第四讲 最大数和最小数

第四讲最大数和最小数问题
六月一日，“小天使”儿童快餐店迎来了28位前来就餐的小朋友。

快餐店的老板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小朋友。

谁的年龄最小呢？
当每个小朋友报出自己的年龄后，老板发现，其中有10岁的，也有9岁、8岁、7岁、6岁的，最小的是5岁。

但是5岁的小朋友有4位。

按照这4位小朋友生日的先后，还能找到一个最小的，因此老板要他们各自报出自己的生日。

结果如下：
小雨 2月8日
豆豆 5月2日
苗苗 8月16日
慧慧 12月9日
把这4位小客人的生日一比，很容易知道，慧慧是28位小朋友当中最小的。

慧慧得到老板送的大蛋糕。

她把这块大蛋糕分成了28份，让大家和她一起品尝。

也许有的同学会问：“如果这4个小朋友中有两个生日是同一天，那怎么办呢？”
是不是谁生日的数字大就是谁大呢？哪些是通过比数字的大小得到最大最小数？通过下面的一些例题与方法，我们将会得到这方面的知识。

典型例题
例[1] 用2，4，6，8这4个数字组成一个最大的四位数。

分析用这4个数字组成4位数有很多个，但最大的只有一个。

要使组成的四位数最大，应当遵循一条原则：用较大的数占较高的数位。

解用2，4，6，8组成的最大的四位数是8642。

例[2] 从十位数7677782980中划去5个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不改变）组成的五位数最小。

这个五位数最小的五位数是多少？
分析在10个数字中划去5个数字，还剩5个数字组成五位数。

要使这个五位数最小，应当用最小的数去占最高位（万位），第2小的占千位……
但是，10个数字中最小的2不能放在万位上（想一想，为什么？）。

这样，万位上的数只能在剩下的第2小的数中选，应选6。

万位确定后，千位在剩下的数中选最小的2。

而题目中要求剩下的5个数字的先后顺序不改变，所以，百位、十位、个位上的数字只能是最后三个数字9，8，0。

解划去4个7和万位上的8。

剩下的数组成的最小五位数是62980。

例[3] 钱袋中有1分、2分、5分3种硬币。

甲从袋中取出3枚，乙从袋中取出2枚，取出的5枚硬币仅有2种面值，并且甲取出的3枚硬币面值的和比乙取出的2枚硬币面值的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是多少分？
分析因为乙只取2枚硬币，而2枚硬币的钱数最多是5×2=10（分）。

而甲取出的3枚硬币的和比乙取出的2枚硬币的和少3分。

因此，最多只有10－3=7（分）。

两者合起来就是取出的钱数的总和的最大值。

解10＋7=17（分）
例[4]一把钥匙只能开一把锁。

现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？
分析开第1把锁，从最坏的情况考虑，试了3把钥匙还未成功，则第4把不用再试了，他一定能打开这把锁。

同样的道理，开第2把锁最多试2次，开第3把锁最多试1次，最后剩下的一把钥匙一定能打开剩下的第4把锁，不用再试。

解最多（也就是按最不凑巧的情况考虑）要试的次数为3＋2＋1=6（次）。

例[5]把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中，使得数最大。

□□□□－□□×□□这个最大得数是多少？
分析要使得数最大，被减数（四位数）应当尽可能大，减数（□□×□□）应当尽可能小。

由例[1]的原则，可知被减数为8765。

下面要做的是把1、2、3、4分别填入□□×□□的4个“□”中，使乘积最小。

要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。

也就是说，它们的十位数都要尽可能小。

因为
12×34=408 而14×23=322，13×24=312（最小）
解 8765－13×24=8453
小朋友们，回到我们开头提的故事，那么我们发现，不是所有的比较大小都只看数字，而是同时要考虑其他因素，慧慧生日数字大，证明她出生晚，所以她最小，同样的理由，如果这4位小朋友在同一天生日，那么谁出生的时间最晚那么谁就最小。

小结用不同的数字组成多位数，要使组成的数最大，应当用较大的数占较高的数位；要使组成的数最小，应当用较小的数占较高的数位。

其中列举比较法是获得最大数或最小数的常用方法。

解决“最大（最小）问题”，有时需要考虑最不利（最不凑巧）的情况，比如，“锁与钥匙配对”的问题。

有这样一条规律一定要记住：两个整数的和一定，那么当它们相等时，乘积最大。