2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷(文科)
2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2020•湖南一模）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}2．（5分）（2020•湖南一模）若复数z＝4﹣i，则z＝（）A．15B．16C．17D．183．（5分）（2020•湖南一模）下列说法正确的是（）A．∀x∈R，x2＞0”的否定是B．命题“设a，b∈R，若a+b≠4，则a≠2或b≠2是一个假命题C．“m＝1”是“函数f（x）＝m2x m+2为幂函数”的充分不必要条件D．向量，则在方向上的投影为54．（5分）（2020•湖南一模）在△ABC中，，且，则λ+μ＝（）A．1B．C．D．5．（5分）（2020•湖南一模）已知实数x，y满足，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．2D．36．（5分）（2020•湖南一模）函数f（x）＝在（）上的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2020•湖南一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）（2020•湖南一模）函数，当0＜x＜1时，下列式子大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x2）＜f（x）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f（x2）＜f（x）＜f2（x）9．（5分）（2020•湖南一模）函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．10．（5分）（2020•湖南一模）在区域内任取一点P（x，y），满足的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2020•湖南一模）设f（x）是定义在[﹣1，1]上的可导函数，f（0）＝0，且f′（x）＝2+x2，则不等式f（a）+f（1﹣2a）＞0的解集为（）A．[0，1]B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[0，1）12．（5分）（2020•湖南一模）若关于x的不等式≤1在区间（1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，ln2]B．（﹣∞，ln2]C．（ln2，+∞）D．（﹣∞，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2020•湖南一模）二项式（+）5的展开式中常数项为．所有项的系数和为．14．（5分）（2020•湖南一模）设向量＝（1，1），＝（﹣1，2），则向量+与向量的夹角为．15．（5分）（2020•湖南一模）已知函数，则函数y＝f（f（x））的所有零点所构成的集合为．16．（5分）（2020•湖南一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，C是锐角，且a＝2，cos A＝，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2020•湖南一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝2+S n对一切正整数n恒成立．（1）求a1和数列{a n}的通项公式；（2）求数列{S n}的前n项和T n．18．（12分）（2020•湖南一模）如图，在多面体B﹣ACDE中，已知AB＝BC＝CD＝2，，，，AE⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE，F为BC的中点，连接DF．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求三棱锥B﹣DEF的体积．19．（12分）（2020•湖南一模）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区5个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：A B C D E位置类型电信438612网通57943（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，求A，B两地区至少选到一个的概率．参考公式：K2＝0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001P（K2≥k0）k00.460.71 1.32 2.07 2.71 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．（12分）（2020•湖南一模）已知椭圆C的两个焦点分别为，，且椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积．21．（12分）（2020•湖南一模）已知函数f（x）＝2lnx+a（x2﹣4x+3）．（1）若a＝，求f（x）的单调区间；（2）证明：（i）lnx≤x﹣1；（ii）对任意a∈（﹣∞，0），f（x）＜0对x∈（，+∞）恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2020•湖南一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，t为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C有两个公共点，求实数t的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．（2020•湖南一模）设函数f（x）＝|x﹣a|+2x，其中a＞0．（1）当a＝3，求等式f（x）≥2x+4的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，求a的值．2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2020•湖南一模）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出集合N的等价条件，结合补集和交集的定义进行求解即可．【解答】解：N＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|1＜x＜3}，则∁U M＝{x|﹣2≤x≤2}，则（∁U M）∩N＝{x|1＜x≤2}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合集合的补集和交集定义是解决本题的关键．2．（5分）（2020•湖南一模）若复数z＝4﹣i，则z＝（）A．15B．16C．17D．18【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝4﹣i，∴．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）（2020•湖南一模）下列说法正确的是（）A．∀x∈R，x2＞0”的否定是B．命题“设a，b∈R，若a+b≠4，则a≠2或b≠2是一个假命题C．“m＝1”是“函数f（x）＝m2x m+2为幂函数”的充分不必要条件D．向量，则在方向上的投影为5【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑．【分析】A，根据全称命题的否定是特称命题，判断正误即可；B，根据原命题与它的逆否命题的关系，判断正误即可；C，根据幂函数的定义求出m的值；D，利用向量投影的定义求出运算结果．【解答】解：对于A，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，”，∴A错误；对于B，该命题的逆否命题为：若a＝2，b＝2，则a+b＝4为真命题，∴B错误；对于C，f（x）＝m2x m+2为幂函数时，m＝±1，∴C正确；对于D，在方向上的投影为，∴D错误．故选：C．【点评】本题利用命题真假的判断，考查了简易逻辑与幂函数的定义和向量投影的应用问题，是基础题．4．（5分）（2020•湖南一模）在△ABC中，，且，则λ+μ＝（）A．1B．C．D．【考点】9E：向量数乘和线性运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】可根据条件画出图形，并由条件知D是BC的中点，P是AD的中点，从而可求出，这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的值．【解答】解：根据条件画出图形如下：由知，D是边BC的中点；由知，P是线段AD的中点；∴＝＝；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故选：C．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘和减法的几何意义，以及平面向量基本定理．5．（5分）（2020•湖南一模）已知实数x，y满足，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．2D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式；63：数学建模．【分析】利用约束条件画出可行域，通过可行域求解顶点坐标，然后求解可行域的面积．【解答】解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示，其为阴影部分的三角区，解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为（1，0），（2，1），（4，0），根据三角形的面积公式可以求得S＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，通过数形结合是解决本题的关键，是中档题．6．（5分）（2020•湖南一模）函数f（x）＝在（）上的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，函数零点个数以及函数值的符号是否对应进行排除即可．【解答】解：f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，由f（x）＝0得sin3x＝0，即3x＝kπ，即x＝，此时x＝0，±，即函数在（）有三个零点，排除A，f（）＝＝，排除B，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及零点个数，特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7．（5分）（2020•湖南一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2＝（4a）2+（2c）2﹣，化为＝0，解得．故选：C．【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．8．（5分）（2020•湖南一模）函数，当0＜x＜1时，下列式子大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x2）＜f（x）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f（x2）＜f（x）＜f2（x）【考点】3E：函数单调性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性；72：不等式比较大小．【分析】由0＜x＜1得到x2＜x，要比较f（x）与f（x2）的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出f′（x）利用导函数的正负决定函数的增减性．即可比较出f（x）与f（x2）大小．【解答】解：根据0＜x＜1得到x2＜x，而f′（x）＝，因为（lnx）2＞0，所以根据对数函数的单调性得到在0＜x＜1时，lnx﹣1＜0，所以f′（x）＜0，函数单调递减．所以f（x2）＞f（x），根据排除法A、B、D错，C正确．故选：C．【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性，以及会利用函数的单调性判断函数值的大小，在做选择题时，可采用排除法得到正确答案．9．（5分）（2020•湖南一模）函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．【考点】H1：三角函数的周期性；HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得g（x）的解析式，再利用用三角函数的周期性，得出结论．【解答】解：根据函数的部分图象，可得A ＝1，由图知．点是五点作图的第二个点，则，∴f（x）＝cos（2x﹣），∴，易知y＝g（x）与的最小正周期相同，均为，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，三角函数的周期性，属于基础题．10．（5分）（2020•湖南一模）在区域内任取一点P（x，y），满足的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由题意可知，内任取一点P（x，y），曲线的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，由几何概型的求解公式即可求解【解答】解：曲线的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，由几何概型得，故选：C．【点评】本题主要考查了与面积有关的概率的求解，属于基础试题11．（5分）（2020•湖南一模）设f（x）是定义在[﹣1，1]上的可导函数，f（0）＝0，且f′（x）＝2+x2，则不等式f（a）+f（1﹣2a）＞0的解集为（）A．[0，1]B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．[0，1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：f'（x）＝2+x2是偶函数且大于0，f（0）＝0，则f（x）为[﹣1，1]上的奇函数和增函数，f（a）+f（1﹣2a）＞0⇒f（a）＞﹣f（1﹣2a）＝f（2a﹣1），则，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．12．（5分）（2020•湖南一模）若关于x的不等式≤1在区间（1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，ln2]B．（﹣∞，ln2]C．（ln2，+∞）D．（﹣∞，1]【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】31：数形结合；32：分类讨论；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；65：数学运算．【分析】关于x的不等式不等式≤1在区间（1，2]上恒成立⇔关于x的不等式a（x﹣1）2≤lnx在区间（1，2]上恒成立．显然当a≤时，关于x的不等式不等式≤1在区间（1，2]上恒成立．对a分类讨论，作出图象，根据单调性即可得出．【解答】解：关于x的不等式不等式≤1在区间（1，2]上恒成立⇔关于x的不等式a（x﹣1）2≤lnx在区间（1，2]上恒成立．显然当a≤时，关于x的不等式不等式≤1在区间（1，2]上恒成立．当a＞0时，在同一坐标系内分别作出y＝a（x﹣1）2，y＝lnx的图象，所以关于x的不等式a（x﹣1）2≤lnx在区间（1，2]上恒成立．⇔A点的位置不低于B点的位置⇔ln2≥a（2﹣1）2⇔0＜a≤ln2．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，ln2]．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与单调性、不等式的解法、方程的解法、转化法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2020•湖南一模）二项式（+）5的展开式中常数项为5．所有项的系数和为32．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5P：二项式定理；65：数学运算．【分析】利用展开式的通项公式可得展开式中的常数项；令x＝1，得到所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为：T r+1＝＝，令（1﹣r）＝0，解得r＝1，所以展开式中的常数项为：T2＝＝5．令x＝1，得到所有项的系数和为25＝32．故答案为：5，32．