Microsoft PowerPoint - 03_密度矩阵
§3.4 量子纠缠态
一、纠缠态引入的历史背景 二、纠缠态的分类 三、两体可分离态的判据 四、两体纠缠纯态的纠缠度
一、纠缠态引入的历史背景
1、量子力学正确？
1927年是量子理论发展史上重要的一年，量子力学中的 哥本哈根解释正式形成，成为以后八十年来在量子帝国 中占据统治地位的“哥本哈根王朝”的开端。
Bohr，《量子公设和原子理论新进展》，1927 哥本哈根学派三大理论基础 ——
等于1为纯态，小于1是混态。纯态与混态的判据！ 推论：纯态的本征值谱只有1和0；并且一个为1，其余为0。
2
三、密度矩阵的运动方程
1）密度矩阵的运动方程
S.P.下的运动方程
å ih ¶r
¶t
= ih
i
w
i
ççèæ
¶
ji ¶t
ji
+ ji
¶ ji ¶t
÷÷øö
= å wi (H ji ji - ji ji H ) = Hr - rH
第一次索尔维论战（1927）
VS
第二次索尔维论战（1930）
Einstein & Bohr
5
1927 第五届索尔维会议
德布罗意的导波理论
薛定谔：”真实的系统是 一个处于所有可能状态的经典系统的复合系统，
它通过将ΨΨ*作为权重函数而获得。”
爱因斯坦：“认为 |Ψ|2 是表示一个粒子存在于完 全确定的地方的几率，这样的一种解释（即正 统解释）就必须以完全特殊的超距作用为前 提，从而不允许连续分布在空间中的波同时在 胶片的两个部分表现出自己的作用。”
纯态与混态的区别：态之间有无固定的相位差！
3）混态情况举例 a) 两个不相干子系统的混合 b) 系统随时随环境变化，退相干的产生 c) 波包不重叠的情况 d) 量子测量
量子测量三过程：谱分解，随机坍缩，初态制备
三、密度矩阵的引入
由于对纯态和对混合态的平均处理是不同的不能用同一种 框架处理纯态和混合态是一种美学上的不满足。其次，按这种 统计平均办法计算，常常会变成十分繁复和不明了。
1）密度矩阵必为厄密矩阵 r † = ( y y )† = y y = r 2）密度矩阵本征值是非负实数 3）密度矩阵的迹为1 trr = 1 4）密度矩阵的对角元素 0 £ rnn £ 1 5）纯态密度矩阵具有幂等性 r = r 2 = r 3 = r 4 = L 6）密度矩阵平方的迹不大于1 tr(r 2 ) £ 1
r
=
1 2
ççèæ
1 x1
+x3 + ix
2
x1 1
- ix - x3
2
÷÷øö
3
求1/2自旋算符在此态下的平均值，可得：
r hr
S= x
r
2
可见 x 反映了自旋各分量平均值的量度，称为极化矢量。
它的绝对值 x = x12 + x22 + x32 称为极化度。
从 可得：
tr ( r 2 ) = 1 + x 2 £ 1 2
§3.2 密度矩阵及其性质
一、密度矩阵的定义 二、密度矩阵的一般性质 三、密度矩阵的运动方程 四、密度矩阵中的独立变量个数
一、密度矩阵的定义
1）纯态密度矩阵 r=y y
算符平均值（设用某表象{αn}展开）
å A = y A y = y a m a m A a n a n y
m ,n
å å = a n y y a m Amn = r nm Amn = tr( rA)
四、密度矩阵的独立变量个数
对于无限维Hilbert空间，会有无穷个独立变量。有限维呢?
