流体流动02-(静力学方程式及应用+连续性方程)
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2 化工原理_刘雪暖_第1章流体流动流体静力学
⒉压力的单位及换算：
1atm=1.013105 Pa=10.33 mH2O=760mmHg 1at=9.81104Pa=10mH2O=735.6mmHg=1kgf/cm2 1atm=1.033at 1bar=1105Pa 1kgf/m2=1mmH2O
1.2 流体静力学 ⒊压力的表示方法：
以绝对真空（0atm）为基准：绝对压力，真实压力 以当地大气压为基准：表压或真空度 绝压＞大气压：压力表→表压力 表压=绝压－大气压力 绝压＜大气压：真空表→真空度 真空度=大气压力－绝压 注：①大气压力应从当地气压计上读得； ②对表压和真空度应予以注明。
整理后得：
P P1 P2 ( g ) gR gR
（ρ>>ρg）
1.2 流体静力学 ⒊斜管压差计（Inclined manometer）
采用倾斜 U 型管可在测量较小的压差 p 时， 得到较大的读数 R1 值。
压差计算式：
p 1 p 2 R 1 sin 0 g
1.2 流体静力学
（二）液面测量
• 解：
pa pb p a p o gh
h
p b p o o gR
2 . 72 m
o R
13600 1250 0 . 2
1.2 流体静力学
（三）液封高度的计算
如各种气液分离器的后面、 气体洗涤塔底以及气柜等, 为了防止气体泄漏和安全等 目的，都要采用液封(或称 水封)。
根据流体静力学基本方程式，可得：
P A P1 gZ 1
PB P2 gZ 2 0 gR
P1 gZ 1 P2 gZ
2
0 gR
化工原理-1章流体流动
yi为各物质的摩尔分数,对于理想气体，体积分数与摩尔分数相等。
②混合液体密度计算
假设液体混合物由n种物质组成，混合前后体积
不变，各物质的质量百分比分别为ωi，密度分 别为ρi
n 1 2 混 1 2 n
1
例题1-1 求甲烷在320 K和500 kPa时的密度。
第一节 概述
流体： 指具有流动性的物体，包括液体和气体。
液体：易流动、不可压缩。 气体：易流动、可压缩。 不可压缩流体：流体的体积不随压力及温度变化。
特点：（a） 具有流动性 （b） 受外力作用时内部产生相对运动
流动现象:
① 日常生活中
② 工业生产过程中
煤气
填料塔 孔板流量计
煤气
水封
泵 水池
水
煤 气 洗 涤 塔
组分黏度见---附录9、附录10
1.2.1 流体的压力（Pressure） 一.定义
流体垂直作用于单位面积上的力，称为流体 的压强，工程上一般称压力。
F [N/m2] 或[Pa] P A
式中 P──压力，N/m2即Pa(帕斯卡)；
F──垂直作用在面积A上的力，N；
A──作用面积，m2。
工程单位制中，压力的单位是at(工程大气压)或kgf/cm2。 其它常用的压力表示方法还有如下几种： 标准大气压（物理大气压）atm；米水柱 mH2O； 毫米汞柱mmHg； 流体压力特性： （1）流体压力处处与它的作用面垂直，并总是指向流体 的作用面。
液体：T↑，μ↓（T↑,分子间距↑，范德华力↓，内摩擦力↓） 气体：T↑，μ↑（T↑,分子间距有所增大，但对μ影响不大， 但T↑，分子运动速度↑，内摩擦力↑）
压力P 对气体粘度的影响一般不予考虑，只有在极高或极 低的压力下才考虑压力对气体粘度的影响。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
第一章流体流动
第一章流体流动液体和气体统称为流体。
流体的特征是具有流动性，即其抗剪和抗张的能力很小。
流体流动的原理及其流动规律主要应用于这几个方面：1、流体的输送；2、压强、流速和流量的测量；3、为强化设备提供适宜的流动条件。
在研究流体流动时，常将流体视为由无数分子集团所组成的连续介质。
