2015高三月考理科数学
湖南省长郡中学2015届高三月考(一)(数学理)
湖南省长郡中学2015届高三月考试卷(一)数 学(理科)总分:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.如果复数212bii-+(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b = ( ) A. 2 B. 23 C. 23- D. 2【解】选 C.直接法 由222(4)125bi b b i i ---+=+,依题有2240b b ---=,即23b =-. 2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m 被抽到的概率为( )A.1100 B.120 C.199D.150 【解】选B.直接法 由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为5110020P ==. 3.设偶函数满足()24(0)x f x x =-≥,则{|()0}x f x >=( ) A. {|24}x x x <->或 B. {|04}x x x <>或 C. {|22}x x x <->或D. {|06}x x x <>或【解】选C.直接法 当0x ≥时,由()240x f x =->,得2x >,由图象对称性可知选C. 4.若21()n x x-展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( ) A. 84-B. 84C. 36-D. 36【解】选B.直接法 由二项式系数之和为2512n =,即9n =,又18319(1),r r r r T C x -+=- 令1830r -=,则6r =故常数项为784T =.5.设条件:|2|3p x -<,条件:0q x a <<,其中a 为正常数.若p 是q 的必要不充分条件,则a 的取值范围是( ) A. (0,5]B. (0,5)C.[5,+∞)D. (5,+∞) 【解】选A.直接法 由条件p 对应的集合为(1,5)A =-,条件q 对应(0,)(0)B a a =>.且依题意A B =≠=⊃, 可知5a ≤,又0a >,故05a <≤.6.按照如图所示的程序运行,已知输入的x 的值为21log 3+,输出y 否 是x ≥4? 12()x y =x =x +1结束开始 输入x则输出y 的值为( )A. 112 B.38 C. 712D. 1124【解】选 A.直接法 由于输入的初始值为21log 34+<,故 221log 312log 3x =++=+,即2log 3211111()()224312y =⨯=⨯=.故选A.7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( )A. 23B.433 C. 3 D. 233【解】选B.逆推法 由该几何体的 三视图可以借用长方体将其还原 为直观图如右所示,(由简到繁)由俯视图→侧视图→正视图→直观图, 其为四棱锥P ABCD -,所以143333P ABCD ABCD V S -=⨯=矩,选B.8.设2(),0,()1,0x a x f x x a x x -≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩,若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为( ) A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]【解】选 D.直接法 当0a <时,显然(0)f 不是()f x 的最小值,当0a ≥时,可知0x ≤时, 2()(0)f x f a ≥=,而当0x >时,1()2f x x a a x=++≥+,依题意22a a +≥,得12a -≤≤, 所以02a ≤≤即求.9.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221sin cos 2A A -=,则下列各式正确的是( )A. 2b c a +=B. 2b c a +<C. 2b c a +≤D. 2b c a +≥【解】选 C.直接法 由221sin cos 2A A -=得,1cos22A =-,又A 为锐角,故02A π<<, 于是223A π=,即3A π=.于是由余弦定理有2222()3a b c bc b c bc =+-=+-, 即22223()()()44b c a b c b c +≥+-+=,解得2a b c ≥+,选C.【一点开心】事实上在ABC ∆中,如果三边,,a b c 成等差或等比数列,即22b a c b ac =+=或,正视图1 12222 侧视图俯视图那么我们都可以结合重要不等式知识得到60B ≤.本题考查的是其逆向问题.10.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线 OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图象大致为( )【解】选C.等面积法 由OP HM PM OM ⋅=⋅,于是HM PM OM =⋅,由三角函数线有,1|s i n ||c o s||s i n 2|2H M x x x =⋅=,于是1()|sin2|2f x x =的最大值为1,22T π=,故选C.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.已知直线的极坐标方程为2sin()42πρθ+=,则极点到直线的距离为 . 【解】填22.直接法 由2sin()42πρθ+=化为直角坐标方程为1x y +=,于是极点 (0,0)O 到该直线的距离为|1|222d ==,即求. 12.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值是 .【解】填 3 .综合法 由230x y z -+=可化为23y x z =+,得224(3)43y x z x z =+≥⋅,其中运用了重要不等式的变形式2()4,,a b ab a b R +≥∈,故23y xz≥(当3x z =时取等号). 13.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*111,3,n n a a S n N +==∈,则2014a = . 【解】填201234⨯.注意:若填为201234⋅形式则视为错误,得分为0.直接法 由*111,3,n n a a S n N +==∈……①,可推出,21133,3,2n n a a a S n -===≥……② ①-②式得,14,2n n a a n +=≥,于是224n n a a -=⨯,2n ≥,故2012201434a =⨯. 【反思总结】你这次做到(到位)注意定义域了吗?14.若,x y 满足约束条件10,22,2x y y x y +-≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩,且z kx y =+取得最小值的点有无数个,则k = .【解】填 1或-2 .综合-分析法 首先作出可行域如右图: 又目标函数:()l y k x z =-+,依题意0k -≠,所以①当0k ->,即0k <时,依题意有目标直线//l BC 时,当其运动至与BC 重合时,最优解有无数个,符合题意,即2k -=,即2k =-;AP M HO x x O A 1 π y x O B 1 π y x OC 1 π y x O D1π y CAB1 O y =1-xxy y =2x -22②同理当0k -<,即0k >时,必有//l AB ,即1k -=-,即1k =, 综上①②可知,1k =或 2-为所求.15.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为63,过椭圆上一点M 作直线MA MB 、分别交椭圆于A B 、两点,且斜率为12k k 、,若点A B 、 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 .【解】填13-.综合法 由222619b e a =-=,得2213b a =,如右图所示, 取BM 中点D ,连结OD ,则由代点求差公式几何意义知,2213O D B Mb k ka ⋅=-=-,又//OD AM ,故1OD k k =,即1213k k ⋅=- 【一点开心】显然,本题有一般性结论,即过椭圆2222:1()x ya b a bΓ+=≠的中心的任一条直线l 交椭圆Γ于A B 、两点,P 是椭圆Γ上异于A B 、的任意一点,且当PA PB k k 、都存在时,则有22PA PB b k k a⋅=-.