高三数学第六次月考试题及答案理科
2020届湖南省浏阳市第一中学高三上学期第六次月考数学(理)试题含答案
浏阳市一中2020届高三第六次月考试题理科数学考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}22|log (2),|320A x y x B x x x ==-=-+<，则A C B =A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2. 设i 为虚数单位，若()2a iz a R i-=∈+是纯虚数，则a = A ．12 B ． 12- C ．1 D ．1- 3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益D ．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 4．已知3sin()322πα-=-，则2020cos()3πα+= A ．23B ．23-C ．12D ．12-5. 已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln x e x -=，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<6. 函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是A B C D7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为A ．410190-米B ．5101900-米C ．510990-米D ．4109900-米8.已知函数()2sin()(0,0),()2,()082f x x f f ππωϕωϕπ=+><<==，且()f x 在(0,)π上单调.则下列说法正确的是 A ．12ω=B ．62()8f π--=C ．函数()f x 在[,]2ππ--上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 9.在AOB ∆中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为3 B. 2C. 23210．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则C 的离心率是 A 2B 3C ．2D ．311. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中： ①存在P ，Q某一位置，使AB PQ ∥； ②BPQ V 的面积为定值；③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥. 其中所有正确命题的序号是A. ①②④B. ①③④C. ①③D. ②④12．若函数12()2log (0)x x f x e x a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A. 22,2)eB. (0,2]C. 222,2)e + D. 3424(2,2)e +二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）13．若25(ax x的展开式中5x 的系数为80-，则实数a =__ __． 14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平 面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为 ． 15.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -= ， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑ .16．如图，衡阳市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.lm QO三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为33D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为(0)θθπ<<. （1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.C BEFE19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴12A A 长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为(0)k k ¹的直线交椭圆于B ，C 两点，直线12,BA BA 的斜率之积为34-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =，直线11,A B A C 分别与l 相交于,M N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ^20．(本小题满分12分)已知函数()e sin )(2()2xf x x a R ax π=--∈+．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域； （2）对于任意120x x π<<<，都有2121()()22x x f x f x a e e π->---，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推； y 表示人数)：x 1 2 3 4 5 y (万人)2050100150180(1)试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人； (2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车OMNlCA 2A 1EyxFB最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。
四川省绵阳市三台县芦溪中学高三数学上学期第六次月考试题 理
芦溪中学2012届高三上学期第六次月考数学理科试题班级：高2012级 班 姓名： 得分： 命题：陈新宇本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分为150分，完成时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P A B P A P B ++（）=（）（） 如果事件A 、B 独立，那么P A B P A P B ⋅⋅（）=（）（）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率-1k k n kn nP k C P P -（）=（） 第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．计算212sin8π-的值为A ．lB ．12CD2．已知a 、b ∈R，i 为虚数单位，若bi a ii+=+12，则a +b 的值为A ．0B ．1C ．2D ．33．设}{|01A x x =<<，}{|1B x x =<，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．)(212lim *1N n nn n ∈++∞→的结果为A ．1B ．2C ．3D ．不存在5．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A. 2 B. 4 C.152D.1726．若非零向量||||=+满足与，则△ABC 的形状是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．若函数y g =（x ）与21y x =+0x ≤（）互为反函数，则函数y g x =（-）大致图象为8．已知a ，b 是非零向量，且,3a b π<>=，则向量||||a bp a b =+的模为 A．2 D ．39．已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x+y 的最大值是A.2B.5C.6D.810．已知定义在R 上的函数)(),(x g x f 分别满足：)()(,0)1()1(x g x g x f x f =-=-++，则下列函数中，一定为奇函数的是 A ．)()(x g x f y ⋅= B ．)()1(x g x f y ⋅+=C ．)()1(x g x f y ⋅-=D ．)1()(-⋅=x g x f y11．为了得到函数y ＝sin(2x －6π)的图像,可以将函数y ＝cos2x 的图像 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度12．设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8180，则在一次试验中事件A 发生的概率是A ． 56B ． 12C ． 13D ．32第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题,每小题4分,共16分）把答案填在题中横线上.13．已知数列{}n a 的通项公式为211n a n =-+，其前n 项的和为n S ()n N *∈，则当n S 取最大值时，n = .14．设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB的长为a =___________．15．设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos ．16．已知a R ∈，且2k παπ≠+，k Z ∈设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①l 的倾斜角为arctan(tan )α；②l 的方向向量与向量(cos ,sin )a αα=共线；③l与直线sin cos 0x y n αα-+=()n m ≠一定平行；④若04a π<<，则l 与y x =直线的夹角为4πα-；⑤若4k παπ≠+，k Z ∈，与l 关于直线y x =对称的直线l '与l 互相垂直．其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α），α∈(23,2ππ)．(1)若||||AC CB =，求角α的值； (2)若AC CB ⋅=－1，求a aa tan 12sin sin 22++的值.18．（本小题满分12分）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求： （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．19．（本小题满分12分）设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,该平面上动点P 满足4=∙,点Q 是点P 关于直线)4(2-=x y 的对称点.求：(Ⅰ)点A 、B 的坐标 ；(Ⅱ)动点Q 的轨迹方程．20．（本小题满分12分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为111,,,91011且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率；(4分)（2）获赔金额ξ的分别列与期望．(8分)21．（本小题满分12分）已知定义在R 上的奇函数24()1x bf x ax +=+的导函数为()f x '，且()f x '在点1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间(,2)m m +上是增函数，求实数m 所有取值的集合； （3）当12,x x R ∈时，求12()()f x f x ''-的最大值．22．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足：12323(1),3n n na a a na a a n N n *+++++=∈，（1）求1a 、2a 、3a ，猜测n a 的表达式并证明；（2）求证：sin n a π≥2na ；（3）设数列1sin n n a a π+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：132n S π<<.四川省绵阳市三台县芦溪中学2012级高三上期末考试数学(理)模拟试题综合练习参考答案一、选择题：1—5DCABC 6—10CDBCB 11—12CD 二、填空题： 13．5；14．0；15； 16．②④ 三、解答题：17．解：.(1)∵AC =(cos α－3, sin α), BC =(cos α, sin α－3).∴∣AC ∣=a a a sin 610sin )3(cos 22-=+-．∣BC ∣=a a a sin 610)3sin (cos 22-=-+．由∣AC ∣=∣BC ∣得sin α=cos α.又∵α)23,2(ππ∈，∴α=45π. (2)由AC ·BC =－1,得(cos α－3)cos α+sin α (sin α－3)=－1∵sin α+cos α=32.①又a a aaa a aa a cos sin 2cos 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222=++=++. 由①式两边平方得1+2sin αcos α=94 , ∴2sin αcos α=95-,∴95tan 12sin sin 22-=++a a a 18．解：（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0． （Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．19．解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故 1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.(Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y消去n m ,得()()92822=++-y x20．解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，，．由题意知1A ，2A ，3A 独立，且11()9P A =，21()10P A =，31()11P A =． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=，123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2421199045==， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯273990110==， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===111191011990=⨯⨯=． 综上知，ξ的分布列为求ξ的期望有两种解法：解法一：由ξ的分布列得811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 299002718.1811=≈（元）． 解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，123k =，，，则1ξ有分布列故1900010009E ξ=⨯=． 同理得21900090010E ξ=⨯=，319000818.1811E ξ=⨯≈． 综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=（元）．21．解：（1）14)(2++=ax bx x f 是奇函数，易求得b =0.又)(,)1(24)1(4)(222x f ax axx ax x f 且+⋅-+='在点x =1处取得极值， 24()0. 1.().1xf x a f x x '∴===+可得故 （2）.110)(,)1()1)(1(4)(22<<-⇒>'++--='x x f x x x x f 由 )(x f ∴的单调递增区间为（－1，1）.若)(x f 在区间（m ，m +2）上是增函数，则有m =－1.即m 取值的集合为{－1}.（3）]11)1(2[4)1()1)(1(4)(22222+-+=++--='x x x x x x f ，令].1,0(,21)41(8)2(4)()(,11222∈--=-=='+=t t t t t g x f x t 则12119()[,4].()()4().222f x f x f x '''∴∈-∴-≤--=)()(21x f x f '-'∴的最大值为29.22．解：（1）.4,3,2321===a a a 猜测：.1+=n a n①当n =1时，a 1=1+1=2，猜想成立.②假设当n =k 时成立，即a k =k +1.).(2)1()1(0)2(23)1(3)1)(1()1(,1.3)1)(1(3)1(,),2(3)1)(1()1(32.3)1(323)1(321122112111111111321321321舍去时则当得两式相减k a k a k a k k a a a a k a a k a k k n a a n a a n na n a a n a n a a a a a n na a a a a a n na a a a k k k k k k k k k k n n n n n n n n nn n n n n -=+=⇒+=-⇒=+--⇒+-++=++=+--+=≥+-=-++++∴+=++++∴+=++++++++++++-----即当n =k +1时，猜想成立.故对一切1,*+=∈n a N n n 成立．（2）设)20(2sin )(ππ≤<-=x x x x f ，由.2arccos ,02cos )(ππ==-='x x x f 得由]2,0()(,cos π在知的单调性x f x y =内有且只有一个极大值点，且.0)2()0(==πf f 因此在]2,0(π内，).20(2sin ,0)(ππ≤<>>x x x x f 即22,(0,],sin.1,,sin .22nnnn n n nx n a a a a a a a πππππππ=∈∴>==∴=令又当时.2.sinnna a ≥∴π（3）).2,0(,611ππ∈∴≥++n n n n a a a a 由（2）可知.2sin11++>n n n n a a a a π.31)2121()211141313121(2)2()1(sin43sin32sin≥+-=+-+++-+->+⋅+++⋅+⋅=∴n n n n n S n πππ.31,*>∈n S N n 即对一切 同理可证).20(sin π<<<x x x.2)2121()211141313121()2()1(sin43sin32sinππππππ<+-=+-+++-+-<+⋅+++⋅+⋅=∴n n n n n S n.2,*π<∈n S N n 即对一切 .231π<<∴n S。
