动态微分方程
动态电路的方程及其解
iL(0+) = iL(0-) = IS uC(0+) = uC(0-) = RIS
满足非齐次方程的 特解
对于
dy(t) dt + a0 y(t) = b0 f (t)
特征方程为：s+ a0 =0， 特征根 s=- a0 ， 故齐次解为
yh(t)=Kest= Ke - a0 t
（ K为待定常数，由初始条件确定）
而特解与激励有相似的形式。
2
对于 dy (t) + (2) 求齐次解uCh。 2 dt 而特解与激励有相似的形式。
4、 稳态分析和动态分析的区别
稳态
动态
换路发生很长时间
换路刚发生
IL、 UC (U C、 IL) 不变
iL 、 uC 随时间变化
代数方程组描述电路
微分方程组描述电路
三、 固有响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应
如果将独立源(uS和iS)作为激励， 用f(t)表示， 把电路变量 (u或i)作为响应，用y(t)表示，则描述一阶和二阶动态电路的方 程的一般形式可分别写为(有时等号右端还有f(t)的导数)
+
40k
- 10V
uC
-
例1 + i 10k
+
- 10V
40k
k iC
uC
-
求 iC(0+)
uC(0-)=8V (2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
+ i 10k - 10V
+
8V
iC
-
0+等效电路
iC(0+)=110-08=0.2mA
第3章3.2动态电路的方程及其解
§3.2
动态电路的方程及其解
■
第 1页
§3.2 动态电路的方程及其解
描述动态电路的方程是微分方程。 描述动态电路的方程是微分方程。用一阶微分 微分方程 方程描述的电路常称为一阶电路 一般而言， 一阶电路。 方程描述的电路常称为一阶电路。一般而言，如果 电路中含有n个独立的动态元件 个独立的动态元件， 电路中含有 个独立的动态元件，则描述它的将是 n阶微分方程，该电路可称为 阶电路。 阶微分方程， 阶电路。 阶微分方程 该电路可称为n阶电路
• 动态电路方程的建立 • 微分方程的经典解法
▲
■
第 2页
一、动态电路方程的建立
1、依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； 依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； VAR 列写方程 uR 一阶电路举例： 2、一阶电路举例： R i S RC电路 t=0时开关 电路， 时开关S 例1：图RC电路，t=0时开关S闭 uC uS 讨论t>0时的电容电压u 。 t>0时的电容电压 合，讨论t>0时的电容电压 C(t)。 C t>0时 根据KVL KVL方程列出回 t>0时，根据KVL方程列出回 RC串联电路 uR + uC – uS = 0 路电压方程为 d uC d uC , uR = R i = RC 根据元件的VAR VAR， 根据元件的VAR，有 i = C 代入上式， 代入上式，整 理得
− 1 t RC +U S
uC (t) = (U0 −US ) e
,t ≥ 0
▲ ■ 第 11 页
3、结果分析
固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应
− 1 t RC +U
uC (t) = (U0 −US ) e
微分方程模型-动态模型
kk 21 13
几种常见的给药方式
给药速率 f0(t) 和初始条件
(1).快速静脉注射
t=0 瞬时注射剂量D0
c1 (t) c2 (t)
(
V1 V2
k12 k12c1
k13 )c1 k c 21 2
V2 V1
k c 21 2
f0 (t) V1
的药物进入中心室,血 药浓度立即为D0/V1
K w L 1 r
w , r ,
K/L
(3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件
模型 • 投资增长率与产值成正比 假设 (用一定比例扩大再生产)
dK Q, 0
dt
• 劳动力相对增长率为常数
di i
dt i(0) i0
i(t) i0et
ti ?