第一节流体静力学基本方程式1-1-1 流体的密度单位体积流体具有的质量称为流体的密度，其表达式为：对于一定质量的理想气体：某状态下理想气体的密度可按下式进行计算：空气平均分子量的计算：M＝32×0.21+28×0.78＋40×0.01＝28.9629 （g/mol）1-1-2 流体的静压强法定单位制中，压强的单位是Pa，称为帕斯卡。
1atm 1.033kgf/cm2760mmHg 10.33mH2O 1.0133bar 1.0133×105 Pa工程上常将1kgf/cm2近似作为1个大气压，称为1工程大气压。
1at1kgf/cm2735.6mmHg10mH2O 0.9807bar9.807×105 PaP（表）＝P（绝）－P（大）P（真）＝P（大）－P（绝）＝－P（表）1-1-3 流体静力学基本方程式描述静止流体内部压力（压强）变化规律的数学表达式称为流体静力学基本方程式。
对于不可压缩流体，常数；静止、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压强相等（连通器）。
压强差的大小可用一定高度的液体柱表示（必需标注为何种液体）。
1-1-4 流体静力学基本方程式的应用一、压强与压强差的测量以流体静力学基本方程式为依据的测压仪器统称为液柱压差计，可用来测量流体的压强或压强差。
1、U型管压差计2、倾斜液柱压差计（斜管压差计）3、微差压差计二、液位的测量三、液封高度的计算第二节流体在管内流动反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。
1-2-1 流量与流速单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。
第一章-流体`流动
⊿ p～ R 一 一 对 应
U型测压管
•指示液与被测流体 物化学反应且不互溶； •密度大于流体密度
pA
A
h R
p1 p A gh p2 pa i gR
1
2
p A pa i gR gh A点的表压 p A pa i gR gh
第 二 节
流 体 静 力 解:（1） pA = p1 + ρH2O g(1.2 - R) 学 p1 = p2 = p3 = pa + ρHg g R 基 pA = pa + ρHg g R + ρH2O g(1.2 - R) 本 方 = pa + ( ρHg - ρH2O) g R + ρH2O g×1.2 程 = 1.279×105N/m2 式 （2） pA = [(1.279×105 ÷ 1.013×105) －1] ×1.033 = 0.271kgf/cm2
— 连续性假定
第 一 节 概 论
从微观上，流体是由大量的彼此之间有一定间隙 的单个分子所组成的，并且各单个分子作着随机的、混 乱的运动，如果以单个分子作为考察对象，那么流体将 是一种不连续的介质，所需处理的运动将是一种随机的 运动，问题将是非常复杂的。 但是，在研究流动规律时，人们感兴趣的不是单 个分子的微观运动，而是流体宏观的机械运动。
内能 流体所含的能量包括 动能
机械能
势能
位能 压能
○压能（静压能、压强能以及弹簧的势能等）
● 流体流动时存在着三种机械能（即动能、 位能和压能）之间的相互转换。
第 一 节 概 论
● 流体粘性所造成的剪力是一种内摩擦力， 它将消耗部分机械能使之转化为热能（即 内能）。输送机械提供能量补偿。 ● 气体在流动过程中因压强的变化而发生 体积变化时，存在着内能与机械能之间的 相互转换。
第一章 流体流动
气体密度 一般温度不太低，压强不太高时气体可按理想气 体考虑，所以理想气体密度可由理想气体状态方程 导出： T0 p M pM m
v
RT
0
Tp 0
0 22.4 ，kg / m
3
混合气体密度
ρm= ρ1y1+ ρ2y2+ …+ ρnyn
MT0 p 22.4Tp 0
式 y1、y2……yn——气体混合物各组分的体积分数 ρ1、 ρ2、…、 ρn—气体混合物中各组分的密度，kg/m3; ρm——气体混合物的平均密度，kg/m3；
2.2 流体静力学基本方程的应用
