大学概率论习题二详解
概率论与数理统计浙大第四版答案 第二章
概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。
解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=×===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=×+×=∪==P X P 363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪3611所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。
解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P3、进行重复独立试验。
概率论第二章习题答案
概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。
求X的分布律。
解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。
由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。
因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。
求Y的概率密度函数。
解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。
解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。
解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。
求X的分布律和期望值。
解答：X服从参数为n和p的二项分布。
其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。
概率论第二章习题及答案
三、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX 0 1 p q ， PX 1 p
或
P{ X k } p q
X P
k 1 k
(k 0 , 1)
1 p
0 1-p
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布． 记作 X ~ B1 ， p . 其中0 p 1 为参数
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量的定义
设E是一个随机试验，S是其样本空间．若对每一个
S , 都有唯一确定的一个实 数X 与之对应 , 则称
X 为一个随机变量.
S
X
R
第二章 习题课
二、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x1 ， x2 ， ， xk ， 并设
如果连续型随机变量X 的密度函数为 （I）
1 2 2 x f x e 2 其中 ， 0 为参数， 则称随机变量X 服从参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
x 2
X ~ N ，
2
0
第二章 随机变量及其分布
4）几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
PX k q k 1 p
k 1， 2，
其中 p 0，q 0，p q 1
则称随机变量 X 服从参数为 p的几何分布．
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第二章 随机变量及其分布
5）超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
x
f ( t )dt,
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
天津理工大学概率论与数理统计第二章习题答案详解
第2章一维随机变量 习题2一. 填空题：1.设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 是 (){}x P x F ≤=ξ， 则 用 F (x) 表 示 概 {}0x P =ξ = __________。
解：()()000--x F x F 2.设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 为 ()()+∞<<∞-+=x arctgx x F π121 则 P{ 0<ξ<1} = ____14_____。
解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F 143.设 ξ 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，则 P{ ξ = 3 }= ___2783e - 或 3.375e -3____。
4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k C k P Kλξ，常 数 λ>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e -λ_____。
解：{}λλλλξ-∞=∞=∞==⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑e C Ce k C k Ck P KK KK K 11!1!105 设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭⎫⎝⎛==k A k P kξ则 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521ξP = 0.8 。
解：()A A k P k 161516181412141=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令15161A = 得 A =1615()()212521=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<ξξξp p P 8.041211516=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=6.若 定 义 分 布 函 数 (){}x P x F ≤=ξ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 17. 随机变量) ,a (N ~2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ，则随着σ的增大，g()σ之值 保 持 不 变 。
概率论第二章习题解答(全)
概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp 0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。
在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。
解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。
每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。
因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X ==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X ==；最小点数为3的共有7种，7{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5{4}36P X ==；最小点数为5的共有3种，3{5}36P X ==；最小点数为6的共有1种，1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。
概率论与数理统计习题解答 (2)
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
1/ 2
P{ X < 1 / 2} = P{X > 3 / 2} =
−∞ ∞
∫ f ( x)dx = ∫ 2 xdx =1/ 4 或 P{X < 1/ 2} = F (1/ 2) = 1/ 4
0
1/ 2
3/ 2
∫
∞
f ( x)dx =
3/ 2
∫ 0dx = 0
或
P{X > 3 / 2} = 1 − P{X ≤ 3 / 2} = 1 − F (3 / 2) = 1 − 1 = 0
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
求
(1)常数 A
(2)概率密度函数
(3) P{X < 1 / 2} ； P{X > 3 / 2} ；
P{0 ≤ X ≤ 2} 。
解法一：由于连续型随机变量 X 的分布函数是连续的
⎧0 ⎪ ∴ 1 = F（ 1 ） = lim F ( x) = lim Ax = A f ( x) = F ' ( X ) = ⎨ 2 x x⎯ ⎯→ 1 x⎯ ⎯→ 1 ⎪0 ⎩
+∞
所以一年中该地区受台风袭击次数为 3~5 的概率为 0.547027 11、有 10 台机床，每台发生故障的概率为 0.08, 而 10 台机床工作独立，每台 故障只需一个维修工人排除。问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而 不能及时排除的概率不大于 5%。 解：随机变量 X 示发生故障的机床的台数则 设配备 n 个维修工人 (0 ≤ n < 10) 则“有故障而不能及时排除”事件为
−1 r k −r （2） P{X = k } = Ckr − , k = r , r + 1,...... 1 p (1 − p )
《概率论与数理统计》第02章习题解答.docx
P{ X = 1} = P[人(瓦U瓦)U孔A ] = 0.8(0.2 + 0.2-0.04) + 0.2 x (0.8)2
= 0.416
P{X=2} =P( £%為)=(0.8)3=0.512
3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X表示15人无 任何健康保险的人数(设各人是否有健康保险是相互独立的)，问X服从什么分布，写出X的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率
解:(1)P{X>1}=f(x)dx=j"-(4-x2)dr = (-X- — X3)
"9927
（2）―叫刃’叩沟心］刃
22
27
10-R
£二0丄2,…，10
27■■
592
(3)P{y=2}=C^(—)2x(—)8=0.2998
s99s9?
