八年级数学勾股定理4
八年级勾股定理的知识点
八年级勾股定理的知识点作为初中数学的重要知识点之一，勾股定理在八年级学生的学习中扮演着重要的角色。
勾股定理的概念和应用可以帮助学生理解和求解同类问题，并为进一步学习更高级别的数学知识奠定基础。
以下是勾股定理在初中八年级阶段的知识点。
一、勾股定理的定义勾股定理是指直角三角形中长边平方等于两短边平方和的关系。
即在一个直角三角形中，长边的平方等于其他两边平方和。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²其中，a、b 代表短边，c 代表长边。
这个公式是勾股定理的基本表达形式。
二、三角形中的勾股定理应用勾股定理不仅仅是为了了解概念，同样也是一种有用的工具来解决各种三角形问题。
在三角形中，有两种使用勾股定理的方式：已知两个边长求第三个边长和已知三角形的三个角度和一个边长，求任意一边长。
2.1 已知两边长求第三边长当我们知道任意两边长的长度时，我们可以使用勾股定理来求解第三边长的长度。
我们可以先将已知的两边长的平方和计算得出，然后再对这个结果求平方根来得到第三边长的长度。
例如，当我们知道一个三角形的两边分别为 3 和 4，需求出第三边长，我们可以使用勾股定理进行计算：(3)² + (4)² = c²9 + 16 = c²25 = c²c = √25 = 52.2 已知三个角度和一个边长，求任意一边长在已知三个角度和一个边长的情况下，我们可以使用正弦、余弦、正切等三角函数结合勾股定理来求解三角形任意一边长。
例如，假设我们知道一个三角形的三个角分别为 60 度、30 度和 90 度，此三角形的一个边长为 5，需求出另外两边长的长度。
我们可以利用下列公式进行计算：sin(60°) = 对边 / 斜边 = c / 5c = 5 sin(60°) = 4.33(约)cos(60°) = 邻边 / 斜边 = b / 5b = 5 cos(60°) = 2.5(约)根据勾股定理，我们可以求出第三条边的长度：a² + b² = c²a² + (2.5)² = (4.33)²a² = (4.33)² - (2.5)²a² = 9 - 6.25a = √2.75 = 1.66(约)通过这种方式，我们可以使用勾股定理解决许多有关三角形的问题。
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT课件
b
a
c b
a
c a
b
证明：∵S大正方形＝c2，
cb
S小正方形＝(b - a)2，
a b- a
赵爽弦图
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
∴c2 4 1 ab b a2 a2 b2.
2
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案
被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把 直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾股
勾2 + 股2 = 弦2
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
(1) 若 a = b = 5，求 c；
(2) 若 a = 1，c = 2，求 b.
问题1 试问正方形 A、B、 C 面积之间有什么样的数 量关系？
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三 角形三边之间有什么特殊关系？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
C A
B
C A
B
左图：SC
4
1 2
2
3
11
13
右图： SC
4
1 2
4
3
11
25
你还有其 他办法求C 的面积吗？
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
苏教版八年级数学上册《勾股定理》课件(共16张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
3.1 勾股定理
例2 [教材练习第2题变式题] 如图3－1－2，64、400分
别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面
积是33_6_______．
图3－1－2
3.1 勾股定理
[解析] 由图可以知道，分别以这三个正方形一边为三角形的 边，围成的三角形恰好是直角三角形，因此它们的三边满足 勾股定理，也就是说以直角边为边的两个正方形的面积和等
c2＝a2＋b2，a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
[注意] 只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角 三角形中均不适用．
3.1 勾股定理
重难互动探究
探究问题一 利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三 角形的边长
例1 [教材练习第1题变式题] 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
于以斜边为边的正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形
面积为400－64＝336. [归纳总结] 勾股定理不仅揭示了直角三角形三边之间的数量 关系，而且揭示了以直角三角形的两直角边为边的两个正方 形的面积和与以斜边为边的正方形面积之间的关系．
3.1 勾股定理
探究问题二 综合利用勾股定理求多个直角三角形的相关边长 例3 [勾股定理运用拓展题] 一个零件的形状如图3－1－3
(1)若c＝15，b＝12，求a； (2)若a＝11，b＝60，求c； (3)若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b.
3.1 勾股定理
解：(1)因为 a2＋b2＝c2， 所以 a2＝c2－b2＝152－122＝81， 所以 a＝9. (2)因为 a2＋b2＝c2， 所以 c2＝112＋602＝3721， 所以 c＝61. (3)因为 a∶b＝3∶4， 所以设 a＝3x，b＝4x.