贵州师大附中2010届高三第六次月考数学试题(理科)答案
3cos 05B =>20tan 3a B =3cos 5B =4sin 5B =4tan 3B =1sin 2S acB =贵州师大附中2009——2010学年第一学期期末考试高三数学 理科参考答案13、3 14、6 15、32316、a17、【解】（I ）由sin 4b A =得4sin =B a ，由320tan =B a 与4sin =B a 两式相除，有： ， 又通过 知：0tan >B ，………………….3分则由 ， ，得 则5a =．……………………….5分 （II ）由 ，得到5c =．C A =∴…………………………….7分 由2571)53(21cos 21)(cos 212cos 24cos 2222-=-⨯=-=-+=-=B C A C C …0分18、【解】（I ）证明：在PBC V 中，1,BC PC PB ===222BC PC PB \+=90PCB\?o，即PC BC^， ---------------------------1分,AB PC AB BC B^=Q I ，PC \^平面ABCD . ---------------------------4分（II ）解：设点B 到平面P AD 的距离为h ，A B B C^Q ，AC \=PC ^Q 平面ABCD ，PC AC\^，PA \=在直角梯形ABCD 中，1,1,2AB BC CD ===， AD \=在PAD V 中，AD =QPA PD ==\222A D P A P D+=， 90PAD\?o，PAD \V 的面积122P A D S A D P A=?V ----------------8分Q 三棱锥B -P AD 的体积B PADP ABDV V --=，13PAD S h \鬃V 13ABD S PC=鬃V ，-------------10分即1(11)122h创 ，解得6h =， \点B 到平面P AD 的距离为6.---------12分19、【解】（I ）)2(2,2)1(11≥=-+=--++n a a n a a n na n n n n nn a a a a s a a n n 2}{,2,2,212121==-∴+==等差所以………………………6分 （II ）121223221,2222--++++===n n n nnn n T n n a112224,21)2(221221222121--+-=+-=+-+++=n n nn nn n n T n T n n T …………………………………12分20、【解】（I ）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为1819110C C C ，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为131416C C C 1116431111098110C C C P C C C ∴==…………………………………………………………………（4分）（II ）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2则157)0(1819110161718===CC C C C C P ξ157)1(181911017181213===C C C C C C C P ξ 151)2(1819110121318===C C C C C C P ξ…………………（8分）所以ξ的分布列为：…………………………………………………………（10分）从而有53151215711570=⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………………（12分）21、【解】（I ）()02≥-='x a x x f 在(]2,1∈x 恒成立，所以22x a ≤，2≤∴a ．又()021≤-='xa x g 在()1,0∈x 恒成立，所以 x a 2≥,2≥∴a .……………4分从而有2=a ．故()x x x f ln 22-=，()x x x g 2-=． …………………………6分 （II ）令2)()()(--=x g x f x F ，则xx x x F 1122)('+--=xx x x x x )222)(1(+++-=所以()x F 在()1,0上是减函数，在()+∞,1上是增函数，……………………………9分 从而当0>x 时,()()01min ==F x F ，所以方程2)()(+=x g x f 在()+∞,0只有一个解1=x ． ……………………12分22、【解】（I ）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2，由条件知a-c ＝22，ca ＝22，∴a ＝1，b ＝c ＝22，故C 的方程为：y 2＋x 212＝1 …………………………4分（II ）由AP ＝λPB 得OP －OA ＝λ（OB －OP ），（1＋λ）OP ＝OA ＋λOB ， ∴λ＋1＝4，λ＝3 ………………………………………………6分 设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ⎩⎨⎧y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*）x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2 ………………………………………………8分∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 ………………………………………………10分 m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1） ………………………12分．。
河北省重点中学2024年高三第6次月考数学试题
河北省重点中学2024年高三第6次月考数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23B ．25C ．28D ．292．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．3C ．2D ．723． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．454．将函数()32cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 5．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆6．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．128．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．1210．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)
2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。
贵州师大附中2010届高三第六次月考数学(理科)试题
贵州师大附中2009—2010学年第一学期期末考试试卷高 三 数 学 (理科) 2010-01-29考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；2．请将答案填(涂)在答题卡的相应位置上,在试卷上作答一律无效；3．考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分，共60分） 1．52i i+=A ．2i +B ．12i +C ．2i -+D ．12i -+2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤A ．{}01，B ．{}101-，， C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 3．()2tan cot cos x x x +=A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x 4．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．430x y --= D ．430x y ++=5．对于不重合的两个平面βα,，给定下列条件： ①存在直线l ，使得βα⊥⊥l l ,； ②存在 平面γ，使γβγα⊥⊥,； ③α内有不共线三点到β的距离相等； ④存在异面直线βαβα//,//,//,//,,m m l l m l 使．其中可以确定βα//的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则 A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a7．已知向量a =，b是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a，则b =A ．（122） B ．（1,22C ．（13,44） D ．（1,0）8．若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为A ．12B ．13C ．14D ．169．若动圆222()()1x a y b b -+-=+始终平分定圆222270x y x y +++-=的周长，则动点 P (a ,b )的轨迹曲线是 A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．在某次数学测验中，学号)4,3,2,1(=i i 的四位同学的考试成绩}98,96,93,92,90{)(∈i f ，且满足)4()3()2()1(f f f f <<<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为A ．5种B ．9种C ．10种D ．15种11．双曲线122=-y x 的左右焦点分别是21,F F ,点()() ,3,2,1,=n y x P n n n 在其右支上，且满足2121121,F F F P F P F P n n ⊥=+，则2010x 的值是A ．B ．2009C ．D ．201012．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”． 黑“电子狗”爬行的路线是111AA A D →→，黄“电子狗”爬行的路线是1AB BB →→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i ＋2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）． 设黑“电子狗”爬完2010段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是A ． 0B ．1C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13．在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则=+++843a a a __________．14．(4-的展开式中33x y 的系数为 ．15．一个球的球心到过球面上A 、B 、C 三点的截面的距离等于球半径的一半，若AB =BC =CA =3，则球的体积为 ． 16．已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的长轴，若把该长轴n 等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点121,,,n P P P - ，设左焦点为1F ，则1111111()lim n n F A F P F P F B n-→∞++++ =．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．设A B C △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且320tan =B a ，sin 4b A =．（I ）求B cos 和边长a ；（II ）若A B C △的面积10S =，求C 4cos 的值．18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，90,//,B C D A B C D ?o又1,2,AB BC PC PB CD AB PC =====^．（I ）求证：P C ^平面A B C D ； （II ）求点B 到平面PAD 的距离．A BD CP19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，n a n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ； （II ）设n T 为数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ．20．某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目．测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．（I ）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率； （II ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望ξE ．21．已知函数()2ln f x x a x =-在区间（1，2 ]上是增函数，()g x x =-在区间（0，1）上为减函数.（I ）试求函数()(),f x g x 的解析式；（II ）当 x >0时，讨论方程()()2f x g x =+解的个数．22．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =22，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e , 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP PB λ=．（I ）求椭圆方程；（II ）若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围．。
届高三理科数学六大专题训练题含详解