p{r>2}= 1- p{r=0} - p{y=1}= 1-(—)° x(―)10- ^0(—)J(—)9= 0.5778
J；(0.2 + 1.2y)dy
—oo
y v _1
-1 < y < 0
0<y<\
0
0.2y + 0.2
0.6/+0.2j + 0.2
1
y <-1
0<y<l
沖1
P{0<Y<0.5} = F(0.5)-F(0) = 0.2+0.2x0.5 + 0.6x(0.5)2-0.2 = 0.25
P{y > 0.1} = 1-F(0」)=1一0.2-0.2x0」一0.6x0= 0.774
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大学概率论习题二详解（A ）1、从1，2，3，4四个数码中先后任意取出两个数码（每次取一个，取后不还原），写出下列每个随机变量可能的取值： （1）=X 两个数码的数字和；（2）=Y 第一个数码与第二个数码的数字差； （3）=Z 数码为偶数的个数；（4）=W 数码为1数的个数。
解（1）3，4，5，6，7； （2）,,,123---321,,； （3）0，1，2； （4）0，1 2、随机投两颗骰子，以X 表示其点数之和，写出X 可能的取值及其概率，并求)9(>X P .解 X 可能的取值：2，3，…，12；取这些值的概率：12987323613361,,,,,,/)(/)()( ==⎩⎨⎧--==i i i i i X P 18591210===>∑=i i X P X P )()( 3、设随机变量X 的分布列为4,3,2,1,2)(===i Ci X P i求C 的值。
解∑==4112i iC15/16=C4、某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。
解 设击中次数为X ，则).,(~020400B X)()()()(101212=-=-=<-=≥X P X P X P X P3994009800204009801.).(.--= 99720.≈5、某厂需要12只集成电路装配仪表，要到外地采购，已知该型号集成电路的不合格品率为0.1，问需要采购几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于12只？解 设采购n 只，不合格品数为X ，显然).,(~10n B X以题意∑-=-=-≤=≥-1290101212n k k n k k nCn X P X n P ..)()(n 取多少呢？取15=n ，94440312.)()(=≤=≥-X P X n P 取16=n ，98300412.)()(=≤=≥-X P X n P 取17=n ，99530512.)()(=≤=≥-X P X n P可见，只需要采购17只就能有99%把握保证其中合格的集成电路不少于12只。
6、在500个人的团队中，求恰有6个人的生日在元旦的概率。
解 每一个人的生日在元旦的概率3651=p ，则该团队中生日在元旦的人数),(~3651500B X 。
依题意要求494665003651136516)()()(-==C X P 由于36991.=np ，采用泊松分布近似≈=)6(X P 0023063699163699166.!.!.≈=--e eλλ7、从某商店过去的销售记录知道:某种商品每月的销售数可以用参数10=λ的泊松分布来描述，为了以%95以上的把握保证不脱销，问商店在月初至少应进多少件？(已知9166.0!1010140≈-=∑e k k k ，9513.0!1010150≈-=∑e k k k )解 令商店该商品的月销售量为X ，设每月进货N 件。
则)(~10P X 。
依题意要求95.0)(≥≤N X P即 95010100.!≥-=∑e k Nk k查泊松分布表得，14=N 和15时，有 950916601010140..!<≈-=∑e k k k ，95095130101015..!>≈-=∑e k k k 于是，为了以%95以上的把握保证不脱销，商店在月底至少应进15件 8、若随机变量X 只取一个值a ，即 1==)(a X P 求X 的分布函数)(x F ，并作出图形。
解 X 的分布函数为：ax ax x F <≥⎩⎨⎧=01)(9、在10台计算机中有2台感染了病毒，现在一台一台地抽样检查，求在发现首台未感染病毒者时已经检查过计算机的台数X 的分布函数.解 先求X 的概率分布．易见，X 有0，1，2等3个可能值，且．；； 451458541}2{45891082}1{54108}0{=--===⨯⨯=====X X X P P P 于是X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=≤=．，；，；，；，2 1 214544 1054 0 0 }{)(x x x x x X x F P10、已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=5 1 524320410 0 )(x x x x x F ，，，， 求随机变量X 的概率分布。
解 易见)(x F 有0,2,5等3个间断点，故随机变量X 有3个可能值．由于{}{}{}，，，41431)05()5(5424143)02()2(241)00()0(0=-=--===-=--===--==F F X F F X F F X P P P 可见随机变量X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛414241520~X ． 11、已知连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F求（1）系数A ；（2）X 落入)7.0,3.0(内的概率；（3）X 的密度函数。
