项公式；Ⅱ先选择公比q的值，再结合其它题设条件计算出结果．本题主要考查等差、等比数列中基本量的运算及数列的求和，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为．参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，所以分Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．，，．X的分布列为：X012P分Ⅲ答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．分解析：Ⅰ记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率．Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．利用超几何分布列计算公式即可得出．Ⅲ答案不唯一．示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．本题考查了超几何分布列计算公式及其数学期望、小概率事件问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ因为，定义域R，所以．令，解得．随x的变化，和的情况如下：x 0增极大值减由表可知函数在时取得极大值，无极小值；Ⅱ证明：令，．由得，于是，故函数是上的增函数．所以当时，，即；Ⅲ当时，由Ⅱ知，满足题意．令，．当时，若，，则在上是减函数．所以时，，不合题意．当时，，则在上是减函数，所以，不合题意．综上所述，实数a的取值范围．解析：Ⅰ求导，列出随x的变化，和的情况表，进而求得极值；Ⅱ令，求导，由得，则，进而得出函数的单调性，由此得证；Ⅲ当时，由Ⅱ知符合题意，再令，分及均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ因为椭圆经过点，所以解得．由的面积为可知，，解得，所以椭圆C的方程为．Ⅱ设直线l的方程为，，联立，消y整理可得：．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得．因为，所以k的取值范围是．Ⅲ因为，，，所以直线AM的方程是：．令，解得．所以点S的坐标为．同理可得：点T的坐标为．所以，，．由，可得：，所以．同理．由Ⅱ得，所以所以的范围是．解析：Ⅰ把点A坐标代入椭圆的方程得由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程．Ⅱ设直线l的方程为，，联立直线l与椭圆C的方程的关于x的一元二次方程．，进而解得k的取值范围．Ⅲ因为，，，，写出直线AM的方程，令，解得点S的坐标为同理可得：点T的坐标为用坐标表示，，，代入，得同理由Ⅱ得，代入，化简再求取值范围．本题考查椭圆的标准方程，及取值范围，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ由，得是奇数，当，时，，所以，；Ⅱ首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组，其中，1；，1，，k，，使得，由于，这种形式的自然数p至多有个，且最大数不超过．由，1；，1，，k，，每个都有两种可能，所以这种形式的自然数p共有个结果．下证，其中，1；，1；，1，，k，，则．假设存在中，取i最大数为j，则，所以不可能．综上，任意正整数p可唯一表示为显然，满足，所以集合A，B互为“完美加法补集”．解析：Ⅰ由a为奇数，b为偶数，可得为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合；Ⅱ首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组，其中，1；，1，，k，，使得，考虑自然数p的个数即可得证；下证，其中，1；，1；，1，，k，，则由反证法即可得证；考虑集合中元素为奇数，可为本题考查集合的新定义的理解和应用，考查综合法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。
2020年北京市丰台区高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年北京市丰台区高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=的共轭复数是（）A. B. C. 1+i D. 1-i2.已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）A. {1}B. {}C. {1，-1}D. {}3.设命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p为（）A. ∀x∈（0，+∞），ln x＞x-1B. ∃x0∈（0，+∞），ln x0≤x0-1C. ∀x∉（0，+∞），ln x＞x-1D. ∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-14.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，输出的S=15，那么判断框内的条件可以为（）A. k＜6B. k≤6C. k＞6D. k＞75.下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0的是（）A. f（x）=x-1B. f（x）=log2|x|C. f（x）=cos xD. f（x）=2x+16.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，l1，l2是与l不同的两条直线，且l1⊂α，l2⊂β，l1∥l2，那么下列命题正确的是（）A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l恰与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交7.已知F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（）A. B. 1 C. D.8.在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知平面向量=（1，-3），=（-2，m），且∥，那么m=______．