1、压力的测量 (1) U型管压差计 构造： U型玻璃管内盛指示液A 指示液：指示液A(蓝色)与被测液B(白)互不相溶，且ρA＞ρB 原理：图中a、b两点在相连通的同一静止流体内，并且在 同一水平面上，故a、b两点静压力相等，pa=pb。 对a、b两点分别由静力学基本方程，可得 pa= p1+ρB· g(Z+R) pb= p2+ρB· gZ+ρAgR
三、流体的研究方法
连续介质假说：流体由无数个连续的质点组
成。﹠质点的运动过程是连 续的 质点：由许多个分子组成的微团，其尺寸比 容器小的多，比分子自由程大的多。 （宏观尺寸非常小，微观尺寸又足够大）
四、流体的物理性质
◆密度ρ 单位体积流体的质量，称为流体的密度，其表 m 达式为
V
式中 ρ——流体的密度，kg/m3; m——流体的质量，kg; V——流体的体积，m3。 流体的密度除取决于自身的物性外，还与其温 度和压力有关。液体的密度随压力变化很小，可 忽略不计，但随温度稍有改变；气体的密度随温 度和压力变化较大。
pA=p0+ ρgz pB=p0+ ρi gR 又∵ pA=pB
第一章流体流动
五、阻力损失的计算
(1)阻力系数法 克服局部阻力所引起的能量损失，可以表示 为动能的倍数，即： Wf ´=0.5ζ u2 式中ζ称为局部阻力系数 突然扩大或突然缩小，式中的流速u应该以 小截面处的流速为准，根据小管与大管的截面 积之比，在图中查取进口与出口，流体从容器 中流出，或流入容器中，可按照大截面积与小 截面积之比为1或为0来计算
五、阻力损失的计算
1、概述 流体在管道中流动，受到阻力的作用，要克 服阻力而做功，即流体有能量损失。根据阻力 产生原因的不同，可以分为直管阻力和局部阻 力。直管阻力是流体流经一定管径的直管时， 由于流体的内摩擦力（即粘性力）而产生的阻 力。局部阻力主要是由于体流经管路中管件、 阀门及管截面形状和尺寸突然扩大和缩小等局 部地方引起流体边界层分离造成的阻力。
第一章 流体流动
主讲：高轶群
本章要点
一、静力学方程 二、连续性方程 三、柏努利方程 四、流体流动现象 五、阻力损失的计算 六、管路计算
一、静力学方程
知识要点：1、基本物理量 2、静力学方程 3、静力学方程的应用
一、静力学方程
1、基本物理量 （1）密度：用表示，属于物性，单位为 kg/m3
影响因素：气体------种类、压力、温度、浓度 液体------ 种类、温度、浓度
五、阻力损失的计算
范宁公式中λ 称为摩擦系数，摩擦应力τ 与流体流动类型有关，因此λ 也因流体不同的 流动类型而变化。 层流时： λ =64/ Re ；λ 只与Re值有关 ，和管壁粗糙度无关； 湍流时的λ 与Re值和相对粗糙度（ε /d） 有关，具体数据在关联图中查取。
五、阻力损失的计算
3、局部阻力损失 流体在管路中流动，在管件处由于流速、方 向的改变，使流体受到的阻力损失，为局部阻 力损失。表示为wf´
化工原理-第二节 流体流动的基本方程(02)
g1zu 2 1 2p1w eg2zu 2 2 2p2wf (1)
----机械能衡算方程
wf称为阻力损失，永远为正，单位J/kg
式中各项单位为J/kg。
（2）以单位重量流体为基准
将(1)式各项同除重力加速度g :
z12 1u g 1 2ρ p 1 gw g ez22 1u g 22ρ p2g w g f
3）基准水平面的选取 必须与地面平行，通常取两个截面中的任意一个。 水平管道，取中心线。
4）单位必须一致 有关物理量用国际单位，压力要求基准一致。
（2）机械能衡算方程的应用
1）确定流体的流量 例：20℃的空气在直径为 80 mm的水平管流过，现于管路中接 一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银U管 压差计，在直径为 20 mm的喉径处接一细管，其下部插入水槽 中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压差计 读数 R=25mm，h=0.5m时， 试求此时空气的流量为多少 m3/h?