设系综有N 个独立纯态，密度矩阵会有 N 2 个元素，共 2N 2 个实变量。厄密条件使得变量减半，有 N 2 个。加上迹为1的 条件，剩下 N 2 -1 个，这个就是混态密度矩阵的独立变量 个数。
对于纯态，由于只有一个本征值为1，其余均为0。零本征值 对应的全部代数余子式均为0，共有 (N -1)2 个。因此纯态的 独立变量个数为： N 2 -1- (N -1)2 = 2N - 2
§3.3 密度矩阵应用实例
一、两能级体系的密度矩阵 二、量子统计中的密度矩阵
一、两能级体系的密度矩阵
1）极化矢量与极化度
两态体系的存在极其广泛，例如：自旋1/2系统，光子等。以
自旋1/2体系为例，此体系的密度矩阵是一个2阶矩阵，总可
以用一个2阶单位矩阵和三个泡利矩阵展开：
r
=
p0s 0
+
p1s 1
+
然而……
不是所有的状态都能用单一的来描述。就像在宏观或微 观里，也会遇到这种情况：要么是不需要完全完整的了解， 对此不感兴趣；要么是不可能做到对系统的完全地完整地了 解。（比如反应堆中的中子完全力学量组的完整描述是不可 能的，不可能对每个中子指定一个态矢。又比方，电子对光 子的散射，光子－电子组成一个系统有自己的波函数，但子 系的光子或电子就没有自己独立的波函数，它的状态参数中 含有电子的参数，如自旋矢量就不能不依赖于电子的状况。 再比方，两个电子体系处在单态上，就无法构造单个电子的 波函数。）就是说。没有对系统进行完整的最大信息的测 量，我们关于系统的知识是不完全的，这时，我们就不能用 态矢的方法去准确地预期系统的全部行为。
第三章 密度矩阵方法
§3.1 纯态与混态 §3.2 密度矩阵及其性质 §3.3 密度矩阵应用实例 §3.4 量子纠缠态
§3.1 纯态与混态
一、统计描述问题的提出 二、纯态与混态 三、密度矩阵的引入
一、统计描述问题的提出
用一个波函数来对一个系统进行的描述，是量子力学中 可能做到的最完全的描述。迄今为止的理论中都假定了在每 一时刻，我们的微观力学系统都是处于确定的态内，可以用 希伯特空间中的一个态矢一览无遗的来表示。在物理上，态 矢可以被看作是对最完整的测量结果的一个概括符号，它聚 集了由实验所能收集到的关于系统的最大信息。态矢的描述 是和完整测量最大信息相对应的。简单一句话，我们以前一 直认为只要不与理论的一般原则相矛盾（如不确定关系）， 系统的运动都被尽可能完全地和准确地确定了。
玻尔等人的反击
爱因斯坦光子箱 玻尔的回答：引力红移效应
1930年第6届索尔维会议
卢瑟福回忆： “我将永远不会忘记他们两个 离开会场的情形：爱因斯坦， 一个高大的形象，平静地走着， 还带着一点讥讽的微笑， 而玻尔则沮丧地跟在他的旁边。 ……第二天上午就迎来了玻尔的 胜利。”
2、量子力学完备？
A. Einstein, B. Podolsky & N. Rosen, “Can quantum mechanical description of physical
在这种情况下，就只得在统计的意义上，就我们感兴趣 部分算符的预期值进行系综的平均，也就是将预期值乘以已 知的几率因子进行非相干的简单相加。这些几率因子要么是 根据另外的分析与计算，要么是根据实验测量，假定为已知 的。
于是，这种统计计算的过程包含了两种平均的概念。第 一是通常量子力学的对“纯态”的算符预期值的“态平均”，第 二，这些预期值以一定的权重对系综进行平均。前面的平均 是根源于量子性质，并且本质上是实验相干叠加，后面的平 均只是由于我们缺乏对系综的完全了解，而平均的过程是非 相干叠加。
i
即
ih ¶r = -[r, H ]
¶t
形式上与海森堡方程相比，差一个负号，不可混淆。
H.P.下的密度矩阵不含时
rH = U -1(t,0)r (t)U (t,0)
在相互作用图像中：
rI (t ) = eiH 0t / h r S (t )e-iH 0t / h
ih