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)2014年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为12,恰是通晓俄语的人的概率为310,且通晓法语的人数不超过3人. (Ⅰ)求这组志愿者的人数; (Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率; (Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数X 的分布列. 【解】(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有,,x y z 人,且*,,,3x y z N z ∈≤;则依题意有1,23,10x x y z y x y z ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩,即,733,x y z y x z =+⎧⎨=+⎩…………………………………………2分消去x 得,*32zy N =∈,当且仅当2z =时,3y =符合正整数条件, 所以5x =,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分 (Ⅱ)记事件A 为“甲、乙不全被选中”,则A 的对立事件A 表示“甲、乙全被选中”, 于是1155()1()15326P A P A ⨯⨯=-=-=⨯⨯;…………………………………………………7分(Ⅲ)随机变量X 的可能取值为1,2,3,且由古典概型知33212121535537283310101179(1),(2)120120C C C C C C C C P X P X C C +++====== AMBDOy x11153231030(3)120C C C P X C ===.………………………………………………………………11分 所以随机变量X 的分布列如下: . ……………………………………………………………12分17.(本小题满分12分) 如图,点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点,点13(,)22B -. (Ⅰ)若AOB α∠=,求sin 2α;(Ⅱ)设点P 为单位圆上的动点,点Q 满足,OQ OA OP =+2(),62AOP ππθθ∠=≤≤()f OB OQ θ=⋅,求()f θ的取值范围.【解】(Ⅰ)由三角函数定义可知31sin ,cos 22y x r r αα====-, 所以313sin 22sin cos 2()222ααα==⨯⨯-=-,即求…………………………………5分 (Ⅱ)由三角函数定义知(cos2,sin 2)P θθ,所以(1cos2,sin2),OQ OA OP θθ=+=+所以131()(1cos 2)sin 2sin(2)2262f OB OQ πθθθθ=⋅=-++=--, 又因62ππθ≤≤,故52666πππθ≤-≤,即1sin(2)126πθ≤-≤,于是10()2f θ≤≤,所以()f θ的取值范围是1[0,]2.……………………………………12分18.(本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中,5,4,3,AB AC BC ===14AA =,点D 在AB 上.(Ⅰ)若D 是AB 中点,求证:1//AC 平面1B CD ; (Ⅱ)当13BD AB =时,求二面角1B CD B --的余弦值. 【解】(Ⅰ)连接1BC 交1B C 于点E ,连接DE , 因为直三棱柱中侧面11BCC B 为矩形,所以 E 为1BC 的中点,又D 是AB 中点,于是1//DE AC ,且D E ⊂面1B CD ,1AC ⊄面1B CD ,X 12 3 P11120 79120 14 A O PQBxyACDBC 1A 1B 1AC DBC 1 A 1B 1 E所以1//AC 平面1B CD ;…………………………6分 (Ⅱ)由5,4,3,AB AC BC ===知90ACB ∠=,即AC CB ⊥, 又直三棱柱中1AA ⊥面ABC ,于是以C 为原点建立空间 直角坐标系C xyz -如右图所示,于是1(3,0,0),(3,0,4)B B , 又13BD AB =,由平面几何易知4(2,,0)3D ,显然平面BCD 的一个法向量为1(0,0,1)=n , 又设平面1B CD 的一个法向量为2(,,)x y z =n ,则由212(3,0,4),4(2,,0),3CB CD ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩n n ,得340,4203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩, 解得4,23x y =-=,取1z =,则24(,2,1)3=-n ,设二面角1B CD B --的平面角为θ, 则1212||3361|cos |||||6161θ⋅===⨯n n n n ,又由图知θ为锐角, 所以其余弦值为36161.…………………………………………………………………12分19.(本小题满分13分)在数列{}n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈. (Ⅰ)求证:{}n a n -是等比数列; (Ⅱ)令,2nn n na b S =为数列{}n b 的前n 项和,求n S 的表达式. 【解】(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈ 可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n a n --=-⨯=-,所以2n n a n =-,12n nnb =- 所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n nS b b b n =+++=-+-++-=+++- yxz A CDBC 1 A 1B 1令212222n n n T =+++,则2311122222n n n T +=+++, 两式相减得2311111111122222222n n n n n n nT ++=+++-=--, 所以222n n n T +=-,即222n n n S n +=--…………………………………………………13分20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距离为3.(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M N 、.当||||AM AN =时,求m 的取值范围.【解】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,右焦点22(,0),1F c c a =-,由题设|22|32c +=,得2c =,故2213a c =+=;故椭圆的方程为2213x y +=………5分(Ⅱ)如右图所示,设1122(,),(,)M x y N x y ,MN 的中点为00(,)P x y , 则由||||AM AN =可知AP MN ⊥,即0121212011(2)()0,0y k k y y x x x x x +⋅=-⇔++++=+≠, 可化为212(1)()2(1)0k x x k m ++++=,且120x x +≠……① …………………………8分 又由22,33,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(31)63(1)0k x kmx m +++-= 则22223612(31)(1)0k m k m ∆=-+->得2231m k <+……② 且1226031kmx x k +=-≠+,得0m ≠……③………………………………………………10分③式代入①式得,226(1)2(1)031kmk k m k -+++=+, 化简得2231m k =+1>,得12m >,又代入②式得,22m m <,解得02m <<,综上可得122m <<,即为所求...…………………………………………………………13分21.(本小题满分13分)已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45,对于任意的[1,2]t ∈,函数几何条件转化,化归为韦达定理形式!常规运算,注意判别式大于0是韦达定理存在的前提!Ax NMyPO32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总不是单调函数,求m 的取值范围; (Ⅲ)求证:*ln2ln3ln4ln 1(2,)234n n N n n⨯⨯⨯⨯<≥∈.【解】(Ⅰ)由(1)()(0)a x f x x x-'=>,.