流量与流速的关系：
m s VsuAGA
（二）稳定流动与非稳定流动
流动系统
稳定流动：流动系统中流速、压强、密度等
有关物理量仅随位置而改变，而 不随时间而改变。
T,p,uf(x,y,z)
非稳定流动：物理量不仅随位置改变而且随时间
变化。 T,p,uf(x,y,z,)
判断依据：物理量是否随时间而改变。 稳定流动：无物料、能量的积累。 非稳定流动：有物料或能量的积累。
令
he
we g
hf
wf g
则
z12 1 gu 1 2p g 1 h ez22 1 gu 2 2p g 2 h f
（2）
式中各项单位为 J/kgJ Nm
----机械能衡算方程
wf称为阻力损失，永远为正，单位J/kg
式中各项单位为J/kg。
（2）以单位重量流体为基准
将(1)式各项同除重力加速度g :
z12 1u g 1 2ρ p 1 gw g ez22 1u g 22ρ p2g w g f
3）基准水平面的选取 必须与地面平行，通常取两个截面中的任意一个。 水平管道，取中心线。
4）单位必须一致 有关物理量用国际单位，压力要求基准一致。
（2）机械能衡算方程的应用
1）确定流体的流量 例：20℃的空气在直径为 80 mm的水平管流过，现于管路中接 一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银U管 压差计，在直径为 20 mm的喉径处接一细管，其下部插入水槽 中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压差计 读数 R=25mm，h=0.5m时， 试求此时空气的流量为多少 m3/h?
流量与流速的关系：
m s VsuAGA
（二）稳定流动与非稳定流动
流动系统
稳定流动：流动系统中流速、压强、密度等
有关物理量仅随位置而改变，而 不随时间而改变。
T,p,uf(x,y,z)
非稳定流动：物理量不仅随位置改变而且随时间
变化。 T,p,uf(x,y,z,)
判断依据：物理量是否随时间而改变。 稳定流动：无物料、能量的积累。 非稳定流动：有物料或能量的积累。
令
he
we g
hf
wf g
则
z12 1 gu 1 2p g 1 h ez22 1 gu 2 2p g 2 h f
（2）
式中各项单位为 J/kgJ Nm
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3. 容器里的液面高度可根据压差计的读数 R求得。液面越高，
2. 平衡器里的液面高度维持在容器液面容许到达的最大高度处。
读数越小。当液面达到最大高度时，压差计的读数为零。
例 2 为了确定容器中石油产品的液面，采用如附图所示的装置。 压缩空气用调节阀1调节流量，使其流量控制得很小，只要在鼓
泡观察器 2内有气泡缓慢逸出即可。因此，气体通过吹气管 4的 流动阻力可忽略不计。吹气管内压力用U管压差计3来测量。压 差计读数 R的大小，反映贮罐 5 内液面高度。指示液为汞。 1、 分别由a管或由b管输送空气时，压差计读数分别为 R1或R2，试 推导R1、R2分别同Z1、Z2的关系。 2、当（ Z1 － Z2）＝ 1.5m， R1＝ 0.15m， R2＝0.06m时，试求石 油产品的密度ρP及Z1。已知Hg密度为13600kg/m3。
该液柱在垂直方向上受到的作用力有: （1）作用在液柱上端面上的总压力P1 P1= p1 A （N） （2）作用 在液柱下端面上的总压力 P2 P2= p2 A （N） （3）作用于整个液柱的重力G G =gA（Z1-Z2） （N）
由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三 个作用力的合力为零， 即 ： p1 A+ gA（Z1 - Z2）–p2 A = 0 令： h= （Z1 -Z2） 整理得： p2 = p1 + gh 若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压 强为 p0 ； 则： p0 = p1 + gh 以上二式均称为流体静力学基本方程式，它 阐明了静止流体内部任一点流体静压力的大小与 其位置的关系。