¶rI (t) ¶t
=
[VI
(t ),
1
2）纯态与混态的描述
纯态： 混态：
å y = ci ji
i
ji ， wi
算符平均值的计算：
å （ ci 2 = 1）
i
åwi =1
i
纯态： 混态：
å å A = y A y = ci 2 ji A ji + ci*c j ji A j j
i
i¹ j
å A = wi ji A ji
i
混态下求力学量的平均值包括两次平均：1）对所有可 能态平均；2）对所有期望值以一定权重平均。
这里的归一化系数Z就是配分函数：
å ( ) Z = e-b F = e-b Ei = tr e-b H
i
进一步可得：
å å r =
i
ri
=
1 Z
i
e- b Ei
4
习题3.1 一个纯态能否演化为一个混态？试证明之。
习题3.2 一个处在均匀磁场B中的自旋1/2粒子，温度为T。试写 出该系统的密度矩阵，并求出配分函数和自旋算符S 的平均值。
rI
(t)]
(其中VI (t ) = eiH 0t / hVS (t)e-iH 0t / h )
2）算符平均值：
利用密度矩阵可以证明：在三种图像下，力学量算符平均
值均可表为
ih ¶ A = [A, H ]
¶t
3）表象变换中的密度矩阵：
如果表象变换算符是S，密度矩阵也可象普通力学量那样
变换：
r ' = SrS -1
=
h 的态的混态 2
二、量子统计中的密度矩阵
1）熵 在自身表象里，密度矩阵是对角矩阵。例：
æ0
ö
ç
÷
æ1
ö
ç
÷
ç ...
÷
ç1
÷
纯态 :
r
=
ç ç
1
÷ ÷
;
完全混态 :
r
=
1 N
ç ç
...
÷ ÷
矩阵数据分析图ppt课件
精选ppt
3
矩阵图的类型
矩阵图法在应用上的一个重要特征， 就是把应该分析的对象表示在适当的矩 阵图上。因此，可以把若干种矩阵图进 行分类，表示出他们的形状，按对象选 择并灵活运用适当的矩阵图形。常见的 矩阵图有以下几种
精选ppt
4
(1)、L型矩阵图。是把一对现象用以矩 阵的行和列排列的二元表的形式来表达 的一种矩阵图，它适用于若干目的与手 段的对应关系，或若干结果和原因之间 的关系
精选ppt
5
(2) T型矩阵图是由C类因素和B类因素组成的L型 矩阵图阵图，如图所示。表示C类因素 分别与B类因素和A类因素相对应的矩阵图。
精选ppt
6
（3）Y型矩阵图是由A类因素和B类因素、B类因 素和C类因素、C类因素和A类因素组成三个L型矩 阵图，如因(d)所示，即表示A和B、B和C、C和A 三因素分别对应的矩阵图。
矩阵图(Matrix Diagram)
定义：矩阵图法就是从多维问题的 事件中，找出成对的因素，排列成 矩阵图，然后根据矩阵图来分析问 题，确定关键点的方法，它是一种 通过多因素综合思考，探索问题的 好方法。
精选ppt
1
矩阵图的由来
质量管理中所使用的矩阵图，其成 对因素往往是要着重分析的质量问题的 两个侧面，如生产过程中出现了不合格 时，着重需要分析不合格的现象和不合 格的原因之间的关系，为此，需要把所 有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗 列出来，逐一分析具体现象与具体原因 之间的关系，这些具体现象和具体原因 分别构成矩阵图中的行元素和列元素。
精选ppt
2
矩阵图法简介
矩阵图的形式如图所示， A为某一个因素群，a1、a2、 a3、a4、…是属于A这个因素 群的具体因素，将它们排列 成行；B为另一个因素群， b1、 b2、b3、b4、…为属于 B这个因素群的具体因素，将 它们排列成列；行和列的交 点表示A和B各因素之间的关 系，按照交点上行和列因素 是否相关联及其关联程度的 大小，可以探索问题的所在 和问题的形态，也可以从中 得到解 。
矩阵PPT课件
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