………………………………………………………1分①当0a >时,显然01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<,所以此时()f x 的单调递增区间为(0,1),递减区间为(1,)+∞,②同理当0a <时, ()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,递减区间为(0,1),③当0a =时,()3f x =-不是单调函数;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由题知,(2)12af '=-=,得2a =-,所以()2ln 23f x x x =-+-. 所以32()(2)2,02mg x x x x x =++->,且2()3(4)2,0g x x m x x '=++->,……………6分令()0g x '=时,可知2(4)240m ∆=++>恒成立,即()0g x '=一定有两个不等实根12,x x , 且注意到12203x x =-<,所以不妨设120x x <<,又0x >,于是可知 20x x <<时,()0g x '<,又2x x >时,()0g x '>即()g x 在2(0,)x 上递减,在2(,)x +∞上递增,依题意可知2(,3)x t ∈,于是只须2()03(4)20(3)03370g t t m t g m '<++-<⎧⎧⇔⎨⎨'>+>⎩⎩,…………………………………………7分 又以上事实对[1,2]t ∈恒成立.故(1)50(2)21803370g m g m m '=+<⎧⎪'=+<⎨⎪+>⎩,得3793m -<<-;……………9分(Ⅲ)分析:要证*ln2ln3ln4ln 1(2,)234n n N n n⨯⨯⨯⨯<≥∈成立, 即证ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥,也即证,ln 1,n n n <-≥2成立,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明. 证明过程: 由(Ⅰ)知当1a =-时,()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上递增,所以()ln 3(1)2ln 1,1f x x x f x x x =-+->=-⇔<->………………………………11分 也所以在上式中分别令2,3,4,,x n =得, ln 21,ln32,ln 43,,ln 1,2n n n <<<<-≥, 以上同向正数．．不等式相乘得ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥两边同除以!n 得,*ln2ln3ln4ln 1(2,)234n n N n n⋅⋅⨯⨯<≥∈,即证.…………………13分。
河北省邢台二中2015高三上第三次月考数学(理)试卷
河北省邢台二中2015高三上第三次月考数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数121,2z z i ==，则12z z ⋅等于（ ）A ．8B ．4i -C ．4iD ．4i2、已知集合2{|2,0},{|lg(2)}xM y y x N x y x x ==>==-，则M N 等于（ ）A ．()1,2B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 3、213e dx x⎰等于（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．3e4、已知向量(1,2),(4,)a x b x ==-，则 “x =a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、在递增的等比数列{}n a 中，12234,64n n a a a a -+==，且前n 项和42n S =，则项数n 等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．36、已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（ ）A ．2 C ．4 D ．327、具有性质：()1()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，则下列函数：①1y x x =-；②1y x x =+；③ln y x =；④(01)0(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中所有满足“到负”交换的函数是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③④8、已知非零向量,OA a OB b ==，且,BC OA C ⊥为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则λ等于（ ）A ．2a b a⋅ B ．a b a b⋅ C ．2a b b⋅ D ．a b a b⋅⋅9、已知0,0m n >>，且52,,32m n 成等差数列，则2332m n m n +++的最小值为（ ）A ．52B ．5C ．152D ．1510、已知函数()11sin())()222f x x x πθθθ=++<的图象关于y 中对称，则()y f x =在下列哪个区间上是减函数（ ） A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．(,)24ππ--D ．3(,2)2ππ 11、如果变量,x y 满足约束条件172x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤-⎩，则22221y x x --+的取值范围是（ ）A ．18[,]33 B ．18,,33⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．48,,33⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．48[,]33 12、已知函数()sin ,[,]22f x x x x ππ=∈-，若12()()f x f x >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．120x x +>B ．2212x x >C ．12x x >D ．2212x x <第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2015届高三第一次月考数学卷(理)
2015届高三第一次月考数学卷（理）2015届高三第一次月考数学卷（理）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.)1.设全集为，集合，则=().A.B.C.D.2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A.B.C.D.3.已知函数是奇函数，当时，,且，则的值为()A.B.3C.9D.4.已知命题：关于的函数在[1，+)上是增函数，命题：关于的函数在R上为减函数，若且为真命题，则的取值范围是()A.B.C.D.5.若存在正数x使2x(x-m)1成立，则m的取值范围是()A.(-，+)B.(-2，+)C.(0，+)D.(-1，+)6.为了得到函数的图象，可以把函数的图象()A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度7.今有一组实验数据如下表所示：：1.993.04.05.16.121.54.047.51632.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是()A.B.C.D.8.函数有极值的充要条件是()A.B.C.D.9.当时，函数的图象大致是()10.定义在R上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为()A.(1，2)B.(0，1)C.D.(-1，1)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷中相应的横线上.)11.函数的增区间是____________.12.已知命题p：||命题。
若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围为________13.函数的零点个数为________14.已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________.15.给出下列四个命题①命题的否定是;②函数在上单调递减;③设是上的任意函数，则||是奇函数，+是偶函数;④定义在上的函数对于任意的都有,则为周期函数;⑤命题p:，;命题q：，。
则命题是真命题;其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上)。
岳阳县一中2015届高三第三次月考理科数学试题及答案