届高三理科数学六大专题训练题含详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】高三数学（理科）专题训练一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》一、选择题1．α为三角形的一个内角，,125tan -=α则=αcos ()A ．1312-B ．135-C ．135D ．13122．函数x y sin =和函数x y cos =都是增函数的区间是()A ．)](22,232[Z k k k ∈++ππππB．)](232,2[Z k k k ∈++ππππC ．)](22,2[Z k k k ∈+πππD ．)](2,22[Z k k k ∈++ππππ3．已知,51)25sin(=+απ那么=αcos ()A ．52-B ．51-C ．51D ．524．在图中，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A点的坐标为),54,53(且AOB ∆是正三角形．则COB ∠cos 的值为()A ．10334+B ．10334- C ．10343+D ．10343-5．将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象向左平移)0(>m m 个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是() A ．12πB ．6πC ．3πD ．65π6．下列关系式中正确的是() A ．︒<︒<︒168sin 10cos 11sin B ．︒<︒<︒10cos 11sin 168sinC ．︒<︒<︒10cos 168sin 11sinD ．︒<︒<︒11sin 10cos 168sin7．在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为b a ,.若,3sin 2b B a =则角A 等于()A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π8．已知函数),,0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω则“)(x f 是奇函数”是“=ϕ2π”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是____．10．设,sin 2sin αα-=),,2(ππα∈则α2tan 的值是________. 11．在锐角ABC ∆中，,1=BC ,2A B ∠=∠则AACcos 的值等于___，AC 的取值范围为___． 12．函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为________. 三、解答题 13．已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图象关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.π(1)求ω和ϕ的值；(2)若),326(43)2(παπα<<=f 求)23cos(πα+的值．14．已知向量),21,(cos -=x a ),2cos ,sin 3(x x b =,R x ∈设函数.)(b a x f ⋅=(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值．15．已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且.23)125(=πf (1)求A 的值；(2)若),2,0(,23)()(πθθθ∈=-+f f 求).43(θπ-f16．已知函数,2cos 21cos sin 3)(x x x x f ωωω-=,0>ω,R x ∈且函数)(x f 的最小正周期为.π(1)求ω的值和函数)(x f 的单调增区间；(2)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是,,,c b a 又,54)32(=+πA f ,2=b ABC ∆的面积等于3，求边长a 的值． 17．已知函数⋅+=2cos 34cos 4sin 2)(xx x x f(1)求函数)(x f 的最小正周期及最值；(2)令),3()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由． 18．在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边分别为.c b a 、、已知,3,==/c b a(1)求角C 的大小；(2)若,54sin =A 求ABC ∆的面积.高三数学（理科）专题训练二数列一、选择题1．数列,,11,22,5,2 的一个通项公式是()A ．33-=n a nB ．13-=n a n C ．13+=n a n D ．33+=n a n 2．已知等差数列}{n a 中，,1,16497==+a a a 则12a 的值是() A ．15B ．30C ．31D ．64 3．等比数列}{n a 中，,20,647391=+=a a a a 则11a 的值是()A ．1B ．64C ．1或64D ．1或324．ABC ∆的三边c b a ,,既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 5．已知数列}{n a 满足),2(11≥-=-+n a a a n n n ,3,121==a a 记,321n n a a a a S ++++= 则下列结论正确的是()A ．2,120142014=-=S aB ．5,320142014=-=S aC ．2,320142014=-=S aD ．5,120142014=-=S a6．如果在等差数列}{n a 中，,12543=++a a a 那么=+++721a a a ()A ．14B ．21C ．28D ．357．数列}{n a 中，,,10987,654,32,14321 +++=++=+==a a a a 那么=10a ()A ．495B ．505C ．550D ．5958．各项均为实数的等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,1010=S ,7030=S 则=40S ()A ．150B ．200-C ．150或200-D ．400或50- 二、填空题9．在等差数列}{n a 中，,8,12543531=-=++a a a a a a 则通项=n a ________.10．设等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,336=S S 则=69S S________.11．设平面内有n 条直线),2(≥n 其中任意两条直线都相交且交点不同；若用)(n f 表示这n 条直线把平面分成的区域个数，则=)2(f ______，=)3(f ______，=)4(f ______.当4>n 时，=)(n f ________. 12．已知数列}{n a 的通项公式为*).(21log 2N n n n a n ∈++=设其前n 项和为,n S 则使5-<n S 成立的最小自然数n 是________. 三、解答题13．等差数列}{n a 的前n 项和为,23,1=a S n 公差d 为整数，且第6项为正，从第7项起变为负． (1)求d 的值；(2)求n S 的最大值；(3)当n S 是正数时，求n 的最大值．14．设d a ,1为实数，首项为、1a 公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足.01565=+S S(1)若,55=S 求6S 及;1a(2)求d 的取值范围.15．已知数列}{n a 的首项n S a a ,1=是数列}{n a 的前n 项和，且满足,0,32122=/+=-n n n n a S a n S (1)若数列}{n a 是等差数列，求a的值；(2)确定a 的取值集合M ，使M a 时，数列}{n a 是递增数列.16．已知}{n a 为递增的等比数列，且}.16,4,3,1,0,2,6,10{},,{531---⊆a a a(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)是否存在等差数列},{n b 使得221123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 对一切*N n ∈都成立？若存在，求出n b ；若不存在，说明理由. 17．等差数列}{n a 各项均为正整数，,31=a 前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，,11=b 且,6422=S b }{n a b 是公比为64的等比数列． (1)求n a 与；n b(2)证明：⋅<+++4311121n S S S 18．已知数列},{n a n S 为其前n 项的和，,9+-=n n a n S .*N n ∈(1)证明数列}{n a 不是等比数列；(2)令,1-=n n a b 求数列}{n b 的通项公式n b ；(3)已知用数列}{n b 可以构造新数列．例如：},3{n b },12{+n b },{2nb },1{nb },2{n b },{sin n b …，请写出用数列}{n b 构造出的新数列}{n p 的通项公式，使数列}{n p 满足以下两个条件，并说明理由．①数列}{n p 为等差数列；②数列}{n p 的前n 项和有最大值．高三数学（理科）专题训练三<概率>一、选择题1．对满足B A ⊆的非空集合B A 、有下列四个命题：其中正确命题的个数为()①若任取,A x ∈则B x ∈是必然事件②若,A x ∉则B x ∈是不可能事件③若任取,B x ∈则A x ∈是随机事件④若,B x ∉则A x ∉是必然事件 A ．4B ．3C ．2D ．12．从1，2，…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 3．如图所示，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2x y =图象下方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为() A ．21B ．31C ．41D ．51 4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是() A ．125B ．21C ．127D ．43 5．如图所示，圆C 内切于扇形,3,π=∠AOB AOB 若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C 内的概率为() A ．21B ．31C ．32D ．43 6．已知随机变量ξ服从正态分布),,0(2σN 若,023.0)2(=>ξP 则)22(≤≤-ξP 的值为()A ．．．．7．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为() A ．14-πB ．π2C ．214-πD ．218．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布)10,80(~2N ξ，则下列命题中不正确的是()A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10 二、填空题9．盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________． 10．在集合}10,,3,2,1,6|{ ==n n x x π中任取1个元素，所取元素恰好满足方程21cos =x 的概率是__________．11．在区间]3,3[-上随机取一个数x ，使得1|2||1|≤--+x x 成立的概率为______.12．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为,209则参加联欢会的教师共有____人. 13．已知,4|),{(},0,0,6|),{(≤=≥≥≤+=Ωx y x A y x y x y x 若向区域Ω上随机投一点P ，则P 落入区域A 的概率是________. 三、解答题14．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是,31得到黑球或黄球的概率是,125得到黄球或绿球的概率也是,125试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X . 17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，落点在D 上记1分，其它情况记0分，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（II ）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》一、选择题1．已知ABC ∆的三个顶点为、、)7,3,4()2,3,3(-B A ),1,5,0(C 则BC 边上的中线长为() A ．5B ．4C ．3D ．22．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A ．6B ．9C ．12D ．183．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是()A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱4．已知n m 、表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是()A ．若αα//,//n m ，则n m //B ．若,,//n m m ⊥α，则α⊥nC ．若,,n m m ⊥⊥α，则α//nD ．若,,αα⊂⊥n m ，则n m ⊥ 5．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为() A ．310cm πB ．320cm πC ．3310cm πD ．3320cm π6．已知过球面上C B A ,,三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且,2===CA BC AB 则球的半径是()A ．32B ．34C ．36D ．17．用c b a ,,表示三条不同的直线，α表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是()①若,//,//c b b a 则;//c a ②若,,c b b a ⊥⊥则;c a ⊥③若,//,//ααb a 则;//b a ④若,,αα⊥⊥b a 则.//b aA ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的轴截面顶角的余弦值是() A ．43B ．54C ．53D ．53-二、填空题9．已知三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若,4,3==AC AB,AC AB ⊥,121=AA 则球O 的半径为_______.10．在三棱锥ABC P -中，,1====BC PC PB PA 且,2π=∠BAC 则PA 与底面ABC 所成角为______.11．在长方体1111D C B A ABCD -中，,2,31cm AA cm AD AB ===则四棱锥D D BB A 11-的体积为____cm 3． 三、解答题12．如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，求切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值.ABCD P -与ABCD Q -的高都是2，.4=AB(1)求证：⊥PQ 平面;ABCD (2)求四面体QAD P -的体积． 14．如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，,,901CC BC AC ACB o ===∠点M 为AB 的中点，点D 在11B A 上，且.311DB D A =(1)求证：平面⊥CMD 平面;11A ABB(2)求二面角M BD C --的余弦值.中，底面ABCD 为矩形，,ABCD PA 平面⊥E 为PD 的中点． (1)证明：AEC PB 平面//；(2)设二面角C AE D --为60°，,3,1==AD AP求三棱锥ACD E -的体积.16．如图所示，直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,EB AE =点F 为CE 上的点，且⊥BF 平面.ACE (1)求证：⊥AE 平面;BCE (2)求二面角E AC B --的余弦值；(3)求点D 到平面ACE 的距离． 17．如图所示，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC . (2)若,1,1,2===PA AC AB 求二面角A PB C --的余弦值.18．如图所示，平行四边形ABCD中，.4,2,60===∠AD AB DAB 将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面⊥EDB 平面ABD. (1)求证：⊥AB 平面;EBD (2)求三棱锥ABD E -的侧面积．高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》一、选择题 1．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为,25则C 的渐近线方程为()A ．x y 41±=B ．x y 31±=C ．x y 21±=D ．x y ±=2．已知,40πθ<<则双曲线1cos sin :22221=-θθy x C 与1sin cos :22222=-θθx y C ()A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 3．椭圆1422=+y x的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=||2PF ()A ．23B ．3C ．27D ．4 4．已知双曲线14222=-b y x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于() A ．