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例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
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三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
第三章密度矩阵
O
aaO aaabO ba baO aabbO ba
aaO ababO bb baO abbbO bb
O C a C a * O a a C b C b * O b b C b C a * O a b C a C b * O b a
a a O a a b b O b b b a O a b a b O b a
考虑线偏振光与二能级原子的作用
EE0cost1 2E0(eiteit)
V ababE1 2abE 0(eiteit)
ab
eit
ab
旋转波近似和慢变振幅近似的光学布洛赫方程
a b i a b i2 a bE 0 (a ab b )a b
a a b b ia b E 0 (a b b a ) [ (a a b b ) (a a b b ) 0 ]
图3.2 布洛赫矢量旋转的几何图像(共振时)
共振时
布洛赫矢量
B(0,v,w)
矢量
E0 ,0,0
R E0
若初始 w(0) 1 则可以取到w(t) 1 若初始 w(0) 1 则可以取到 w(t) 1
HH0 VVbaa
Vab
b
b aa a b ab bC Cb aC Ca a* * C Cb aC Cb b* *
没有考虑泵浦和衰减过程的光学布洛赫方程
a a i(V a bb a V b aa b ) (i 1 V a bb a c .c .)
bb(i
V 1 ab
bac.c.)
定义
uab ba
vi(ab ba)
waa bb
旋转波近似和慢变振幅近似的光学布洛赫方程
a b i a b i2 a bE 0 (a ab b )a b
第四章 量子力学密度矩阵
为： ˆ Ψ F = Ψ F 任选一组正交基底 { n
n
}
n
ˆ Ψ = ˆ Ψ Ψ n F =∑ Ψ n nF ∑ nF
57
ˆ=ψ ψ （1）定义 ρ
ˆρ ˆρ ˆ n = Tr ( F ˆ) （2）力学量平均值表为： F = ∑ n F
n
ˆψk （3）力学量 F 在任意态 Ψ 上取 F k 的概率为： C k 2 = ψ k ρ
B
= i j }；
将态矢 ψ 在表象 { i j } 中展开；
ρ AB = ψ ψ ；
利用计算表达式计算。 三、约化密度算符（矩阵）的运动方程 1、Lind-blad 主方程 对于开放系统，系统受环境和其他因素影响所以 Lind-blad 主方程可写为：
dρ 1 ˆ 1 + = [H , ρ ] + ∑ Γµ ρ Γ+ µ − {Γ µ Γ µ , ρ } 2 dt i µ >0
k k* ρ mn = ∑ p k m Ψk Ψk n = ∑ p k C m Cn k k
四、Bloch 球描述 1、极化矢量 p
p = σ = ψ (t ) σ ψ (t )
2、Bloch 球描述
Bloch 球主要用于双态系统纯态与混态的统一描述。
（1） 、 1/ 2 自旋粒子态的一般表示
1/ 2 自旋粒子任意混态的密度矩阵是迹为 1， 本征值非负的 2 × 2 厄米矩阵。 它总是某两个
F = tr ( ρ (t ) F ) i
∂ ∂F (t ) + tr {[ H (t ), ρ (t )]F (t )} F (t ) = i ∂t ∂t