【点评】本题考查了二项式的展开式的通项公式及其性质、方程的解法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）（2020•湖南一模）设向量＝（1，1），＝（﹣1，2），则向量+与向量的夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【解答】解：；∴；∴；又；∴．故答案为：．【点评】考查向量坐标的加法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式．15．（5分）（2020•湖南一模）已知函数，则函数y＝f（f（x））的所有零点所构成的集合为{0，2，5}．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】利用分段函数求解函数的零点，转化求解即可．【解答】解：令t＝f（x），由f（t）＝0，得t＝0或t＝2，再由f（x）＝0，解得x＝0，x ＝2；由f（x）＝2，解得x＝5，即函数y＝f（f（x））的所有零点所构成的集合为{0，2，5}．故答案为：{0，2，5}．【点评】本题考查函数的零点的求法，分段函数的应用，考查计算能力．16．（5分）（2020•湖南一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，C是锐角，且a＝2，cos A＝，则△ABC的面积为7．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin2B＝sin2C，可得B ＝C，或B+C＝，由cos A＝，可得B＝C，可得b＝c，由余弦定理可得b＝c＝，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵＝，可得：＝，可得：，可得：sin2B＝sin2C，∴B＝C，或B+C＝，又∵cos A＝，∴B＝C，可得：b＝c，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：2b2﹣＝28，可得：b＝c＝，∴S△ABC＝bc sin A＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2020•湖南一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝2+S n对一切正整数n恒成立．（1）求a1和数列{a n}的通项公式；（2）求数列{S n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用等比和等差数列的前n项和公式求出结果．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝2+S n对一切正整数n恒成立，当n＝1时，a2＝2a1，a2＝2+S1，解得：a1＝2，当n≥2时，a n＝2+S n﹣1，两式相减得：a n+1＝2a n，即：（常数），故：数列{a n}是以a1＝2，公比为2的等比数列．所以：．（2）由于：，所以：，则：，＝，＝2n+2﹣2n﹣4．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）（2020•湖南一模）如图，在多面体B﹣ACDE中，已知AB＝BC＝CD＝2，，，，AE⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE，F为BC的中点，连接DF．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求三棱锥B﹣DEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）过D作DG⊥AC于G．取AB的中点为H，连接EH，HF．证明HF∥AG，推出DF∥EH，即可证明DF∥平面ABE．（2）通过三棱锥B﹣DEF的体积等于三棱锥B﹣HEF的体积，等于三棱锥F﹣HEB的体积，转化求解即可．【解答】解：（1）证明：过D作DG⊥AC于G．因为AE⊥AC，所以AE∥DG，因为CD＝2，，所以，因为，所以AE＝DG，所以四边形AGDE为矩形，所以ED∥AG，ED＝AG，取AB的中点为H，连接EH，HF．因为F为BC的中点，所以HF∥AG，HF＝AG，所以HF∥ED，HF＝ED，所以四边形EDHF为平行四边形，所以DF∥EH，因为DF⊄平面ABE，EH⊂平面ABE．所以DF∥平面ABE．（2）因为平面ABC⊥平面ACDE，AE⊥AC，所以AE⊥平面ABC．因为AE⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC，因为AB＝BC＝2，，所以AB⊥BC，因为平面ABE∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ABE，因为四边形EDFH为平行四边形，所以三棱锥B﹣DEF的体积等于三棱锥B﹣HEF的体积，等于三棱锥F﹣HEB的体积，所以三棱锥B﹣DEF的体积＝．【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体是体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2020•湖南一模）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区5个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：位置A B C D E类型电信438612网通57943（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，求A，B两地区至少选到一个的概率．参考公式：K2＝0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001 P（K2≥k0）k00.460.71 1.32 2.07 2.71 3.841 5.024 6.6357.87910.828【考点】BL：独立性检验．【专题】12：应用题；38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计；66：数据分析．【分析】（1）根据题意列出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）根据题意列出2×2列联表如下，糟糕良好合计电信325网通235合计5510由表中数据，计算K2＝＝0.4＜2.07，所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能说明网络状况与网络的类型有关；（2）依题意，在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，其所有的可能有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中满足条件的为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE共7种，故所求的概率为P＝．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．（12分）（2020•湖南一模）已知椭圆C的两个焦点分别为，，且椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出椭圆C的标准方程，代入点P的坐标，列式解方程可得；（2）联立直线与椭圆，结合韦达定理、向量垂直、弦长公式、点到直线距离、面积公式可求得．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得解得故椭圆C的方程为．（2）直线OP的方程为，设直线AB方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得，由△＝3m2﹣4（m2﹣1）＞0，得m2＜4，由OA⊥OB得，，＝＝＝，得．又，O到直线AB的距离．所以．【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．21．（12分）（2020•湖南一模）已知函数f（x）＝2lnx+a（x2﹣4x+3）．（1）若a＝，求f（x）的单调区间；（2）证明：（i）lnx≤x﹣1；（ii）对任意a∈（﹣∞，0），f（x）＜0对x∈（，+∞）恒成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）（i）令g（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），g（1）＝0．利用导数研究其单调性最值即可得出．（ii）由（i）可知，lnx≤x﹣1，则f（x）＜2（x﹣1）+a（x2﹣4x﹣3），只要证明a（x﹣1）（x﹣）＜0即可．【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝2lnx+（x2﹣4x+3），∴f′（x）＝+（2x﹣4）＝，x＞0，令f′（x）＞0，可得x＞或0＜x＜，令f′（x）＜0，可得＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（0，）和（，+∞），单调递减区间为（，）；（2）证明：（i）设g（x）＝lnx﹣（x﹣1），∴g′（x）＝﹣1＝，∴g′（x）＝0，得x＝1，令g′（x）＞0，0＜x＜1；令g′（x）＜0，x＞1，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝0，∴lnx≤x﹣1；（ii）当x＞1时，由（i）可知，lnx≤x﹣1，则f（x）＜2（x﹣1）+a（x2﹣4x﹣3），若a∈（﹣∞，0），则2（x﹣1）+a（x2﹣4x﹣3）＝（x﹣1）（ax+2﹣3a）＝a（x﹣1）（x ﹣），当x∈（，+∞）时，a（x﹣1）（x﹣）＜0，则当x∈（，+∞）时，f（x）＜0，故对任意a∈（﹣∞，0），f（x）＜0对x∈（，+∞）恒成立．【点评】本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，确定函数的单调性，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2020•湖南一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，t为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C有两个公共点，求实数t的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）消去参数α可得圆C的普通方程，利用差角的余弦以及互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）根据圆心到直线的距离小于半径列式可解得．【解答】解：（1）圆C的普通方程为（x﹣t）2+y2＝2．将直线l的极坐标方程化为﹣ρcosθ+ρsinθ＝，即﹣x+y＝，化简得x﹣y+2＝0．（2）∵圆C的普通方程为（x﹣t）2+y2＝2，圆心为（t，0），半径为．∴圆心C到直线l的距离d＝，∵直线l与圆C有两个公共点，∴d＝＜，解得﹣4＜t＜0，所以t的取值范围是（﹣4，0）．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2020•湖南一模）设函数f（x）＝|x﹣a|+2x，其中a＞0．（1）当a＝3，求等式f（x）≥2x+4的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，求a的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；5T：不等式．【分析】（1）利用|f（x）|≥k（k＞0）⇔f（x）≤﹣k或f（x）≥k；（2）按照x≥a和x＜a两种情况去绝对值解不等式，结果与已知比较可得．【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）≥2x+4可化为|x﹣3|≥4，由此可得x≥7或x≤﹣1，故不等式f（x）≥2x+4的解集为{x≥7或x≤﹣1}（2）由f（x）≤0，得|x﹣a|+2x≤0，此不等式化为不等式组为或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣a}，由题设可得﹣a＝﹣2，故a＝2．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．设i为虚数单位，则复数3﹣i的虚部是（）A．3 B．﹣i C．1 D．﹣12．记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∪B=（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱4．已知向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，则α，β的值可以是（）A．α=，β=﹣B．α=，β=C．α=，β=﹣D．α=，β=﹣5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数的单调递增区间是（）A．B． C．D．9．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8x B．x2=8y C．y2=4x D．x2=4y10．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣211．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.912．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为_______．14．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2a3，S5=15，则a2020=_______．15．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．16．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．三、解答题17．如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．（1）求三棱锥A﹣FGC的体积．（2）求证：面GEF⊥面AEF．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2+（a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．设α、β、γ均为实数．（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设i为虚数单位，则复数3﹣i的虚部是（）A．3 B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数的基本概念得答案．【解答】解：∵复数3﹣i，∴复数3﹣i的虚部是：﹣1．故选：D．2．记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则A∪B=（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据并集的定义即可求出．【解答】解：集合A={x|x+2＞0}=（﹣2，+∞），B={y|y=sinx，x∈R}=[﹣1，1]，则A∪B=（﹣2，+∞），故选：A．3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论．【解答】解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形，∴该空间几何体不可能是圆锥．故选：B．4．已知向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，则α，β的值可以是（）A．α=，β=﹣B．α=，β=C．α=，β=﹣D．α=，β=﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的平行的条件以及两角和的余弦公式即可判断．【解答】解：向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=0，即cos（α+β）=0，∴α+β=kπ+，k∈Z，对于A：α+β=0，不符合，对于B，α+β=π，不符合，对于C：α+β=﹣，符合，对于D，α+β=，不符合，故选：C．5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】令n=1，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．【解答】解：令n=1，2，3，4分别代入验证：可知C：a3=﹣2，因此不成立．故选：C．6．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）【考点】函数的值．