5B ．24C ．3D ．5 5．设1F 和2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两个焦点，若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为() A ．23B ．2C ．25D ．36．已知双曲线1222=-y x 的焦点为,,21F F 点M 在双曲线上，且,021=⋅则点M 到x 轴的距离为() A ．34B ．35C ．332D ．37．设双曲线的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，右顶点为A ，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为()A ．2B ．3C ．213+D ．215+ 8．已知F 是抛物线x y =2的焦点，点A 、B 在该抛物线上，且位于x 轴的两侧，2=⋅（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是() A ．2B ．3C ．8217D ．10 二、填空题9．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________. 10．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且.21PF ⊥若21F PF ∆的面积为9，则=b _________.11．抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，其准线与双曲线13322=-y x 相交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则=p _________. 12．椭圆12222=+by a x 的四个顶点为,,,,D C B A 若菱形ABCD 的内切圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____. 三、解答题13．如图所示，动圆)31(:2221<<=+t t y x C 与椭圆19:222=+y x C 相交于DC B A ,,,四点，点21,A A 分别为2C 的左、右顶点，当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积．14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线方程为,33x y ±=若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，顶点B 的坐标是),,0(b 连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结.1C F(1)若点C 的坐标为),31,34(且,2||2=BF 求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.16．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为,,21F F 点P 在椭圆C 上，且,211F F PF ⊥ (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．17．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，求FP OP ⋅的最大值．18．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点)0)(,0(>c c F 到直线02:=--y x l 的距离为.223设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点),(00y x P 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求||||BF AF ⋅的最小值．高三数学（理科）专题训练六《导数及其应用》一、选择题1．若,)(3x x f =,6)('0=x f 则=0x () A ．2B ．2-C ．2±D ．1± 2．函数133+-=x x y 的单调递减区间是()A ．)2,1(B ．)1,1(-C ．)1,(--∞D ．),1(+∞3．与直线052=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是()A ．032=+-y xB ．032=--y x C ．012=+-y x D ．012=--y x4．已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为,21则切点的横坐标为()A ．3B ．2C ．1D ．215．曲线x y cos =与x 轴在区间]23,2[ππ-上所围成的图形的面积是()A ．1B ．2C ．3D ．46．设)(),(x g x f 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且,0)(')()()('<-x g x f x g x f 则当x a <b <时，有()A ．)()()()(b g b f x g x f >B ．)()()()(x g a f a g x f >C ．)()()()(x g b f b g x f >D ．)()()()(a g a f x g x f >7．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在区间),1(+∞-内是减函数，则实数b 的取值范围是()A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞8．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为()A ．x x y 5312513-=B ．x x y 5412523-= C ．x x y -=31253D ．x x y 5112533+-=二、填空题9．若曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为,2x y =则=a ______. 10．若曲线xbax y +=2（a 、b 为常数）过点),5,2(-P 且该曲线在点P 处的切线与直线++y x 2703=平行，则=+b a ______. 11．若,)(2)(12dx x f x x f ⎰+=则=⎰dx x f )(1______.12．设,R a ∈若函数)(3R x x e y ax ∈+=有大于零的极值点，则a 的取值范围是______. 三、解答题13．设函数)0()(=/=k xe x f kx .(1)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；(2)求函数)(x f 的单调区间．14．已知函数x=xxxf-+ln.1()1)(+(1)若,1xxf求实数ax)('2++≤ax的取值范围；(2)证明：.0f-xx)()1(≥15．设,12321ln )(+++=x x x a x f 其中,R a ∈曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值；(2)求函数)(x f 的极值．16．如图所示，已知曲线21:x y C =与曲线)1(2:22>+-=a ax x y C 交于点O 、A ，直线)10(≤<=t t x 与曲线21C C 、分别相交于点D 、B ，联结.AB DA OD 、、(1)写出曲边四边形ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式);(t f S =(2)求函数)(t f S =在区间]1,0(上的最大值．17．某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元／平方米，底面的建造成本为160元／平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000（π为圆周率）．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.18．已知函数.)2(ln )(2x a ax x x f -+-=(1)讨论)(x f 的单调性；(2)设,0>a 证明：当ax 10<<时，);1()1(x ax a f ->+(3)若函数)(x f y =的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为,0x证明：.0)('0<x f高三数学（理科）专题训练一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》参考答案9．2cm 210．311．2,)3,2(12．1 三、解答题13．(1)因)(x f 的图象上相邻两个最高点的距离为,π所以)(x f 的最小正周期,π=T 从而.22==Tπω又因)(x f 的图象关于直线3π=x 对称，所以,,2,1,0,232 ±±=+=+⋅k k ππϕπ因≤-2π2πϕ≤得,0=k 所以⋅-=-=6322πππϕ(2)由(1)得=-⋅=)622sin(3)2(πααf ,43所以⋅=-41)6sin(πα由326παπ<<得,260ππα<-< 所以=--=-)6(sin 1)6cos(2παπα⋅=-415)41(12 因此+-==+)6sin[(sin )23cos(πααπα6sin )6cos(6cos )6sin(]6ππαππαπ-+-= 14．(1)π=T (2)21)(,1)(min max -==x f x f15．(1)==+=32sin )4125sin()125(ππππA A f ,23233sin )3sin(===-A A A πππ所以=A ,3所以).4sin(3)(π+=x x f(2))()(θθ-+f f )4sin(3)4sin(3πθπθ+-++=,23cos 6==θ所以,46cos =θ因为,0sin ),2,0(>∈θπθ则=θsin ,410)46(1cos 122=-=-θ 故=+-=-]4)43sin[(3)43(πθπθπf ⋅=⨯==-4304103sin 3)sin(3θθπ16．(1)1=ω)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ(2)13=a17．(1)因),32sin(22cos 32sin)(π+=+=x x x x f 故)(x f 的最小正周期.4212ππ==T当1)32sin(-=+πx 时，)(x f 取得最小值;2-当1)32sin(=+πx 时，)(x f 取得最大值2．(2)由(1)知⋅+=)32sin(2)(πx x f 又⋅+=)3()(πx f x g故]3)3(21sin[2)(ππ++=x x g ⋅=+=2cos 2)22sin(2xx π故).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-所以函数)(x g 是偶函数． 18．(1)由题意得，=+-+22cos 122cos 1BA ,2sin 232sin 23B A - 即=-A A 2cos 212sin 23-=--B A B B 2sin()62sin(,2cos 212sin 23π),6π 由b a =/得，,B A =/又),,0(π∈+B A 得,6262πππ=-+-B A 即,32π=+B A 所以⋅=3πC(2)由,3=c Cc A a A sin sin ,54sin ==得58=a ，由,c a <得,C A <从而,53cos =A故=+=+=C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin ,10334+ 所以ABC ∆的面积为==B ac S sin 21⋅+251838高三数学（理科）专题训练二《数列》参考答案9．133-n 10．3711．4；7；11；222++n n 12．63 三、解答题13．(1)由已知,0076⎩⎨⎧<>a a 得,06230523⎩⎨⎧<+>+d d 解得,623523-<<-d 又d 为整数，故.4-=d (2)nn n n n S n 252)4(2)1(232+-=-⨯-+=,8625)425(22+--=n当6=n 时，;78=n S 当7=n 时，.77=n S 取最大值为78. (3)令,0>n S 得,02522>+-n n 解得<<n 0*),(225N n ∈ 故n 的最大值为12. 14．(1)由题意知：.31556-=-=S S .8566-=-=S S a所以,85510511⎩⎨⎧-=+=+d a d a 解得,71=a 所以.7,316=-=a S(2)因为,01565=+S S 所以,015)156)(105(11=+++d a d a即.0110922121=+++d da a 故.8)94(221-=+d d a 所以.82≥d故d 的取值范围为22-≤d 或.22≥d15．(1)在21223-+=n n n S a n S 中分别令,2=n 3=n 及,1a a =得++=+a a a a a (,12)(2222.)(27)223232a a a a a ++=+因为,0=/n a 所以2a ,212a -=.233a a +=因为数列}{n a 是等差数列，所以+1a ,223a a =即,23)212(2a a a ++=-解得.3=a经检验3=a 时，,2)1(3,3+==n n S n a n n ,2)1(31-=-n n S n 满足.32122-+=n n n S a n S(2)由,32122-+=n n n S a n S 得,32212n n n a n S S =--即,3))((211n n n n n a n S S S S =-+--因为,0=/n a ,2≥n 所以,321n S S n n =+-①所以,)1(321+=++n S S n n ② ②－①得,361+=++n a a n n 所以=+-1n n a a ,3)1(6+-n两式相减得：).2(611≥=--+n a a n n即数列 642,,a a a 及数列 ,,,753a a a 都是公差为6的等差数列，因为,23,21232a a a a +=-=所以⎪⎩⎪⎨⎧+-≥-+==.,623,3,623,1,为偶数为奇数且n a n n n a n n a a n要使数列}{n a 是递增数列，须有,21a a <且当n 为大于或等于3的奇数时,1+<n n a a且当n 为偶数时,1+<n n a a 即⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-≥+-+<-+-<为偶数为奇数且n a n a n n n a n a n a a ,62)1(36233,62)1(3623,212 解得⋅<<41549a所以M 为),415,49(当Ma ∈时，数列}{n a 是递增数列.16．(1)12-n (2)存在17．(1)设}{n a 公差为d ，由题意易知,0>d 且∈d *,N则,)1(3d n a n -+=.2)1(3d n n n S n -+=设}{n b 公比为q ，则.1-=n n q b 由,6422=S b 可得64)6(=+d q …①又}{n a b 是公比为64的等比数列，所以6411111====---+++d a a a a a a q q qq b b n n n n n n …② 由①②，且*,N d >,0>d 可解得.2,8==d q所以,12+=n a n .*,81N n b n n ∈=- (2)由(1)知),2(22)1(3+=⨯-+=n n n n n S n .*N n ∈所以),211(21)2(11+-=+=n n n n S n 所以+-=+++)311[(2111121n S S S )]211()5131()4121(+-++-+-n n 18．(1)略(2)1)21(4-=n n b (3)=n p )1(log >a b n a高三数学（理科）专题训练三《概率》参考答案一、选择题BCBCCCAB 二、填空题9．2110．5111．3212．120人13．278三、解答题14．设得到黑球、黄球的概率分别为,y x 、由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+=+,125)311(,125y x y y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,61,41y x 故41)6141311(=---,所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是⋅416141、、15解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P ,31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P .