岳阳县一中2015届高三年级第三次月考试卷理科数学时量:120分钟 总分:150分一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.设复数11i z =+,22i ()z x x R =+∈,若12R z z ⋅∈,则x = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．22.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A. 3y x =B. ln()y x =-C. e x y x -=D.2y x x=+3.在ABC ∆中,15,10,60a b A ===︒,则cos B 等于( )A.C.4.已知n {a }为等差数列,其前n 项和为S n ,若9S =12,则下列各式一定为定值的是( ) A.38a a + B.10a C.357a a a ++ D. 27a a +5.已知()3sin f x x x π=-,命题:0,,()02p x f x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭,则( )A.p 是假命题;:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥ B.p 是假命题;00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥C.p 是真命题; :(0,),()02p x f x π⌝∀∈> D.p 是真命题;00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥6.设等比数列n {a }的前n 项和为n S ,若633,S S =则96SS =( ) A. 2 B.73 C. 83D.3 7.函数44sin cos y x x =+是( ) A.最小正周期为2π,值域为的函数 B.最小正周期为4π,值域为的函数 C.最小正周期为2π,值域为1[,1]2的函数 D.最小正周期为π,值域为1[,1]的函数8.如图,面积为8的平行四边形OABC 中,AC CO ⊥,AC 与BO E ,某指数函数()0,1x y a a a =>≠且,经过点,E B ,则a ＝( )C.2D.39.已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy 的最小值是( )A. 1B.1eC. eD. 2 10.已知函数e e ()1x x mf x +=+,若对于任意,,a b c ∈R ,都有()()()f a f b f c +>成立,则实数m 的取值范围是( )A. 1[,2]2B. [0,1]C. [1,2]D. 1[,1]2二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上. 11.已知集合{}{}()R|,|12,R A x x a B x x A B =<=<<=且ð,则实数a 的取值范围是 .12.数列{}n a 中,11+21,,N 2nn n a a a n a +==∈+,则5a = . 13.已知1tan(),(0,)43πααπ+=∈,则sin α= .14.平面向量,,a b e 满足||1=e ,1,2,2⋅=⋅=-=a e b e a b ,则向量-a b 与e 的夹角为 15.(2014·天津一模三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分）在正项等比数列{}n a 中, 公比(0,1)q ∈,且满足32a =,132435225a a a a a a ++=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设2log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,当1212n S S S n++⋅⋅⋅+取最大值时,求n 的值.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 已知3a =,cos A =2B A π=+. (Ⅰ)求b 的值; (Ⅱ)求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)设约束条件021(01)y y xy x t x t t ≥⎧⎪≤⎪⎨≤-⎪≤≤+<<⎪⎩所确定的平面区域为D .(Ⅰ)记平面区域D 的面积为S ＝f (t ),试求f (t )的表达式．(Ⅱ)设向量(1,1),(2,1)=-=-a b ,(),Q x y 在平面区域D (含边界)上,,OQ m n =+a b (,m)n R ∈,当面积S 取到最大值时,用,x y 表示3m n +,并求3m n +的最大值.19.(本小题满分13分)已知()()f x g x +(Ⅰ)求()f x 的最小值和()g x 的最大值;(Ⅱ)若1a b c x ===+,问是否存在满足下列条件的正数t ,使得对于任意的正数,,,x a b c 都可以成为某个三角形三边的长？若存在,则求出t 的取值范围;若不存在,请说明理由.若数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意正整数n 都有612n n S a =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令()11112241(1)log log n n n n n b a a -++=-⋅⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .21.(本小题满分13分)已知函数2()ln()g x x x a =++,其中a 为常数. (Ⅰ)讨论函数()g x 的单调性; (Ⅱ)若()g x 存在两个极值点12,x x ,求证:对a R ∀∈,都有1212()()()22g x g x x xg ++>成立.参考答案一、选择题 B D D C D ; C C A C A 二、填空题11.2a ≥.12.13.13..14.23π.15.(1,)+∞.三、解答题16.【解】(Ⅰ)由{}n a 等比,所以132435225a a a a a a ++=可化为2222244242()25a a a a a a ++=+=,且0n a >所以245a a +=,又因32a =, 所以225,q q +=且01,q <<解得12q =,也所以18a = 故1411()22n n n a a --=⋅=.……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由2log 4,n n b a n ==-故(7),2n n n S -=也所以7,2n S nn -= 所以2127113(12)12224n S S S n nn n n -+++⋅⋅⋅+=⨯-+++=,由136.5,2n ==对且n N +∈,所以当67n =或时,1212n S S S n++⋅⋅⋅+有最大值,故67n =或即求. (12)分 17.【解】(Ⅰ)因0A π<<,故sin A ==. (2)分 因2B A π=+,故sin sin cos 2B A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭分由正弦定理sin sin a bA B=,得3sin sin aB b A ===分 (Ⅱ)由cos cos sin 23B A A π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.……………………………………………8分 故()()sin sin sin C A B A B π=⎡-+⎤=+⎣⎦ sin cos cos sin A B A B =+13⎛= ⎝⎭.………………………………… ……………10分则111sin 3223ABC S ab C ∆==⨯⨯=.……………………… …………………12分 18.【解】(Ⅰ)由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP , 如图所示,其面积S ＝f (t )＝S △OPD －S △AOB －S △ECD , 而S △OPD ＝12×1×2＝1.S △OAB ＝12t 2,S △ECD ＝12(1－t )2, 所以S ＝f (t )＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.……6分 (Ⅱ)由OQ m n =+a b ,得223x m nx y m n y m n=+⎧⇒+=+⎨=--⎩ 又S ＝f (t )＝－t 2＋t ＋12,01t <<则当12t =时面积S 取到最大值. 点E 坐标为31(,)22,所以直线2z x y =+经过可行域中点31(,)22E 时z 有最大值.3m n +的最大值为max 3172222z =⨯+=.…………………………… …………………12分19.