【分析】由f（x+1）=﹣f（x），得到函数的周期是2，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【解答】解：由f（x+1）=﹣f（x），得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），则函数的周期是2，则f（2.5）=f（2+0.5）=f（0.5）=﹣1，f（f（2.5））=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=﹣1f（f（1.5））=f（f（2﹣0.5））=f（f（﹣0.5））=f（1）=﹣1，f（2）=f（0）=1，即列函数值为1的f（2），故选：D．7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【考点】独立性检验的应用．【分析】根据观测值K2，对照数表，即可得出正确的结论．【解答】解：因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．8．函数的单调递增区间是（）A．B． C．D．【考点】复合三角函数的单调性．【分析】由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）与x∈[﹣2π，2π]即可求得答案．【解答】解：y=sin（+）的单调递增区间由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）得：4kπ﹣≤x≤4kπ+（k∈Z），∵x∈[﹣2π，2π]，∴﹣≤x≤．即y=sin（+）的单调递增区间为[﹣，]．故选A．9．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8x B．x2=8y C．y2=4x D．x2=4y【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设动点P（x，y），由已知得|x+1|=﹣1，由此能求出点P的轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y），∵动点P到直线x=﹣1的距离等于它到圆：（x﹣2）2+y2=1的点的最小距离，∴|x+1|=﹣1，化简得：6x﹣2+2|x+1|=y2，当x≥﹣1时，y2=8x，当x＜﹣1时，y2=4x﹣4＜﹣8，不合题意．∴点P的轨迹方程为：y2=8x．故选：A．10．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣2【考点】简单线性规划；对数函数的图象与性质．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：由题意得，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y，由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z 最大，最大为z max=2﹣0=2当直线经过点A（0，2）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z min=0﹣2=﹣2．故选：D．11．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．12．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可．【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h（x）=e x﹣x﹣1，则h′（x）=e x﹣1，当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞0时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增，即当x=0时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0，即h（x）≥0，即∀x∈R，f（x）＞g（x）不一定成立，故A是假命题，故选：A二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），所以线段AB的长度为|AB|==．故答案为：．14．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2a3，S5=15，则a2020=2020．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵S3=2a3，S5=15，∴d=2（a1+2d），d=15，解得a1=d=1．则a2020=1+×1=2020．故答案为：2020．15．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理得出a，b，c和外接圆半径R的关系，根据周长列出方程解出R．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可．【解答】解：由向量数量积的定义知•即向量在向量上的投影||模长的乘积，故求|•|的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知|•|的最小值为4，故答案为：4三、解答题17．如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．（1）找出S与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；弧度制的应用；三角函数的最值．【分析】（1）由面积公式即可得到S与θ的函数关系．（2）对三角函数化简，由θ的范围，得到S的最大值．【解答】解：（1）∵S=S△OPC+S△OQC=OP•0Csin∠POC+OQ•OCsin∠QOC=2sinθ+2sin（﹣θ）（θ∈（0，））（2）由（1）知，S=2sinθ+2sin（﹣θ）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）∵θ∈（0，），∴θ+∈（，）∴当θ+=，即θ=时，S最大，为2．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为α，列举可得总的基本事件共15个，其中空气质量等级恰好不同有9个，由概率公式可得的．【解答】解：（1）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为1，空气质量为良的天数为3，故空气质量优良的概率为=，故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为30×=12；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为α，则从中随机抽取2天的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，A）（A，α）（b，c）（b，d）（b，A）（b，α）（c，d）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）（A，α）共15个，其中空气质量等级恰好不同有（a，A）（A，α）（b，A）（b，α）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）（A，α）共9个，该两天的空气质量等级恰好不同的概率P==19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．（1）求三棱锥A﹣FGC的体积．（2）求证：面GEF⊥面AEF．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由平面BDEF⊥平面ABCD得FB⊥平面ABCD，故FB⊥AB，又AB⊥BC，于是AB⊥平面FBCG，即AB为棱锥A﹣FCG的高；（2）建立空间坐标系，分别求出平面AEF和平面EFG的法向量，证明他们的法向量垂直即可．【解答】解：（1）∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，FB⊥BD，FB ⊂平面BDEF，∴FB⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥FB，又AB⊥BC，∴AB⊥平面BCGF，===．∴V A﹣FGC（2）以B为原点，AB，BC，BF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：则A（﹣2，0，0），E（﹣2，2，2），F（0，0，2），G（0，2，1），∴=（0，2，2），=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣1）．设平面AEF的法向量为=（x，y，z），平面EFG的法向量为=（a，b，c），则，，即，，令z=1得=（﹣1，﹣1，1），令c=1得=（，，1）．∴=﹣=0．∴，∴平面AEF⊥平面EFG．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（1）求C1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，运用点到直线的距离公式，计算可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x2+4y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和判别式大于0，以及直径所对的圆周角为直角，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得t，进而得到所求直线l的方程．【解答】解：（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，可得=，即a=2，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，可得=，即b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得5x2+8tx+4t2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有△=64t2﹣20（4t2﹣4）＞0，解得﹣＜t＜，且t≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（x1+t）（x2+t）=x1x2+t2+t（x1+x2）=+t2﹣=，以AB为直径的圆恰好过坐标原点，可得OA⊥OB，即有•=0，即x1x2+y1y2=0，即为+=0，解得t=±，满足﹣＜t＜，且t≠0，则直线l的方程为y=x±．21．已知函数f（x）=x2+（a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导数，由题意可得2x3﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤2x3，求出右边函数的值域，即可得到a的范围；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′（x1）=f′（x2）=，运用导数和函数的解析式，化简整理，即可得到矛盾．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+的导数为f′（x）=2x﹣=，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，可得2x3﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤2x3，由2x3在（0，+∞）上递增，可得2x3的值域为（0，+∞），则a≤0，即有a的取值范围为（﹣∞，0]；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．证明：假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′（x1）=f′（x2）=，由f′（x1）=f′（x2），可得2x1﹣=2x2﹣，即有2（x1﹣x2）=a•，显然x1+x2≠0，x1﹣x2≠0，即有a=﹣，而﹣f′（x1）=﹣2x1+=x1+x2﹣﹣2x1+=x2﹣x1+﹣=﹣≠0，即f′（x1）=f′（x2）≠，故不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）证明：直线AC平分∠DAB，只要证明∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质及等弧对等角即可；（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：△ADE∽△ACD，即可证明CD2=AE•AC．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∵=，∴∠DAC=∠DCA，∴∠DAC=∠BAC，∴直线AC平分∠DAB；（2）∵DE⊥AB，∴∠ADE+∠DAB=90°，∵AB为直径，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DCA，∴∠ADE=∠ACD，∴△ADE∽△ACD，∴AD2=AE•AC，∵AD=DC，∴CD2=AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程可得直角坐标方程．（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．分别代入C1的极坐标方程即可得出．【解答】解：（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，可得：x2+y2﹣4x+3=0，配方为：（x﹣2）2+y2=1．（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．将代入C1可得：ρ2﹣2ρ+3=0，解得ρ=．将代入C1可得：ρ2+2ρ+3=0，解得ρ=﹣，舍去．故C1与C2的公共点的极坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．设α、β、γ均为实数．（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）利用和的余弦、正弦公式，结合三角不等式，即可证明结论；（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ]=|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，即可证明结论．【解答】证明：（1）|cos（α+β）|=|cosαcosβ﹣sinαsinβ|≤|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|=|sinαcosβ﹣cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|．（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ）]≤|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，∵α+β+γ=0，∴|cos[α+β+γ]=1∴|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．2020年9月12日。
2020年湖南省高考数学(文科)模拟试卷(2)