且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .11521001562201541201531001520)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .16（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=.2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,=，方差D （X ）=3××（）= 17解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =B 表示事件：甲需使用设备C 表示事件：丁需使用设备D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ 所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ （2）X 的可能取值为0，1，2，3，40(0)()P X P B C A ==⋅⋅0()()()P B P C P A =2(10.6)(10.4)0.50.06=-⨯-⨯=． 0.25=，2(4)()P X P B C A ==⋅⋅2()()()P B P C P A =20.50.60.40.06=⨯⨯=，(3)()(4)0.25P X P D P X ==-==， 所以(X)(2)0(0)1(1)2(3)3(3)4(4)E P X P X P X P X P X P X ===⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=．18解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》参考答案9．21310．3π11．6三、解答题12．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体的体积为：1211h R V ⋅=π632⋅⋅=π.54π=从某零件的三视图可知：该几何体为左边是一个底面半径为2cm 、高为4cm 的圆柱体，右边是一个底面半径为3cm 、高为2cm 的圆柱体．其中左边的圆柱体的体积为：所以切削掉部分的体积为：.204322ππ=-⋅⋅=V V因此切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：⋅==271054201ππV V 13．(1)如图所示，取AD 的中点M ，连接.,QM PM因为ABCD P -与ABCDQ -都是正四棱锥，所以,,QM AD PM AD ⊥⊥ 从而.PQM AD 平面⊥又,PQM PQ 平面⊂所以.AD PQ ⊥同理,AB PQ ⊥所以.ABCD PQ 平面⊥(2)连接OM ，则,21221PQ AB OM ===所以,90o PMQ =∠即⋅⊥MQ PM由(1)知,PM AD ⊥所以,QAD PM 平面⊥从而PM 就是四面体QAD P -的高，在直角PMO ∆中，.22222222=+=+=OM PO PM又,242242121=⋅⋅=⋅=∆QM AD S QAD故⋅=⋅⋅=⋅=∆-31622243131PM S V QAD QAD P14．(1)在ABC ∆中，,BC AC =点M 为AB 的中点，故.AB CM ⊥又因三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，故,11ABC A ABB 平面平面⊥又,ABC CM 平面⊂故11A ABB CM 平面⊥,而,CMD CM 平面⊂故11A ABB CMD 平面平面⊥ (2)以点C 为原点，分别以1,,CC CB CA 所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令,11===CC BC AC则),0,0,0(C ),0,0,1(A ),1,0,1(1A ),0,1,0(B ),1,1,0(1B故),0,1,0(=CB )1,43,41(=CD设平面CBD 的法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD n CB n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=043410z y x y ⇒⎩⎨⎧=+=040z x y ,取,1-=z 则,4=x ,0=y 故)1,0,4(-=n ,而平面MBD 的法向量是),0,21,21(=CM故>=<n ,cos 1722)1,0,4()0,21,21(⨯-⋅⋅=17342 即二面角M BD C --的余弦值为⋅17342 15．(1)连结BD 交AC 于点O ，连结EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以.//PB EO又,AEC EO 平面⊂,AEC PB 平面⊂/所以.//AEC PB 平面(2)因为,ABCD PA 平面⊥ABCD 为矩形，所以AP AD AB ,,两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||AP 为单位长，建立空间直角坐标系,xyz A -则),21,23,0(),0,3,0(E D ⋅=)21,23,0( 设),0)(0,0,(>m m B 则),0,3,(m C ).0,3,(m =设),,(1z y x n =为平面ACE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.02123,03z y y mx 可取),3,1,3(1-=m n 又)0,0,1(2=n 为平面DAE 的法向量，由题设,21|,cos |21=><n n 即=+2433m ,21解得⋅=23m因为E 为PD 的中点，所以三棱锥ACD E -的高为⋅21所以三棱锥ACD E -的体积为：⋅=⨯⨯⨯⨯=83212332131V16．(1)因⊥BF 平面.ACE 故.AE BF ⊥又因二面角E AB D --为直二面角，且,AB CB ⊥故⊥CB 平面.ABE故.AE CB ⊥⊥AE 平面.BCE (2)以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因⊥AE 面,BCE ⊂BE 面,BCE故.BE AE ⊥则),0,0,0(A ),0,1,1(E ,2,0(C ).2),0,1,1(=AE ⋅=)2,2,0(AC设平面AEC 的法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AE n ,即,0220⎩⎨⎧=+=+z y y x 解得⋅⎩⎨⎧=-=xz x y令,1=x 得=n )1,1,1(-是平面AEC 的一个法向量，又平面BAC 的一个法向量为),0,0,1(=m且n m ,所成的角就是二面角E AC B --的平面角，因>=<n m ,cos ||||n m n m ⋅⋅,3331==故二面角E AC B --的余弦值为⋅33 (3)因),2,0,0(=AD 故点D 到平面ACE 的距离=d .33232||||==⋅n n 17．(1)略(2)4618．(1)证明：如图所示，在ABD ∆中，因,60,4,2o DAB AD AB =∠==故=∠⋅-+=DAB AD AB AD AB BD cos 2222,32故,222AD BD AB =+故.BD AB ⊥又因,ABD EBD 平面平面⊥,BD ABD EBD =平面平面,ABD AB 平面⊂故.EBD AB 平面⊥(2)解：由(1)知,//,AB CD BD AB ⊥故,BD CD ⊥从而.DB DE ⊥在DBE Rt ∆中， 因,2,32====AB DC DE DB 故.3221=⋅=∆DE DB s BDE又因,EBD AB 平面⊥,EBD BE 平面⊂故.BE AB ⊥因,4===AD BC BE 故.421=⋅=∆BE AB S ABE 因,BD DE ⊥平面EBD ⊥平面ABD ，故.ABD ED 平面⊥而,ABD AD 平面⊂故,AD ED ⊥故.421=⋅=∆DE AD S ADE 综上得三棱锥ABDE -的侧面积为.328+=S高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》参考答案9．1322=-y x 10．3=b 11．612．215-三、解答题13．设),,(00y x A 则矩形ABCD 的面积||40x S =.||0y由192020=+y x 得，,912020x y -=故202020x y x =,49)29(91)91(22020---=-x x当21,292020==y x 时，,6max =S故当5=t 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6．14．根据几何性质有.1=cab又因,33=a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==34422b a 故双曲线的方程为.143422=-y x15．(1)由题意，),,0(),0,(2b B c F =||2BF ,222==+a c b又)31,34(C 在椭圆上，所以,1)31(2)34(222=+b 解得.1=b 所以椭圆方程为.1222=+y x(2)直线2BF 方程为,1=+byc x 与椭圆方程12222=+by a x 联立方程组，解得A 点坐标为),,2(223222c a b c a c a +-+则C 点坐标为,2(222c a c a +),223ca b + 又,c bk AB -=由AB C F ⊥1得⋅+3233c c a b ,1)(-=-cb 即,34224c c a b += 所以=-222)(c a ,3422c c a +化简得.55==ac e 16．(1)由于点P 在椭圆上，故.3,6||||221==+=a PF PF a 在21F PF Rt ∆中，.52||||||212221=-=PF PF F F 解得,5=c 从而.4222=-=c a b因此椭圆C 的方程为.14922=+y x (2)设A ，B 的坐标分别为).,(),,(22]1y x y x已知圆的方程为,5)1()2(22=-++y x 圆心).1,2(-设直线l 方程为,1)2(++=x k y代入椭圆C 的方程得273636)1836()94(2222-+++++k k x k k x k 0=由于A ，B 关于点M 对称，所以,29491822221-=++-=+k kk x x 解得98=k因此直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即.02598=+-y x 17．由题意，),0,1(-F 设点),,(00y x P 则有,1342020=+y x 解得)41(32020x y -=因为),,1(00y x +=),,(00y x =所以200)1(y x x ++=⋅,34)41(3)1(0202000++=-++=x x x x x此二次函数对应的抛物线的对称轴为.20-=x因为,220≤≤-x 所以当20=x 时，⋅取得最大值.632422=++ 18．(1)y x 42=(2)02200=--y y x x (3)29高三数学（理科）专题训练六《导数及其应用》参考答案9．310．－311．31-12．)3,(--∞三、解答题13.(1),)1()('kx e kx x f +=,1)0('=f ,0)0(=f故曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为.x y =(2)由0)1()('=+=kx e kx x f 得).0(1=/-=k kx ①若,0>k 则当)1,(kx --∞∈时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减；当),1(+∞-∈kx 时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增，②若,0<k 则当)1,(kx --∞∈时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增；当),1(+∞-∈kx 时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减．14．(1)因为),0(1ln 1ln 1)('>+=-++=x xx x x x x f 所以.1ln )('+=x x x xf 由,1)('2++≤ax x x xf 得.ln x x a -≥令,ln )(x x x g -=则11)('-=xx g 当10<<x 时，;0)('>x g 当1>x 时，.0)('<x g所以1=x 是最大值点，.1)1()(max -==g x g 故,1-≥a即a 的取值范围是).,1[+∞- (2)由(1)知,1)1(ln )(-=≤-=g x x x g 故.01ln ≤+-x x当10<<x 时，x x x x x x f ln 1ln )1()(=+-+=;01ln ≤+-+x x当1≥x 时，+=+-+=x x x x x f ln 1ln )1()(.0)111(ln ln 1ln ≥-+-=+-xx x x x x x综上，.0)()1(≥-x f x15．(1)因为,12321ln )(+++=x x x a x f 故⋅+-=2321)('2x x a x f由于曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即,0)1('=f 从而,02321=+-a 解得.1-=a(2)由(1)知)0(12321ln )(>+++-=x x x x x f 令,0)('=x f 解得,11=x 312-=x （因312-=x 不在定义域内，舍去）．当)1,0(∈x 时，,0)('<x f 故)(x f 在)1,0(上为减函数；当),1(+∞∈x 时，,0)('>x f 故)(x f 在,1()∞+上为增函数．故)(x f 在1=x 处取得极小值.3)1(=f16．(1)由⎩⎨⎧+-==axx y x y 222得点).,(),0,0(2a a A O又由已知得).,(),2,(22t t D at t t B +-故)(t f S =+⋅⋅-+-=⎰2221)2(t t dx ax x t)()2(2122t a t at t -⋅-+-(2).221)('22a at t t f +-=令,0)('=t f即,022122=+-a at t 解得a t )22(-=或.)22(a t +=因为,10≤<t ,1>a 所以a t )22(+=舍去．若,1)22(≥-a 即222221+=-≥a 时，对,10≤<t 有.0)('≥t f故)(t f 在区间]1,0(上单调递增，S 的最大值是⋅+-=61)1(2a a f若,1)22(<-a 即2221+<<a 时，对,)22(0a t -<<有;0)('>t f当t a <+)22(1≤时，有.0)('<t f 故)(t f 在))22(,0(a -上单调递增，在]1,)22((a +上单调递减，)(t f 的最大值是.3222))22((3a a f -=- 综上所述，=max)]([t f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<-+≥+-222132222226132a a a a a 17．(1)),4300(5)(3r r r V -=π定义域为);35,0((2))(r V 在区间)5,0(上单调递增，在区间)35,5(上单调递减；当,5=r 8=h 时，蓄水池的体积最大18．(1))(x f 的定义域为-=+∞xx f 1)('),,0(⋅-+-=-+xax x a ax )1)(12()2(2若,0≤a 则,0)('>x f 所以)(x f 在),0(+∞单调递增．若,0>a 则由0)('=x f 得,1ax =且当∈x )1,0(a时，,0)('>x f 当ax 1>时，.0)('<x f 所以)(x f 在)1,0(a单调递增，在),1(+∞a单调递减．(2)设函数),1()1()(x af x a f xg --+=则,2)1ln()1ln()(ax ax ax x g ---+=.12211)('2223x a x a a axa ax a x g -=--++=当ax 10<<时，,0)('>x g 而,0)0(=g 所以.0)(>x g故当ax 10<<时，⋅->+)1()1(x af x a f (3)由(1)可得，当0≤a 时，函数)(x f y =的图象与x 轴至多有一个交点，故,0>a 从而)(x f 的最大值为),1(a f 且.0)1(>af 不妨设,0),0,(),0,(2121x x x B x A <<则⋅<<<2110x ax 由(2)得=>-+=-)()11()2(111x f x a a f x a f ).(02x f =又,1,1221ax a x a >>-从而,212x ax ->于是⋅>+=ax x x 12210由(1)知，.0)('0<x f。
重庆市西南大学附属中学校2022届高三第六次月考数学试题及答案