10.从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为______．11.直线y=kx+1与圆（α为参数）相交于M，N两点，若|MN|=2，则k=______．12.若△ABC的面积为2，且A=，则=______．13.已知函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．①函数f（x）的最小正周期为______；②若函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，则φ的值是______．14.已知数列{a n}对任意的n∈N*，都有a n∈N*，且a n+1=，①当a1=8时，a2019=______②若存在m∈N*，当n＞m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a（a∈R），且f（）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求m的最大值．16.随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．（只需写出结论）17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，AB=AA1=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D-AA1-B的余弦值；（Ⅲ）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=（x-2）e x-ax3ax2．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≤e时，求证：x=1是函数f（x）的极小值点．19.已知抛物线C：y2=2px过点M（2，2），A，B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行．20.设n∈N*且n≥2，集合S n={（x1，x2…，x n）||x1|=1，|x i+1|=2|x i|（i=1，2…，n-1）}．（Ⅰ）写出集合S2中的所有元素；（Ⅱ）设（a1，a2，…a n），（b1，b2，..b n）∈S n，证明“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）”；（Ⅲ）设集合T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，求T n所有正数之和．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：复数===-i，∴复数的共轭复数是+i，故选：A．先利用两个复数的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复数．本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题.若B⊆A，则m2=1，即可求解满足条件的m【解答】解：∵A={-2，3，1}，B={3，m2}，若B⊆A，则m2=1∴m=1或m=-1实数m的取值集合为{1，-1}故选：C．3.答案：D解析：【分析】本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p是：￢p：∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-1．故选：D．4.答案：A解析：解：若a=1，第一次条件成立，S=1，a=-1，k=2，第二次条件成立，S=1-4=-3，a=1，k=3，第三次条件成立，S=-3+9=6，a=-1，k=4，第四次条件成立，S=6-16=-10，a=1，k=5，第五次条件不成立，S=-10+25=15，a=-1，k=6，此时k=6不满足条件．输出S=15，即k=5不成立，k=6不成立，则条件k＜6，故选：A．根据程序框图进行模拟计算，确定k终止的条件即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．5.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法．【解答】解：根据题意，若f（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）是偶函数，若；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项：对于A，f（x）=x-1，为奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=log2|x|，为偶函数，则在（0，+∞）上，f（x）=log2x，为增函数，符合题意；对于C，f（x）=cos x，为偶函数，但在区间（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=2x+1，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B．根据题意，分析可得要求函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．6.答案：A解析：解：∵l1∥l2，∴l1∥β，又l1⊂α，α∩β=l，∴l1∥l，同理l2∥l，故选：A．由线面平行的性质易得三线互相平行．此题考查了线面平行的性质，难度不大．7.答案：B解析：解：∵F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，∴m2-2=n2+1，∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，∴（不妨设m＞0，n＞0）．解得：m=2，n=1，⇒c2=m2-2=n2+1=2，∴椭圆M和双曲线N的离心率之积为．故选：B．利用m2-2=n2+1，（不妨设m＞0，n＞0）．求得m，n即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：设三角形的高为h，则三角形的面积S=4h=8，即h=4，即C点的纵坐标为4，若C（4，4）或（0，4）时，则三角形边边界上的格点个数为12个，若C（2，4），则三角形边边界上的格点个数为8个，若C（1，4）或（3，4），则三角形边边界上的格点个数为6个，则不可能的为10个，故选：C．