大学物理模拟试题二_6

q 'd
q
d L
O 大学物理模拟试题二
一、计算如下各题（每题10分，共40分）
1．已知16a j =
, t =0 时，006,8i r k == v 。

求 v 和运动方程。

2．已知有同方向同频率的简谐振动1x ，2x ，其分振动表示为： ⎩⎨
⎧+=+=)
cos()
cos(222111ϕωϕωt A x t A x ，用旋转矢量法（图示表示）求其合振动的表示式。

3．已知两杆电荷线密度为λ，长度为L ，相距L 求 两带电直杆间的电场力。

4．在匀强磁场 B 中，长 R 的铜棒绕其一端O 在垂直于B 的平面内转动，角速度为ω，求棒上的电动势
第二宇宙速度0=
v 阻力二、把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以
忽略不计，求 物体从地面飞行到与地心相距nR e 处经历的时间。

（15分）
三、如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为 l ，质量为 m ，竖直部分杆长为 2l ，质量为 2m ，细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。

求 杆作微小摆动时的周期。

（15分）
四、平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。

求 (1) 各电介质层中的场强
(2) 极板间电势差。

（15分）
σ-σ-A
五、求如图所示的一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动趋势。

（15分）
参考答案
一、计算如下各题（每题10分）
1．已知16a j =
, t =0 时，006,8i r k == v 。

求
v 和运动方程。

解 由已知有 d 16d a j t
==
v
16v t
v dv dt j =⎰
⎰
代入初始条件 0 16 -t j =
v v
616 i t j =+
v
d d r t
=
v 00(616)r t r dr i t j dt =+⎰⎰ 代入初始条件 08r k =
2
6 88r t i t j k =++
2．已知有同方向同频率的简谐振动1x ，2x ，其分振动表示为： ⎩⎨
⎧+=+=)
cos()
cos(222111ϕωϕωt A x t A x ，用旋转矢量法（图示表示）求其合振动的表示式。

解 用旋转矢量法处理谐振动的合成，合成方法如图所示，
根据图中的几何关系有
q '
d
q
d L O
)cos(212212
221ϕϕ-++=
A A A A A
2
2112
211cos cos sin sin tan ϕϕϕϕϕA A A A ++=
结论：合振动 x 仍是简谐振动。

3．已知两杆电荷线密度为λ，长度为L ，相距L 求 两带电直杆间的电场力。

解: x q
d d λ=
x q '='d d λ2
0)(4d d d x x x x F -'π'
=ελλ
34
ln 4)(4d d 0
2320202ελελπ=-'π'=⎰⎰L
L L
x x x x F
4．在匀强磁场 B 中，长 R 的铜棒绕其一端O 在垂直于B 的平面内转动，角速度为ω，求棒上的电动势 解：方法一 (动生电动势):
⎰
⋅⨯=A
O
i l B d )(v ε
ωω2
d d 2
BR l B l l B R
O R
O -=-=-=⎰⎰v
方向 O A →
方法二(法拉第电磁感应定律): B R Φ d 2
1d 2
θ=
在 d t 时间内导体棒切割磁场线
ωθε2
22
1d d 21d d BR t BR t Φi ===
方向由楞次定律确定。

二、把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度0=v 物体从地面飞行到与地心相距nR e 处经历的时间。

（15分） 解 根据机械能守恒定律有:
2
201122e e e M m M m m G m G R x -=-v v =v d d d d x x t x t =
⇒==v v
1
d e
e
t nR R t x =⎰
⎰
()3/23/211e t R n =-
三、如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为 l ，质量为 m ，竖直部分杆长为 2l ，质量为 2
m ，细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。

求 杆作微小摆动
时的周期。

（15分）
解 在平衡位置对o 点力矩有：2
0l
mg l kx = 对任一位置有
θθθcos )(sin 2cos 2
0l x x k mgl l
mg
M +--= 1cos ≈θ；θθ≈sin ；θl x ≈ θ)2(2kl mgl M +-=
2223)2)(2(3
1
31ml l m ml J =+=
θθ
)2(222kl mgl dt
d J +-= 03222=++θθml
kl
mg dt d
ml
kl
mg 32+=ω
)0ϕωθθ+=t kl
mg ml
T +=232π
四、平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。

求 (1) 各电介质层中的场强 (2) 极板间电势差。

（15分） 解：做一个圆柱形高斯 1S
∑⎰=⋅内）
1(d 1
S q S D i S
111S S D ∆=∆σ σ=2D
同理，做一个圆柱形高斯面∑⎰=⋅内）
2(d 2
S q S D i S
σ=2D 21D D = ⇒ 21E E ≠
⎰
⋅=
∆B
A
r E u d ⎰⎰+⋅+⋅=1
2
1
1
21d d d d d E r E
22
11d d r o r o εεσεεσ+=
u q C ∆=/1
22121d d S
εεεε+=
各电介质层中的电位移矢量相同，场强不同 相当于电容器的串联
1
22121d d S C εεεε+=
S
d S d 22111
+
=
令每种介质的电容为：
S d
C 1111ε= S
d C 1121ε= σ-σ
-A
总的电容为：
2
11
11C C C +
=
五、求如图所示的一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动趋势。

（15分） 解：①a
I b I bB I f π==21
02121μ
方向向左 ②a
I b I bB I f π==41
02323μ
方向向右 ③2ln 2d 22sin d 210221
02122π
=π=π=
⎰⎰
I I x I x I lB I f a a a
a
μμ
④24f f = 方向相反 整个线圈所受的合力：
314321f f f f f f F
+=+++=
31f f
> ∴ 线圈向左做平动。