双曲线的简单性质练习题及答案
双曲线专题经典练习及答案详解
双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x aby ±= x ba y ±= 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．12.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．84.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝15.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．6.已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.567.已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．8.双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？。
双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2双双双双双双双双双双(2)一、单选题1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2214x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，则直线l 的方程为 ( )A. 21y x =B. 21y x =C. 35y x = D. 35y x =2. 已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. 3)B. (1,2]C. 3,)+∞D. [2,)+∞3. 设12,F F 是双曲线22:-=145x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，则12PF F 的面积为( )A. 3B.72C.532D. 54. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12||23F F =，600(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )A. 33(B. 33(C. 2222(33-D. 2323( 5. 若直线2y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. 5)B. 5,)+∞C. 5]D. 5,)+∞6. 已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )A. 1(,0)(3,)3-⋃+∞B. (3,)+∞C. (,0)(3,)-∞⋃+∞D. 1(,3)3-二、多选题8. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )A.141B.6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )A. 2//OQ PFB. ||OQ a =C. 22||||2PF PF b ⋅=D. 2max()ABQ Sa =三、填空题10. 若直线0x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值为__________.11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.12. 已知双曲线C ：22145x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________. 四、解答题14. 设A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为43 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ︒∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，求出电波所在直线斜率k 的取值范围.16. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点(2,3)P 为E 上一点．(1)求E 的标准方程；(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，过点且斜率为1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】B解：设直线l 的方程为y x m =+，，由2214y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=， 则212443m x x +=，1283m x x +=-，又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2214x y -=右支的交点， 所以，且803m->， 即，且0m <，解得221m =，且0m <， 所以21m =-，所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B2.【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离231d k ==+，3k ∴= 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，与其中一条渐近线by x a=斜率比较即可， 3b a∴，2214b a+，∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].故答案选：.B11(,)A x y3.【答案】D解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，由||3OP =，得229x y +=， 所以229x y =-，代入22145x y -=，解得5.3y =± 所以1212115||||6||5223F F PSF F y ==⨯⨯±=， 故选.D4.【答案】A解：由题意，3c =2a =1b =，∴双曲线方程为22 1.2x y -=120MF MF ⋅<，220030x y ∴+-<， 220022x y =+， 20310y ∴-<，03333y ∴-<<， 故选：.A5.【答案】B解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点， 则有2ba>， 即有22221()145c a b b e a a a+===+>+=则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B6.【答案】B解：由题意可得：双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±， 点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条， 所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B7.【答案】A解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由，则①，且122412mkx x k+=-，21222(1)12m x x k -+=-， 设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =-，0212my k=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，，G 为MN 的中点，AG MN ∴⊥，21212m k k km+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，由①②得103m -<<或3m >， 故选.A8.【答案】BC解：由题意得直线 l 垂直于渐近线by x a=，则2OA BF ⊥， 由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：在Rt BOA 中，2tan b BOA a∠=， 由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a∠=， 因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠2222222tan 21tan 1bAOF b a b AOF a a⨯∠=-=-=-∠-，化简得2b a =，故离心率2213b e a=+=；当||4AB b =时，如图：在2Rt AOF 中，2tan b AOF a∠=，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2241()bb a b a a⨯=-， 化简得21()2b a =，故离心率2261.2b e a =+=综上所述，离心率e 的值为3或6.2故选.BC9.【答案】ABD解：如图所示：A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥， 故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，又因为12||||FO F O =，即O 为12F F 的中点， 故OQ 为12F F C 的中位线， 所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ， 又因为P 、2F 、C 共线， 故2//OQ PF ，故A 正确；B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=， 因为1||||F P PC =，而12||||2F P PF a -=， 故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =， 故1||22OQ a a =⨯=，故B 正确； C 选项，若212||||2PF PF b ⋅=，则222222212121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =， 当OQ x ⊥轴时，2max1()22ABQ Sa a a =⨯⨯=，故D 正确.故选：.ABD10.【答案】1±解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由得22220(0)x mx m ---=∆>，则212122,2x x m x x m +==--，1202x x x m +∴==，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆225x y +=上，22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±故答案为 1.±11.