西南大学附属中学校高2022届第六次月考数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）2022年2月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合2{230}A x x x =−−≤，{26}B x Z x =∈<<，则AB =（ ）A ．{25}x x <≤B ．{23}x x <≤C ．{345}，，D ．{3}2． 圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ）A B ．4C ．3D ．23． 若复数z 满足(1i)|2|2i z +=−+，则z 的共轭复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4． 若2()4x a −<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤−，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(4]−∞，B ．[14]，C ．（1，4）D ．(1]4，5． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（−∞，0）上单调递减，若3log 10a =−，12log 8b =，4512c −⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f a f c f b >> B ．()()()f a f b f c >> C ．()()()f b f a f c >>D ．()()()f c f a f b >>6． 已知(0)απ∈，，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（ ）A B ．53C D7． 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线220y px p =>（）上任意一点，且点P 在第一象限，M 是线段PF 上的点，若3PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．2B C ．12D 8． 已知函数()ln 0a f x x a x a =−>（），()e x g x x =−，若2(1e )x ∈，时，()()f x g x ≤成立，则实数a 的最大值是（ ） A ．1B ．eC ．2e 2D ．2e二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9． 下列说法正确的是（ ）A ．市教委为了解附中高中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从我校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知我校高一、高二，高三年级学生之比为6∶5∶4，则应从高三年级中抽取20名学生B ．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小C ．命题“0x ∀>，2lg(1)0x +≥”的否定是“0x ∃>，2lg(1)0x +<”D ．线性回归方程ˆˆˆyb x a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 10． 下列关于多项式5122x x ⎛⎫⎪⎝⎭−−的展开式的结论中，正确的是（ ）A ．各项系数之和为1−B ．各项系数的绝对值之和为1C ．不存在4x 项D ．常数项为4811． 正方体1111ABCD A BC D −的棱长为6，M 、N 为底面1111D C B A 内两点，11111AM AA A B A D λλ=++，[01]λ∈，，异面直线BN 与1CC 所成角为30°，则正确的是（ ）A ．CM BD ⊥B ．直线MN 与1DD 为异面直线C ．线段MN 长度最小值为D ．三棱锥1B AMN −的体积可能取值为1212． 设函数()y f x =的定义域为R ，如果存在常数(0)T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“类周期函数”，T 为函数()y f x =的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（ ） A ．函数()x f x −=3是“类周期函数” B ．函数3()f x x =是“类周期函数”C ．如果函数c (s )o x f x ω=是“类周期函数”，那么“k ωπ=，Z k ∈”D ．如果“类周期函数”()y f x =的“类周期”为1−，那么它是周期为2的周期函数 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 已知a ，b 为单位向量，a ，b 的夹角为60°，向量c 满足0a c ⋅=，且c a b λ=+，则实数λ= ．14． 已知随机变量X 的概率分布为()12310(1)aP X n n n n ===⋅⋅⋅+（，，，，），则实数a = ． 15． 安排高三年级一、二两个班一天的数、语、外、物、体，一班的化学及二班的政治各六节课．要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节；其他语、数、外、物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有 种． 16． 已知实数x ，y 满足||||14x x y y +=，则|24|x y +−的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17． (10分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1221n n S S n +=+≥（），{}n b 是公差不为0的等差数列，且124b b b ，，成等比数列，2104a b a ，，成等差数列． (1) 求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2) 若1221(1)(1)log n n n nn c b a ++=−+，求{}n c 的前2n 项和2n T ．18． (12分) 乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．为减轻高三学子学习压力，提高学习效率，年级打算开学后举办乒乓球比赛，规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方．(1) 假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23．在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；(2) 假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X 的分布列及数学期望．19． 如图，△ABC 中，AC = 4，BC =，AC BC ⊥，点M ，N 是线段AB 上两点（包括端点），30MCN ∠=︒． (1) 当2AM =时，求△MNC 的周长；(2) 设ACM θ∠=，当△MNC 的面积为1)时，求θ的值．20． 如图，三棱柱111ABC A B C −中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥． (1) 求证: AO ⊥平面11BB C C ；(2) 设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒ ，求二面角111A B C B −−的余弦值．21． 已知椭圆2222:10x y C a b a b+=>>（）的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线:0l x y −+=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ，2k ，且125k k +=，求证：直线AB 过定点．22． 已知函数2()ln 22(1)0f x x ax a x a =+++≠（）．(1) 讨论函数()f x 的极值；(2) 当0a <时，证明：[()2]1a f x +≥−恒成立．高2022届第六次月考数学参考答案题号123456789101112答案D AA D CDBBBCADACDACD13．12-14．111015．540016．)44⎡-⎣17．(1)∵当2n ≥，112222n nnn S S S S +-=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得()122n n a a n +=≥由112S a ==，代入122n n S S +=+可得226,4S a ==，满足212a a =，所以{}*12,,n n n a a n N a +=∈为等比数列，∴2n n a =，不妨设等差数列{}n b 公差为d ，由条件可得22141024,2b b b b a a ==+，即()()()21111329416b d b b d b d ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩，解得11,1b d ==，所以()111n b n n=+-⨯=(2)由（1）可知()()()1121111111n n n n c n n n n +++⎛⎫=-⨯=-⨯+ ⎪++⎝⎭∴21232n n T c c c c =++++ 1111111122334221n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1212121nn n =-=++.18．(1)设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A ，则事件A 中包含事件B 和事件C ，事件B ：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C ：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜.事件B ：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则()33328327p B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，事件C ：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则()223212833327p C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；则()()()8816272727p A P B P C =+=+=(2)X 的可能取值为1，2，3，4.()314p X ==，()13324416p X ==⨯=，()1133344464p X ==⨯⨯=，()1111444464p X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 1234p34316364164其中()3331851234416646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.即数学期望为8564.19．(1)∵4AC =，B C =，AC BC ⊥，∴30B =︒，则60A=︒，在△ACM 中，由余弦定理得：2222cos CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅1164242122=+-⨯⨯⨯=，则CM =222ACAM CM =+，即CM AB ⊥，又30MCN ∠=︒，∴tan 302MN CM =︒=，而24CN MN ==，∴△MNC 的周长为246++=+；(2)在△ACN 中，90ANC θ∠=︒-，由()sin 60sin 90CN CA θ=︒︒-得：CN =在△ACM 中，由()sin 60sin 60CM CA θ=︒︒+，得CM =()13sin 302sin 60cosCMN S CN θθ=⋅⋅︒==+︒222，)61=得：()1sin 2602θ+︒=，又060θ︒≤≤︒，所以60260180θ︒≤+︒≤︒，则260150θ+︒=︒,所以45θ=︒.20．(1)∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥.∵1B C AB ⊥，1AB BC B =I ，∴1B C ⊥平面1ABC ，又AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥.∵1AC AB =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥，又11B C BC O = ，∴AO ⊥平面11BB C C .(2)法一：∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角，∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即ABO ∠，∴45ABO ∠= ，不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C 中，3BO =，11CO B O ==，在Rt ABO △中，3AO BO ==.如图，以O 为坐标原点，分别以1,,OB OB OA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111(0,1,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1,3)B C C A A ---，则1111(3,0,3),(3,1,0),(0,0,3)A B B C OA =-=--=.设平面111A B C 的法向量为1(,,)n x y z =，则111111·330·30n A B x z n B C x y ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ ，得1(1,3,1)n =- .易知平面11BB C C 的一个法向量为(0,0,3)OA =，则11135cos ,535n OA n OA n OA⋅===⨯，由图可知二面角111A B C B --为钝二面角，∴二面角111A B C B --的余弦值为55-.法二：几何法21．(1)∵等轴双曲线的离心率为2，∴椭圆的离心率22，又∵直线:20l x y -+=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，∴222|1|1b +=，即1b =，可得22222112c b e a a ==-=，即22a =，则椭圆的方程为：2212x y +=；(2)①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则点0(A x ，0)y ，0(B x ，0)y -，由125k k +=，即0000115y y x x ---+=，解得025x =-，此时直线AB 的方程为25x =-；②若直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为y kx m =+，由题意可得1m ≠±，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22220y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：222(12)4220k x kmx m +++-=，()()222222168121210k m k m k m ∆=-+-=+->，且122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，由125k k +=，可得1212115y y x x --+=，即1212115kx m kx m x x +-+-+=，即12122(1)5x x k m x x ++-⋅=，2251km k m -=+，521k m =-，故直线AB 的方程为21()1255k y kx k x =+-=+-，即直线AB 过定点(125,)--，综上所述：直线AB 过定点(125,)--．22．(1)显然()f x 的定义域为(0,)+∞，因为2()ln 22(1)f x x ax a x =+++，所以()1(21)(21)422ax x f x ax a x x++'=+++=，若0a <，则当10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故函数()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；故()f x 在12x a =-处取得唯一的极大值，且极大值为111ln 222f a a a⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1.若0a >，则当,()0x ∈+∞时()0f x '>恒成立，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值.综上，当0a <时，()f x 的极大值为11ln 122a a⎛⎫--- ⎪⎝⎭，无极小值；当0a >时，()f x 无极值.(2)当0a <时，若证[()2]1a f x +≥-恒成立，只需证1()2f x a≤--恒成立，即证max 1()2f x a≤--，由（1）知()f x 在12x a =-处取得最大值，最大值为111ln 1222f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以即证111ln 1222a a a ⎛⎫---≤-- ⎪⎝⎭，即证11ln 1022a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭.令12t a=-，因为0a <，所以0t >，则只需证明ln 10t t -+≤，令()ln 1g t t t =-+，0t >，则11()1tg t t t-'=-=，当(0,1)t ∈时，()0g t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '<.故()g t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g t g ≤=，故()0g t ≤，即ln 10t t -+≤.因此当0a <时，[()2]1a f x +≥-恒成立.。