根据条件设三角形的高为h，结合三角形的面积得到高h=4，即顶点C在直线y=4上，结合C的整点坐标，利用数形结合进行排除即可．本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点A的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．9.答案：6解析：解：∵∥，∴1×m-（-3）×（-2）=0，解得m=6．故答案为：6．根据两个向量平行的坐标表示可得．本题考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．10.答案：12解析：【分析】本题考查排列组合的实际应用，属于基础题．根据分步计数原理即可求出．【解答】解：从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，则有C21•C42=12种，故答案为：12．11.答案：解析：解：圆（α为参数）转换为直角坐标方程为：x2+（y-3）2=4，则：点（0，3）到直线的距离d==，所以：，解得：k=，故答案为：．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12.答案：4解析：解：由△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，所以=||||cos=8×=4，故答案为：4．由三角形面积公式得：△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，由平面向量的数量积运算：=||||cos=8×=4，得解．本题考查了三角形面积公式及平面向量的数量积运算，属中档题．13.答案：π -解析：解：①函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．函数f（x）的最小正周期T==；②由x∈[]，可得2x+φ∈[φ，+φ]，根据函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，可得解得：∴φ=；故答案为：π，①根据周期公式T=，可得答案；②根据x∈[]，求解内层函数的范围，结合余弦函数的图象可得φ的值．本题考查了余弦函数的性质的应用，属于基础题14.答案：2 1解析：解：①由题意，可知：a1=8，，，，a5=3×a4+1=3×1+1=4，…∴数列{a n}：8，4，2，1，4，2，1，…即数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列．∵（2019-1）÷3=672 (2)∴a2019=2．②由①可知，a n为奇数的只有奇数1，∴p=1．本题第一题主要考查数列的奇偶问题，通过枚举法可发现数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列，即可得到a2019的值；第二题主要考查对题意的理解a n为奇数的只有奇数1，从而p=1．本题第一题主要考查周期数列的判定，第二题主要针对题意的理解．本题属基础题．15.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a，=，=，且f（）=0．解得：a=1．所以：f（x）=．（Ⅱ）由于：f（x）在区间[0，m]上是单调函数，故：①当函数为单调递增时，（k∈Z），解得：（k∈Z），所以：m，②当函数为单调递减时，（k∈Z），解得：，综上所述：m的最大值为．解析：（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.答案：解：（Ⅰ）设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为，低于8500元的概率为，∴X～B（2，），P（X=0）=（）2=，P（X=1）==，P（X=2）==，P 0 1 2XE（X）=2×．（Ⅲ）．解析：（Ⅰ）求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．（Ⅱ）推导出X～B（2，），由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅲ）．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AA1．（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，解：AB=AA1=2BC=2CD=2．∴以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，-1，0），B（0，0，0），A1（，1，0），D（，-，1），=（0，2，0），=（-，1，0），=（-，，1），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，），平面AA1B的法向量=（0，0，1），设二面角D-AA1-B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D-AA1-B的余弦值为．（Ⅲ）假设在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，B1（0，2，0），C（0，0，1），设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，∴（a-，b+，c-1）=（-），解得M（，，1-λ），∴=（，，-λ），∵CM∥平面DAA1，平面DAA1的法向量=（2，0，），∴=-=0，解得，∴在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．解析：（Ⅰ）由AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，得BC⊥平面ABB1A1，由此能证明BC⊥AA1．解：（Ⅱ）以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AA1-B的余弦值．