八年级数学勾股定理的逆定理4
• 据说古埃及人用下图的方法画直角：把一 根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、 4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成 一个三角形，其中一个角便是直角．你知 道为什么吗？
画一画
• 用尺规画△ABC，使其三边长分别为 2.5cm，6cm，6.5cm． • 观察你画出的三角形是直角三角形吗？ • 验证等式“2.52+62=6.52”成立吗？ • 换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm， 再试一试． • 由此你能猜想到什么呢？
练习
• 1．如果三条线段长a，b，c满足a2=c2-b2，这 三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为 什么？ • 2．以下各组数为边长，能组成直角三角形的 是（ ）． • A．5，6，7 B．10，8，4 • C．7，25，24 D．9，17，15 • 3．以下各组正数为边长，能组成直角三角形 的是（ ）． • A．a-1，2a，a+1 B．a-1，2 a，a+1 • C．a-1， 2a，a+1 D．a-1， 2 a，a+1
明确下面问题
• （1）任何一个命题都有逆命题； • （2）原命题是正确，逆命题不一定正确， 原命题不正确，逆命题可能正确； • （3）原命题与逆命题的关系就是，命题中 题设与结论相互转换的关系．
在图中,△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 如果△ABC是直角三角形,它应该与直角边 是a,b的直角三角形全等,实际情况是这样吗? 我们画一个直角三角形△ A′B′C′,使 B′C′=a,A′C′=b,C′=90°.把画好的△ A′B′C′ 剪下,放在△ABC上,它们重合吗?
（3）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形， 通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是 否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．
八年级数学勾股定理4
a²+b²=c²
(X )
2)、直角三角形的两边长分别是3和4，则另一边是5
(X )
3）、若△ABC的三边长是a=7,b=24,c=25，则△ABC
是直角三角形
(√ )
4）、 △ABC是三边之比为1:1:√2 ，则△ABC是直角
三角形
(√ )
5）、等边三角形高为2 √3cm,则它的边长是3cm (X )
AC²+BC²= AB²
（3）美国总统证法：
D
C
bc
c
a
Aa
bD
∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b)
=1/2ab×2+1/2 c²
∴a²+b²=c²
（4）我来试一试
b
a
ab
a c
a
cb
ca
bc c
bc
a
a
b
a
b b
S=1/2ab×4+ c²=1/2ab ×4+ a²+b² a²+b²=c²
∴ c= √20 =2 √ 5 (舍负 值)
∴ a2 = c2 ﹣b2 = 32 –(√ 2 )2 =7
∴ a= √ 7 (舍负值）
例2：将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离AB（精确到0.01米）
解：在Rt△ABC中，
∠ABC=90°
A
BC=2.16 ，CA=5.41
3、若a,b,c是一组基本的勾股数，则a,b,c 不能同时为奇数或同时为偶数
4、一组勾股数中必有一个数是5倍数 5、2mn,m²-n²,m²+n²为勾股数组，m>n﹥0 ,m,n一奇一偶
八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用
八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用一、勾股定理在网格中的应用例1、已知正方形的边长为1，(1)如图a，可以计算出正方形的对角线长为根号2.①分别求出图(b)，(c)，(d)中对角线的长＿.②九个小正方形排成一排，对角线的长度(用含n的式子表示)为＿.分析：借助于网格，构造直角三角形，直接利用勾股定理.二、勾般定理在最短距离中的应用例2、如图，已知C是SB的中点，圆锥的母线长为10cm，侧面展开图是一个半圆，A处有一只蜗牛想吃到C处的食物，它只能沿圆锥曲面爬行.请你求出蜗牛爬行的最短路程.分析在求解几何图形两点间最短距离的问题时，将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，展开过程中必须要弄清楚所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中的相应位置.点评在求立体几何图形的问题时，一般是通过平面展开图，将其转化成平面图形问题，然后求解.三、勾股定理在生活中的应用例3、如图，学校有一块长方形花园，有较少数同学为了避开拐角走“捷径”，在校园内走出了一条“路”.请同学们算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草.(假设1步为0.5m)点评：走“捷径”问题为出发点是常遇到情况，在考查勾股定理的同时，融入了环保教育:少走几步路，就可以留下一片期待的绿色.四、勾股定理在实际生活中的应用例4 小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据:小华在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°，小华沿河岸向前走30m 选取点B，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度.点评：此题考查直角三角形的应用，解答本题的关键在于画出示意图，将问题转化为解直角三角形的问题.。
八年级数学《勾股定理》知识点
八年级数学《勾股定理》知识点一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。