【解】(Ⅰ)注意到21()()(1)1f x g x x x =-++=……………………………2分2,≥且12x x +≥,都是在1x =时取到“=”号;22+≥=即1x =时,即min ()2f x =分又1()2()g x f x =≤故1x =时,max ()2g x =分 (Ⅱ)显然1a x c =+=,所以若能构成三角形,只需1(1)x x ++>即t t ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩x R +∈恒成立.…………………………………………10分 即max min [()][()]t g x t f x >⎧⎨<⎩,由(Ⅰ)知22t <<所以存在(2t ∈满足题设条件. ……………………………………………13分 20.【解】(Ⅰ) 由612n n S a =-……①可知,1)当1n =时有,11612S a =-,得11612a a =-,解得118a = 2)当2n ≥时,由①式可推出11612n n S a --=- ……②①－②得11,24n n a a n -=≥,且1108a => 所以数列{}n a 是首项118a =,公比14q =的等比数列故11211111()()842n n n n a a q --+==⨯=,………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知2111221log log ()212n n a n +==+,所以11111224(1)4(1)(1)(1)log log (21)(23)n n n n n n n b a a n n --+++=-⋅=-⋅⋅+⋅+所以111(1)()2123n n b n n -=-⋅+++ ①当n 为偶数时,11111111()()()()355721212123n T n n n n =+-++++-+-+++ 11323n =-+ ②当n 为奇数时,11111111()()()()355721212123n T n n n n =+-++-+++-+++ 11323n =++所以11,21,32311,2,323n n k k N n T n k k N n ++⎧+=-∈⎪⎪+=⎨⎪-=∈⎪+⎩…………………………………………………13分 21.【解】(Ⅰ)函数的定义域为(,)a -+∞,且21221()2x ax g x x x a x a++'=+=++, 记2()221h x x ax =++,判别式248a ∆=-①当2480,a ∆=-≤即a,()0h x ≥恒成立,()0g x '≥ 所以()g x 在区间(),a -+∞上单调递增②当a a <>时,0∆>,所以22210x ax ++=有两个不同的实数根12,x x记12x x =,显然12x x <(i)若 a <,2()221h x x ax =++图象的对称轴02ax =->, 注意到()(0)10h a h -==>,所以两根12,x x 在区间(0,)a -上, 所以当x a >-时,()()0h x h a >->,即()0g x '>, 所以()g x 在区间(,)a -+∞上单调递增.(ii)若 a 则2()221h x x ax =++图象的对称轴02ax =-<,注意到()(0)10h a h -==>,所以120a x x -<<<, 则当12x x x <<时,()0h x <,即()0g x '<,函数()g x 递减当12a x x x x -<<>或时,()0h x >,即()0g x '>,函数()g x 递增;综上①②可知,当a ≤()g x 在区间(,)a -+∞上单调递增当a >()g x 在上单调递减,在()a -+∞上单调递增.……………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知当a ≤,()g x 没有极值点,当a >,()g x 有两个极值点12,x x ,且12121,2x x a x x +=-⋅=.22121122()()ln()ln()g x g x x x a x x a +=+++++ ()2212121212()2ln x x x x x x a x x a +-⋅+⎡+++⎤⎣⎦=21ln 2a =--所以212()()1ln 2,22g x g x a +--= 又212()()ln 2242x x a a ag g +=-=+ 故2221212()()1ln 21ln 2()(ln )ln 22242422g x g x x x a a a a g a ++---=-+=--+记21ln 2()ln 422a a a ϕ=--+,其中a >则212()022a a a a aϕ-'=-=>,所以()h a 在a , 21ln 20422ϕ=-+=,即()0a ϕ>,所以1212()()()22g x g x x x g ++>………13分。
湖南省长郡中学2015届高三月考(一)数学(理)试题(纯word版)
长郡中学2015届高三月考试卷(一)数学(理科)总分:150分时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么= ( )A.B.C.D. 2【解】选C.直接法由,依题有,即.2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体被抽到的概率为( )A.B.C.由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为3.设偶函数满足,则( )A.B.C.D.【解】选C.直接法当时,由,得,由图象对称性可知选C.4.若展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( ) A.B. 84C.由二项式系数之和为,即,又令,则故常数项为.5.设条件,条件,其中为正常数.若是的必要不充分条件,则的取值范围是( )A.B.C.D.输出y 否是x4? x=x+1结束开始输入x 【解】选A.直接法由条件对应的集合为,条件对应.且依题意,可知,又,故.6.按照如图所示的程序运行,已知输入的的值为,则输出的值为( )A.B.C.D.【解】选A.直接法由于输入的初始值为,故,即.故选A.7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,正视图112222侧视图俯视图则该几何体的体积为( )A.B.C.由该几何体的三视图可以借用长方体将其还原为直观图如右所示,(由简到繁)由俯视图侧视图正视图直观图,其为四棱锥,所以,选B.8.设,若是的最小值,则的取值范围为( )A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]【解】选D.直接法当时,显然不是的最小值,当时,可知时,,而当时,,依题意,得,所以即求.9.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是( )A.B.C.由,又为锐角,故,于是,即.于是由余弦定理有,即,解得,选C.【一点开心】事实上在中,如果三边成等差或等比数列,即,那么我们都可以结合重要不等式知识得到.本题考查的是其逆向问题.APMHOx10.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则在上的图象大致为( ) xOA1yxOB1yxOC1yxOD1y2B2ACDP11【解】选C.等面积法由,于是,由三角函数线有,,于是的最大值为,故选C.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离为 .由,于是极点到该直线的距离为,即求.12.设均为正数,满足,则由可化为,得,其中运用了重要不等式的变形式,故(当时取等号).13.数列的前项和为,若,则.,得分为0.由……①,……②①-②式得,,于是,,故.【反思总结】你这次做到(到位)注意定义域了吗?14.若满足约束条件,且取得最小值的点有无数个,则.CAB1Oy=1-xxyy=2x-22【解】填 1或-2 .综合-分析法首先作出可行域如右图:又目标函数,依题意,所以①当,即时,依题意有目标直线时,当其运动至与重合时,最优解有无数个,符合题意,即,即;②同理当,即时,必有,即,即,综上①②可知,或为所求.15.已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点,且斜率为,若点关于原点对称,则的值为 .AM BDOyx由,得,如右图所示,取中点,,又,故,即【一点开心】显然,本题有一般性结论,即过椭圆的中心的任一条直线交椭圆于两点,是椭圆上异于的任意一点,且当都存在时,则有.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)2014年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为,恰是通晓俄语的人的概率为,且通晓法语的人数不超过3人.(Ⅰ)求这组志愿者的人数;(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数的分布列.