（Ⅲ）设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，求出=（，，-λ），平面DAA1的法向量=（2，0，），利用向量法能求出在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与示法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=（x-2）e x，f′（x）=（x-1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增；（Ⅱ）f′（x）=（x-1）（e x-ax），①当时，对任意的,都有e x-ax＞0恒成立，所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；②当时，设g(x)=e x-ax，依然取，则g'(x)=e x-a，令g'(x)=0，得x=ln a,所以g(x)在（0，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增，所以g(x)min=g(ln a)=a（1-ln a）,因为，所以g(x)min=a（1-ln a）≥0（当且仅当a=e时，等号成立，此时x=1）所以对任意的,都有e x-a≥0恒成立，所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；综合①②可知，当a≤e时，x=1是函数f（x）的极小值点．解析：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题．（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性证明即可．19.答案：解：（Ⅰ）抛物线C：y2=2px过点M（2，2），∴4=4p，即p=1，∴抛物线C的准线方程x=-=-，证明（Ⅱ）∵M（2，2），AB∥OM，∴k AB=k OM=1，设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得y2-2y+2m=0，∴△=4-8m＞0，即m＜且m≠0，∴y1+y2=2，y1y2=2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q=（y1+y2）=1，∵直线OA的方程为y=•x=•x，①直线BM的方程为y-2=（x-2）=（x-2）=（x-2），②，由①②解得y===1，∴y p=1∴直线PQ的方程为y=1，故直线PQ与x轴平行解析：（Ⅰ）把点代入即可求出p的值，可得抛物线C的准线方程，（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理定理可得y1+y2=2，即可求出点Q的纵坐标，在再分别求出直线OA，BM的方程，求出点P的纵坐标，即可证明本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，直线方程，考查了运算求解能力，属于中档题20.答案：解：（1）依题意，|x1|=1，|x2|=2|x1=2，∴x1=±1，x2=±2，|∴集合S2中的所有元素为：（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2）共四个元素．（2）证明：①充分性，当a i=b i时，显然a i=b i成立．②必要性，依题意，，其中p i∈{-1，1}，所以a i=，其中p i∈{-1，1}，下面证明的符号与最后一项的符号相同．且不为0．当p n=1时，=+2n-1=2n-1-=2n-1-=1＞0，即当p n=1时，＞0，当p n=-1时，=-2n-1≤-2n-1=-2n-1=-1＜0，即当p n=-1时，＜0．a i=b i成立时，假设a i≠b i，且他们有k项不相同（k≥1，k∈N），则a i-b i为这k项的二倍的和或差，将这k项按绝对值从小到大排列起来，分别记作p1c1，p2c2，……，p k c k，p i∈{-1，1}，则a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k，设绝对值最大项c k=，若p k=1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≥+2m＞0，若p k=-1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≤-2m＜0，这与a i=b i矛盾，故假设错误，即当a i=b i时，有a i=b i（i=1，2，3，…n），充分性成立．综上“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）．（3）T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，故T n可以记作：T n=，p i∈{-1，1}，由（2）知，要使T n取正值，需要最后一项系数p n=1，而前n-1项的系数可以任意选取，则前n-1项的系数取-1的有=2n-1项，前n-1项的系数取1的也有=2n-1项，且它们相加为0．故T n所有正数之和为2n-1个2n相加，故T n所有正数之和为2n-1×2n=22n-1．解析：（1）根据题意，直接列出即可（2）利用以a i=不为零这个特性，结合反证法可以证明．（3）根据计数原理，T n为正时，最后一项的系数必为正数，再看前n-1项的情况，数出个数相加即可．本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
丰台区高三二模文科数学试卷含答案
丰台区高三二模文科数学试卷含答案北京市丰台区2022年高三第二学期统一练习（二）数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数i(3 4i)的虚部为（A）3 （B）3i （C）4 （D）4i 2. 若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（A）充要条件（B）必要而不充分条件（C）充分而不必要条件（D 3. 设向量a=(4，x),b=(2,-1),且a b，则x的值是（A）8 （B）8 （C）2 （D）-2x2y24. 双曲线1的离心率为23（（D12对称的是5. x（)3（)36（A）24 （B）20+42 （C）28 （D）24+ 420 x 2,7.在平面区域内任取一点P(x,y)，若0 y 2(x,y)满足x y b的概率大于1，则b的取值范8围是（A）( ,1) （B）(0,1) （C）(1,4) （D）(1, )8. 