解 （1）因为11=+→)(lim x F x ，A F =)(1 又连续型随机变量X 的分布函数)(x F 连续 则1=A（2）X 的分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=1110002x x x x x F )(故4030703070703022...).().()..(=-=-=<<F F X P（3）X 的密度函数为：⎩⎨⎧≤≤=其它1002x x x p )( 12、已知连续型随机变量X 的分布函数（柯西分布） Barctgx A x F +=)( 求（1）系数A 、B ；（2）)1(≤X P ；（3）X 的密度函数。
解 （1）12=+=+∞→πBA x F x )(lim02=-=-∞→πBA x F x )(lim解得 50.=A ，π1=B（2）X 的分布函数为arctgx x F π121+=)( 因此，21111=--=≤)()()(F F X P （3）X 的密度函数为)()(211x x p +=π 13、设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧=,0,)(x x p λ 其他20<<x ，求（1）常数λ；（2）)31(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F 。
解 (1)122==⎰λλxdx 2/1=λ(2) )(31<<X P 432121==⎰xdx(3)X 的分布函数2200141)()(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞-x x x x dt t x F xφ 14、设随机变量X 的密度函数为+∞<<∞-=-x ce x p x,)(求（1）常数c ；（2）)10(<<X P 。
解 (1)1220===⎰⎰+∞-+∞∞--c dx e c dx cex x21/=c(2))(10<<X P )(e dx e x 11212110-==⎰-15、设随机变量X 的密度⎩⎨⎧<<=其他10,0,2)(x x x f 现对X 进行n 次独立重复观测，以n v 表示观测值不大于1.0的次数，求n v 的概率分布。
解 令01.02)1.0(1.00==≤=⎰xdx X P p)01.0,(~n B v n即n k q p qp C k v P kn kkn n ,,1,0,99.0,01.0,)( =====-16、某型号电子管寿命（小时）为一随机变量，密度函数为其它100,0,100)(2≥⎪⎩⎪⎨⎧=x x x p某一电子设备内配有3个这样的电子管，求电子管使用150小时都不需要更换的概率。
解 令=i A “第i 个电子管不需要更换”，X 为电子管的使用寿命=)(321A A A P 331321)]150([)]([)()()(≥==X P A P A P A P A P而321001)150(1)150(1501002=-=<-=≥⎰dx x X P X P 所以278)32()(3321==A A A P或 令=i X “第i 个电子管的使用寿命”，则278)150()150()150(321=≥≥≥X P X P X P 。
17、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从[1,3]上的均匀分布。
记事件}{a X A ≤=,}{a Y B >=,已知97)(=+B A P ,求常数a 。
解 97)211(211)()()()()(=----=-+=+a a B P A P B P A P B A P 解得37,35=a18、设随机变量X 服从参数21=λ的指数分布，计算：(1))3(≥X P ；(2))36(>>X X P 。
解 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-01)(21x x ex F x (1)23)3(1)3(-=-=≥e F X P (2) 由指数分布的无记忆性得)36(>>X X P 23)3(-=≥=e X P 19、设随机变量)1,0(~N X ，求：（1）)33.202.0(≤≤X P ；（2）)2(-<X P ；（3）)3(>X P 。
解 （1）482105080099010020332332020...).().()..(=-=Φ-Φ=≤≤X P（2）022809772012122..)()()(=-=Φ-=-Φ=-<X P （3）)()()(333>+-<=>X P X P X P)()(313Φ-+-Φ= )(322Φ-=9987022.⨯-= 00260.=20、设随机变量)10,50(~2N X ，（1）求)20(≤X P ；（2）求)70(>X P ；(3)求常数a ，使得90.0)(=<a X P 。
解（1）)(20≤X P 00130998701313105020..)()()(=-=Φ-=-Φ=-Φ=（2）)()(70170≤-=>X P X P 977201211050701.)()(-=Φ-=-Φ-= 02280.=（3）9001050.)()(=-Φ=<a a X P 查表得2811050.≈-a 862.≈a21、某种电子元件在电源电压不超过200伏，200～240伏，超过240伏三种情况下损坏的概率分别为0.1,0.001及0.2，设电源电压)25,220(~2N X ，求：（1）此种电子元件的损坏率；（2）此种电子元件损坏时，电源电压在200～240伏的概率。
解 令1A =“电压不超过200伏”2A =“电压在200～240伏” 3A =“电压过240伏” =B “电子元件损坏”2119.0)8.0(1)8.025220()200()(1=Φ-=-<-=<=X P X P A P2119.0)8.0(1)8.025220()240()(3=Φ-=>-=>=X P X P A P5762.0)(2=A P（1）)()()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=064.02.02119.0001.05762.01.02119.0=⨯+⨯+⨯=（2）009.0)()()()(222==B P A B P A P B A P22、已知X 的密度函数是)(x p X ，且14-=X Y ，求Y 的密度函数)(x p Y 。