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材料力学习题答案1试求图各杆 1-1 、2-2 、3-3 截面上的轴力，并作轴力图。

解： (a)

(b)F1140 3020 50 kN ， F2 230 20 10 kN ， F3 320 kN F1 1 F ， F2 2 F F 0 ， F3 3F

轴力图如题 2. 1图( a)、( b )、( c)所示。

作用于图示零件上的拉力 F=38kN，试问零件内最大拉应力发生在哪个截面上 ? 并求其值。

解截面 1-1 的面积为

A150 22 20 560 mm2

截面 2-2 的面积为

A215 15 50 22 840 mm2

因为 1-1 截面和 2-2 截面的轴力大小都为 F，1-1 截面面积比 2-2 截面面积小，故最大拉应力在截面 1-1 上，其数值为：

F N F38 103 max

A167.9 MPa

A1560

冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的镦

压力 F=1100kN。连杆截面是矩形截面，高度与宽度之比为h。材料为钢，

1.4

b45

许用应力58MPa ，试确定截面尺寸h及b。

解连杆内的轴力等于镦压力 F，所以连杆内正应力为F。

根据强度条件，应有F F，将h

1.4代入上式，解得

A bh b

F110010 3

0.1164m116.4mm b

1.458106

1.4

由h

1.4，得h16

2.9 mm b

所以，截面尺寸应为 b116.4 mm ， h162.9 mm 。

在图示简易吊车中，BC为钢杆， AB为木杆。木

杆AB的横截面面

积

A1100cm2，许

用应力

17MPa ；钢杆BC的横截面面

积

A16cm2，许用拉应力

160MPa 。试

求许可吊重F。

解 B 铰链的受力图如图(b) 所示，平衡条件为

F x0 ，F NBC cos30o F

NAB

（1）

F y0 ，F NBC sin 30o F0（2）解（ 1）、（ 2）式，得

NBC2F ，F NAB3F(３) (1) 按照钢杆的强度要求确定许可吊重

钢杆的强度条件为：

NBC

由上式和 ( ３) 式可得

F F

NBC1

A21160 106610 448000 N 48 kN 222

(2)按木杆的强度要求确定许可吊重

木杆的强度条件为：

NAB

1 A1

由上式和 ( ３) 式可得

F F

NAB1

A117 106 100 10 440415 N 40.4 kN 333

比较上述求得的两种许可吊重值，可以确定吊车的许可吊重为

F40.4 kN 。

某铣床工作台进给油缸如图(a) 所示，缸内工作油压p 2MPa ，油缸内径D= 75mm，活塞杆直径 d=18mm。已知活塞杆材料的许用应力50MPa ，试校核活塞杆的强度。