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
模型2
假设
建模
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日
f
0
Lg
(
y)
dy dt
dL f0g( y) dt
f0Ly 2 1[ f0 (1 ) y1 ]
dQ dt
0
1
K 0 / K0
e(1 )t
1
1
( A)
0 A成立
0
当t
1
(1 )
ln(1 )(1
K 0 / K0
自控第2章(1)
例1 试列写如图所示RLC无源网络的微分方程 试列写如图所示RLC RLC无源网络的微分方程
解: (1) 确定电路的输入量和输出量 ＋ (2) 列出原始微分方程式 (3) 消去中间变量，把微分方程 ur(t) 消去中间变量， 整理成标准形式 －
L R i C － ＋ uc(t)
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = ur ( t ) 2 dt dt
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 KmKt )
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′ = KC KC
(i + K1K2 K3 Km Kt )
2.2 控制系统的复数域数学模型
2.2.1传递函数 2.2.1传递函数 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 传递函数：是在零初始条件下， 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统， 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； r(t)以及其各阶导数均为零 t=0时，系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； 二是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0 c(t)及其各阶导数在t=0时的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
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自动控制理论
制作人：范 娟 制作人：
课堂练习
如图a和 所示均为自动调压系统 设空载时， 所示均为自动调压系统。 与图b 如图 和b所示均为自动调压系统。设空载时，图a与图 与图 发电机端电压均为110V。试问 带上负载后，图a与图 所示系 带上负载后， 与图b所示系 发电机端电压均为 。 与图 统哪个能保持110V电压不变？哪个系统的电压会稍低于 电压不变？ 统哪个能保持 电压不变 哪个系统的电压会稍低于110V？ ？ 为什么？ 为什么？
自动控制原理典型习题(含答案)
自动控制原理习题一、(20分)试用结构图等效化简求下图所示系统的传递函数)()(s R s C 。
解：所以：32132213211)()(G G G G G G G G G G s R s C +++= 二．（10分）已知系统特征方程为06363234=++++s s s s ，判断该系统的稳定性，若闭环系统不稳定，四．（121m -=222K K-0=1K ⇒=，s = 所以当1K >时系统稳定，临界状态下的震荡频率为ω五．（20分）某最小相角系统的开环对数幅频特性如下图所示。
要求（1） 写出系统开环传递函数； （2） 利用相角裕度判断系统的稳定性；（3） 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。
解（1）由题图可以写出系统开环传递函数如下：（2）系统的开环相频特性为截止频率1101.0=⨯=c ω相角裕度：︒=+︒=85.2)(180c ωϕγ故系统稳定。
（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数其截止频率10101==c c ωω而相角裕度︒=+︒=85.2)(18011c ωϕγγ= 故系统稳定性不变。
由时域指标估算公式可得)11(4.016.0-+=σoo=o o 1σ（1（2（2）121)(=s G 2函数。
1、的输出量不会对系统的控制量产生影响。
开环控制结构简单、成本较低、系统控制精度取决于系统元部件、抗干扰能力较差。
（２分）2、根轨迹简称为根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。
（３分）系统根轨迹起始于开环极点，终至于开环零点。
（２分）二、看图回答问题（每小题10分，共20分）1、解：结论：稳定（２分）理由：由题意知系统位于s 右半平面的开环极点数0=P ，且系统有一个积分环节，故补画半径为无穷大，圆心角为2122πππ-=⨯-=-v 的圆弧，则奈奎斯特曲线如图1示，（３分）由图可知系统奈奎斯特曲线包围(-1,j0)点的圈数为000=-=-=-+N N N ，（３分）由奈奎斯特稳定判据，则系统位于s 右半平面的闭环极点数02=-=N P Z ，（２分）故闭环系统稳定。
自动控制原理电子版
第二章 自动控制系统的数学模型研究一个自动控制系统，除了对系统进行定性分析外，还必须进行定量分析，进而探讨改善系统稳态和动态性能的具体方法。
控制系统的运动方程式（也叫数学模型）是根据系统的动态特性，即通过决定系统特征的物理学定律，如机械﹑电气﹑热力﹑液压﹑气动等方面的基本定律而写成的。
它代表系统在运动过程中各变量之间的相互关系 ，既定性又定量地描述了整个系统的动态过程。