§4.3 约化密度矩阵 一、复合系统 过去我们说： “一个量子态可以用一个态矢完全描述” ，其实只适用于与环境没有关联的 孤立的系统。这是一种理想的情况，一般的实际系统或多或少总与环境有关联。 记系统的自由度为 r ，环境的自由度为 q 。系统和环境合而为一孤立的总系统，设可用态
第2章密度矩阵
系统、系综 纯态、混态
按统计物理系综的概念，把一个原子看做一个系统，大量的全 同系统组成一个系综 系综。若系综内的所有系统都处于相同的微观 系综 态ψ，则此系综为纯系综 纯系综，纯系综的平均就是态平均 态平均。若系综 纯系综 的各系统处于不同的微观态，则此系综被称为混合系综 混合系综。 混合系综 假定系综是由N个系统组成，每一个系统由一个归一化的波函数 ψ (r, t)描述
1 N < F >= ∑ Fk N k =1
(8)
1 N k k < F >= ∑ ∑ (am ) * an Fmn m ,n N k =1
将式（2）、（7） 代入式（8），得：
1 N k k < F >= ∑∑ (a m ) * an Fmn N k =1 m,n
(9)
ρ nm
交换求和次序
(10)
但是在研究激活介质和辐射场相互作用的宏观性质时，可以利 用统计规律性。由于在给定的宏观条件下，激活介质中原子的 状态有一固定的初始分布。可以通过求得在给定的时间间隔和 给定的空间体积内、原子系统被激发到两个能级中的一个或另 一个，并且其速度分量在给定范围内的几率，再对构成激活介 质的所有原子系统取平均值来求得介质对辐射场的影响。在这 种情况下，即讨论量子力学系综的统计性质时，会涉及到两种 量子力学平均；另一种是将 平均：一种是按状态的平均，此为量子力学平均 量子力学平均 此结果再按微观态出现的几率求平均，即为统计平均 统计平均。当同时 统计平均 涉及到这两种平均时，就可采用密度矩阵 密度矩阵的方法来处理。 密度矩阵
孤立二能级原子系统 首先假设所讨论的二能级原子系统是孤立的，不受外界的影响(忽 略自发辐射)，并且假若原子原来处于ua态(或ub态)，则它将始终停 留在ua态(或ub态)上。此时，孤立原子系统的波函数为 Ha 表明孤 ψ=aua(q)+bub(q) 立原子系统 ∂ψ 不含时间因 H aψ = ih 波函数ψ(r, t)应满足如下薛定谔方程 （4） ∂t 素的哈密顿 算符。 本征值方程
量子化学第四章密度矩阵
第四章 密度矩阵与密度泛函上一章，我们介绍了多电子体系波函数 12(,,,)N x x x ψ⋅⋅⋅，一般说来求力学量的平均值，我们总是将其对应的算符作用在波函数上，再求积分，即A A ψψ∧=，所以利用*ψψ，我们可以定义密度函数和密度矩阵，全对称坐标函数及力学量平均值可以用密度函数或密度矩阵直接写出。
§4.1密度函数和密度矩阵§4.1.1密度函数四维（三维坐标+自旋）中某一电子i ，当不考虑其他所有电子处于任何可能位置时，它出现在x处的小体积元d τ中的机率为：111111111(,,,,,,)(,,,,,,)i i i N i i i N i i Nd x x x x x x x x x x d d d d τψψττττ*-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰(4.1)注意到*1Nd ψψτ=⎰看出(4.1)式只不过去掉i τ的积分符号，是i x的函数。
因N 个电子是不可分辨的，所以电子中的任一个出现在x处的d τ中的几率相同，由此定义电子的密度函数：11121223()(,,,)(,,,)N N N x N x x x x x x d d d ρψψτττ*=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰11()x ρ 表示的是1x处的小体积元中出现任何一个（以前的是电子i ，所以差N ）电子而不管其它电子出现在何处时的几率密度。
同样，任何两个给定的电子当不考虑其余电子出现在任何处时，它们在所给定的 1x 和2x处的小体积元1d τ和2d τ中同时出现的几率也是相同的。