解活塞杆的受力图 (b) 所示，由平衡条件可得其承受的拉力为：

p D 2d2

F N

活塞杆的应力：

p D 2 d 2

D 2 d 2 2 1060.07520.0182

F N4p

A d 2d20.0182

32700000Pa32.7 MPa

与许用应力50MPa 比较可知，活塞杆可以安全工作。

变截面直杆的受力如图 (a) 所示。已知：A18cm2， A

24cm

2， E 200GPa 。求杆的总伸长 l。

解杆的轴力图如图 (b) 所示，各段的伸长分别为：

l1F

N 1

1 ，l2

2 EA1EA2

则总的伸长为

l l1

N 2

220 1030.240 103 0.2

EA2200 109 8104200 10 9 4 10 4 EA1

0.000075 m0.075 mm

设图 (a) 中CG 杆为刚体 ( 即CG 杆的弯曲变形可以忽略) ，BC杆为铜杆， DG 杆为

钢杆，两杆的横截面面积分别为

A 1 和 A 2 ，弹性模量分别为 E 1 和 E 2 。如要求 CG 杆

始终保持水平位置，试求

x 。

解 CG 杆的受力图如图 (b) 所示，其平衡条件为

M c

0 ， Fx F N 2l

①

F y

0 ，

N 1

N 2

②

由拉压胡克定律得二杆的轴向变形为：

l 1

F N1l 1 ， l 2 F N 2l 2

E 1 A 1

E 2 A 2

欲使 CG 杆始终保持水平状态，必须

l 1l 2 ，即

F N 1l

F N 2l

③

E 1 A 1 E 2 A 2

联立①、②、③式，解得：

ll 1E 2 A 2 。

l 1E 2 A 2

l 2 E 1 A 1

在图 (a) 所示结构中，假设 AC 梁为刚杆，杆 1、2、3的横截面面积相等，材料相同。试求三杆的轴力。

解杆ABC 的受力图如图 (b) 所示，平衡条件为：

F y

，

N 1

N 2

N 3

M A 0 ，

F N 2 a 2F N 3a

①

②

变形的几何关系如图 (b) 所示，变形协调方程为

l 1 l 3 2 l 2

③

利用胡克定律将③式变为

F N 1l F N 3l 2F N 2l ④

联立①、②、④式，解得

F ， F N 2

F ， F N 3

1 F

如图 (a) 所示刚杆 AB悬挂于 1、2 两杆上，杆 1的横截面面积为 60mm2，杆 2为 120mm2，且两杆材料相同。若 F=6kN，试求两杆的轴力及支座 A的反力。

解杆1、2的受力图如图 (b) 所示，这是个一次超静定问题，可利用的平衡方程只有一个。

M A 0 ，F N1 1 F N 2 2 F 3

变形协调方程为：

l1F

N 1

1EA2F N 1

312010 6

N11

l 2EA1F

N 2

260 106

N 24

N 22

解①、②式，得F

N 1 3.6kN ， F N 27.2 kN

由平衡条件：F y0 ，F N1F N2F F RAy 0得： F RAy 4.8 kN 。①②

图示凸缘联轴节传递的力偶矩为M e=200 N·m，凸缘之间用四只螺栓连接，螺栓内径 d 10mm，对称地分布在D080 mm 的圆周上。如螺栓的剪切许用应力60MPa ，试校核螺栓的剪切强度。

解假设每只螺栓所承受的剪力相同，都为F S。四个螺栓所受剪力对联轴节

轴线的力矩之和与联轴节所传递的力偶矩M e平衡，所以有：

D 0

S2因此，每只螺栓所承受的剪力为：

M e200

1250 N 1.25 kN

F S

28010 3

2D0

每只螺栓内的切应力为：

F S4F S 4 1250

15900000 Pa 15.9 MPa60 MPa

A d 20.012

所以，螺栓能安全工作。

一螺栓将拉杆与厚为 8mm的两块盖板相连接。各零件材料相同，许用应力为80MPa ，60MPa ，bs160MPa 。若拉杆的厚度δ=15mm，拉力F=120 kN，试设计螺栓直径 d及拉杆宽度 b。

解 (1)按拉伸强度要求设计拉杆的宽度

拉杆的轴力 F N F ，其强度条件为：

F N F F

A A b

解上式，得

F120103

0.1 m 100 mm

10 380106

(2)按剪切强度要求设计螺栓的直径

螺栓所承受的剪力为 F S F

，应满足剪切强度条件为：2

F4F

2 A 2 d 2

解上式，得

2F 2 120103

0.0357 m 35.7 mm

60106

(3)按挤压强度要求设计螺栓的直径

① 拉杆挤压强度条件为：

bs F F

A bs d bs

解上式，得

F120103

0.05 m 50 mm

1510 3160106

② 盖板的挤压强度条件为：

F / 2 F / 2F bs

8 10 3 d bs

bs16 10 3 d

解上式，得

F120103

0.047 m 47 mm

316 10 3160 106

16 10bs

比较以上三种结果，取d=50mm，b=100mm。

作图示各杆的扭矩图。

解图(a) ，分别沿 1-1 、2-2

平衡条件可分别求得：

T12M e， T2M e

截面将杆截开，受力图如图(a1)所示。应用

根据杆各段扭矩值，作出的扭矩图如图(a2) 所示。

用同样的方法，可作题图(b) 、(c) 所示杆的扭矩图，如图(b1)、(c1)所示。

阶梯形圆轴直径分别为 d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图 (a) 所示。已知由轮 3输入的功率为 P3=30kW，轮 1输出的功率为 P1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min ，材料的剪切许用应力60MPa ，G=80GPa，许用扭转角2o / m 。