因此，要分析和研究一个控制系统的动态特性，就必须列写该系统的运动方程式，即数学模型。
第一节 系统动态微分方程模型常用的列写系统或环节的动态微分方程式的方法有两种﹕一种是机理分析法，即根据各环节所遵循的物理规律（如力学﹑电磁学﹑运动学﹑热学等）来编写。
另一种方法是实验辩识法，即根据实验数据进行整理编写。
在实际工作中，这两种方法是相辅相成的，由于机理分析法是基本的常用方法，本节着重讨论这种方法。
下面通过简单示例介绍机理分析法的一般步骤。
图2-1 RLC 网络[例2-1] 列写图2-1所示RLC 网络的微分方程。
解 1． 明确输入、输出量网络的输入量为电压)(t u r ，输出量为电压)(t u c 。
2．列出原始微分方程式。
根据电路理论得 )()(1)()(t Ri dt t i Cdt t di Lt u r ⎰++= （2-1） 而 ⎰=dt t i C t u c )(1)( （2-2） 式中)(t i 为网络电流，是除输入、输出量之外的中间变量。
3．消去中间变量将式（2-2）两边求导，得)(1)(t i C dt t du c = 或 dtt du C t i c )()(= （2-3） 代入式（2-1）整理为 )()()()(22t u t u dt t du RC dtt u d LC r c c c =++ （2-4） 显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是2-1所示RLC 无源网络的数学模型。
[例2-2] 试列写图2-2所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压)(t u a（V ）为输入量，电动机转速)(t m ω)(s rad 为输出量。
动态微分方程自动控制原理
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
Tnian
Tfu
GD 2 375
dn dt
（2-2）
ia
La
+ -
Ea
电动机机械微分方程
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
Tnian
T fu
GD 2 375
dn dt
其中
Tnian
f .w
f
d
dt
，通常忽略不计。
电动机电磁转距与电枢电流成正比
T Cmia
（3）消去中间变量
将（2-3）带入（2-4）得
ia
GD 2 dn 375Cm dt
dia GD2 d 2n dt 375Cm dt 2
（2-3） （2-4）
（2-5） （2-6）
将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得
La GD2 Ra d 2n GD2ra dn n ua
－阻尼器的粘性摩擦力 －弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程
y(t) f
将以上各式代入（1）式得
m d 2 y F f dy Ky
整理得
d 2 y dy
dt 2
m f Ky F
dt
dt 2
dt
例3：设有带直流电动机系统，如图所示。试列写系统
微分方程。
解：（1）确定输入输出量
+ U1 R1 I1
I3 R01
Ug R2
-
R02 I2
R12
K UK
0
Ud D
n
R3 CF
+ R4
自动控制原理及其应用(第2版)黄坚第二章习题课
第二章习题课
(2-9)
2-9 若系统在单位阶跃输入作用时，已知初 若系统在单位阶跃输入作用时， 始条件为零的条件下系统的输出响应， 始条件为零的条件下系统的输出响应，求 系统的传递函数和脉冲响应。 系统的传递函数和脉冲响应。 -t 1 -2t R(s)= s c(t)=1-e +e r(t)=I(t) 1 - 1 + 1 = (s2+4s+2) 解: C(s)= s s+2 s+1 s(s+1)(s+2) (s2+4s+2) G(s)=C(s)/R(s)= (s+1)(s+2) (s2+4s+2) =1+ 2 - 1 脉冲响应: 脉冲响应 C(s)= (s+1)(s+2) s+2 s+1 c(t)= (t)+2e-2t-e-t δ
第二章习题课
(2) dy(t) 2 dt +y(t)=t
(2-4)
y(0)=0
第二章习题课
(2-5)
2-5 试画题图所示电路的动态结构图， 试画题图所示电路的动态结构图， c 并求传递函数。 并求传递函数。 i1 (1) 解： + R
Ur(s)
Cs _
I1(s)
+ +
i2
1
+
I(s)
R2
Uc(s)
+ i uo -
第二章习题课
(b) 解： (ui-u1) i=i1+i2 i= R
1
(2-1)
u1 L i
R1 C
＋
ui
i1 i2
R2
+ uo -
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－阻尼器的粘性摩擦力 －弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程
2 d y dy 将以上各式代入（1）式得 m 2 F f Ky dt dt 2 d y dy 整理得 m 2 f Ky F dt dt
例3：设有带直流电动机系统，如图所示。试列写系统 微分方程。 i
U1 U R U L U C U R Ri UL L di dt
(1)
R U1 i L
1 idt C di U 1 Ri L U 2 dt U2 UC
C
U2
( 2) (3)
（3）消去中间变量，得到U2与U1的关系方程 1 U 2 i, 即 i C U 2 对（2）式求导得 C 代入（3）式并整理得
各元件的微分方程
3、消中间变量，得到只含输入、输出量的标
准形式