（如(1,2),(3,4)但电子不可辨，几率相同）因此也可以定义两个电子的密度函数212121234(,)(,,,)(,,,)2N N NN x x x x x x x x d d dρψψτττ*⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰推而广之，q 个电子的密度函数为：12121212(,,,)(,,,)(,,,)q q N N q q N N x x x x x x x x x d d dq ρψψτττ*++⎛⎫⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰它表示在四维空间中，任意q 个电子在12,,,q x x x ⋅⋅⋅处的q 个小体积元12,,,qd d d τττ⋅⋅⋅中，各有一个电子同时出现而不管其它N-q 个电子在何处出现时的几率密度。
密度矩阵的演化方程_ρee_概述说明
密度矩阵的演化方程ρee 概述说明1. 引言1.1 概述密度矩阵是描述量子系统状态的重要工具，可以提供关于系统的详细信息。
密度矩阵的演化方程ρee 是研究密度矩阵随时间演化的数学表达式。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面对密度矩阵的演化方程ρee 进行概述和说明。
首先会介绍密度矩阵的基本概念，包括其定义和性质。
然后会探讨密度矩阵演化方程的起源，并提供一些背景知识以帮助读者更好地理解该方程。
最后，我们将深入推导密度矩阵演化方程ρee 的过程，使读者能够了解其数学推导过程。
1.3 目的本文的目的是系统全面地介绍和解释密度矩阵的演化方程ρee。
通过对该演化方程的概述和说明，读者将能够深入理解密度矩阵在量子力学中的作用以及其在复杂系统中应用实例。
同时，我们还将介绍一些关于ρee 的物理解释、应用实例以及相关性质和性质证明。
此外，本文还将介绍研究密度矩阵演化方程的方法和实验验证方式，并提供相关步骤说明和数据分析结果。
最后，我们将做出总结并展望进一步的研究方向。
通过本文的撰写，我们希望能够为读者提供一个全面而深入的了解密度矩阵演化方程ρee 的参考，促进对该概念的理解和应用，并为未来更深入的研究工作提供思路。
2. 密度矩阵的演化方程ρee 概述说明：2.1 密度矩阵的基本概念介绍密度矩阵是描述量子系统状态的一个重要工具，在量子力学中起着极其重要的作用。
它是一个算符，通常用ρ来表示。
对于一个由多个可能量子态组成的混合态，密度矩阵可以完整地描述系统所有可能的量子态以及它们出现的概率。
2.2 密度矩阵演化方程的起源和背景知识密度矩阵演化方程来源于量子统计力学中对开放系统进行描述的需要。
在这种情况下，考虑到系统与环境之间存在相互作用，并且系统与外部环境发生耦合。
为了能够描写这类开放系统，引入了密度矩阵演化方程。
在该演化方程中，ρee代表了纯态以及混合态中纯态部分（也称为“约化密度矩阵”或“约简密度算符”）。
通过该方程可以描述时间上ψ|t> - > \rho_{\rm ee}|t> 的变化，其中[t]表示时间。
稀疏矩阵PPT课件
02
03
优化存储结构
并行计算
采用稀疏矩阵的压缩存储方式， 减少存储空间占用，提高数据访 问速度。
利用多核处理器和分布式计算资 源，实现并行计算，提高计算速 度。
线性系统求解优化
预处理技术
采用预处理技术，如共轭梯度法、双共轭梯度法 等，减少迭代次数和计算量。
迭代算法
选择适合的迭代算法，如雅可比迭代法、高斯-赛 德尔迭代法等，提高求解速度。
研究现状
随着大数据和计算技术的发展，稀疏矩阵在许多领域如机器学习、图像处理、数值计算 等得到了广泛应用。目前，稀疏矩阵的研究主要集中在算法优化、存储压缩和并行计算
等方面。
挑战