【解】(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有人,且;则依题意有,即…………………………………………2分消去得,,当且仅当时,符合正整数条件,所以,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分(Ⅱ)记事件为“甲、乙不全被选中”,则的对立事件表示“甲、乙全被选中”,于是;…………………………………………………7分(Ⅲ)随机变量的可能取值为1,2,3,且由古典概型知.………………………………………………………………11分所以随机变量.分AOPQBxy 17.(本小题满分12分)如图,点是单位圆与轴的正半轴的交点,点.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)设点为单位圆上的动点,点满足,求的取值范围.【解】(Ⅰ)由三角函数定义可知,所以,即求…………………………………5分(Ⅱ)由三角函数定义知,所以所以,又因,故,即,于是,所以的取值范围是.……………………………………12分18.(本小题满分12分)ACD BC1A1B1直三棱柱中,,点在上.(Ⅰ)若是中点,求证:平面;(Ⅱ)当时,求二面角的余弦值.【解】(Ⅰ)连接交于点,连接,ACD BC1A1B1E因为直三棱柱中侧面为矩形,所以为的中点,又是中点,于是,且所以平面;…………………………6分(Ⅱ)由知,即,又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间直角坐标系如右图所示,于是,yxzACD BC1A1B1又,由平面几何易知,显然平面的一个法向量为,又设平面的一个法向量为,则由,得,解得,取,则,设二面角的平面角为,.…………………………………………………………………12分19.(本小题满分13分)在数列中,已知.(Ⅰ)求证:是等比数列;(Ⅱ)令为数列的前项和,求的表达式.【解】(Ⅰ)证明:由可得所以数列以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:,所以,所以令,则,两式相减得,所以,即…………………………………………………13分20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆与直线相交于不同的两点.当时,求的取值范围.【解】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为,右焦点,由题设,得,故;故椭圆的方程为………5分(Ⅱ)如右图所示,设,的中点为,则由可知,几何条件转化,化归为韦达定理形式!即,可化为,且……① …………………………8分又由得常规运算,注意判别式大于0是韦达定理存在的前提!则得……②且,得……③………………………………………………10分AxNMyPO③式代入①式得,,化简得,得,又代入②式得,,解得,综上可得,即为所求...…………………………………………………………13分21.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【解】(Ⅰ)由,.………………………………………………………1分①当时,显然时,,当时,,所以此时的单调递增区间为,递减区间为,②同理当时,的单调递增区间为,递减区间为,③当时,不是单调函数;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由题知,,得,所以.所以,且,……………6分令时,可知恒成立,即一定有两个不等实根,且注意到,所以不妨设,又,于是可知时,,又时,即在上递减,在上递增,依题意可知,于是只须,…………………………………………7分又以上事实对恒成立.故,得;……………9分(Ⅲ)分析:要证成立,即证,也即证,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明.由(Ⅰ)知当在上递增,所以………………………………11分也所以在上式中分别令得,,以上同向正数不等式相乘得两边同除以得,,即证.…………………13分。
高三数学上学期第三次月考试题理
拉萨市第三高级中学2015年10月高三第三次月考理科数学试卷时间：120分钟 总分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效． 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B = （ ）（A ） [1,0]- （B ） ]2,1[ （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞+∞ 2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ） （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+3. 已知a =1,b =2，且a )(b a -⊥，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）（A ）6π （B ）4π （C ） 3π （D ）23π 4. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ） （A ）12（B ）1 （C ）3 （D ）2 5. 已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数 2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是（ ）（A ）25 （B ）35 （C ）12 （D ）3106. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤ 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） （A ）323 （B ）64 （C ）33（D ） 643 8. 已知直线2(1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅，则实数=m （ ）（A 2（B 22（C ）21 （D ）09. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：① 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）（A ）2()f x x = （B ）()21xf x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+10. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则当xy 取得最大值时，点P 的坐标是（ ）（A ）(4,2) （B ）(2,2) （C ）(2,6) （D ）5(,5)211. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数(0)y x x =≥的图象交于点P . 若函数y x在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）（A 51+ （B ）52+ （C 31+ （D ）3212. 若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是（ ）（A ）14 （B ）1 （C ）2 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 函数13sin cos 22y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________．14. 612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，则不等式(2)0f x -≥的解集是 ．16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 ． 三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (Ⅱ) 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<. 18. （本小题满分12分）已知△ABC 的角A ，B ，C 的所对的边分别为a,b,c 且acosC+c 21=b ( I )求角A 的大小；(II)a=22,△ABC 的面积为32，求b,c,的长。
河南省陕州中学2015届高三第五次月考数学(理)试题