【答案】1±解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，得22(3)220k x kx ---=， 因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2203k -<- 解得33;k -<<(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)1033kk k k k -∴+⋅+⋅+=--， 整理得21k =，符合条件，1.k ∴=±故答案为； 1.±12.【答案】3解：24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入22145x y -=得52y =±，则||5AB =，满足， 若A 、B 分别在两支上，2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.13.【答案】4解：离心率为2ce a==，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22212(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-， 由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方， 显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小， 由OP ：ay x b=-，即33y x =-330x y a -+=， 可得33(,)44P a a -，即211332242S c a a =⋅⋅=， 当P 与N 重合时，可得||OP 最大， 可得2212232S c b a =⋅⋅=， 即有222123 4.3S a S a ==故答案为：4.14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为by x a=±，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为，又243a =，23a ∴=，双曲线的方程为221.123x y -=(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，由得： 2163840x x -+=，1212123163,()4123x x y y x x ∴+=+=+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，有，又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()1123t t ∴-=，解得216t =，点D 在双曲线的右支上，0t ∴>，4t ∴=，此时点(43,3).D15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -，设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=， 所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支， 由题得22,2,1a c a ===， 所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为221(1).3y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，联立直线和221(1)3y x x -=， 消去y 得2222(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=当230k -=时，若3k =当3k =当230k -≠时，由0∆<得2222(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <所以电波所在直线斜率k 的取值范围16.【答案】解：(1)当3ba =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =故E 的标准方程为221.3y x -=(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2213y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=由题意，3k ≠222244(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =-；与3y x =-联立，解得23x k=+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|AOBt S OA OB AOB x x x x k ︒∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以223b c a a -=，从而双曲线C 的方程可化为222213x y a a-=，由得22226630x x a ---=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为，所以126x x +=，212332x x a ⋅=--， 因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=， 于是21212326()62(3)66632x x x x a ++=⨯--=，解得1a =， 所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为，设为双曲线C 右支上一点，当02x =时，因为290QFM QMF ︒∠=∠=， 所以45QMF ︒∠=，于是，所以 1.t =-当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y QMF k x t∠==-， 因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221()y y x ty x x t⨯--=---， 将220033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，所以，解得 1.t =-综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。
双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)
双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线， 故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1． 由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25， 解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。
双曲线的简单几何性质练习题
课时作业(十一)[学业水平层次]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) －x 218＝1 －y 218＝1 －y 28＝1－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)，∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y218＝1.【答案】 B2．(2014·天水高二考试)已知双曲线方程为x 2－y24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．(2014·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．42【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C.【答案】 C4．(2014·广东高考)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 若0<k <5，则5－k >0,16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k .可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D 二、填空题5．(2014·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 26．(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|PA |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|PA |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 447．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－9b 2－a 2＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题8．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1.由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.9．(2014·玉溪高二检测)已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2,0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为x 23－y 2b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A 、B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升层次]1．(2014·山东省实验中学高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于( )【解析】 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．(2014·北京市东城区)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A 、B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2,0)， 将直线AB 方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．(2014·安徽师大)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k 2＋361－3k 2>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
双曲线练习题(含答案)
双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
高中数学选修双曲线的简单性质(基础)知识点巩固练习