尽管取得了一些进展，但稀疏矩阵的研究仍面临诸多挑战。例如，如何更有效地压缩存 储稀疏矩阵以提高计算效率，如何设计更高效的算法处理大规模稀疏矩阵等问题仍需进
稀疏矩阵PPT课件
• 稀疏矩阵简介 • 稀疏矩阵的压缩方法 • 稀疏矩阵的运算优化 • 稀疏矩阵库介绍 • 稀疏矩阵应用案例 • 总结与展望
01
稀疏矩阵简介
定义与特性
定义
稀疏矩阵是一种矩阵，其中大部分元 素为零。
特性
稀疏矩阵具有稀疏性，即矩阵中非零 元素的数量远小于矩阵元素总数。
稀疏矩阵的应用场景
MATLAB中的稀疏矩阵处理
MATLAB是一个广泛使用的科学 计算软件，支持丰富的矩阵和向 量操作、数值计算和科学计算等
功能。
MATLAB提供了多种工具箱和函 数用于处理稀疏矩阵，如 spalloc、spdiags等。
MATLAB的语法简单易懂，易于 学习和使用，同时具有高效的性
能和可视化能力。
05
02
稀疏矩阵的压缩方法
03_密度矩阵
第三章密度矩阵方法
§3.1 纯态与混态
§3.2 密度矩阵及其性质
§3.3 密度矩阵应用实例
§3.4 量子纠缠态
一、统计描述问题的提出
二、纯态与混态
三、密度矩阵的引入
一、密度矩阵的定义二、密度矩阵的一般性质
三、密度矩阵的运动方程
四、密度矩阵的独立变量个数一、两能级体系的密度矩阵
二、量子统计中的密度矩阵一、纠缠态引入的历史背景
VS
第二次索尔维论战（1930）1927 第五届索尔维会议
德布罗意的导波理论
薛定谔：”真实的系统是
一个处于所有可能状态的经典系统的复合系统，它通过将ΨΨ*作为权重函数而获得。
”
爱因斯坦：“认为|Ψ|2是表示一个粒子存在于完全确定的地方的几率，这样的一种解释（即正统解释）就必须以完全特殊的超距作用为前
提，从而不允许连续分布在空间中的波同时在胶片的两个部分表现出自己的作用。
”
玻尔等人的反击
玻尔的回答：引力红移效应
?
dead alife 101010c c c c +⇒+
定性解释：
dead
alife 101010c c c c +⇒+不对，而是
dead
1alife 0101010⊗+⊗⇒+c c c c 二、纠缠态的分类三、两体可分离态的判据
四、两体纠缠纯态的纠缠度。
2.3密度矩阵
外部势场中的电子体系
如果研究的对象是固体中的电子，这里外部势场不是指外加 的电磁场，而是核构成的势场。这时体系的Hamiltonian和 Schrödinger方程如下：
H 0 (r,R) U N (R) Te (r) U e (r) U eN (r,R) H 0 (r,R)n (r,R) En (R)n (r,R)
8
2。Slater行列式表示如下
S (r1 ,r2 ,...rN ) ( N !)1/ 2 AN 1 (r1 ) 2 (r2 ) ... N (rN )
( N !)1/ 2 det
(3.13)
1 (r1 ) 1 (r2 ) 2 (r1 ) 2 (r2 ) N (r1 ) N (r2 )
要记住这个波函数在置换任何2个粒子坐标时应该是反对称的。 如果考虑N-粒子置换群的任何一个操作P，将有
P (1) P
例如，假定 P 1 2 是交换第1和第2粒子，则有
(3.5)
(r2 , r1 ,...rN ) P 12 (r 1 , r2 ,...rN ) (r 1 , r2 ,...rN )
假定在离散空间中有M个点，一个one-body波函数应当描述 在这些点的每一个点上找到粒子的几率振幅 。 所以 onebody波函数就需要M个成员来描述。 一个two-body波函数，即使不是反对称的，也必须给出在 同一点找到粒子1，同时在某些其它点找到粒子2几率振幅。 要描述的的成员数为M2。 对于一般的 N-body 波函数，暂不考虑反对称，将必须有 MN个成员。简单的组合公式便可以给出描述反对称 N-body 波函数的振幅成员数是
H (r1 ,r2 ,...rN ) 1 (r1 ) 2 (r2 )... N (rN )