扩张室：扩张室的截面积远大于U型管截面积（直径比1：10以
上），当读数R变化时，两扩张室中液面不致有明显的 变化。
按静力学基本方程式可推出:
P1－P2＝Δ P＝Rg（ρ a－ρ b）
2、液位测定
1—容器；2—平衡器的Fra bibliotek室；3—U形管压差计
说明：
1. 图中平衡器的小室2中所装的液体与容器里的液体相同。
即：
dp gdz
当流体不可压缩，积分上式，得到：
p gz 常数
或： p
gz 常数
上式表明:不可压缩流体处于静止状态时，其内部任 何一处的静压能与势能之和为常数。
流体静力学基本方程式 方程推导-2
设：敞口容器内盛有密 度为的静止流体， 取任意一个垂直流体 液柱，上下底面积均 为Am2。 作用在上、下端面上并 指向此两端面的压力
注意事项：
1.只能应用于静止的、连通的、同一种连续流体。 2.当气体密度随温度、压强变化可忽略时，方程适 用。
三、流体静力学基本方程式的应用 1、压力测量 （1） U型管液柱压差计 （U-tube manometer）
指示液密度ρ0，被测流体密度 为ρ，图中a、b两点的压力是相 等的，因为这两点都在同一种静 止液体（指示液）的同一水平面 上。通过这个关系，便可求出p1 －p2的值。
（4）
p2 p1 hρρ 或
p 2 p1 h g
说明压强差的大小也可利用一定高度的液体柱来 表示。（需说明是何种液体） （5）整理得：
z1 g
p1
z2 g
p2
也是静力学基本方程的表达式
（6）方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可 压缩性的气体，只适用于压强变化不大的情况。
1、定态流动和非定态流动
定态流动：流体在管道中流动时，在任一点上的流速、压
力等有关物理参数都不随时间而改变。
k f (x, y, z)
非定态流动：若流动的流体中，任一点上的物理参数，有
部分或全部随时间而改变。
k f (x, y, z, )
2、流线与流管
流线属性：
描述同一瞬间流场中不同质点流速变化的曲线（不同于轨迹线） 流线上任一点的切线方向代表流经该处流体质点速度方向； 流线互不相交； 流体质点流动时不能穿越流线。
操作的安全。 （2）防止气柜内气体泄漏。 若设备要求压力不超过 P1（表 压），按静力学基本方程式，则
水封管插入液面下的深度h为
h
H O g
2
p1
第三节 流体在管内的流动 ——柏努利方程及其应用
反映管内流体流动规律的基本方程式有：
连续性方程
柏努利方程
本节主要围绕这两个方程式进行讨论。
一、流动过程与基本概念
ρ(
28.9 22.4
)(
273 273 120
)( ) 1.79kg/m
2 1
3
依式（1-17），得质量流速
G ρu 1.79 14.54 26.03kg/m
3
例 某厂要求安装一根输水量为30m3/h的管道，试选 择合适的管径。
解：管内径为
d
体1.5-3.0 )
VS 0.785u
根据流体静力学基本方程式则有： U型管右侧
U型管左侧
pa＝p1+(m+R)ρg pb＝p2+mρg+Rρ0g
pa＝pb
p1－p2＝R（ρ0－ρ）g
测量气体时，由于气体的 ρ 密度比指示液的密度 ρ0 小得多， 故ρ0－ρ≈ρ0，上式可简化为
p1－p2＝Rρ0g
下图倒U型管压差计。该压差计利用被测量液体本身作为指示液
当流体不可压缩，在静止流体中任取2点, 则有：
p1
gz1
p2
gz2
表明:不可压缩流体处于静止状态时，其内部任意一 处的静压能与势能之和等于任意另一处的静压能与势能 之和。
或有：
g ( z1 z2 )
p2 p1
上式表明:不可压缩流体处于静止状态时，其势能的减 少必导致其静压能的等额增加。
选取水在管内的流速u＝1.8m/s (自来水1-1.5, 水及低粘度液
工程上常用的无缝钢管规格