河南省陕州中学2015届高三第五次月考数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求） 1.已知全集为R ，集合{|1}x A x e =≥，2{|430}B x x x =-+≤，则R A C B I A ．{|0}x x ≤ B ．{|13}x x ≤≤ C ．{|013}x x x ≤<>或 D ．{|013}x x x <≤≥或2.已知复数∈+=a ai z (21R )，i z 212-=，若21z z 为纯虚数，则1||z A ．2B ．3C ．2D ．53.如图给出的是计算11112462014L ++++的值的程序框图，其中 判断框内应填入的是A ．2013≤iB ．2015≤iC ．2017≤iD ．2019≤i4.已知x 、y 的取值如表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋132，则b ^A ．－12 B.12 C ．－110 D.1105.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c，其中a b B ===，则角A 的取值一定属于范围 A ．(,)42ππ B ．3(,)24ππ C ．3(0,)(,)44πππ⋃ D ．3(,)(,)4224ππππ⋃ 6已知直线:320l ax y --=与曲线3y x =在点(1,1)P 处的切线垂直,则(1,1)P 到直线l 的距离为7.已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==-N n b ba a nn n n ,211, 则数列{}n a b 的前10项的和为A.)14(349-B.)14(3410-C.)14(319-D.)14(3110- 8.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A.14B. 15C. 16D. 179.过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为A.221412x y -= B.22179x y -= C.22188x y -= D.221124x y -= 10.关于函数)42sin()(π-=x x f ，有下列命题① 其表达式可写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos )(πx x f ； ② 直线)(8x f x 是π-=图象的一条对称轴；③ )(x f 的图象可由x x g 2sin )(=的图象向右平移4π个单位得到；④ 存在),0(πα∈，使)3()(αα+=+x f x f 恒成立. 其中，真命题的序号是 （ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④11. 已知过抛物线C ：22x py = (0)p >的焦点F 的直线m 交抛物线于点M 、N, 23MF NF ==,则抛物线C 的方程为 （ ）A ．28x y =B ．22x y =C ．24x y =D ．2x =12.已知函数f （x ）满足[]11()2(),1,3()=ln ,,33f x f x f x x x x ⎡⎤=∈∈⎢⎥⎣⎦当时，若在区间内，函数()()g x f x ax =-的图象与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是A ．1(0,)2e B ． ln 31[,)3e C ．ln 31[,)32e D ．1(0,)e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 13.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a ＝ ； 14.在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩()()290,0N ξσσ>，统计结果显示()601200.8P ξ≤≤= ，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人.15.已知函数()2f x x =+sinx ，若对任意的R y x ∈,，不等式0)8()216(22<-+++y y f x x f 恒成立，则22x y +的取值范围是 ；16. 定义函数I x x f y ∈=),(，若存在常数M ，对于任意I x ∈1，存在唯一的I x ∈2，使得M x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 在I 上的“均值”为M ，已知22()log f x x =x +,[1,4]x ∈，则函数22()log f x x =x +,[1,4]x ∈上的“均值”为________．三．解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在π=x 处取最小值. （Ⅰ）求ϕ的值;（Ⅱ）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C. 18．（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T ，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T ∈[0，2）畅通；T ∈[2，4）基本畅通；T ∈[4，6）轻度拥堵；T ∈[6，8）中度拥堵；T ∈[8，10]严重拥堵.早高峰时段（T ≥3），从某市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示： （Ⅰ）据此直方图估算交通指数T ∈[4，8）时的中位数和平均数 个路段至少有两（Ⅱ）据此直方图求出某市早高峰二环以内的3个严重拥堵的概率是多少？（Ⅲ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟；中度拥堵为45分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望． 19．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足：*121113,,2(2,)44n n n a a a a a n n N +-===+≥∈，数列{}n b 满足：10b <，*13(2,)n n b b n n n N --=≥∈，数列{}n b 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求证：数列}{n n a b -为等比数列； （Ⅱ）求证：数列}{n b 为递增数列；（Ⅰ） 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 方程为：22221x y m n+=（0m n >>），椭圆2C 方程为：22223x y m n +=，若直线y kx b =+与两椭圆2C 、C 交于四点(依次为P 、Q 、R 、S )，且2P S RS Q S +=u u r u u u r u u u r ，原点到点(,)E k b 的距离为32，求直线PS的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()x f x e kx =-，其中k R ∈ （Ⅰ）若k e =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）求证：当ln 21k >-且0x >时，()231f x x kx >-+。
2015届第一次月考数学理科卷及答案
大方一中2015届高三第一次月考数学理科卷内容：选修2-3分布列以后 选修4—4命题：李 顺 审题：饶贵华参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量。