试校核轴的强度和刚度。

解首先作阶梯轴的扭矩图

e19549P13

621 N gm 1 =9549

200

M e39549P

3 =9549301433N gm n200

阶梯轴的扭矩图如图 (b) 所示。

(1)强度校核

AC段最大切应力为：

T 1

M e1

621 49400000 Pa 49.4 MPa

60 MPa

t 1

0.043

AC 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。

CD 段的扭矩与 AC 段的相同，但其直径比 AC 段的大，所以 CD 段也满足强度要

求。

DB 段上最大切应力为：

T 2

e3 1433 21300000 Pa 21.3 MPa

60 MPa

t 2

0.073

故DB 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。

(2) 刚度校核

AC 段的最大单位长度扭转角为：

T 180 621

180 1.77 o / m

2o / m

GI P

80 109

0.044

DB 段的单位长度扭转角为：

T 180 1433 180 0.435 o / m

2o / m

GI P

80 109 0.074

综上所述可知，各段均满足强度、刚度要求。

实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速

n=100r/ min ，

传递的功率 P=，材料的许用切应力

=40MPa 。试选择实心轴的直径 d 1和内外径

比值为的空心轴的外径 D 2。

解轴所传递的扭矩为

T 9549

P =9549

7.5

716 N gm

100

由实心圆轴的强度条件

16T

max

W t

d 13

可得实心圆轴的直径为：

16T

16 716

0.045 m 45 mm

d 1 3

40 10

空心圆轴的外径为：

16T

16 716

0.046 m 46 mm

D 2 3

4 3

40 106 1 0.54 1

桥式起重机如图所示。若传动轴传递的力偶矩

Me=·m ，材料的许用应力

=40MPa ，G=80GPa ，同时规定

0.5 o / m 。试设计轴的直径。

解由圆轴扭转的强度条件

max

T 16M e

d 3

可确定轴的直径为：

16M e

3 16 1.08

103

0.0516 m 51.6 mm

40 10

由圆轴扭转的刚度条件

180 32M e 180

GI P

G d 4

可确定轴的直径为

32M e 180

4 32

1.08 103 180

0.063 m 63 mm

80 109 0.5

比较两个直径值，取轴的直径 d 63 mm 。

传动轴的转速 n=500r/min ，主动轮 1输入功率 P 1=368kW ，从动轮 2、3分别输出功

率P 2=147kW ，P 3=221kW 。已知 =70MPa ，

1o / m ，G=80GPa 。

(1)试确定 AB段的直径d1和BC段的直径 d2。

(2)若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径 d。

(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理 ?

解首先计算外力偶矩

M e19549P368

7028N gm 7030 N gm 1 =9549

500

e39549P

3 =95492214220N gm n500

应用以上外力偶矩数值，作轴的扭矩图如图(b) 所示。

(1)确定 AB段的直径d1和BC段的直径d2

根据强度条件：

AB16M e1 AB

d13

W t

可确定轴 AB段的直径为：

16M e13167030

0.080m 80 mm

d1370106

由刚度条件T

AB18032M e1180 GI P G d14

可确定轴 AB段的直径为：

32M e180 4 327030180

0.0846 m 84.6 mm 4

80109 12

比较由强度条件和刚度条件计算的AB段的直径值，取d185mm 。根据强度条件确定轴 BC段的直径为：

16M e23164220

0.0675 m 67.5 mm

d2370106

根据刚度条件确定 BC段的直径为：

32M e21804324220180

0.0745 m 74.5 mm

d24

80109 12

比较由强度条件和刚度条件计算的 AB 段的直径值，取 d 2

75mm 。

(2) 若AB 和BC 段选用同一直径，则轴的直径取 d 1 85mm 。

(3) 主动轮放在两从动轮之间，可使最大扭矩取最小值，所以，这种安排较合理。

试求图 (c) 和(f) 所示各梁中截面 1-1 、2-2 、3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无