DN15（φ20×2.5），俗称6分管（英制） DN20（ φ25×2.5 ），俗称8分管（英制） DN25（ φ32×3 ），俗称1寸管（英制） DN32（ φ45×3.5 ） DN50（ φ57×3.5 ） DN65（ φ76×4 ） DN100（ φ108×4 ） DN125（ φ133×5 ） DN150（ φ159×5 ） DN200（ φ219×6 ） DN250（ φ273×7 ）
上式称为连续性方程式。 若流体不可压缩，ρ＝常数，则上式可简化为
Au＝常数 通常情况下，液体均可按不可压缩液体进行处理。 流体流速与管道的截面积成反比。
对于圆形管道，有
4
或
d u d u
2 1 1
4
2 2 2
u1 u2
(
d2 d1
)
2
式中d1及d2分别为管道上截面1和截面2处的管内 径。不可压缩流体在管道中的流速与管道内径的平方 成反比。
VS V ( )( ) 630
T S 0 T0 p0 p
273 120 273
453m /h
1 2 3
平均流速
u
2 0.785d
VS
435/3600 2 105 ) 0.785 ( 1000
14.54m/s
取空气的平均分子量为Mm=28.9，则实际操作状 态下空气的密度为
（2） 斜管压差计（inclined manometer ）
当被测量的流体压力或压差不大时，读数R必然很小，为得 到精确的读数，可采用如图所示的斜管压差计。
R＇＝R/sinα
式中α为倾斜角，其值愈小，R‘的读数愈大。
（3） 微差压差计（two-liguid manometer ）
构造如图所示： 指示液：两种指示液密度不同、互不相容；
p dz gdz z
同理：
x方向：
y方向：
p dx 0 x
或： p dx 0 x
p dy 0 y
p dy 0 y
将流体在三方向的平衡 微分方程合并 ： p p p dz dy dx gdz z y x
p p p dz dy dx gdz z y x
流管：由流线组成的管状表面。
3、流量与流速
（1）体积流量 （volumetric flow rate）
单位时间内流体流经管道任一截面的体积，以VS表示，其
单位为m3/s。
（2）质量流量 (mass flow rate)
单位时间内流体流经管道任一截面的质量，以wS表示，其
单位为kg/s。
ws =ρVS
若取液面及液下任一点，则有：
p p0 g ( z0 z)
方程意义： 表明了重力场中静止流体内部压强的变化规律。
1.压强与深度有关
2.压强可传递
静力学基本方程的讨论
（1）在静止的液体中，液体任一点的压力与 液体密度和其深度有关。 ρ ; h ; p （2）在静止的、连续的同一液体内，处于同 一水平面上各点的压力均相等。此压力相 当的面，称为等压面。 （3）当液体上方的压力有变化时，液体内部 各点的压力也发生同样大小的变化。
解 （1）在本例附图所示的流程中，由于空气通往石油产品时， 鼓泡速度很慢，可以当作静止流体处理。因此可以从压差计读
数R1，求出液面高度Z1，
管道中充满空气，其 密度较小，近似认为
B
而
A
所以
所以，有如右 式的关系
Hg z1 R1 p
Hg z 2 R2 p
（a）
（b）
（2）将式（a）减去式（b）并经整理得
（3）平均流速 (average velocity) u, m/s
单位时间单位截面积流过的流体体积，以u表示，其单位为m/s。
VS ws u A A
2. 平衡器里的液面高度维持在容器液面容许到达的最大高度处。
读数越小。当液面达到最大高度时，压差计的读数为零。
例 2 为了确定容器中石油产品的液面，采用如附图所示的装置。 压缩空气用调节阀1调节流量，使其流量控制得很小，只要在鼓
泡观察器 2内有气泡缓慢逸出即可。因此，气体通过吹气管 4的 流动阻力可忽略不计。吹气管内压力用U管压差计3来测量。压 差计读数 R的大小，反映贮罐 5 内液面高度。指示液为汞。 1、 分别由a管或由b管输送空气时，压差计读数分别为 R1或R2，试 推导R1、R2分别同Z1、Z2的关系。 2、当（ Z1 － Z2）＝ 1.5m， R1＝ 0.15m， R2＝0.06m时，试求石 油产品的密度ρP及Z1。已知Hg密度为13600kg/m3。