2020年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知复数z =103+i −2i （其中i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．3√3B ．3√2C ．2√3D ．2√22．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |﹣2≤x ≤2，x ∈Z }，B ＝{﹣1，1}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）3．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤1，若将军从点A （2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．√10−1B ．2√2−1C ．2√2D ．√104．（5分）在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：2：4，则cos B 的值为（ ） A ．−14B ．78C ．14D ．11165．（5分）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等．设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为V 1，V 2，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1，S 2，则“S 1＝S 2恒成立”是“V 1＝V 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，已知O 、A 、B 是平面上三点，向量OA →=a →，OB →=b →．在平面AOB 上，P 是线段AB 垂直平分线上任意一点，向量OP →=p →，且|a →|＝3，|b →|＝2，则p →•（a →−b →）的值是（ ）A ．12B ．32C ．72D ．527．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[﹣2，﹣1]C ．[﹣1，2]D ．[2，+∞）8．（5分）函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f(7π4)的值为（ ）A ．−√62B ．−√32C ．−√22D ．﹣19．（5分）如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是（ ）A ．14B ．13C ．23D ．3410．（5分）已知椭圆E ：x 211+y 22=1与双曲线C ：x 2a −y 25=1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y =±3√55xB ．y =±√53xC ．y =±2√55xD ．y =±√52x11．（5分）已知函数f （x ）=13x 3−x +c +1有两个不同零点，且有一个零点恰为f （x ）的极小值点，则c 的值为（ ） A ．0B ．−53C ．−13D ．−53或−1312．（5分）设F 为抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B ，C ，D 为该抛物线上四点，若FA →+FB →+FC →+FD →=0→，则|FA →|+|FB →|+|FC →|+|FD →|＝（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知非零向量a →、b →满足|a →|=2，|b →|=1，且(a →+b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为 ． 14．（5分）若sin(α+π4)=√2（sin α+2cos α），则sin2α＝ ．15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n +2S n ﹣1＝n ，则S 2021的值为16．（5分）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 cm 3；表面积是 cm 2．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n }满足a 1=13，且n ∈N *时，a n +1，a n ，−23成等差数列． （1）求证：数列{a n +23}为等比数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝BC ，且BC ⊥AC ． （1）证明：平面PBC ⊥平面P AC ；（2）设棱AB ，BC 的中点分别为E ，D ，若四面体PBDE 的体积为13，求△PBE 的面积．19．（12分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台．某单位共有党员200人（男女各100人），从2019年1月1日起在“学习强国”学习平台学习．现统计他们的学习积分，得到如下男党员的频率分布表和女党员的频率分布直方图． 男党员积分 （单位：千）[2，4） [4，6） [6，8） [8，10） [10，12）人数 （单位：人）15 25 30 20 10（1）已知女党员中积分不低于6千分的有72人，求图中a 与b 的值；（2）估算女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和女党员学习积分的中位数（精确到0.1千分）；（3）若将学习积分不低于8千分的党员视为学习带头人，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关？男党员 女党员 合计 带头人 非带头人 合计100100200相关公式即数据：x 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （x 2≥k ）0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.63520．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（−√2，0），F 2（√2，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M （1，0）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N （3，2），记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问：k 1+k 2是否为定值？并证明你的结论．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +a （x ﹣1）（a ∈R ）． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝2时．证明函数f （x ）有唯一的零点x 0，且x 0∈（0，12）．且曲线y ＝e x 在点（x 0，ex 0）处的切线也是曲线y =−12x 2的切线．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =1+√22t （t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ+6sin θ． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M ，N ，点A 的坐标为（3，1），求|AM |+|AN |． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|．（Ⅰ）解不等式f （x ）+f （2x +1）≥6；（Ⅱ）对a +b ＝1（a ，b ＞0）及∀x ∈R ，不等式f （x ﹣m ）﹣f （﹣x ）≤4a +1b恒成立，求实数m 的取值范围．2020年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（2）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知复数z =103+i −2i （其中i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．3√3B ．3√2C ．2√3D ．2√2【解答】解：z =103+i −2i =10(3−i)(3+i)(3−i)−2i ＝3﹣i ﹣2i ＝3﹣3i ， 则|z |＝3√2， 故选：B ．2．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |﹣2≤x ≤2，x ∈Z }，B ＝{﹣1，1}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 【解答】解：A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}； ∴A ∩B ＝{﹣1，1}；∴∁U （A ∩B ）＝（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）． 故选：B ．3．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤1，若将军从点A （2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．√10−1B ．2√2−1C ．2√2D ．√10【解答】解：设点A 关于直线x +y ＝3的对称点A '（a ，b ）， AA '的中点为（2+b2，b2），k AA′=ba−2故{ba−2⋅(−1)=−1a+22+b 2=3解得{a =3b =1，要使从点A 到军营总路程最短， 即为点A '到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为√32+12−1=√10−1， 故选：A ．4．（5分）在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：2：4，则cos B 的值为（ ） A ．−14B ．78C ．14D ．1116【解答】解：∵在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：2：4， ∴a ：b ：c ＝3：2：4，则由余弦定理得：cos B =32+42−222×3×4=78．故选：B ．5．（5分）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等．设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为V 1，V 2，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1，S 2，则“S 1＝S 2恒成立”是“V 1＝V 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：根据祖暅原理，由“S 1＝S 2恒成立”可得到“V 1＝V 2”，反之不一定． ∴“S 1＝S 2恒成立”是“V 1＝V 2”的充分不必要条件． 故选：A ．6．（5分）如图，已知O 、A 、B 是平面上三点，向量OA →=a →，OB →=b →．在平面AOB 上，P 是线段AB 垂直平分线上任意一点，向量OP →=p →，且|a →|＝3，|b →|＝2，则p →•（a →−b →）的值是（ ）A ．12B ．32C ．72D ．52【解答】解：连接OM ，根据题意得OM →=12(OA →+OB →)=12(a →+b →)∵OP →=OM →+MP →=p →∴p →•（a →−b →）＝（OM →+MP →）•（a →−b →）=12(a →+b →)（a →−b →）+MP →•（a →−b →）∵a →−b →=BA →，MP →⊥BA →，得MP →•（a →−b →）=MP →•BA →=0∴p →•（a →−b →）=12(a →+b →)（a →−b →）=12（a →2−b →2）=12（32﹣22）=52故选：D ．7．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[﹣2，﹣1]C ．[﹣1，2]D ．[2，+∞）【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数f （x ）={2x ，x ∈[−2，2]2，x ∈(−∞，−2)∪(2，+∞)的函数值．又∵输出的函数值在区间[14，12]内， ∴x ∈[﹣2，﹣1] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f(7π4)的值为（ ）A ．−√62B ．−√32C ．−√22D ．﹣1【解答】解：由函数的最小值可知：A =√2，函数的周期：T =4×(712π−π3)=π， 则ω=2πT =2ππ=2， 由于当x =712π时，ωx +φ=2×712π+φ=2kπ+3π2(k ∈Z)， 据此可得：φ=2kπ+π3(k ∈Z)， 令k ＝0可得：φ=π3，则函数的解析式为：f(x)=√2sin(2x +π3)， 可得：f(7π4)=√2sin(2×7π4+π3)=√2×sin 11π6=−√22． 故选：C ．9．（5分）如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是（ ）A ．14B ．13C ．23D ．34【解答】解：设正六边形ABCDEF 的边长AF ＝a ，则正六边形ABCDEF 的面积为6×12×a 2×sin π3=3√3a 22，△AFM 的面积为12×a ×12a ×tan π6=√3a 212∴在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是 P ＝1−6×√3a2123√3a22=23． 故选：C ．10．（5分）已知椭圆E ：x 211+y 22=1与双曲线C ：x 2a −y 25=1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y =±3√55x B ．y =±√53x C ．y =±2√55x D ．y =±√52x【解答】解：椭圆E 的焦点为（±3，0）．故a 2＝32﹣5＝4． 双曲线C ：x 24−y 25=1，双曲线C 的渐近线方程为y =±√52x ． 故选：D ．11．（5分）已知函数f （x ）=13x 3−x +c +1有两个不同零点，且有一个零点恰为f （x ）的极小值点，则c 的值为（ ） A ．0B ．−53C ．−13D ．−53或−13【解答】解：∵f （x ）=13x 3﹣x +c +1，∴f ′（x ）＝x 2﹣1，由f ′（x ）＞0，得x ＞1或x ＜﹣1，∴f （x ）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增， 由f ′（x ）＜0，得﹣1＜x ＜1，f （x ）在（﹣1，1）上单调递减．即当x ＝﹣1时，函数f （x ）取得极大值，当x ＝1时，函数f （x ）取得极小值．要使函数f （x ）=13x 3﹣x +c ﹣1有两个不同零点，则满足极大值等于0或极小值等于0， ∵有一个零点恰为f （x ）的极小值点， ∴必有f （1）=13−1+c +1＝c +13=0，解得c =−13． 故选：C ．12．（5分）设F 为抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B ，C ，D 为该抛物线上四点，若FA →+FB →+FC →+FD →=0→，则|FA →|+|FB →|+|FC →|+|FD →|＝（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 抛物线焦点坐标F （14，0），准线方程：x =−14，∵若FA →+FB →+FC →+FD →=0→， ∴点F 是四边形ABCD 重心， 则x 1+x 2+x 3+x 4＝1， y 1+y 2+y 3+y 4＝0，而|FA →|＝x 1﹣（−14）＝x 1+14， |FB →|＝x 2﹣（−14）＝x 2+14， |FC →|＝x 3﹣（−14）＝x 3+14， |FD →|＝x 4﹣（−14）＝x 4+14，|FA →|+|FB →|+|FC →|+|FD →|＝（x 1+x 2+x 3+x 4）+1＝2， 故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知非零向量a →、b →满足|a →|=2，|b →|=1，且(a →+b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为 2π3．【解答】解：|a →|=2，|b →|=1，且(a →+b →)⊥b →， 所以（a →+b →）•b →=0， 所以a →•b →=−b →2=−1，所以cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=−12×1=−12； 又θ∈[0，π]，所以θ=2π3； 即a →与b →的夹角为2π3．故答案为：2π3．14．（5分）若sin(α+π4)=√2（sin α+2cos α），则sin2α＝ −35 ． 【解答】解：∵sin(α+π4)=√2（sin α+2cos α）， ∴√22（sin α+cos α）=√2（sin α+2cos α）， ∴可得sin α＝﹣3cos α， 又∵sin 2α+cos 2α＝1，∴{sinα=3√1010cosα=−√1010，或{sinα=−3√1010cosα=√1010， ∴sin2α＝2sin αcos α=−35．故答案为：−35．15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n +2S n ﹣1＝n ，则S 2021的值为 1011【解答】解：因为数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n +2S n ﹣1＝n ， ∴S n ﹣S n ﹣1+2S n ﹣1＝n ⇒S n +S n ﹣1＝n ；① ∴S n +1+S n ＝n +1；② ②﹣①可得：S n +1﹣S n ＝1；即{S n }的奇数项以及偶数项均是公差为1的等差数列； 又S 1＝a 1＝1，且2021＝2×1011﹣1为奇数项的第1011项． ∴S 2n ﹣1＝1011． 故答案为：1011．16．