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六安中学第六次月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合=⋂-==<--=P M x y y P x x x M 那么},1|{},032|{2（ ）A ．（0，3）B ．)3,0[C ．)3,1[D ．),1[+∞-2．设函数⎩⎨⎧≥-<=)0(12)0(||lg )(x x x x f x，若0)(0>x f ，则0x 的取值范围是（ ）A.),1()1,(+∞--∞YB. ),0()1,(+∞--∞YC. )1,0()0,1(Y -D. ),0()0,1(+∞-Y3．直线022:2)2(:22=--++-=y x y x C x k y l 与圆相切，则直线l 的一个方向量=（ ）A ．（2，－2）B ．（1，1）C ．（－3，2）D ．（1，21） 4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数 2233cy x bx =++的单调递增区间为（ ） A ．]2,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,2[-D ．),21[+∞5．在AC AB S AC AB ABC ABC ⋅===∆∆则已知中,3,1||,4||,的值为（ ）A ．—2B ．2C ．4±D ．2±6．若第一象限内的点),(y x A 落在经过点（6，—2）且方向向量为)2,3(-=a 的直线l 上，则3223log log t y x =-有（ ）A ．最大值23 B ．最大值1 C ．最小值23 D ．最小值17．设M 是ABC ∆内任一点，且,30,320=∠=•BAC AC AB 设MAB MAC MBC ∆∆∆,,的面积分别为z y x ,,，且21=z ，则在平面直角中坐标系中，以,x y 为坐标的点),(y x 的轨迹图形是 （ ）ACBD8．已知)4()5(),1()2)(1(:*,,35-⨯-=-+++=∈∈-M n x x x x M N n R x n x 例如定义ΛΛx COS M x f x 20062005)(,60)3(73⋅=-=-⨯-则函数 （ ）A ．是偶函数不是奇函数B ．是奇函数不是偶函数C ．既是奇函数、又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9、下列命题：①若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2,4(ππθ∈，则(sin )(cos ).f f θθ>②在ABC ∆中，A B >是cos cos A B <的充要条件. ③若,,a b c r r r为非零向量，且a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r .④要得到函数sin2x y =的图像，只需将函数sin()24x y π=-的图像向右平移2π个单位.其中真命题的个数有（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．410.若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，2398a a =-，则12341111a a a a +++=（ ） A ．53B ．35 C ．53-D ．35-12．已知F 1、F 2为椭圆E 的左右两个焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率为e ，且||||21PF e PF =则e 的值为 （ ）A ．22 B ．32-C ．33 D ．22-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上13、若命题04,:2>++∈∀c cx x R x p 对为真命题，则实数c 的取值范围是 . 14．函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为15. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．16.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(,)x y 值依次记为11(,)x y 、22(,)x y 、…、(,)n n x y 、…．（1）若程序运行中输出的一个数组是(,8)t -，则t = （2）程序结束时，共输出(,)x y 的组数为 ．三．解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向量a (cos ,2cos )x x =，向量b ()(2cos ,sin )x x π=-，若()f x =a ·b +1 ．（I ）求函数)(x f 的解析式和最小正周期；(II) 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求)(x f 的最大值和最小值．18.已知函数f (x )=264xx -+,g (x )=x 2－3ax +2a 2(a ＜0)，若不存在．．．实数x 使得f (x )＞1和g (x )＜0同时成立，试求a 的范围.19.已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=r 的直线与圆，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=u u u u r u u u r求的值.20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且有n n S n 211212+=，数列}{n b 满足0212=+-++n n n b b b)(*N n ∈，且113=b ，前9项和为153.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列}{n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.21. （本小题满分12分）在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，P ′为垂足. （1）求线段PP ′中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点Q (－2,0)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点)0,174(-，且以)1,0(=为方向向量的直线上一动点，满足+=（O 为坐标原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.22．(本小题满分14分) 设函数2132()x f x x eax bx -=++,已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.(Ⅰ)求a 和b 的值;(Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性; (Ⅲ)设322()3g x x x =-,比较()f x 与()g x 的大小.六安中学第六次月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．．B 2． B. 3． A 4． D 5． D 6． B7． A8． B 9、A10. D11． C12． C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上 13、()1,0(,)4-∞⋃+∞14．6π+15. 432 16.．81，1004三．解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（I ）∵a (cos ,2cos )x x =, b ()(2cos ,sin )x x π=-,∴()f x =a ·b +122cos 2cos sin()1x x x π=+-+- ------------------------------2分1cos sin 22cos 1+++=x x x - -------------------------------------------4分22sin 2cos ++=x x --------------------------------------------------------6分2)42sin(2++=πx ． ------------------------------------------------------7分∴函数()f x 的最小正周期ππ==22T ． -----------------------------8分 (II) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx Θ， ∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． ---------------------------------------------------------------------9分∴时即当8,242πππ==+x x ，()2f x 有最大值 -------------------10分时即当2,4542πππ==+x x ，()f x 有最小值1． ------------------------12分18.解:由f (x )＞1，得264x x -+＞1,化简整理得)2)(3()1)(2(+-+-x x x x ＜0.解得－2＜x ＜－1或2＜x ＜3.即f (x )＞1的解集为A ={x |－2＜x ＜－1或2＜x ＜3}. 由g (x )＜0得x 2－3ax +2a 2＜0,即(x －a )(x －2a )＜0(a ＜0). 则g (x )＜0的解集为B ={x |2a ＜x ＜a ,a ＜0}.根据题意，有A ∩B =∅.因此，a ≤－2或－1≤2a ＜0.故a 的范围是{a |a ≤－2或－21≤a ＜0}.19.解：（1）(1,),l a k =rQ 直线过点(0,1)且方向向量 1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得4433k -<<……………………5分 1122(2)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………11分212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=……………………12 2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+u u u u r u u u r 4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………12分20.（本小题满分12分） 解：（1）因为n n S n 211212+=；故 当2≥n 时；51+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，611==S a ；满足上式； 所以5+=n a n ；又因为0212=+-++n n n b b b ，所以数列}{n b 为等差数列； 由1532)(9739=+=b b S ，113=b ，故237=b ；所以公差3371123=--=d ； 所以：23)3(3+=-+=n d n b b n ； …………5分 （2）由（1）知：)12)(12(1)12)(112(3+-=--=n n b a c n n n而)121121(21)12)(12(1)12)(112(3+--=+-=--=n n n n b a c n n n ；所以：n n c c c T +++=Λ21)]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n Λ 12)1211(21+=+-=n nn ；又因为0)12)(32(1123211>++=+-++=-+n n n n n n T T n n ；所以}{n T 是单调递增，故31)(1min ==T T n ； 由题意可知5731k >；得：19<k ，所以k 的最大正整数为18； …………12分 21. （本小题满分12分） 解：（1）设M (x ，y )是所求曲线上的任意一点，P （x 1，y 1）是方程x 2 +y 2 =4的圆上的任意一点，则).,0(1y P '则有：44,2,222211111=+⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x y y x x y y y x x 代入即得， 轨迹C 的方程为.1422=+y x （1）当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点.所以设直线l 的方程为y = k (x +2)，与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，N 点所在直线方程为.0174=+x 由.0444)4()2(14222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+k x k x k x k y y x 得 由△= .34,0)44)(4(4162224≤∴≥-+-k k k k 即.332332≤≤-k (4)1(4,4422212221k k x x k k x x +-=+-=+ ,+=Θ即OB AN =，∴四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB ，则0=⋅OB OA ，即02121=+y y x x ， 即04)(2)1(2212212=++++k x x k x x k ，于是有0441622=+-k k 得.21±=k … 设17444),,(2221000-=+-=+=+=k k x x x y x N 得由，即点N 在直线174-=x 上. ∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为).2(21+±=x y22(本小题满分14分)【解:】(Ⅰ)因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++,又2x =-和1x =为()f x 的极值点,所以(2)(1)0f f ''-==,因此620,3320,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解该方程组得13a =-,1b =-.（Ⅱ）因为13a =-,1b =-,所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-,令()0f x '=,解得12x =-,20x =,31x =． 因为当(,2)x ∈-∞-(0,1)U 时,()0f x '<; 当(2,0)(1,)x ∈-+∞U 时,()0f x '>．所以()f x 在(2,0)-和(1,)+∞上是单调递增的;在(,2)-∞-和(0,1)上是单调递减的.（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--, 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-. 令()0h x '=,得1x =,因为(,1)x ∈-∞时,()0h x '<,所以()h x 在(,1)x ∈-∞上单调递减.故(,1)x ∈-∞时，()(1)0h x h >=; 因为(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增. 故(1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h >=.所以对任意(,1)(1,)x ∈-∞+∞U ,恒有()0h x >,又0x ≠时,20x >, 因此0x ≠且1x ≠时()()0f x g x ->,1x =或0x =时()()0f x g x -=, 所以, (1)0x ≠且1x ≠时()()f x g x >(2) 1x =或0x =时,()()f x g x =【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命题人给的原解)这种解法不太严谨,但也被大部分人所接受（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--, 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-,则1()e 1x h x -'=-. 令()0h x '=,得1x =,因为(,1]x ∈-∞时,()0h x '≤,所以()h x 在(,1]x ∈-∞上单调递减.