该液柱在垂直方向上受到的作用力有: （1）作用在液柱上端面上的总压力P1 P1= p1 A （N） （2）作用 在液柱下端面上的总压力 P2 P2= p2 A （N） （3）作用于整个液柱的重力G G =gA（Z1-Z2） （N）
由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三 个作用力的合力为零， 即 ： p1 A+ gA（Z1 - Z2）–p2 A = 0 令： h= （Z1 -Z2） 整理得： p2 = p1 + gh 若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压 强为 p0 ； 则： p0 = p1 + gh 以上二式均称为流体静力学基本方程式，它 阐明了静止流体内部任一点流体静压力的大小与 其位置的关系。
扩张室：扩张室的截面积远大于U型管截面积（直径比1：10以
上），当读数R变化时，两扩张室中液面不致有明显的 变化。
按静力学基本方程式可推出:
P1－P2＝Δ P＝Rg（ρ a－ρ b）
2、液位测定
1—容器；2—平衡器的Fra bibliotek室；3—U形管压差计
说明：
1. 图中平衡器的小室2中所装的液体与容器里的液体相同。
即：
dp gdz
当流体不可压缩，积分上式，得到：
p gz 常数
或： p
gz 常数
上式表明:不可压缩流体处于静止状态时，其内部任 何一处的静压能与势能之和为常数。
流体静力学基本方程式 方程推导-2
设：敞口容器内盛有密 度为的静止流体， 取任意一个垂直流体 液柱，上下底面积均 为Am2。 作用在上、下端面上并 指向此两端面的压力
注意事项：
1.只能应用于静止的、连通的、同一种连续流体。 2.当气体密度随温度、压强变化可忽略时，方程适 用。
三、流体静力学基本方程式的应用 1、压力测量 （1） U型管液柱压差计 （U-tube manometer）
指示液密度ρ0，被测流体密度 为ρ，图中a、b两点的压力是相 等的，因为这两点都在同一种静 止液体（指示液）的同一水平面 上。通过这个关系，便可求出p1 －p2的值。
（4）
p2 p1 hρρ 或
p 2 p1 h g
说明压强差的大小也可利用一定高度的液体柱来 表示。（需说明是何种液体） （5）整理得：
z1 g
p1
z2 g
p2
也是静力学基本方程的表达式
（6）方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可 压缩性的气体，只适用于压强变化不大的情况。
1、定态流动和非定态流动
定态流动：流体在管道中流动时，在任一点上的流速、压
力等有关物理参数都不随时间而改变。
k f (x, y, z)
非定态流动：若流动的流体中，任一点上的物理参数，有
部分或全部随时间而改变。
k f (x, y, z, )
2、流线与流管
流线属性：
描述同一瞬间流场中不同质点流速变化的曲线（不同于轨迹线） 流线上任一点的切线方向代表流经该处流体质点速度方向； 流线互不相交； 流体质点流动时不能穿越流线。
操作的安全。 （2）防止气柜内气体泄漏。 若设备要求压力不超过 P1（表 压），按静力学基本方程式，则
水封管插入液面下的深度h为
h
H O g
2
p1
第三节 流体在管内的流动 ——柏努利方程及其应用
反映管内流体流动规律的基本方程式有：
连续性方程
柏努利方程
本节主要围绕这两个方程式进行讨论。
一、流动过程与基本概念
ρ(
28.9 22.4
)(
273 273 120
)( ) 1.79kg/m
2 1
3
依式（1-17），得质量流速
G ρu 1.79 14.54 26.03kg/m
3
例 某厂要求安装一根输水量为30m3/h的管道，试选 择合适的管径。
解：管内径为
d
体1.5-3.0 )
VS 0.785u
根据流体静力学基本方程式则有： U型管右侧
U型管左侧
pa＝p1+(m+R)ρg pb＝p2+mρg+Rρ0g
pa＝pb
p1－p2＝R（ρ0－ρ）g