（5分）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 8+4√23 cm 3；表面积是 20+4√3 cm 2．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下面为正方体的组合体，故V=2×2×2+13×2×2×√2=8+4√23．S=4×12×2×√3+5×2×2=20+4√3．故答案为：8+4√23；20+4√3．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=13，且n∈N*时，a n+1，a n，−23成等差数列．（1）求证：数列{a n+23}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：由题意，当n∈N*时，a n+1，a n，−23成等差数列，则a n+1−23=2a n，即a n+1＝2a n+23，∴a n+1+23=2a n+23+23=2（a n+23），又∵a1+23=13+23=1，∴数列{a n+23}是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1），知a n+23=2n﹣1，即a n＝2n﹣1−23，n∈N*．∴S n＝a1+a2+…+a n＝（1−23）+（21−23）+（22−23）+…+（2n ﹣1−23）＝（1+21+22+…+2n ﹣1）−23n=1−2n1−2−23n＝2n −23n ﹣1．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝BC ，且BC ⊥AC ． （1）证明：平面PBC ⊥平面P AC ；（2）设棱AB ，BC 的中点分别为E ，D ，若四面体PBDE 的体积为13，求△PBE 的面积．【解答】证明：（1）∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面P AC ． 解：（2）设AC ＝P A ＝BC ＝a ， 则BD ＝DE =12a ，∴四面体PBDE 的体积为：13×12×(a 2)2×a =13，解得a ＝2，∴△PBE 的面积S △PBE =12×√2×2=√2．19．（12分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台．某单位共有党员200人（男女各100人），从2019年1月1日起在“学习强国”学习平台学习．现统计他们的学习积分，得到如下男党员的频率分布表和女党员的频率分布直方图．男党员积分（单位：千）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10）[10，12）人数（单位：人）1525302010（1）已知女党员中积分不低于6千分的有72人，求图中a与b的值；（2）估算女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和女党员学习积分的中位数（精确到0.1千分）；（3）若将学习积分不低于8千分的党员视为学习带头人，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关？男党员女党员合计带头人非带头人合计100100200相关公式即数据：x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P（x2≥k）0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【解答】解：（1）由女党员中积分不低于6千分的有72人，则低于6千分的有100﹣72＝28（人）；所以0.075×2+2a=28100=0.28，解得a＝0.065；又0.15×2+0.12×2+2b=72 100，解得b＝0.09；所以a＝0.065，b＝0.09．（2）由频率分布直方图可知：平均数为x=3×0.15+5×0.13+7×0.3+9×0.24+11×0.18＝7.34≈7.3．设中位数为x，由在[2，4）与[4，6）上的频率为0.075×2+0.065×2＝0.15+0.13＝0.28，所以0.15（x﹣6）+0.28＝0.5，解得x＝6+2215≈7.5；综上知，平均数为7.3，中位数为7.5．（3）由题意填写列联表如下：男党员女党员合计带头人304272非带头人7058128合计100100200由表中数据计算x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(30×58−70×42)272×128×100×100=288009216=3.125＜3.841，所以没有95%的把握认为该单位的学习带头人与性别有关． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（−√2，0），F 2（√2，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M （1，0）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N （3，2），记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问：k 1+k 2是否为定值？并证明你的结论． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（−√2，0），F 2（√2，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M （1，0）， ∴{c =√2b =1a 2=b 2+c 2，解得a =√3，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）k 1+k 2是定值．证明如下：设过M 的直线：y ＝k （x ﹣1）＝kx ﹣k 或者x ＝1 ①x ＝1时，代入椭圆，y ＝±√63，∴令A （1，√63），B （1，−√63）， k 1=2−√633−1，k 2=2+√633−1，∴k 1+k 2＝2．②y ＝kx ﹣k 代入椭圆，（3k 2+1）x 2﹣6k 2x +（3k 2﹣3）＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 则x 1+x 2=6k23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1，y 1+y 2=6k33k 3+1−2k =−2k 3k 3+1，y 1y 2＝k 2x 1x 2﹣k 2（x 1+x 2）+k 2=−2k23k 2+1，k 1=2−y 13−x 1，k 2=2−y23−x 2，∴k 1+k 2=6−3y 1−2x 2+x 2y 1+6−3y 2−2x 1+x 1y 2(3−x 1)(3−x 2)=2．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +a （x ﹣1）（a ∈R ）． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝2时．证明函数f （x ）有唯一的零点x 0，且x 0∈（0，12）．且曲线y ＝e x 在点（x 0，ex 0）处的切线也是曲线y =−12x 2的切线．【解答】解：（1）函数的定义域R ，f ′（x ）＝e x +a ，①当a ≥0时，f ′（x ）＞0恒成立，此时函数在（0，+∞）上单调递增； ②当a ＜0时，令f ′（x ）＞0可得x ＞ln （﹣a ），故函数在（ln （﹣a ），+∞）上单调递增，在（﹣∞，ln （﹣a ））上单调递减； （2）当a ＝2时，由（1）可知f （x ）＝e x +2（x ﹣1）在R 上单调递增， 因为f （0）＝﹣1＜0，f （12）=√e −1＞0，故函数f （x ）有唯一的零点x 0∈(0，12)，满足e x 0=2−2x 0① 曲线y ＝e x 在（x 0，e x 0）处的切线方程为y −e x 0=e x 0（x ﹣x 0）②， ①代入②化简可得，y ＝2（1﹣x 0）x +2（1﹣x 0）2， 由y =−12x 2可得y ′＝﹣x ，则﹣x ＝2（1﹣x 0），若切线l 也为曲线y =−12x 2的切线，则必有切点（2x 0﹣2，﹣2（1﹣x 0）2）， 又当﹣x ＝2（1﹣x 0）时，−12(2x 0−2)2=−2（x 0﹣1）2， 故曲线y ＝e x 在（x 0，e x 0）处的切线也是y =−12x 2的切线． 四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =1+√22t（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ+6sin θ． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M ，N ，点A 的坐标为（3，1），求|AM |+|AN |． 【解答】解：（1）曲线C 的方程ρ＝4cos θ+6sin θ， ∴ρ2＝4ρcos θ+6ρsin θ，∴x 2+y 2＝4x +6y ，即曲线C 的直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝13．（2）把直线l ：{x =3−√22t y =1+√22t 代入曲线C 得(1−√22t)2+(−2+√22)t 2=13，整理得，t 2−3√2t −8=0．∵△=(−3√2)2+32＞0，设t 1，t 2为方程的两个实数根，则t 1+t 2=3√2，t 1t 2＝﹣8，∴t 1，t 2为异号， 又∵点A （3，1）在直线l 上，∴|AM|+|AN|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√50=5√2． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|．（Ⅰ）解不等式f （x ）+f （2x +1）≥6；（Ⅱ）对a +b ＝1（a ，b ＞0）及∀x ∈R ，不等式f （x ﹣m ）﹣f （﹣x ）≤4a +1b 恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）+f （2x +1）＝|x ﹣2|+|2x ﹣1|={3−3x ，x ＜12x +1，12≤x ≤23x −3，x ＞2当x ＜12时，由3﹣3x ≥6，解得x ≤﹣1； 当12≤x ≤2时，x +1≥6不成立；当x ＞2时，由3x ﹣3≥6，解得x ≥3．所以不等式f （x ）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． （Ⅱ）∵a +b ＝1（a ，b ＞0），∴（a +b ）（4a +1b）＝5+4b a +a b ≥5+2√4b a ⋅a b =9，∴对于∀x ∈R ，恒成立等价于：对∀x ∈R ，|x ﹣2﹣m |﹣|﹣x ﹣2|≤9， 即[|x ﹣2﹣m |﹣|﹣x ﹣2|]max ≤9∵|x ﹣2﹣m |﹣|﹣x ﹣2|≤|（x ﹣2﹣m ）﹣（x +2）|＝|﹣4﹣m | ∴﹣9≤m +4≤9， ∴﹣13≤m ≤5．。
2020年湖南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年湖南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年湖南省高考数学(文科)模拟试卷(6) 含详细答案解析
的是（
）
1 A ．12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为
3
B ． 12 个月的 PMI 值的平均值低于 50%
C． 12 个月的 PMI 值的众数为 49.4%
D ．12 个月的 PMI 值的中位数为 50.3%
4．（ 5 分）数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松 日自半， 竹日自倍， 松竹何日而长等． 如图，是源于其思想的一个程序框图． 若输入的 a，
2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（ 6）
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）设集合 A＝ { x|﹣1＜ x≤ 2} ， B＝{ ﹣ 1，0， 1， 2， 3} ，则 A∩B＝（
）
A ．{ ﹣ 1， 0， 1， 2}
B． {0 ， 1， 2}
C． {0 ， 1}
C．（﹣ e， 0）∪（ 0， e）
D．（﹣ e， 0）∪（ e， +∞）
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
13．（ 5 分）设等差数列
{ an} 的前
n 项和为
Sn，且
a3≠ 0，若
??9 a5＝ 3a3，则
=
．
??5
14．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 ??= ???2?+ ??（?? a，b 为常数） 过点 P（ 2，﹣5），
b 分别为 8、 2，则输出的 n＝（
）
第 1页（共 21页）
A ．2
B．3
C． 5
D．4
→
→
5．（ 5 分）已知点 A＝（ 1，0）， B＝（ 3， 2），向量 ????= (2 ，1) ，则向量 ????= （ ）
2020湖南省高考文科数学全真模拟试卷含答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“若a b >，则11a b ->-”的否命题是 （ ）A ．若a b >，则11a b -≤-B ．若11a b ->-，则a b >C ．若a b ≤，则11a b -≤-D ．若11a b -≤-，则a b ≤ 2．非零向量b a 与不共线，若a +b =c ，a -b =d ，则c ⊥d 是|a |=|b |的 （ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分又不必要条件3．图像12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数24xy =-的图像关于（ ） A ．直线1x =对称 B ．点(1,0)对称 C ．直线2x =对称 D ．点(2,0)对称4．在△A BC 中，若sin A = cos Bcos C ，则tan C+tan B 的值为（ ） A ． 1 B ．—1 C ．－2 D ．25．设f (x )=x 2-6x +5，若实数x 、y 满足条件()(),y y f x f ⎩⎨⎧≤≤≥-510则xy的最大值是（ ） A ．9-45B.3C.5D.46.....l P P l A P B P l C P D P l αβαβααβαβαβ•••⊥=∈∉I 若平面，，且点，，则下列命题中的假命题是( )过点且垂直于的直线平行于过点且垂直于的直线在内过点且垂直于的直线在内过点且垂直与的平面垂直与7．将1)62cos()(+-=πx x f 的图象上所有的点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到)(x g y =的图象，再将)(x g y =的图象按向量c 平移，得到x y cos =的图象， 则c =（ ）A ．（6π，1） B ．（-6π，1）C ．（12π，-1）D ．（-6π，-1）8．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过（m ，n ）的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数 （ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个9．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则 （ ）A.以下四个图形都是正确的B.只有（2）（4）是正确的C.只有（4）是正确的D.只有（1）（2）是正确的① ② ③ ④ 10．直线x=m ，y=x 将圆面422≤+y x 分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m 的取值范围是 （ ） A ．)2,2(-B ．)2,2(-C ．)2,2()2,2(Y --D ),2()2,(+∞--∞Y二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
【数学】湖南省长沙市2020届高三统一模拟考试文科数学试卷有答案
+3= 0
②，
解得 x1 =1, x2 = 4 ，∴ BF = 5 ，故选 D。
12．A
解析：由已知Q x2 > x1 > 0,∴ x2 − x1 > 0 ,
∴
x1
ln
x2 x2
− −
x2 x1
ln
x1
<
2 等价于
x1
ln
x2
−
x2
ln
x1
<
2( x2
−
x1 )
，
即 x1 ln x2 + 2x1 < x2 ln x1 + 2x2 ，
（Ⅱ）设菱形 BB1C1C 的边长为 x ，由四边形 BB1C1C 是菱形，∠B1BC = 600 ,得 ΔB1BC
是等边三角形，则 B1C = x ，由(1)知 AO ⊥ B1C ，又 O 是 B1C 的中点， ∠B1 AC = 60Ο .