目录双曲线的简单性质 (1)【学习目标】 (1)【要点梳理】 (1)【典型例题】 (5)【巩固练习】 (13)双曲线的简单性质编稿：武小煊审稿：柏兴增【学习目标】1．知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念．2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的简单几何性质范围221x a≥，即22x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x = -a 和x = a 的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>． 由c 2= a 2+b 2，可得22222()11b c a c e a a a -==-=-，所以b a 决定双曲线的开口大小，b a越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b=，所以离心率2e=．渐近线经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by xa=±．我们把直线by xa=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．22||b bMN x a xa a=--2222bx a xaabx x a=--=→+-【高清课堂：双曲线的性质356749知识要点一、3】要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程22221x ya b-=(0,0)a b>>22221y xa b-=(0,0)a b>>图形性质焦点1(,0)F c-，2(,0)F c1(0,)F c-，2(0,)F c要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x y a b -=，则其渐近线方程为22220x y a b -=⇒0x y a b ±=⇒b y x a =±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x y a b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x y a b -=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠（0λ>，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：21211222121122||||||||11||||||||PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a======+>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来； （5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >>．【解析】双曲线的方程可化为：221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c ==∴实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53e =，渐近线方程34y x =±．【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和2a ，b 和2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．14-B ．－4C ．4D ．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx 2－ky 2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k 的值等于（ ）A ．－2B ．1C ．－1D ．32-【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2．已知双曲线方程，求渐近线方程．（1）221916x y -=；（2）221916x y -=-．【解析】（1）双曲线221916x y -=-的渐近线方程为：220916x y -=，即43y x =±．（2）双曲线221916x y -=的渐近线方程为：220916x y -=，即43y x =±．【总结升华】不同形式双曲线的渐进线方程为：（1）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±；（2）双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为b x y a =±，即ay x b=±；（3）若双曲线的方程为2222x y m n λ-=（00m n λ>>、，，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上），则其渐近线方程为22220x y m n -=⇒0x y m n ±=⇒ny x m=±．举一反三：【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程：（1）2211636x y -=；（2）2228x y -=； （3）22272y x -=．【答案】（1）32y x =±；（2）y x =；（3）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】D例3． 根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】 （1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b -=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=．当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪--=，解得24a =-，294b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(3,-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=．故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上， ∴284λ=，解得4λ=，∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）．举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（ ） A ．225513654x y -= B ．225513654x y -+= C ．22131318136x y -= D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a b λλ-=≠有相同的（ ）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对 【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4． 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴12||2tan30AF c ==，224||2tan30cos30c AF c ===，∴21||||2AF AF a -===，∴3ce a== 【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】 【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率23e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)的直线与原点间的距3，求双曲线的方程． (2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=； （2）2241273y x -=【变式2】 等轴双曲线的离心率为_________2【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e 5－2B ．1< e <2C ．1< e <3D ．1< e <25【答案】D类型五：双曲线的焦点三角形例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于A 、B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【思路点拨】将2ABF ∆的周长分拆成2211|||||||AF BF AF BF ，，，的和，利用双曲线的定义及条件||8AB =可求得周长．【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=． 即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=．故2ABF ∆的周长22||||||28L AF BF AB =++=．【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式1】已知双曲线的方程22221x y a b -=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）A ．2a +2mB ．4a +2mC ．a +mD ．2a +4m【答案】B【变式2】已知12F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠=______【答案】90类型六：直线和双曲线的位置关系例6． 已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数．【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解．【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ①(1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)，则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)． (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点． 综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D例7．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程． 【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．