测量气体时，由于气体的 ρ 密度比指示液的密度 ρ0 小得多， 故ρ0－ρ≈ρ0，上式可简化为
p1－p2＝Rρ0g
下图倒U型管压差计。该压差计利用被测量液体本身作为指示液
当流体不可压缩，在静止流体中任取2点, 则有：
p1
gz1
p2
gz2
表明:不可压缩流体处于静止状态时，其内部任意一 处的静压能与势能之和等于任意另一处的静压能与势能 之和。
或有：
g ( z1 z2 )
p2 p1
上式表明:不可压缩流体处于静止状态时，其势能的减 少必导致其静压能的等额增加。
选取水在管内的流速u＝1.8m/s (自来水1-1.5, 水及低粘度液
工程上常用的无缝钢管规格
DN15（φ20×2.5），俗称6分管（英制） DN20（ φ25×2.5 ），俗称8分管（英制） DN25（ φ32×3 ），俗称1寸管（英制） DN32（ φ45×3.5 ） DN50（ φ57×3.5 ） DN65（ φ76×4 ） DN100（ φ108×4 ） DN125（ φ133×5 ） DN150（ φ159×5 ） DN200（ φ219×6 ） DN250（ φ273×7 ）
上式称为连续性方程式。 若流体不可压缩，ρ＝常数，则上式可简化为
Au＝常数 通常情况下，液体均可按不可压缩液体进行处理。 流体流速与管道的截面积成反比。
对于圆形管道，有
4
或
d u d u
2 1 1
4
2 2 2
u1 u2
(
d2 d1
)
2
式中d1及d2分别为管道上截面1和截面2处的管内 径。不可压缩流体在管道中的流速与管道内径的平方 成反比。
VS V ( )( ) 630
T S 0 T0 p0 p
273 120 273
453m /h
1 2 3
平均流速
u
2 0.785d
VS
435/3600 2 105 ) 0.785 ( 1000
14.54m/s
取空气的平均分子量为Mm=28.9，则实际操作状 态下空气的密度为
（2） 斜管压差计（inclined manometer ）
当被测量的流体压力或压差不大时，读数R必然很小，为得 到精确的读数，可采用如图所示的斜管压差计。
R＇＝R/sinα
式中α为倾斜角，其值愈小，R‘的读数愈大。
（3） 微差压差计（two-liguid manometer ）
构造如图所示： 指示液：两种指示液密度不同、互不相容；
p dz gdz z
同理：
x方向：
y方向：
p dx 0 x
或： p dx 0 x
p dy 0 y
p dy 0 y
将流体在三方向的平衡 微分方程合并 ： p p p dz dy dx gdz z y x
p p p dz dy dx gdz z y x
流管：由流线组成的管状表面。
3、流量与流速
（1）体积流量 （volumetric flow rate）
单位时间内流体流经管道任一截面的体积，以VS表示，其
单位为m3/s。
（2）质量流量 (mass flow rate)
单位时间内流体流经管道任一截面的质量，以wS表示，其
单位为kg/s。
ws =ρVS
若取液面及液下任一点，则有：
p p0 g ( z0 z)
方程意义： 表明了重力场中静止流体内部压强的变化规律。
1.压强与深度有关
2.压强可传递
静力学基本方程的讨论
（1）在静止的液体中，液体任一点的压力与 液体密度和其深度有关。 ρ ; h ; p （2）在静止的、连续的同一液体内，处于同 一水平面上各点的压力均相等。此压力相 当的面，称为等压面。 （3）当液体上方的压力有变化时，液体内部 各点的压力也发生同样大小的变化。
解 （1）在本例附图所示的流程中，由于空气通往石油产品时， 鼓泡速度很慢，可以当作静止流体处理。因此可以从压差计读
数R1，求出液面高度Z1，
管道中充满空气，其 密度较小，近似认为
B
而
A
所以
所以，有如右 式的关系
Hg z1 R1 p
Hg z 2 R2 p
（a）
（b）
（2）将式（a）减去式（b）并经整理得
（3）平均流速 (average velocity) u, m/s
单位时间单位截面积流过的流体体积，以u表示，其单位为m/s。
VS ws u A A