∴ΔAB1C 是等边三角形，则 AC = AB1 = B1C = x ，
i =1 n
xi zi − nxz
xi2
−
2
nx
=
47.64 − 6 × 4.5 × 2 139 − 6 × 4.52
= − 6.36 17.5
≈ −0.36 ，
i =1
∧
^
∴a = z − b x = 2 + 0.36 × 4.5 = 3.62 ,
^
∴z 关于 x 的线性回归方程是 z = −0.36x + 3.62 ，
在 RtΔACO 中， AO = AC2 − CO2 = 3 x , 2
∴VA− BCC1
=
1 3 SΔBCC1 AO
2020年湖南省湘潭市高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)
2020年湖南省湘潭市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>−1}，B={x|x≥1}，则A∩∁R B=()A. (−1,+∞)B.C. (−1,1)D. ⌀2.对于复数z=a+bi(a,b∈R)，若z+i=2−i1+2i，则b=()A. 0B. 2C. −2D. −13.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理2017年12个月期间甲、乙两地月接待游客量(单位：万人)的数据的茎叶图如图所示，则甲、乙两地游客量方差的大小情况为()A. 甲比乙小B. 乙比甲小C. 甲、乙相等D. 无法确定4.已知tanα=4，1tanβ=13，则tan(α+β)=()A. 711B. −711C. 713D. −7135.五把椅子排成一排，甲、乙二人随机去坐，则甲、乙二人不相邻的概率为()A. 45B. 35C. 25D. 156.已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的表面积为()A. √3+√7B. 1+√3+√7C. 1+2√3+√7D. 1+√3+2√77.已知a=2−13，，c=log1213，则()A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a 8. 已知点F 2，P 分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若点M 是PF 2的中点，|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c 22，则该双曲线的离心率为( ) A. √3+12 B. 32 C. √3 D. 2√39. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 1 B. 7 C. 25 D. −710. 函数f(x)=2cos 2ωx −sin 2ωx +2(ω>0)的最小正周期为π，则ω=( )A. 32B. 2C. 1D. 12 11. 在三棱锥S −ABC 中，SC ⊥平面ABC ，SC =√3，AB =1，BC =√3，AC =√2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π 12. 已知函数f(x)=xlnx +a x ，g(x)=x −e x−1+1，若∀x 1∈[12,3]，x 2∈(−∞,+∞)，f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数a 的取值范围为A. [1,+∞)B. (−∞,1]C. [2,+∞)D. (−∞,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 关于x ，y 的不等式组{2x −3y +7≥01≤x ≤4y ≥1所构成的区域面积为______ ．14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2<c 2，且sin C =√32，则C =_______． 15. 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为______ ．16. 已知函数f(x)=|x 2−2|−a 有4个零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 调查某桑场采桑员和辅助工关于桑毛虫皮炎发病情况结果如表：(1)完成2×2列联表；(2)利用2×2列联表的独立性检验估计，你是否有99%把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关？(参考公式：k2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d.)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.设数列{a2n−1}是首项为1的等差数列，数列{a2n}是首项为2的等比数列，数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，已知S3=a4，a3+a5=a4+2．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求S2n．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=BC=CD=DA=2，PA=1，∠BAD=120°，E为BC的中点．(1)求证：AE⊥平面PAD；(2)若F为CD的中点，求点D到平面PEF的距离．20. 求曲线y =f(x)=x 3−x +3在点(1,3)处的切线方程．21. 已知点A(0,1)，过点D(0,−1)作与x 轴平行的直线l 1，点B 为动点M 在直线l 1上的投影，且满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)已知点P 为曲线C 上的一点，且曲线C 在点P 处的切线为l 2，若l 1与直线l 2相交于点Q ，试探究在y 轴上是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)．(Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23. 已知函数f(x)=|x −2|−|2x −2|(Ⅰ)求不等式f(x)+1>0的解集；(Ⅱ)当x ∈R 时，f(x)<−x +a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查了集合的运算，属于基础题．根据集合A，B，先求出B的补集，再求出A∩∁R B．解：∵A={x|x>−1}，B={x|x≥1}，∴∁R B={x|x<1}，∴A∩∁R B=(−1,1)，故选C．2.答案：C解析：解：由z+i=2−i1+2i，得z+i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i，则z=−2i，即z=a+bi=−2i，∴b=−2．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，由茎叶图分析可得：甲的数据比较集中，而乙的数据比较分散，则甲的方差比乙的方差小；故选：A．根据题意，由茎叶图分析可得：甲的数据比较集中，而乙的数据比较分散，由方差的统计意义分析可得答案．本题考查茎叶图的应用，涉及方差的统计意义，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查两角和的正切公式，属于基础题．由两角和的正切公式直接求出tan(α+β)的值．解：由1tanβ=13得tanβ=3，又tanα=4，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=4+31−4×3=−711，故选：B．5.答案：B解析：解：五把椅子排成一排，甲、乙二人随机去坐，基本事件总数n=A52=20，甲、乙二人不相邻的包含的基本事件个数m=A42=12，则甲、乙二人不相邻的概率为p=mn =1220=35．故选：B．基本事件总数n=A52=20，甲、乙二人不相邻的包含的基本事件个数m=A42=12，由此能求出甲、乙二人不相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：B解析：画出满足条件的三棱锥的三视图，求出各个面的面积，相加可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．解：满足条件的几何体如下图所示：由侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，可得：OA =OC =1，则VA =VB =VC =2，AB =BC =√2，故侧面VAC 的面积为：√3，侧面VAB 和VBC 的面积为：√72， 底面ABC 的面积为1，故此三棱锥的表面积为1+√3+√7，故选：B ．7.答案：C解析：本题考查了指数式与对数式的比较大小，属于基础题．解：0<a =2−13<20=1，b =log 213<log 21=0，c =log 1213>log 1212=1，即0<a <1,b <0,c >1，所以c >a >b ．故选C ．8.答案：A解析：本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，属于中档题．利用|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c 22，求出直线的倾斜角，可得P 的坐标，代入双曲线方程，可得结论．解：设∠OF 2M =α，则c 2cos(π−α)=12c 2，∴cosα=−12，∴α=120°，∵点M 是PF 2的中点，∴P(2c,√3c)， 代入双曲线方程可得4c 2a 2−3c 2b 2=1，化简得4e 4−8e 2+1=0，∵e >1，∴e =√3+12，故选：A ． 9.答案：D解析：本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．利用向量的加减法运算，以及向量的数量积化简求解即可．解：在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−16=−7． 故选：D ．10.答案：C解析：本题考查二倍角公式和余弦函数的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题．先化简f(x)，再利用余弦函数的周期性即可求解．解：因为的最小正周期为π，则， 所以ω=1，故选C ．11.答案：C解析：根据ABC 的边长可得外接圆的半径r ，设球心到圆心距离为x ，构造直角三角形，即可求出三棱锥S −ABC 的外接球的半径，从而求解表面积．解：SC ⊥平面ABC ，SC =√3，AB =1，BC =√3，AC =√2，由余弦定理可得，，可得ABC 的边长可得外接圆的半径：r =√32，设球心到圆心距离为x ，球的半径为R ，根据球心与圆心构成直角三角形：可得 x 2+r 2=(√3−x)2+r 2=R 2，解得：x =√32，R =√62， 外接球表面积为．故选C ． 12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查导数中的恒成立问题，属于难题．由题意∀x 2∈(−∞,+∞)，f(x 1)≥g(x 2)等价于f(x 1)min ≥g(x 2)max ，利用导数求出函数g(x)的最大值为1，即有f(x)=xlnx +a x ≥1在x ∈[12,3]上恒成立，即可得a ≥(x −x 2lnx)max ，记φ(x)=x −x 2lnx ，x ∈[12,3]，再求出φ(x)的最小值即可得实数a 的取值范围．解：由题意∀x 2∈(−∞,+∞)，f(x 1)≥g(x 2)等价于f(x 1)min ≥g(x 2)max ，因为g(x)=x −e x−1+1，所以g′(x)=1−e x−1，令g′(x)=0⇒1−e x−1=0⇒x =1，当x 2∈(−∞,1)，g′(x)>0，当x 2∈(1,+∞)，g′(x)<0，所以g(x)max =g(1)=1．所以f(x)=xlnx +a x ≥1在x ∈[12,3]上恒成立，即a ≥x −x 2lnx 在x ∈[12,3]上恒成立，即a≥(x−x2lnx)max，记φ(x)=x−x2lnx，x∈[12,3]，由φ′(x)=1−(2xlnx+x)=−2xlnx−x+1．又记ℎ(x)=−2xlnx−x+1，则ℎ′(x)=−2(lnx+1)−1=−2lnx−3．当x∈[12,3]时，ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)单调递减，即φ′(x)在x∈[12,3]单调递减，又φ′(l)=0，即当x∈[12,1]时，φ′(x)≥0；当x∈[1,3]时，φ′(x)≤0；所以函数φ(x)=x−x2lnx在[12,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；从而φ(x)max=φ(l)=1，所以a≥1．故选A．13.答案：9解析：本题主要考查平面区域面积的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，根据图象的形状进行求解即可．解：根据约束条件画出可行域，如图所示．则A(1,1)，B(4,1)，C(4,5)，D(1,3)，则直角梯形ABCD的面积为12×3(2+4)=9．故答案为：9．14.答案：2π3解析：本题考查了余弦定理，由余弦定理可得cosC<0，所以C>π2，由sinC=√32，可得C．解：因为a2+b2<c2，所以cosC=a2+b2−c22ab<0，所以三角形是钝角三角形，且C>π2．又因为sinC=√32，所以C =2π3． 故答案为2π3． 15.答案：25√5解析：解：∵c+b 2c−b 2=53，a 2−b 2=c 2，c =2b ∴5c 2=4a 2∴e =c a =√5=2√55． 故答案为：25√5．先求出抛物线的焦点坐标，依据条件列出比例式，得到c 、b 间的关系，从而求离心率．本题考查椭圆和抛物线的几何性质、抛物线的简单性质的应用，关键是由条件得到c+b2c−b 2=53． 16.答案：(0,2)解析：作出y =|x 2−2|的函数图象，令y =a 与函数图象有4个交点得出a 的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查数形结合的应用，属于基础题．解：令f(x)=0得|x 2−2|=a ，作出y =|x 2−2|的函数图象如图所示：∵f(x)=|x 2−2|−a 有4个零点，∴直线y =a 与y =|x 2−2|的图象有4个交点，∴0<a <2．故答案为：(0,2)．17.答案：解：(1)2×2列联表采桑 不采桑 合计 患者人数18 12 30 健康人数5 78 83 合计23 90 113 (2)K 2=113×(18×78−12×5)223×90×30×83=39.6>6.635，所以有99%的把握认为患桑毛虫皮炎病与采桑有关系．解析：(1)根据所给数据，即可完成2×2列联表；(2)根据公式计算出k 2的数值，利用与观察值的关系进行分析．本题主要考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，比较基础．18.答案：解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则a 1=1，a 2=2，a 3=1+d ，a 4=2q ，a 5=1+2d ，∴4+d =2q ，(1+d)+(1+2d)=2+2q ，解得d =2，q =3，则数列{a n }的通项公式a n ={n, n =2k −12⋅3n 2−1,n =2k,k ∈N ⋅(Ⅱ)∵a n ={n, n =2k −12⋅3n 2−1,n =2k,k ∈N ⋅， ∴S 2n =(1+2n −1)n 2+2(1−3n )1−3=n 2−1+3n解析：(Ⅰ)根据等差数列和等比数列的通项公式建立方程组，即可求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式即可求S 2n ．本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列求和的计算，利用分组求和法是解决本题的关键．19.答案：证明：(1)∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB =BC =CD =DA =2，PA =1，∠BAD =120°，E 为BC 的中点．∴AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，∵PA ∩AD =A ，∴AE ⊥平面PAD ．