参考数据：ABADA DACCD CD一、选择题(每小题5，共60分)1.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.842.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（ B ）A 32B 16C 8D 20 3.实验测得四组(x,y)的值是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则y 与x 之间的回归直线的方程是( A )A.y ∧=x ＋1 B. y ∧=x+2 C. y ∧=2x+1 D. y ∧=x-14.设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么（D ） A n=3 B n=4 C n=9 D n=105.设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有（A ） A b 与r 的符号相同 B a 与r 的符号相同 C b 与r 的相反 D a 与r 的符号相反6.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（D ）A 身高一定是145.83cmB 身高在145.83cm 以上C 身高在145.83cm 以下D 身高在145.83cm 左右7.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是(A)A 模型1的相关指数2R 为0.98B 模型2的相关指数2R 为0.80C 模型3的相关指数2R 为0.50D 模型4的相关指数2R 为0.258.工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为ˆ6090yx =+，下列判断正确的是（C ） A 劳动生产率为1000元时，工资为150元 B 劳动生产率提高1000元时，工资提高150元 C 劳动生产率提高1000元时，工资提高90元 D 劳动生产率为1000元时，工资为90元9.为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程1l 和2l ，两人计算知x 相同，y 也相同，下列正确的是(C )A 1l 与2l 重合B 1l 与2l 一定平行C 1l 与2l 相交于点),(y xD 无法判断1l 和2l 是否相交10. 直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是（ D ）．A. 相切B. 相离C. 直线过圆心D. 相交但直线不过圆心11．已知随机变量ξ服从二项分布，⎪⎭⎫⎝⎛21,4~B ξ，则()1=ξP 的值为（ C ）．A ．161 B ． 81 C ． 41 D ．2112．与参数方程为()21x tt y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（ D ）．A ．2214y x += B ．221(01)4y x x +=≤≤C ．221(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤二、填空题 (每小题5分，共20分)13.在研究身高和体重的关系时，求得相关指数≈2R ____0.64__________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。
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高三月考理科数学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合21{|||},{|2,}x M x x x N x y x R -=≥==∈，则M N =（ ）
A ．(]01
B ．()0,1
C ．[)0,1
D ．[]0,1 2、对于非零向量,a b ，20a b +=是//a b 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3、函数()222
x x
f x --=是（ ）
A ．偶函数，在()0,+∞是增函数
B ．奇函数，在()0,+∞是增函数
C ．偶函数，在()0,+∞是减函数
D ．奇函数，在()0,+∞是减函数 4、下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A ．3y x =
B ．ln()y x =-
C ．x
y xe -= D ．2y x x
=+
5、函数()y f x =在点00(,)x y 处的切线方程为21y x =+，则00()(2)
lim x f x f x x x
∆→∞--∆∆等
于（ ）
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
6、已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1(0,)2
B ．1(,1)2
C ．(1,2)
D ．(2,)+∞ 7、给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8、将函数cos 2y x =的图象先向左平移2
π
个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ）
A ．sin 2y x =-
B ．cos 2y x =-
C ．22sin y x =
D ．22cos y x =- 9、方程22lg lg 20x x --=的两根为,αβ，则log log αββα+的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
10、若存在整数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,)-∞+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)-+∞
11、设函数()()414
11log (),log ()44
x
x
f x x
g x x =-=-的零点分别为12,x x ，则（ ）
A ．121x x =
B ．1201x x <<
C ．1212x x <<
D ．122x x ≥ 12、若函数()f x 在R 上可导，且满足()()f x xf x '<，则（ ）
A ．()()212f f <
B ．()()212f f >
C ．()()212f f =
D ．()()12f f = 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填写在答题卡相应的位置上）
13、如图所示，在ABC ∆中，已知D 在AB 上，且1
2,3
AD DB CD CA CB λ==+， 则λ 14、若4sin(),(0,)52ππθθ-=
∈，则2sin 2cos 2
θ
θ-的值等于 15、曲线1
2
y x =与2
y x =围成的封闭区域的面积是
16、给出下列命题：①在区间()0,+∞上，函数1
1
2
3
2
,,(1),y x y x y x y x -===-=中由三
个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则
()1f x -的图象观点点()1,0对称；④已知函数()23
32
log (1)2x x f x x x -⎧≤=⎨
->⎩，则方程()1
2
f x =
有2个实数根；⑤定义在R 上的寒素()y f x =，则()2y f x =-与(2)y f x =-
的图象关于直线2x =对称 以上命题是真命题的是
三、解答题（本题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或步骤） 17、（本小题满分10分）
已知向量(3,1),(sin 2,cos2)a b x x =-=，函数()f x a b =⋅ （1）若()0f x =且0x π<<，求x 的值；
（2）求函数()f x 的单调增区间以及函数取得最大值时，向量a 与b 的夹角．
18、（本小题满分12分） （1）已知集合1
{|3}2
P x x =≤≤，函数()22log (22)f x ax x =-+的定义域为Q ， 若(]12,,2,323P
Q P Q ⎡⎫
==-⎪⎢⎣⎭
，求实数a 的值．
（2）函数()f x 定义在R 上且()3()2
f x f x =-+，当
1
32
x ≤≤时，()2
2l o g (22)
f x a
x x =-+，若(35)1f =，求实数a 的值．
19、（本小题满分12分）
设22
(1)(log ),(01)(1)
a a x f x a x a -=<<- （1） 求()f x 的表达式，并判断()f x 的奇偶性； （2）判断()f x 的单调性；
（3）对于()f x ，当(1,1)x ∈-时，恒有2
(1)(1)0f m f m -+-<，求m 的取值范围．
20、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(2,1),(1,0),(cos ,)a A B t θ=． （1）若//a AB ，且5AB OB =
，求向量OB 的坐标；
（2）若//a AB ，求22cos cos y t θθ=-+的最小值．
21、（本小题满分12分） 已知函数()32
12()32
a f x x x x a R =-
+-∈ （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围．
22、（本小题满分12分）
已知函数()3
2
212f x mx nx x =+-的减区间()2,2-
（1）试求,m n 的值；
（2）求过点(1,1)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；
（3）过点(1,)A t 是否存在曲线()y f x =相切的3条切线，若存在求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．。