【解析】由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得， 212121242082|2()422933d x x x x x x =-=+-=+=． （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->∴21680,||k k << 且12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y -+=<-或0)y >．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y x x y =-， 即2240x y y -+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-； （2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．举一反三： 【变式】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205x y -=l 的方程 【答案】210y x =±【巩固练习】一、选择题1．焦点为(0，±6)且与双曲线2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是( )A.2211224x y -= B.2211224y x -= C.2212412y x -= D.2212412x y -= 2．双曲线2222ay b x -=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ） A. 2 B.3 C.2 D.23 3.双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y x =-,则双曲线的离心率为( ) A.2296x y -= B. 22160y x -= C. 2280x y -= D. 2224y x -= 4．过双曲线2222by a x -=1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q=90︒，则双曲线的离心率是（ ） A.2 B.1+2C.2+2D.35. 已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝±xC ．y ＝±4x D ．y ＝±3x 6．与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且经过点(-3,23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）.A.8B.4C.2D.1二、填空题7．已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是________． 8．椭圆22214x y a+=与双曲线2221x y a -=焦点相同，则a ＝________.9．双曲线以椭圆221925x y +=的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________． 10．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．三、解答题11．设双曲线2222by a x -=1（0<a<b ）的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，求双曲线的离心率.12. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围：13．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)过点(14,5)A ，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43，求此双曲线方程． 14．已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为12F F 、，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积.15．如下图，已知F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率．【答案与解析】1．【答案】: B【解析】: 与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程可设为222x y λ-=(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为2212x λλλ-=--. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为2211224y x -=. 2．【答案】C 【解析】双曲线的渐近线方程为a y x b=± ∵渐近线互相垂直，且关于坐标轴对称，∴1a b =，得a=b. 双曲线离心率222c a b e a +===. 3．【答案】 D【解析】 设双曲线方程为22(0)y x λλ-=≠∵焦点(0,43),±∴0,λ>又22(43)λ=,24λ=4. 【答案】B 【解析】因为|PF 2|=|F 2F 1|， P 点满足2222b y a c -=1，∴22b y c a a=-, ∴222b c c a a=-,即 2ac=b 2=c 2-a 2, ∴12e e =-,故e=1+2. 5. 【答案】 B【解析】如图，分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ， ∴13OA AB OF FC ==， ∴13a c =，∴22b a = 故渐近线方程为：22y x =±.6. 【答案】C【解析】设所求方程为22916x y k -=,代入(-3,23)得14k =, 52c =, ∵双曲线221916x y -=的渐近线为43y x =±， ∴焦点5(,0)2到渐近线43y x =±的距离d=2. 7. 【答案】(±2,0)【解析】由题意得：a ＝1，e ＝c a ＝2，所以c ＝2，又由标准方程可得焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±2,0)．8．【答案】2【解析】； 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a＝29．【答案】 221253944y x -= 【解析】 椭圆221925x y +=中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16， 焦点为(0，±4)，离心率45c e a ==， ∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85， ∴111485c a a ==，∴a 1＝52， ∴22211125164b c a =-=-＝394， ∴双曲线的方程为221253944y x -=. 10. 【答案】3【解析】已知双曲线方程为22194y x -=，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．11.【解析】 由已知，l 的方程为ay+bx-ab=0,原点到l4c =,又c 2=a 2+b 2,∴24ab =，两边平方，得16a 2(c 2-a 2)=3c 4. 两边同除以a 4并整理得3e 4-16e 2+16=0，∴e 2=4或243e =. ∵ 0<a<b, 1b a>,221b a >,得22222212a b b e a a +==+>, ∴e 2=4，故e=2.12.【解析】由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0.242210.0 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<≠⎨+->⎪⎩所以解得双曲线的离心率01,2(2,).2e a a e e e =<<≠∴>≠+∞即离心率的取值范围为13.【解析】双曲线22221x y a b-=的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为1d =2d =已知d 1d 2＝43，故2222|145|43b a a b -=+ (ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为22142x y -=. 14. 【解析】解法一： 由双曲线的方程知a=2, b=1, ∴5c =. 因此12||225F F c ==.由于双曲线是对称图形，如图所示， 设P 点坐标为(x,142-x )， 由已知F 1P ⊥F 2P ，∴111F P F P k k ⋅=-, 即221144155x x x x --⋅=-+-， 得2245x =，∴1221211||12512425F PF x S F F ∆=⋅⋅-=⨯⨯= 解法二：∵(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2=16,又由勾股定理得|PF 1|2+|PF 1|2=(2c)2=20, ∴|PF 1||PF 2|=21[|PF 1|2+|PF 2|2-(|PF 1|-|PF 2|)2]=21(20-16)=2, ∴121F PF S ∆=.15.【解析】设MF 1的中点为P ，在Rt △PMF 2中，|PF 2|＝|MF 2|·sin60°＝2c ·32＝3c .又由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以312a c -=，3131c e a ===+-.。
双曲线的性质的练习题及答案
双曲线的性质1、已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆1022=+y x 相交于点()1,3-P ，若此圆过点P 的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线方程。
2、已知21F F 、是双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x轴的双曲线的弦，若︒=∠902Q PF ，求双曲线的离心率。
3、双曲线()0,112222>>=-b a b y a x 的焦距为c 2，直线l 过点()0,a 和()b ,0，且点()0,1到直线l 的距离与点()0,1-到直线l 的距离之和c S 54≥，求双曲线的离心率e 的取值范围。
4、如图，21F F 、分别是双曲线()0,012222>>=-b a b ya x的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是正三角形，求e 。
5、在双曲线12222=-b ya x中，设0>>a b 。
直线l 过点()0,a A 和()b B ,0，原点到直线l 的距离为c 43(c 为半焦距)，求双曲线的离心率。
6、已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的离心率25=e ，点()1,0A 与双曲线上的点的最小距离是3052，求双曲线方程。