限接近于截面 C 或截面 D 。设 F 、q 、a 均为已知。

解 (c) 截面 1-1 内力为：

2qa ， M 1

Fa 1 qa 2

3 qa 2

截面 2-2 内力为：

F qa

2qa ， M 2 M C Fa

1 q a

2 1 q a 2

2 2

(f) 截面 1-1 内力为：

qa ， M 1

1 qa 2

M C F i 0， F R2 a M C 2Fa

1 qa

2 0

由上式可得： F R2

qa 2qa

截面 2-2 内力为：

F R 2 F

3 qa ， M 2 M C Fa

2qa 2 。

设图 (a) 、(d) 、(h) 、 (j) 和(l) 所示各梁的载荷 F 、q 、Me 和尺寸 a 。(1) 列出梁的剪力方程和弯矩方程； (2) 作剪力图和弯矩图； (3) 确定 F S max 及 M max 。

解(a) 受力如图 (a) 所示

(1)列剪力方程和弯矩方程

用假想截面截开，取右段进行研究可得剪力方程和弯矩方程：

F S

2F0x a x

a x2a

F 2x a0x a x

a x2a

(2)作剪力图、弯矩图

如题图 (a2) 所示。

(3)梁的最大剪力和弯矩

S max

M max Fa

(d)受力如图 (d) 所示

(1)计算支反力 F A和 F B

由M A F i0 可得：2aF B Me Fa 0 ， F B F

由F iy 0 可得：F A0

(2)列剪力方程和弯矩方程

剪力方程为：

F S

00x a x

a x2a

弯矩方程为：

00x a M x

a x2a

F 2a x

(3)作剪力图、弯矩图

如题图 (d2) 所示。

(4)梁的最大剪力和弯矩

S max

M max Fa

(h)受力如图 (h) 所示

(1)计算支反力 F C和 F B

由M C F i 0可得：

2aF B6Fa Fa 0 ， F B 5 F

2由 F iy0 可得：

F C6F F F B F

(2)列剪力方程和弯矩方程

剪力方程为：

F0x a

F S x 7

a x2a F

2a x3a F

弯矩方程为：

Fx0x a M x F7x9a a x2a

5 F3a x 2 a x3a

(3)作剪力图、弯矩图

如题图 (h2) 所示。

(4)梁的最大剪力和弯矩

S max

7 F

max

(j) 受力如图 (j) 所示

(1) 计算支反力 F C 和 F E

由

M C F i 0可得：

2F E 30 1

2.5 20 1

30 1

0.5 0

由上式可得

F E 40 kN

由

F iy 0 可得：

F C 2 30 1 20 40 40 kN

(2) 列剪力方程和弯矩方程

剪力方程为：

30x

0 x 1 F S

10 1 x 2

2 x 3

30 4 x 3 x

弯矩方程为：

15x 2 0 x 1

M x

10x 25 1 x

15 10x

2 x 3

15 4 x

3 x 4

(3) 作剪力图、弯矩图

如题图 (j2) 所示。

(4) 梁的最大剪力和弯矩

S max

30 kN

M max15 kN gm

(l)受力如图 (l) 所示

(1)列剪力方程和弯矩方程

用假想截面截开，取左段进行研究可得剪力方程和弯矩方程：

F S x

qx0x a

qa a x2a

1qx20x a

M x2

3 qa2

qax a x2a

(2)作剪力图、弯矩图

如题图 (l2) 所示。

(3)梁的最大剪力和弯矩

S max qa

max 1 qa2

矩形截面悬臂梁如图所示，已知l 4m ，b2

， q10kN / m ，10MPa 。试确h3

定此梁横截面的尺寸。

解显而易见，梁的最大弯矩发生在固定端截面上M

max 1 ql21104280 kN gm

梁的强度条件为：M8010 3

W12

将

代入上式得

18 80 103

3 18 80 103

h 3

0.416 m 416 mm

2h 2 416 277 mm

。

⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图

(a) 所示。若材料的拉伸许用应力

40MPa ，压缩许用应力

160MPa ，截面对形心轴

z c 的惯性矩

I z c

10 180cm 4 ， h 1

9.64cm ，试计算该梁的许可载荷

F 。

解梁的弯矩图如图

(b) 所示，弯矩的两个极值分别为：

M 1

0.8F

，M 2

0.6F

。

根据弯曲正应力的强度条件

max

I z C

由A 截面的强度要求确定许可载荷

由抗拉强度要求得：

t I

z C

40 106

10180 10

0.8h 1

0.8 9.64 10 2 52800 N 52.8 kN

由抗压强度要求得：

C I

z C