故(,1]x ∈-∞时,()(1)0h x h ≥=; 因为[1,)x ∈+∞时,()0h x '≥,所以()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递增. 故[1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h ≥=.所以对任意(,)x ∈-∞+∞,恒有()0h x ≥,又20x ≥,因此()()0f x g x -≥, 故对任意(,)x ∈-∞+∞,恒有()()f x g x ≥.六安中学第六次月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合=⋂-==<--=P M x y y P x x x M 那么},1|{},032|{2（．B ）A ．（0，3）B ．)3,0[C ．)3,1[D ．),1[+∞-2．设函数⎩⎨⎧≥-<=)0(12)0(||lg )(x x x x f x，若0)(0>x f ，则0x 的取值范围是（B. ）A.),1()1,(+∞--∞YB. ),0()1,(+∞--∞YC. )1,0()0,1(Y -D. ),0()0,1(+∞-Y3．直线022:2)2(:22=--++-=y x y x C x k y l 与圆相切，则直线l 的一个方向量=（ A ）A ．（2，－2）B ．（1，1）C ．（－3，2）D ．（1，21） 4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数 2233cy x bx =++的单调递增区间为（ D ） A ．]2,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,2[-D ．),21[+∞5．在S ABC ABC ⋅===∆∆则已知中,3,1||,4||,的值为（ D ）A ．—2B ．2C ．4±D ．2±6．若第一象限内的点),(y x A 落在经过点（6，—2）且方向向量为)2,3(-=a 的直线l 上，则3223log log t y x =-有（B ）A ．最大值23 B ．最大值1 C ．最小值23 D ．最小值1 7．设M 是ABC ∆内任一点，且,30,320=∠=•BAC 设MABMAC MBC ∆∆∆,,的面积分别为z y x ,,，且21=z ，则在平面直角中坐标系中，以,x y 为坐标的点),(y x 的轨迹图形是 （A ）8．已知)4()5(),1()2)(1(:*,,35-⨯-=-+++=∈∈-M n x x x x M N n R x n x 例如定义ΛΛx COS M x f x 20062005)(,60)3(73⋅=-=-⨯-则函数 （ B ）A ．是偶函数不是奇函数B ．是奇函数不是偶函数C ．既是奇函数、又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9、下列命题：①若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2,4(ππθ∈，则(sin )(cos ).f f θθ>②在ABC ∆中，A B >是cos cos A B <的充要条件. ③若,,a b c r r r为非零向量，且a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r .④要得到函数sin2x y =的图像，只需将函数sin()24x y π=-的图像向右平移2π个单位.其中真命题的个数有（A ）A ．1B ．2C ． 3D ．410.若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（D ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，2398a a =-，则12341111a a a a +++=（ C ）A ．53B ．35C ．53-D ．35-12．已知F 1、F 2为椭圆E 的左右两个焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率为e ，且||||21PF e PF =则e 的值为（C ）ACBDA ．22 B ．32-C ．33 D ．22-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上13、若命题04,:2>++∈∀c cx x R x p 对为真命题，则实数c 的取值范围是 .()1,0(,)4-∞⋃+∞ 14．函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为 36π+15. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．43216.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(,)x y 值依次记为11(,)x y 、22(,)x y 、…、(,)n n x y 、…．（1）若程序运行中输出的一个数组是(,8)t -，则t = ； （2）程序结束时，共输出(,)x y 的组数为 ．81，1004三．解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向量a (cos ,2cos )x x =，向量b ()(2cos ,sin )x x π=-，若()f x =a ·b +1 ．（I ）求函数)(x f 的解析式和最小正周期；(II) 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求)(x f 的最大值和最小值． 17．（本小题满分12分）解：（I ）∵a (cos ,2cos )x x =, b ()(2cos ,sin )x x π=-,∴()f x =a ·b +122cos 2cos sin()1x x x π=+-+- ------------------------------2分1cos sin 22cos 1+++=x x x - -------------------------------------------4分22sin 2cos ++=x x --------------------------------------------------------6分2)42sin(2++=πx ． ------------------------------------------------------7分∴函数()f x 的最小正周期ππ==22T ． -----------------------------8分 (II) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx Θ， ∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． ---------------------------------------------------------------------9分∴时即当8,242πππ==+x x ，()2f x 有最大值 -------------------10分时即当2,4542πππ==+x x ，()f x 有最小值1． ------------------------12分 18.已知函数f (x )=264xx -+,g (x )=x 2－3ax +2a 2(a ＜0)，若不存在．．．实数x 使得f (x )＞1和g (x )＜0同时成立，试求a 的范围.18.解:由f (x )＞1，得264x x -+＞1,化简整理得)2)(3()1)(2(+-+-x x x x ＜0.解得－2＜x ＜－1或2＜x ＜3.即f (x )＞1的解集为A ={x |－2＜x ＜－1或2＜x ＜3}. 由g (x )＜0得x 2－3ax +2a 2＜0,即(x －a )(x －2a )＜0(a ＜0). 则g (x )＜0的解集为B ={x |2a ＜x ＜a ,a ＜0}.根据题意，有A ∩B =∅.因此，a ≤－2或－1≤2a ＜0.故a 的范围是{a |a ≤－2或－21≤a ＜0}.19.已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=r 的直线与圆，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=u u u u r u u u r求的值.19.解：（1）(1,),l a k =rQ 直线过点(0,1)且方向向量 1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得4433k -<<……………………5分 1122(2)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………11分212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=……………………12 2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+u u u u r u u u r 4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………12分20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且有n n S n 211212+=，数列}{n b 满足0212=+-++n n n b b b)(*N n ∈，且113=b ，前9项和为153.（2）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列}{n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.解：（1）因为n n S n 211212+=；故当2≥n 时；51+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，611==S a ；满足上式； 所以5+=n a n ；又因为0212=+-++n n n b b b ，所以数列}{n b 为等差数列； 由1532)(9739=+=b b S ，113=b ，故237=b ；所以公差3371123=--=d ； 所以：23)3(3+=-+=n d n b b n ； …………5分 （2）由（1）知：)12)(12(1)12)(112(3+-=--=n n b a c n n n而)121121(21)12)(12(1)12)(112(3+--=+-=--=n n n n b a c n n n ；所以：n n c c c T +++=Λ21)]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n Λ 12)1211(21+=+-=n nn ； 又因为0)12)(32(1123211>++=+-++=-+n n n n n n T T n n ；所以}{n T 是单调递增，故31)(1min ==T T n ； 由题意可知5731k >；得：19<k ，所以k 的最大正整数为18； …………12分 21. （本小题满分12分）在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，P ′为垂足. （1）求线段PP ′中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点Q (－2,0)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点)0,174(-，且以)1,0(=a 为方向向量的直线上一动点，满足+=（O 为坐标原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）设M (x ，y )是所求曲线上的任意一点，P （x 1，y 1）是方程x 2 +y 2 =4的圆上的任意一点，则).,0(1y P '则有：44,2,222211111=+⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x y y x x y y y x x 代入即得， 轨迹C 的方程为.1422=+y x （1）当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点.所以设直线l 的方程为y = k (x +2)，与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，N 点所在直线方程为.0174=+x 由.0444)4()2(14222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+k x k x k x k y y x 得 由△= .34,0)44)(4(4162224≤∴≥-+-k k k k 即.332332≤≤-k (4)1(4,4422212221k k x x k k x x +-=+-=+,+=Θ即=，∴四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB ，则0=⋅OB OA ，即02121=+y y x x ， 即04)(2)1(2212212=++++k x x k x x k ，于是有0441622=+-k k 得.21±=k … 设17444),,(2221000-=+-=+=+=k k x x x OB OA ON y x N 得由，即点N 在直线174-=x 上. ∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为).2(21+±=x y 22．(本小题满分14分) 设函数2132()x f x x eax bx -=++,已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.(Ⅰ)求a 和b 的值;(Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性; (Ⅲ)设322()3g x x x =-,比较()f x 与()g x 的大小.22(本小题满分14分)【解:】(Ⅰ)因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++,又2x =-和1x =为()f x 的极值点,所以(2)(1)0f f ''-==,因此620,3320,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解该方程组得13a =-,1b =-.（Ⅱ）因为13a =-,1b =-,所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-,令()0f x '=,解得12x =-,20x =,31x =． 因为当(,2)x ∈-∞-(0,1)U 时,()0f x '<; 当(2,0)(1,)x ∈-+∞U 时,()0f x '>．所以()f x 在(2,0)-和(1,)+∞上是单调递增的;在(,2)-∞-和(0,1)上是单调递减的.（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--, 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-. 令()0h x '=,得1x =,因为(,1)x ∈-∞时,()0h x '<,所以()h x 在(,1)x ∈-∞上单调递减.故(,1)x ∈-∞时，()(1)0h x h >=; 因为(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增. 故(1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h >=.所以对任意(,1)(1,)x ∈-∞+∞U ,恒有()0h x >,又0x ≠时,20x >, 因此0x ≠且1x ≠时()()0f x g x ->,1x =或0x =时()()0f x g x -=, 所以, (1)0x ≠且1x ≠时()()f x g x >(2) 1x =或0x =时,()()f x g x =【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命题人给的原解)这种解法不太严谨,但也被大部分人所接受（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--, 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-,则1()e 1x h x -'=-. 令()0h x '=,得1x =,因为(,1]x ∈-∞时,()0h x '≤,所以()h x 在(,1]x ∈-∞上单调递减.故(,1]x ∈-∞时,()(1)0h x h ≥=; 因为[1,)x ∈+∞时,()0h x '≥,所以()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递增. 故[1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h ≥=.所以对任意(,)x ∈-∞+∞,恒有()0h x ≥,又20x ≥,因此()()0f x g x -≥, 故对任意(,)x ∈-∞+∞,恒有()()f x g x ≥.。