7、如图，已知双曲线C 的方程为()0,012222>>=-b a by ax ；离心率25=e ；顶点到渐近线的距离为552。
(1)、求双曲线C 的方程；(2)、如图，P 是双曲线C 上一点，B A 、两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,31,λλPB AP ，求AOB S ∆的取值范围。
8、双曲线C 与椭圆14822=+y x 有相同的焦点，直线x y 3=为双曲线C 的一条渐近线。
(1)、求双曲线C 的方程；(2)、如图，过()4,0P 的直线l 交双曲线C 于B A 、两点， 交x 轴于Q 点(Q 点与双曲线C 的顶点不重合)，当,21QB OA PQ λλ==且3821-=+λλ时，求Q 点坐标。
双曲线的简单几何性质习题集
2．3.2 双曲线的简单几何性质自测自评1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x2．双曲线x 22－y 214＝1的离心率为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．43．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 自测自评1．解析：a 2＝4，b 2＝9，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x .答案：C2．解析：∵a 2＝2，∴a ＝ 2.又b 2＝14，∴c 2＝a 2＋b 2＝16.∴c ＝4.∴e ＝ca＝2 2. 答案：B3．解析：考虑焦点在x 轴或y 轴两种情况，选B. 答案：B忽略标准方程与渐近线的对应关系致错． 基础巩固1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 21．解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C.答案：C2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 2．解析：2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2. 答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324 C.32 D.433．解析：根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.答案：C4．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．4．解析：∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1. 答案：1 能力提升5．(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 5．解析：由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案：A6．(2014·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 6．解析：不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43(负值舍去)，∴e ＝ca＝1＋（ba）2＝1＋（43）2＝53.答案：B7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．7．解析：由题意得m ＞0，所以a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.答案：28．双曲线C 1与椭圆C 2：x 29＋y 225＝1共焦点，且C 1与C 2的离心率之和为145，则双曲线C 1的标准方程为______________．8．解析：椭圆的焦点是(0，4)，(0，－4)，所以c ＝4，e ＝45，所以双曲线的离心率等于145－45＝2，所以4a＝2，所以a ＝2，所以b 2＝42－22＝12.所以双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1.答案：y 24－x 212＝19．设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．9．解析：双曲线x 29－y 216＝1中a ＝3，c ＝5，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 而|F 1F 2|＝2c ＝10，得|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝ (|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝100， 即|PF 1|·|PF 2|＝64，S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝16 3.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．10．解析：(1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P (4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，所以c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，所以kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23，因为点M (3，m )在双曲线上， 所以9－m 2＝6，得m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2，所以MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43，底边F 1F 2上的高h ＝|m |＝3， 所以S △F 1MF 2＝6.。
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双曲线
1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）
A ．椭圆
B ．线段
C ．双曲线
D ．两条射线
2．方程1112
2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是
（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k
3． 双曲线14122
2
22=--+m y m x 的焦距是
（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关
4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2
=mn 所表示的 曲线可能是 （ ）
5．焦点为()6,0，且与双曲线12
2=-y 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．1241222=-y x
B ．1241222=-x y
C ．1122422=-x y
D ．112
242
2=-y x
6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122
22=-b
y a x 有 （ ）
A ．相同的虚轴
B ．相同的实轴
C ．相同的渐近线
D ． 相同的焦点
7．过双曲线19
162
2=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ） A ．28 B ．22
C ．14
D ．12 8．双曲线方程为
152||2
2=-+-k
y k x ，那么k 的取值范围是 （ ）
A ．k ＞5
B ．2＜k ＜5
C ．－2＜k ＜2
D ．－2＜k ＜2或k ＞5 9．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是 （ ）
A ．x 2－4y 2=1
B ．x 2－4y 2＝1
C ．4x 2－y 2=－1
D ．4x 2－y 2=1
10．设P 是双曲线192
22=-y a
x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （ ）
A ．1或5
B ． 6
C ． 7
D ． 9
11．已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，
且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）
A ．
4
3
B ．
5
3
C ．2
D ．
73
12．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线122
22=-b
y a x (a>0, b>0)的一个顶点到
它的一条渐近线的距离是 （ ）
A ．
c
a
B ．
c b
C ．
e
a D ．
e
b 13．双曲线)1(122
>=-n y n
x 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ ）
A ．
2
1 B ．1 C ．
2 D ．4
14．二次曲线142
2=+m
y x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）
A ．]2
3,22[
B ．]2
5,23[
C ．]2
6,25[
D ．]2
6,23[
15．直线1+=x y 与双曲线13
22
2=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____
16．设双曲线122
22=-b
y a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB
为直径的圆恰好过F 点，则离心率为
17．双曲线12
2=-by ax 的离心率为5，则a :b=
18．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离
心率．
19．(本题12分)已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的
距离是
.2
3
求双曲线的方程；
一， 选择题
DDCCB DADDC BDBC 二，填空题， 15.6
4
16.2 17.4或4
1
18.[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，
0），0>∴λ
双曲线方程化为：25
481616
9
116
9
222=⇒=+⇒=-λλλλ
λ
y x ，
∴双曲线方程为：
125
1442525622=-y x ∴455
164=
=
e 19.[解析]∵（1）
,3
3
2=a c 原点到直线AB ：1=-b
y a x 的距离
.
3,1.23
2
2=
=∴==+=
a b c ab b a ab d .
故所求双曲线方程为 .
13
22
=-y x。