三、举例
例1：设有由电感L，电容C和电阻R组成的电路，
如图所示。试求出以输出电压U2为输出变量和以输
入电压U1为输入变量的微分方程。
R L
U1
U2 C
i
（1）确定电路的输入量和输出量 解： U1为输入量，U2为输出量 （2）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程
Td Tm d 2 n T dn 2 m n K gU g (1 K k ) 1 K k dt 1 K k dt
a
解：（1）确定输入输出量
m
n
输入量ua， 设
输出量n，设 （2）列微分方程
ua xr n xC
－等效电路如图所示
Ua
G ～
电枢回路的微分方程：
dia +E a ua =i a r a +La dt C e -电势常数 Ea Ce n
dia u a ia ra l a Ce n dt
例4
下图所示为闭环调速控制系统，编写控制系统 微分方程。
I3 R01 K
0
+ U1 R1 R2 Ug R02 I1
R12 Ud D n
UK
I2 -
R3 R4
CF
+
解：(1)确定系统输入输出量 输入量为给定电压Ug=Xr,输出量为电动机转速n=Xc. (2)编写各环节的微分方程 1）比例放大环节
I1 I 2 I 3 0
u d 2n dn TaTm Tm n a dt dt Ce
GD 2 ra Tm 375 Ce Cm
La Ta ra
--电动机机电时间常数
--电动机电磁时间常数 （2-8）
d 2 n 30 d 3 3 （2-11） 2 dt dt
将（2-9）（2-10）（2-11）带入（2-8）得 （2-12）
令：
（2-7）
得 若以
u 为输入，电动机转角 为输出 a 2n w d w dt 60 2 30 d （2-9） dn 30 d （2-10） 2 n dt dt dt
u d 3 d 2 d TaTm 3 Tm 2 0.105 a dt Ce dt dt
Td Tm Tm d 2n dn 2 n 1 K sf K s K1 / Ce dt 1 K sf K s / Ce dt
=
K sf K s K1 Ce (1 K sf K s K1 / Ce )
(2-18)
令
Ks K1=Kg
－开环放大系数
正向通道放大系数，Ksf Ks K1/Ce=Kk 得闭环系统的微分方程式：
3）直流电动机
Ud d 2n dn Td Tm 2 Tm n dt Ce dt
(2-17)
其中
GD2 R Tm 375 Ce Cm L s Ld R－电动机回路和可控硅整流电路总电阻 Td R
4）反馈环节
U f nKsf
(3) 消去中间变量
K sf －比例系数
将式（2-15）（2-16）代入（2-17）经整理得：
假定
Ug R01
Uf R02
Uk 0 R12
R01 R，有 02
Ug R01 Uf R02 ) R12 (U g U f ) R01 K1 (U g U f )
(2-15)
U k R12 (
2）可控硅整流功率放大环节
Ud=KsUk ；
Ks---电压放大系数
(2-16)
（2-1）
ra
ia La
Ua
+ -
Ea
电动机机械微分方程
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
GD 2 dn T Tnian T fu 375 dt
（2-2）
电动机机械微分方程 若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
其中
Tnian
GD 2 dn T Tnian T fu 375 dt d ，通常忽略不计。 f .w f dt
2、建立动态模型的方法 1）机理分析法：用定律定理建立动态模型。 2）实验法：用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。 3、建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设 计系统，使系统控制效果最优。
二、列写系统微分方程的步骤
1、确定系统的输入量和输出量
2、根据系统所遵循的基本定律，依次列写出
d 2U 2 dU 2 LC RC U 2 U1 2 dt dt
例2：如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为m的物体受到外力作用产生位移Y， 求该系统的微分方程。 解：（1）确定输入量和输出量 输入量：外力F（t) 输出量:位移y(t) （2）列写原始微分方程
F (t )
m
（ 1）
K
ma F F FB FK
（2-3）
电动机电磁转距与电枢电流成正比 （3）消去中间变量 将（2-3）带入（2-4）得
T C m ia
（2-4）
GD 2 dn ia 375C m dt
（2-5）
dia GD 2 d 2 n 2 dt 375C m dt
（2-6）
将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得
GD 2 ra dn ua La GD 2 Ra d 2 n n 2 Ra 375 Cm Ce dt 375Cm Ce dt ce
第二章 自动控制系统的数学模型
§2-1 动态微分方程
一、基本概念
1、系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间 关系的数学表达式 1）动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，它一般是 时间函数。 如：微分方程，传递函数，状态方程等。
2）静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数