160 106

10180 10

0.8h 2

0.8 15.4 10 2

1322000 N 132.2 kN

由C 截面的强度要求确定许可载荷

由抗拉强度要求得：

t I

z C

40 106 10180 10 8

44100 N 44.1 kN

0.6h 2

0.6 15.4 10 2

显然 C 截面的压应力小于 A 截面同侧的拉应力，不必进行计算。许用载荷为

F 44.1 kN 。

铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图 (a) 所示。许用拉应力

40，许用

MPa

压应力

160MPa 。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将 T

形横截面倒置，即翼缘在下成为⊥形，是否合理

? 何故 ?

解截面的几何性质

y c

20 3 10 20

3 21.5

2 20

3 15.8 cm

I z

1 3 20

20 3 5.82

20 3

20 3 21.5 15.8

6012 cm c

y i A i （组合面积的形心：

i 1

，平行轴定理： I z 2

）

c k

I zc Ad

A i

i 1

作梁的弯矩图如图 (b) 所示。

根据弯曲正应力的强度条件

max

z C

B 截面上的最大拉应力和最大压应力为：

M max y max

20 103

23 15.8 10 2 t

6012 10

23.95 106 Pa 24.0 MPa

I z

40 MPa

M max y max

20 103 15.8 10 2 52.56 106 Pa 52.6 MPa

I z

6012 10 8

160 MPa

C 截面上的最大拉应力和最大压应力为：

M max y max

103

15.8 10 2

26.28 106 Pa 26.3 MPa

40 MPa

I z

6012 10 8

max

10 103

23 15.8 10 2

106

Pa 12.0

MPa

c 160 MPa

10 8 11.98

z C

6012

由此可知，最大应力小于许用应力，安全。

若截面倒置呈⊥形，则 B 截面的最大拉应力将增大为：

t M

max

max20 103 15.8 10 252.56 106 Pa 52.6 MPa I

z C6012 10 8

显然，这样抗拉强度不够，因而截面倒置使用不合理。

t40 MPa

试计算在均布载荷作用下，圆截面简支梁内的最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于何处。

解求支反力F A和F B

F A F B 1 ql 5 kN

剪力和弯矩分别为：

F S x F A qx 510x kN ， 0x 1

M x F A x 1 qx25x 5x2 kN gm， 0 x 1

画出的简支梁的剪力图和弯矩图如图(b) 、(c) 所示。

由剪力和弯矩公式可得：

M max 1.25 kN gm ， F S max 5 kN

最大正应力

max32 1.25 103101860000 Pa 101.9 MPa

max

0.053

最大正应力发生在跨中点处圆截面竖向直径的上、下端点上，如图 (a) 所示。

最大切应力[ 注：书 P152：max4F s2（5-12 ）]

3 R

S max45 1033395000Pa 3.4 MPa

max

30.0252

3 R2

最大切应力发生在A、B 截面的中性轴上。

试计算图 (a) 所示工字钢截面梁内的最大正应力和最大切应力。

解利用平衡条件求出工字梁的约束反力

F B 202102

，4

5 hN

F A1020525 kN

并标示在图 (b) 中，作剪力图和弯矩图，分别如图(c) 、(d) 所示。工字钢截面的几何性质可查附录三型钢表获得。

I z1130cm4，W z 141cm3，I

S13.8cm

，d 6mm(腹板宽度)

式中，I

z是截面对中性轴的惯性矩与半截面的静矩之比。S

最大正应力和最大切应力：

max M

max20 103141800000 Pa 141.8 MPa W z141 10 6

max F Smax S z*max15103

18100000 Pa18.1 MPa bI z 6 10 313.8 10 2

（注：max F

Smax

max ：F S S z*书 P151，在中性轴处，切应力最大）bI z bI z

用叠加法求图 (a) 、(c) 所示各梁截面A的挠度和截面 B 的转角。EI 为已知常数。

解 (a)图(a) 的受力可分解为如图 (a1) 的受力。

查附录二可得（注： P188：l l / 2）

w A Fl 3

，

124EI

M e l / 22

Fl 3 2EI8EI