解：(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，F 为CD 的中点，D(0,2，0)，P(0,0，1)，E(√3,0，0)，C(√3,1，0)，F(√32,32,0)， PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−1)， 设平面PEF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0n ⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√33,√3)， ∴点D 到平面PEF 的距离：d =|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33√133=√1313．解析：(1)推导出AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，由此能证明AE ⊥平面PAD ．(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面PEF 的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：2x −y +1=0解析：本题重点考查的是求曲线在某点处的切线方程，利用导数的几何意义求出切线的斜率是解题的关键，对曲线进行求导，得到切线斜率，进而写出切线的点斜式方程，问题就迎刃而解．解：∵y′=3x 2−1，当x =1时，y′=2，此时k =2，故切线方程为y −3=2(x −1)，即2x −y +1=021.答案：解：(1)设M(x,y)，由题得B(x,−1)．又A(0,1)，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,1−y)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1−y)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,−2)，∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∴(−x,−2y)⋅(x,−2)=0，解得x 2=4y ，∴轨迹C 的方程为x 2=4y ．(2)设点N(0,n)，P(x 0,x 024)， 由y =14x 2，得y ′=12x ，∴k 2=12x 0，∴直线l 2的方程为y −x 024=x 02(x −x 0)，令y =−1，可得Q 点的坐标为(x 02−2x 0,−1)． ∴NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,x 024−n)，NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−2x 0,−1−n)， ∵点N 在以PQ 为直径的圆上，∴NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 022−2−(1+n)(x 024−n)=(1−n)x 024+n 2+n −2=0(∗)，要使方程(∗)对x 0∈R 恒成立，则必有{1−n =0n 2+n −2=0，解得n =1． 即在y 轴上存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．解析：(1)设M(x,y)，由题得B(x,−1).由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.由此能求出轨迹C 的方程．(2)设点N(0,n)，P(x 0,x 024)，由y =14x 2，得y ′=12x ，从而k 2=12x 0，进而直线l 2的方程为y −x 024=x 02(x −x 0)，令y =−1，得Q(x 02−2x 0,−1).从而NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,x 024−n)，NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−2x 0,−1−n)，进而NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n)x 024+n 2+n −2=0，由此能求出在y 轴上存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程、导数的几何意义，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ，即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1， 故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α， 整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x −2|−|2x −2|，当x ≤1时，f(x)=−(x −2)+(2x −2)=x ，∴不等式f(x)+1>0转化为x +1>0，解得−1<x ≤1；当1<x ≤2时，f(x)=−(x −2)−(2x −2)=−3x +4，∴不等式f(x)+1>0化为−3x +5>0，解得1<x <53；当x >2时，f(x)=(x −2)−(2x −2)=−x ，不等式f(x)+1>0化为−x +1>0，解得x ∈⌀；综上，不等式f(x)+1>0的解集为{x|−1<x<53}；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)={x,x≤1−3x+4,1<x≤2−x,x>2；画出f(x)的图象如图所示；由图象知，当x=1时，令f(x)<−x+a，即1<−1+a，解得a>2；∴实数a的取值范围是(2,+∞)．解析：(Ⅰ)利用分类讨论法去绝对值，求不等式f(x)+1>0的解集即可；(Ⅱ)利用分段函数画出f(x)的图象，结合图象求出不等式f(x)<−x+a恒成立时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是中档题．。
2020年湖南省岳阳市高考一模数学(文科)试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．设全集为R，集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）2．已知复数z满足（1+2i）z＝3﹣4i，则＝（）A．B．1 C．D．53．设a，b，c均为正数，且e a＝﹣lna，e﹣b＝﹣lnb，e﹣c＝lnc，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c4．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图．有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A．①③B．②③C．①④D．②④5．函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．已知cosα＝，，α，β均为锐角，则sinβ＝（）A．B．C．D．7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．已知平面向量满足，且，则向量的夹角θ为（）A．B．C．D．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，5，则输出v的值为（）A．6 B．7 C．36 D．18010．已知{a n}为等差数列，a3＝52，a1+a4+a7＝147，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大值时n是（）A．19 B．20 C．39 D．4011．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确命题的序号是（）①若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a∥平面α．②若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b平行于平面α内的无数条直线．③若直线a，b不平行，则a，b不可能垂直于同一平面．④若直线a∥平面α，平面α⊥平面β，则直线a⊥平面βA．①②B．②③C．②④D．③④12．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则四边形ADBE面积的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．64二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上）13．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝a n+，则{a n}的通项公式a n＝．15．若函数f（x）＝e x（cos x+a）在区间（0，π）上单调递增，则实数a的取值范围是．16．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足＝t（t＞0且t ≠1）为常数，则P点的轨迹为圆．已知圆O：x2+y2＝1和，若定点B（b，0）（b≠﹣）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝，b＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＝sin B且b＝c．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D，E 分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC．（1）求证：CD⊥平面PAB；（2）若PA与平面ABC所成的角为，求三棱锥P﹣ABC的体积．19．某高新企业自2012年成立以来，不断创新技术与产品，积极拓展市场，销售收入y（单位万元）与年份代号x之间对应关系如表，且满足回归函数y＝a•10bx，a＞0，b＞0，记t＝lgy．（1）任取2年对比销售收入的情况，求这2年中销售收入均超过400万元的概率；（2）求回归函数y＝a•10bx，a＞0，b＞0中a，b的值．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝．20．已知点A（0，﹣2），椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．设过点A的动直线l与E相交于P，Q 两点．（1）求E的方程；（2）是否存在这样的直线l，使得△OPQ的面积为，若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设0＜a＜1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥3a|x1﹣x2|恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在极坐标系中，射线l：θ＝与圆C：ρ＝2交于点A，椭圆E的方程为：ρ2＝，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角标系xOy．（1）求点A的直角坐标和椭圆E的直角坐标方程；（2）若B为椭圆E的下顶点，M为椭圆E上任意一点，求的最大值．23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）＞4﹣2x对任意的x∈[﹣3，﹣1]恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为R，集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．解：全集为R，集合A＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x≤5}，∁R B＝{x|x≤﹣1或x＞5}则A∩（∁R B）＝{x|﹣3＜x≤﹣1}故选：B．2．已知复数z满足（1+2i）z＝3﹣4i，则＝（）A．B．1 C．D．5【分析】化简复数，即可求出．解：∵（1+2i）z＝3﹣4i，∴z＝＝﹣1﹣2i，∴||＝﹣1+2i，∴＝|﹣1+2i|＝＝，故选：C．3．设a，b，c均为正数，且e a＝﹣lna，e﹣b＝﹣lnb，e﹣c＝lnc，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c【分析】在同一坐标系中分别画出y＝e x，y＝e﹣x，y＝lnx，y＝﹣lnx的图象，数形结合能判断三个数的大小．解：在同一坐标系中分别画出y＝e x，y＝e﹣x，y＝lnx，y＝﹣lnx的图象，y＝e x与y＝﹣lnx的交点的横坐标为a，y＝e﹣x与y＝﹣lnx的图象的交点的横坐标为b，y＝e﹣x与y＝lnx的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出b＜a＜c．故选：C．4．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图．有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A．①③B．②③C．①④D．②④【分析】根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．解：甲的中位数为28，乙的中位数为29，故①不正确；甲的平均数为28，乙的平均数为29，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确故选：B．5．函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用趋近性结合排除法即可得到答案．解：当x→﹣∞时，，所以f（x）→0+，排除C，D；因为x→+∞时，，所以f（x）→+∞，因此排除B，故选：A．6．已知cosα＝，，α，β均为锐角，则sinβ＝（）A．B．C．D．【分析】根据α，β均为锐角，求出cos（β﹣α）＝，sinα＝，利用凑角公式求出sinβ即可．解：α，β均为锐角，所以β﹣α∈，＜0，所以β﹣α∈，所以cos（β﹣α）＝，sinα＝，故sinβ＝sin[（β﹣α+α]＝sin（β﹣α）cosα+cos（β﹣α）sinα＝＝，故选：D．7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．8．已知平面向量满足，且，则向量的夹角θ为（）A．B．C．D．【分析】根据进行数量积的运算即可求出，从而可求出的值，进而得出的夹角．解：∵，∴＝，∴，∴，且，∴．故选：C．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，5，则输出v的值为（）A．6 B．7 C．36 D．180【分析】由题意模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i＝﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为180，即可得解．解：初始值n＝3，x＝5，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2，v＝1×5+2＝7i＝1，v＝7×5+1＝36i＝0，v＝36×5+0＝180i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为180．故选：D．10．已知{a n}为等差数列，a3＝52，a1+a4+a7＝147，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大值时n是（）A．19 B．20 C．39 D．40【分析】利用等差数列通项公式列方程组求出a1＝58，d＝﹣3，从而a n＝58+（n﹣1）×（﹣3）＝61﹣3n，由a n＝61﹣3n≥0，得n，由此能求出使得S n达到最大值时n 的值．解：∵{a n}为等差数列，a3＝52，a1+a4+a7＝147，∴，解得a1＝58，d＝﹣3，∴a n＝58+（n﹣1）×（﹣3）＝61﹣3n，由a n＝61﹣3n≥0，得n，∴使得S n达到最大值时n是20．故选：B．11．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确命题的序号是（）①若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a∥平面α．②若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b平行于平面α内的无数条直线．③若直线a，b不平行，则a，b不可能垂直于同一平面．