已知偶函数f(x)（x∈R），当x ( 2,0]时，f(x)=-x(2+x)，当x [2, )时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R）.关于偶函数f(x)的图象G和直线l:y=m（m R）的3个命题如下：① 当a=2，m=0时，直线l与图象G恰有3个公共点；② 当a=3,m=1时，直线l与图象G恰有6个公共点；4③ m (1, ), a (4, )，使得直线l与图象G交于4个点，等.其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 过点P(0,2)且与直线2x y 0(0,1),(1,2),(2,4),(3,5)，10. 已知变量x,y(x,y)的一组数据如下：1.4x a 其回归方程为y11. 等差数列{an}中，则该数列的前10项和S10的值是_______. 12.若tan(tan2x的值是 .x13. a 0,a 1)在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m，则m的值14. x=2,x=4与函数y log2x的图象交于A,B两点，与函数y log4x的图象交于C,D两点，则直线AB,CD的交点坐标是_________.三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 本小题13分）已知ABC的三个内角分别为A,B,C,且2sin2(B C)2A. （Ⅰ）求A的度数；新课标第一网（Ⅱ）若BC 7,AC 5,求ABC的面积S.16.（本小题13分）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm（Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差；（Ⅱ）从身高超过180cm17. （本小题13分）如图，多面体EDABC1两垂直，AD//CE，ED DC，AD CE，M2（Ⅰ）求证：DM//平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE 平面BCD.18. . P(2,0)，求直线l的方程；19.，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点，其中点M (m,（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e；（Ⅱ）用m表示点E,F的坐标；（Ⅲ）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关. X|k | B| 1 .c |O |m1) 满足m 0，且m 220. （本小题14分）已知等差数列an 的通项公式为an=3n-2，等比数列bn 中，b1 a1,b4 a3 1.记集合A __ an,n N* , B __ bn,n N* ，U A B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列cn .（Ⅰ）求数列bn 的通项公式；（Ⅱ）求数列cn 的前50项和S50；（Ⅲ）把集合CUA中的元素从小到大依次排列构成数列ndn 的通项公式，并说明理由.新-课-标-第-一- 网丰台区2022年高三第二学期统一练习（二）数学（文科）一、选择题选择题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 2x-y+2=0；10.0.9；11.25；12.141；13. 或；14. (0,0). 3162三、解答题共6小题，共80分.15. 本小题13分）已知ABC（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC 7,AC 5,求ABC的面积S.w 解: （Ⅰ）2sin2(B C)2A.2sin2A AcosA,sinA 0, sinAA, tanA 0 A , A 60°AB AC cos60,BC 7,AC 5,0, AB 8或AB 3(舍),。
北京市丰台区2020届高三数学第二学期统一练习(二)文(丰台二模)
丰台区 2020 年高三年级第二学期一致练习（二）数学（文科）一、本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．2- a}，则a= 1．若2∈{1，a，a(A) - 1 (B) 0 (C) 2 (D) 2 或-12．以下四个命题中，假命题为x(A) x R ，2 0 (B) x R ， 2 3 1 0x x(C) x R ，l g x 0 (D) x R ，x 12 23．已知a>0 且a≠1，函数y log a x ，xy a 在同一坐标系中的图象可能是(A) (B) (C) (D)3 4．已知数列{ a n} 中，a1 ，51a 1 (n 2)nan 1，则a2011(A) 12(B)23(C)35(D)52对于数列的观点是几次考试中第一次考，要注意惹起关注。
碰到这样既不可等差又不可等比的数列，求a，只好是周期性。
2011uu u r uu u r5．以下图，已知AB 2BCuu u r r，OA au u u r r，OB bu u u r r，OC c ，则以下等 C式中建立的是(A) r r r3 1c b a2 2 r r r(C) c 2a brrr(B)c2ba(D)r r r3 1c a b2 2ABO这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题常常是不知从何下手。
讲评时可再选一填空题进行复练。
6．已知函数y A sin( x ) 的图象以下图，则该函数的分析式可能是(A)(B)4 4 1y sin( x )5 5 53 1y sin(2 x )2 5y1(C)(D)4 4 1y sin( x )5 5 54 1y sin(2 x )5 5O 2- 1x此题就是观察正弦函数的图象变换。
最好采纳清除法。
观察的要点是A，ω，φ每一个字母的意义。
7．已知x，y 的取值以下表：x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图能够看出y 与x 线性有关，且回归方程为$y0.95x a，则a(A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0此题就是观察回归方程过定点(x, y) 。