④若直线a∥平面α，平面α⊥平面β，则直线a⊥平面βA．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据线面平行，线面垂直的性质或判定定理逐个判断各命题的真假即可．解：对①，若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a∥面α或a⊂面α，所以①错误；对②，若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥面α或b⊂面α，所以直线b平行于平面α内的无数条直线，②正确；对③，若直线a，b不平行，则a，b不可能垂直于同一平面，③正确，反证法即可证明，假设a，b垂直于同一平面，则a∥b，与直线a，b不平行矛盾，所以假设不成立．对④，若直线a∥平面α，平面α⊥平面β，则直线a不一定垂直于平面β，④错误．故选：B．12．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则四边形ADBE面积的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．64【分析】直线与抛物线方程联立，求出|AB|，|DE|，可得面积，利用基本不等式，即可得出结论．解：由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为y＝k（x﹣1），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．∵△＞0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），∴，∴|AB|＝，同理设D（x3，y3）、E（x4，y4），∴，∴|DE|＝，设四边形ADBE的面积S＝|AB|•|DE|＝8（2+k2+）≥32．当且仅当k＝±1时，四边形ADBEE的面积取得最小值32．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上）13．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣3 ．【分析】先根据条件画出可行域，设z＝x﹣2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z＝x﹣2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．解：由x，y满足约束条件得到如图可行域，由目标函数z＝x﹣2y得到y＝x﹣，当直线经过A时，直线在y轴的截距最大，使得z最小，由得到B（1，2），所以z的最小值为1﹣2×2＝﹣3；故答案为：﹣3．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝a n+，则{a n}的通项公式a n＝．【分析】首先利用数列的递推关系求出，然后利用相减法得到，进一步求得数列是等比数列，利用关系式直接求出结果．解：已知数列{a n}的前n项和S n＝a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n＝1时，解得：a1＝1所以：＝故答案为：15．若函数f（x）＝e x（cos x+a）在区间（0，π）上单调递增，则实数a的取值范围是[）．【分析】由题意可知，f′（x）＝e x（cos x﹣sin x+a）≥0在区间（0，π）上恒成立，分离可得，a≥sin x﹣cos x＝在区间（0，π）上恒成立，结合正弦函数的性质可求．解：由题意可得，f′（x）＝e x（cos x﹣sin x+a）≥0在区间（0，π）上恒成立，故a≥sin x﹣cos x＝在区间（0，π）上恒成立，∵结合正弦函数的性质可知，当0＜x＜π时，的最大值，∴．故答案为[）16．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足＝t（t＞0且t ≠1）为常数，则P点的轨迹为圆．已知圆O：x2+y2＝1和，若定点B（b，0）（b≠﹣）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝ 2 ，b ＝﹣2 ．【分析】利用|MB|＝λ|MA|，可得（x﹣b）2+y2＝λ2（x+）2+λ2y2，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得b；取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得λ．解：设M（x，y），则∵|MB|＝λ|MA|，∴（x﹣b）2+y2＝λ2（x+）2+λ2y2，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b）2＝λ2（1+）2，（﹣1﹣b）2＝λ2（﹣1+）2，由λ＞0即b≠﹣，解得b＝﹣2，λ＝2．故答案为2，﹣2．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＝sin B且b＝c．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．【分析】（1）由正弦定理及其余弦定理，求出角A即可；（2）由（1）求出B，C，再由及∠ABD＝，∠D＝，求出AD，再求出面积．解：（1）由sin A＝sin B及正弦定理知a＝b，又b＝c，由余弦定理得cos A＝＝，A∈（0，π），A＝；（2）由（1）知B＝C＝，又a＝2，在△ABC中，由正弦定理知：AB＝2，在△ABD中，由正弦定理及∠ABD＝，∠BDC＝解得AD＝﹣1，故S△ABD＝＝＝．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D，E 分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC．（1）求证：CD⊥平面PAB；（2）若PA与平面ABC所成的角为，求三棱锥P﹣ABC的体积．【分析】（1）连DE，推导出∠ACB＝90°．CD⊥AB，由此能证明CD⊥平面PAB．（2）推导出CD⊥PD，PD⊥AC，从而PD⊥平面ABC．进而PA与平面ABC所成的角为∠PAD，即，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积．解：（1）证明：连DE，由题意知AD＝4，BD＝2．因为AC2+BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°．所以．在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2+BD2﹣2•BC•BD•cos∠DBC＝．所以．CD2+AD2＝AC2，所以∠CDA＝90°，所以CD⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABC，故CD⊥平面PAB．（2）解：由（1）知CD⊥平面PAB，又PD⊂平面PAB，所以CD⊥PD，又PD⊥AC，AC∩CD＝C，所以PD⊥平面ABC．又PA与平面ABC所成的角为∠PAD，即，所以PD＝AD＝4，，从而三棱锥P﹣ABC的体积为．19．某高新企业自2012年成立以来，不断创新技术与产品，积极拓展市场，销售收入y（单位万元）与年份代号x之间对应关系如表，且满足回归函数y＝a•10bx，a＞0，b＞0，记t＝lgy．（1）任取2年对比销售收入的情况，求这2年中销售收入均超过400万元的概率；（2）求回归函数y＝a•10bx，a＞0，b＞0中a，b的值．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝．【分析】（1）分别求出从该销售收入中任取2人与此2人收入高于400万元的选法种数，再由古典概型概率计算公式求解；（2）直接根据题中数据求解即可．解：（1）从7年销售收入中任取2年的销售收入，共有21种取法，其中2年销售收入均超过400万的有6种，故；（2）依题意，，；所以，；故，回归方程为y＝100.5x+1.3．20．已知点A（0，﹣2），椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．设过点A的动直线l与E相交于P，Q 两点．（1）求E的方程；（2）是否存在这样的直线l，使得△OPQ的面积为，若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件转化求解a，b，得到椭圆方程．（2）当l⊥x轴时，不合题意，由题意可设直线l的方程为：y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q （x2，y2）联立消去y得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，S△OPQ＝，设＝t＞0，则4k2＝t2+3，转化求解三角形的面积的最值，推出直线方程即可．解：（1）设F（c，0），因为直线AF的斜率为，A（0，﹣2）所以，c＝．又，解得a＝2，b＝1，所以椭圆E的方程为＝1．（2）当l⊥x轴时，不合题意，由题意可设直线l的方程为：y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q （x2，y2）联立消去y得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，当△＝16（4k2﹣3）＞0，所以k2＞，即k＜﹣或k＞时x1+x2＝．所以|PQ|＝＝＝，点O到直线l的距离d＝，所以S△OPQ＝，设＝t＞0，则4k2＝t2+3，S△OPQ＝，解得t＝1或t＝4，即k＝±1，所以存在这样的直线l：y＝±x﹣2或y＝±x﹣2．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设0＜a＜1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥3a|x1﹣x2|恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求导，分a≤0及a＞0两种情况讨论即可；（2）分析可得g（x）＝f（x）﹣3ax在（0，+∞）上是增函数，由此即可得解．解：（1）f'（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＝0得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；（2）由（1）可知，当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不妨设x1＞x2＞0，则f（x1）＞f（x2），所以|f（x1）﹣f（x2）|≥3a|x1﹣x2|恒成立，即f（x1）﹣f（x2）≥3ax1﹣3ax2恒成立，即f（x1）﹣3ax1≥f（x2）﹣3ax2恒成立，令g（x）＝f（x）﹣3ax，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，而g（x）＝e x﹣4ax﹣1，g'（x）＝e x﹣4a，所以对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，又0＜a＜1，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在极坐标系中，射线l：θ＝与圆C：ρ＝2交于点A，椭圆E的方程为：ρ2＝，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角标系xOy．（1）求点A的直角坐标和椭圆E的直角坐标方程；（2）若B为椭圆E的下顶点，M为椭圆E上任意一点，求的最大值．【分析】（1）由射线l：θ＝与圆C：ρ＝2交于点A，能求出点A的直角坐标，由椭圆E的极坐标方程，能求出椭圆的直角坐标方程．（2）由椭圆E的参数方程为，（θ为参数）．设，B（0，﹣1），由此能求出的最大值．解：（1）∵射线l：θ＝与圆C：ρ＝2交于点A，∴点A的直角坐标，∴椭圆E的方程为ρ2＝，∴直角坐标方程为＝1．（2）由（1）椭圆E的参数方程为，（θ为参数）．设，∵B（0，﹣1），∴，，∴＝﹣，当sin（θ+φ）＝﹣1时，的最大值为+5．23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）＞4﹣2x对任意的x∈[﹣3，﹣1]恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，去绝对值，然后分别解不等式；（2）由条件可得|x+a|＞2，即a＞2﹣x或a＜﹣2﹣x对任意的x∈[﹣3，﹣1]恒成立，然后解出a的范围即可．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|，∴f（x）＞4等价于或或，解得x＜﹣1或，∴不等式的解集为{x|x＜﹣1或}；（2）当x∈[﹣3，﹣1]时，由f（x）＞4﹣2x得|x+a|+2﹣2x+2x﹣4＞0即|x+a|＞2，∴a＞2﹣x或a＜﹣2﹣x对任意的x∈[﹣3，﹣1]恒成立，又（2﹣x）max＝5，（﹣2﹣x）min＝﹣1，∴a＜﹣1或a＞5，又a＞0，∴a＞5，∴a的取值范围为：（5，+∞）．。
湖南省三湘名校教育联盟2020届高三上学期第一次大联考数学(文)试题
两式相减得 Tn 21 22 2n n 2n1 1 n 2n1 2 ，
∴ Tn n 1 2n1 2 .
21. 解析：（1）定义域为 0, ， f ' x 2x a 1 ，
x
∵ f x 在其定义域上是增函数，∴ f ' x 0 ， a 2x 1 ，
1 n n 12n 1 .
6
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设 bn an log2 an ，求数列bn 的前 n 项和 Tn .
3
21. 设函数 f x x2 ax 2 ln x . （1）若 f x 在其定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围；
1 e2
3 e
21
1 e2 3e e2
0
，
f
e2
1 e4
3 e2
0 ，∴ n 的最大值为-2.
22. 解析：（1）当 a 0 时， f x ex 2 ， f 1 e 2 .
f ' x ex ， f '1 e ，∴切线方程为 y e 2 e x 1 ，即 y ex 2 .
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. “ 0 x 1”是“ log2 x 1 1 ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.
1
A.
B. 1
2
2020年湖南省名校联盟高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)
则该组合体的表面积为 S=
=
．
故选：A． 由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，左边是圆锥，右边是圆柱，圆柱与圆锥的底面半 径均为 2，圆锥的高为 3，圆柱的高为 2．再由圆柱与圆锥的表面积公式求解． 本题考查由三视图求表面积与体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
9.答案：D
解析：解：∵1＞log96=log3 ＞log32，c= ， ＞1，
∴c＞b＞a． 故选：D． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.答案：A
解析：解：模拟程序的运行，可得 k=1，S=0
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S=-
不满足条件 k＞5，执行循环体，k=2，S=-
不满足条件 k＞5，执行循环体，k=3，S=-
＞1，排除 B；
故选：C． 根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，据此排除 A、D，进而分析可得 ln（ex+e-x）＞ln（ex）=x，必
有
＞1，排除 B，据此分析可得答案．
本题考查函数的图象判断，注意用排除法分析，属于基础题．
8.答案：A
解析：解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为组合体，左边是圆锥，右边是圆柱， 圆柱与圆锥的底面半径均为 2，圆锥的高为 3，圆柱的高为 2．
再由（ +k ）• =3 解方程即可得解． 本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题． 【解答】
解：因为向量 =（2，-1）， =（0，1），
所以（ +k ）• =
又-1+k=3， 解得：k=4， 故答案为：4．
+k 2=-1+k，